1. ¨Ubungsblatt Rechnen mit ganzen Zahlen Bruchrechnung

Vorkurs Mathematik für Bau-, Umweltingenieurwesen und Geodäsie
PD Dr. A. Johann
WS 2010/11
Blatt 1
1. Übungsblatt
Hinweise: Es ist nicht notwendig und auch nicht vorgesehen, dass Sie alle hier angegebenen
Aufgaben durchrechnen, dafür sind es zu viele. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben variiert.
Wenn Sie mit einer Aufgabe nicht zurechtkommen, fragen Sie Ihren Tutor oder machen Sie
einfach eine andere.
Alle Aufgaben auf diesem ersten Blatt sollen ohne Taschenrechner bearbeitet werden.
Rechnen mit ganzen Zahlen
Aufgabe 1.1 (Primfaktorzerlegung)
Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung der folgenden Zahlen.
(a) 1001
(b) 223
(c) 65536
(e) 6783
(f) 989
(g) 765
(d) 9800
Aufgabe 1.2 (Rechnen modulo n)
Bestimmen Sie für die folgenden Zahlen den kleinsten nichtnegativen Teilungsrest modulo n.
(a) 177 (mod 10)
(b) 177 (mod 5)
(c) 15536 (mod 6)
(d) 1234 (mod 12345)
(e) 987987987987 (mod 17)
(f) 77654321 (mod 6)
(g) 76 (mod 10)
Bruchrechnung/Rechnen in Q
Aufgabe 1.3 (Bruchrechnung)
Berechnen Sie und geben Sie die Lösung vollständig gekürzt als Bruch an:
(a)
7
12
5
13
7.5
− 37
13
+
(e) 1 +
(b)
(f)
1
3
1
2
+
1
6
2
3
+ + 34 +
(c)
4
5
(g)
1
4
1
+ 13 + 12
12
: 76 : 15 :
5
(d) (5 + 41 )(7 − 51 ) +
6
5
(h)
1
3
1
1+
1
1+ 1
2
Aufgabe 1.4 (Vereinfachung von Brüchen)
Berechnen/vereinfachen Sie die folgenden Brüche und geben Sie (falls notwendig) Bedingungen
an, die verhindern, dass eine Null im Nenner steht. Tipps: Ausklammern, binomische Formeln.
(a)
(e)
x−b
a−b
+
x−b
a−b
x−a
b−a
+
x−a
b−a
+ 1b · 1c
x−f
+ x−c
+ e−f +
d−c
(b)
+
x−d
c−d
1
a
x−e
e−f
(c)
b3 −a2 b
a2 b−2ab2 +b3
(d)
a4 −2a2 b2 +b4
(a−b)(a2 +2ab+b2 )
Aufgabe 1.5 (Bruchgleichungen)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R nach allen auftretenden Variablen auf (d.h. zuerst
nach a, danach nach b und so weiter). Welche Einschränkungen sind notwendig, damit keine
Null im Nenner steht und damit die jeweilige Gleichung lösbar ist?
(a)
1
c
=
1
a
+
1
b
(b)
a
b
=
a
c
+
c
b
Rechnen in R
Aufgabe 1.6 (Dezimalzahlen)
Schreiben Sie die folgenden Brüche als endliche oder periodische Dezimalzahlen.
(a)
1
7
(b)
1
6
(c)
3
13
(d) − 27
Aufgabe 1.7 (Größer und kleiner)
Ordnen Sie die folgenden reellen Zahlen der Größe nach.
12 82
2009 1 + 17
b−18.987c
7,
, 17
,
· (−6), max{2, 5, 9, 3, −2} + min{3, 6, 10, 4}
, −
286 12 − 1
7
b12.924c
Aufgabe 1.8 (Positiv oder negativ)
Sind die folgenden Zahlen positiv, negativ oder gleich Null?
(a)
√
3
2−
5
4
(b)
31
22
−
√
2
(c)
√
7−
√
2−
√
5
Lösungen zum 1. Übungsblatt
Lösung zu Aufgabe 1.1 (Primfaktorzerlegung)
(a) 7 · 11 · 13
(b) 223
(c) 216
(d) 23 · 52 · 72
(e) 3 · 7 · 17 · 19
(f) 23 · 43
(g) 32 · 5 · 17
Lösung zu Aufgabe 1.2 (Rechnen modulo n)
(a) 3 (mod 10)
(b) 3 (mod 5)
(c) 2 (mod 6)
(e) 14 (mod 17)
(f) 1 (mod 6)
(g) 9 (mod 10)
(d) 1234 (mod 12345)
Hinweise zum Lösungsweg: Ausnutzen, dass sich Modulo-Rechnen durch Addition und Multiplation durchzieht. Beachten, dass es sich nicht durch Exponenten zieht.
Lösung zu Aufgabe 1.3 (Bruchrechnung)
(a)
151
156
(b)
1
2
(c)
2
3
(d)
1081
30
(e) − 59
78
(f)
163
60
(g)
60
7
(h)
3
5
Lösung zu Aufgabe 1.4 (Vereinfachung von Brüchen)
(a) 1 wenn a 6= b
(c)
b+a
b−a
(e) 2 +
(b)
wenn b 6= 0, a 6= b
2x−e−f
e−f
a+b
abc
wenn a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0
(d) a − b wenn a 6= b, a 6= −b
wenn a 6= b, c 6= d, e 6= f
Hinweise zum Lösungsweg: In c) und d) möglichst große Faktoren, an bm ausklammern, Binomische Formeln verwenden.
Lösung zu Aufgabe 1.5 (Bruchgleichungen)
(a) a =
b=
c=
(b) a =
b=
c=
bc
wenn b
b−c
ac
wenn a
a−c
ab
wenn a
a+b
2
c
wenn b
c−b
c(a−c)
wenn
a
a
2
±
q
a2
4
6= 0, c 6= 0, b 6= c, sonst keine Lösung für a.
6= 0, c 6= 0, a 6= c, sonst keine Lösung für b.
6= 0, b 6= 0, a + b 6= 0, sonst keine Lösung für c.
6= 0, c 6= 0, b 6= c, sonst keine Lösung für a.
a 6= 0, c 6= 0, c 6= a, sonst keine Lösung für b.
2
− ab wenn a 6= 0, b 6= 0, a4 − ab ≥ 0, sonst keine Lösung für c.
Hinweise zu den Lösungen: Auf den ersten Blick scheinen einschränkende Bedingungen zu fehlen. Zum Beispiel ist beim Aufgabenteil (a), beim Auflösen nach b nicht gefordert, dass b 6= 0
sein muss, obwohl b in der Aufgabenstellung im Nenner steht. Dies ergibt sich wie folgt: Man
erhält als Lösung zunächst (unter Beachtung aller einschränkenden Bedingungen)
b=
ac
wenn a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, a 6= c.
a−c
Hier ist b noch eingeschränkt. Betrachtet man nun die Lösungsformel genauer, so sieht man,
dass sich b = 0 nur dann ergeben kann, wenn ac = 0, also a = 0 oder c = 0 ist. Da dies durch
die einschränkenden Bedingungen a 6= 0 und c 6= 0 bereits verhindert ist, ist die Bedingung
b 6= 0 automatisch erfüllt (durch die Lösungsformel und die anderen Einschränkungen) und
kann daher entfallen.
Lösung zu Aufgabe 1.6 (Dezimalzahlen)
(a) 0.142857
(b) 0.16
(d) −0.285714
(c) 0.230769
Lösung zu Aufgabe 1.7 (Größer und kleiner)
b−18.987c
·(−6)
−
b12.924c
<
1 + 12
17
17
−1
12
<
7
<
2009
286
<
82
7
< max{. . .}+min{. . .}
Lösung zu Aufgabe 1.8 (Positiv oder negativ)
a) Positiv, man vergleiche die dritten Potenzen.
b) Negativ, man vergleiche die Quadrate.
c) Mit konjugiertem Erweitern ist
√
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
√
7 + ( 2 + 5)
7 − ( 2 + 5)2
−2 2 5
√
√ =√
√
√ =√
√
√ ,
7 − 2 − 5 = 7 − ( 2 + 5) · √
7 + ( 2 + 5)
7 + ( 2 + 5)
7+ 2+ 5
was eindeutig negativ ist.