Fachhochschule Jena University of Applied Sciences

Fachhochschule Jena
University of Applied Sciences Jena
Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Sommersemester 2008
Formeln Statistik für Business Administration - Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsgrößen und ihre Verteilungen
Zufallsgröße: Eine Zufallsgröße X : Ω −→ R ist eine Funktion, die jedem
Versuchsausgang ω ∈ Ω eine reelle Zahl X(ω) zuordnet.
(Außerdem muß für alle t ∈ R gelten X −1 ((−∞, t]) ∈ F.)
Verteilungsfunktion: Für eine Zufallsgröße X heißt die Funktion FX : R −→ [0, 1] mit
Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X.
FX (x) = P (X ≤ x)
Die Verteilungsfunktion FX hat folgende Eigenschaften:
• lim FX (x) = 0 ,
x→−∞
lim FX (x) = 1 .
x→∞
• FX ist monoton wachsend.
• FX ist rechtsseitig stetig.
Umgekehrt ist jede Funktion mit diesen Eigenschaften Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße.
Diskrete Zufallsgrößen:
Eine Zufallsgröße X heißt diskret, wenn X endlich viele Realisierungen x1 , ..., xn oder abzählbar unendlich viele Realisierungen x1 , x2 , ... hat.
Verteilung von X:
P (X = x1 ) = p1 , ... , P (X = xn ) = pn mit p1 + ... + pn = 1 bzw.
P (X = x1 ) = p1 , P (X = x2 ) = p2 , .... mit p1 + p2 + ... = 1
Verteilungsfunktion von X:
FX (x) = P (X ≤ x) =
X
pk
k:xk ≤x
Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße ist eine Treppenfunktion mit Sprungstellen x1 , x2 , ... und Sprunghöhe pk an Sprungstelle xk für k = 1, ..., n bzw. k = 1, 2, ...
Erwartungswert EX von X:
EX =
n
X
k=1
xk · P (X = xk ) =
(EX existiert, wenn
∞
X
k=1
n
X
k=1
xk · pk bzw. EX =
|xk | · pk < ∞.)
1
∞
X
k=1
xk · P (X = xk ) =
∞
X
k=1
xk · p k
Varianz (Streuung) Var(X) von X:
2
Var(X) = E(X − EX) =
n
X
k=1
n
X
(xk − EX) · P (X = xk ) =
(xk − EX)2 · pk
2
k=1
Andere Berechnungsvorschrift: Var(X) =
n
X
k=1
x2k · pk − (EX)2 .
Analoge Formeln, wenn X abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann.
p
Standardabweichung: Var(X)
Stetige Zufallsgrößen:
Eine Zufallsgröße X heißt stetig, falls sich die Verteilungsfunktion FX schreiben läßt als:
FX (x) =
Zx
fX (t)dt
,
−∞
wobei fX eine reellwertige nichtnegative Funktion ist.
Man nennt dann fX Dichte der Zufallsgröße X.
Die Dichte fX hat folgende Eigenschaften:
Z∞
•
fX (t)dt = 1
−∞
• FX′ (x) = fX (x) für alle Stetigkeitsstellen x von FX .
• Für x1 < x2 gilt:
P (x1 < X ≤ x2 ) = P (X ≤ x2 ) − P (X ≤ x1 ) = FX (x2 ) − FX (x1 ) =
Erwartungswert EX von X:
Z∞
EX =
Zx2
fX (t)dt
x1
x · fX (x)dx
−∞
Varianz Var(X) von X:
Var(X) =
Z∞
(x − EX)2 · fX (x)dx
−∞
(Erwartungswert und Varianz existieren, falls
Z∞
|x| · fX (x)dx < ∞.)
−∞
Standardabweichung:
p
Var(X)
Quantile xq von X:
Für eine stetige Zufallsgröße X mit Verteilungsfunktion FX und Dichte fX und für q mit
0 < q < 1 heißt die reelle Zahl xq Quantil der Ordnung q (q-Quantil), wenn gilt:
FX (xq ) = P (X ≤ xq ) =
Zxq
fX (t)dt = q .
−∞
Für q = 0.5 heißt das 0.5-Quantil x0.5 Median von X.
2
Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz diskreter und stetiger Zufallsgrößen:
Für zwei Zufallsgrößen X, Y und reelle Zahlen a, b ∈ R gilt:
E(aX + b) = aEX + b ,
Var(aX + b) = a2 Var(X) ,
E(X + Y ) = EX + EY .
Für zwei unabhängige Zufallsgrößen X, Y gilt außerdem:
E(X · Y ) = EX · EY ,
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) .
Spezielle diskrete Zufallsgrößen:
1. Diskrete Gleichverteilung auf x1 , ..., xn
P (X = x1 ) = ... = P (X = xn ) =
Erwartungswert:
Varianz:
EX = n1 (x1 + ... + xn )
Var(X) = n1 (x21 + ... + x2n ) −
1
(x1
n2
1
n
+ ... + xn )2
2. Hypergeometrische Verteilung
Parameter M, N, n ∈ N mit M ≤ N und n ≤ N
N −M
M
·
n−k
k
für k = 0, 1, ..., n
P (X = k) =
mit
k ≤ M und k ≥ n + M − N
N
n
Erwartungswert:
Varianz:
EX = n · M
N
Var(X) = n ·
M
N
· (1 −
M
)
N
· (1 −
n−1
)
N −1
Modell: Aus einer Urne mit N Kugeln, von denen M weiß und N − M schwarz sind,
werden nach dem Laplace-Prinzip n Kugeln entnommen (ohne Zurücklegen). Die
Zufallsgröße X, die die Anzahl entnommener weißer Kugeln zählt, ist hypergeometrisch verteilt.
3. Binomialverteilung
Parameter n ∈ N und p ∈ [0, 1]
n
pk (1 − p)n−k
P (X = k) =
k
Erwartungswert:
Varianz:
Schreibweise:
für k = 0, 1, ..., n
EX = n · p
Var(X) = n · p · (1 − p)
X ∼ B(n; p)
Modell: Ein zufälliges Ereignis A tritt mit Wahrscheinlichkeit p bei Durchführung
eines Zufallsexperiments ein. Dieses Experiment wird n mal unabhängig voneinander
unter gleichen Bedingungen durchgeführt. Die Zufallsgröße X, die zählt, wie oft das
Ereignis A eintritt, ist binomialverteilt.
Dieses Modell entspricht dem Urnenmodell und Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen.
Zusammenhang Binomialverteilung - hypergeometrische Verteilung:
−M
Für n ≤ M
und n ≤ N 10
kann man die Binomialverteilung als Näherung für die
10
hypergeometrische Verteilung verwenden.
3
4. Poisson-Verteilung
Parameter λ > 0
P (X = k) =
Erwartungswert:
Varianz:
Schreibweise:
λk −λ
·e
k!
für k = 0, 1, ...
EX = λ
Var(X) = λ
X ∼ Π(λ)
Anwendung: Man betrachtet Ereignisse, die unabhängig voneinander eintreten, z.B
Telefonanrufe in einer Zentrale, zerfallende Atomkerne einer radioaktiven Substanz,
Verkehrsunfälle an einer Kreuzung. Im Mittel treten λ solcher Ereignisse in einem
Zeitraum ein. Die Zufallsgröße X, die die Anzahl eintretender Ereignisse zählt, ist
poisson-verteilt.
Zusammenhang Binomialverteilung - Poissonverteilung:
Für großes n und kleines p (Faustregel: n ≥ 100, n · p ≤ 9) kann man die PoissonVerteilung mit Parameter λ = n · p als Näherung für die Binomialverteilung verwenden.
5. Geometrische Verteilung
Parameter p ∈ (0, 1)
P (X = k) = (1 − p)k−1 · p für k = 1, 2, ...
1
p
Erwartungswert:
EX =
Varianz:
Var(X) =
1−p
p2
Modell: Ein zufälliges Ereignis A tritt mit Wahrscheinlichkeit p bei Durchführung
eines Zufallsexperiments ein. Die Zufallsgröße X, die die Versuche bis zum ersten
Eintreten von A zählt, ist geometrisch verteilt.
Spezielle stetige Zufallsgrößen:
1. Stetige Gleichverteilung im Intervall [a, b]

x < a oder b ≤ x
 0
fX (x) =
Dichte fX (x):
1

a≤x<b
b−a


0
x<a


x−a
Verteilungsfunktion FX (x):
FX (x) =
a≤x<b

a

 b−
1
b≤x
a+b
2
Erwartungswert:
EX =
Varianz:
Var(X) =
(b−a)2
12
4
2. Normalverteilung
Parameter µ ∈ R und σ > 0
Dichte fX (x):
Erwartungswert:
Varianz:
Schreibweise:
(x−µ)2
1
fX (x) = √ · e− 2σ2
σ 2π
EX = µ
Var(X) = σ 2
X ∼ N (µ, σ 2 )
Standardabweichung: σ
Die zugehörige Verteilungsfunktion FX (x) = Φµ,σ2 (x) kann nicht explizit angegeben
werden.
Wichtiger Spezialfall: µ = 0 und σ 2 = 1
N (0, 1) heißt Standardnormalverteilung.
Die Verteilungsfunktion Φ0,1 der Standardnormalverteilung ist in tabellarischer Form
gegeben (siehe Formelsammlung).
x−µ
Es gilt folgender Zusammenhang:
Φµ,σ2 (x) = Φ0,1
.
σ
Für die Standardnormalverteilung gilt:
Φ0,1 (−x) = 1 − Φ0,1 (x) für alle x ∈ R .
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für X ∼ N (µ, σ 2 ):
• P (X ≤ x) = Φµ,σ2 (x) = Φ0,1 ( x−µ
)
σ
• P (X ≥ x) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − Φµ,σ2 (x) = 1 − Φ0,1 ( x−µ
) = Φ0,1 ( µ−x
)
σ
σ
• P (a ≤ X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) =
) − Φ0,1 ( a−µ
)
= Φµ,σ2 (b) − Φµ,σ2 (a) = Φ0,1 ( b−µ
σ
σ
Anwendung: Eine Zufallsgröße X, die z.B. zufällige Meß- und Beobachtungsfehler
oder zufällige Größen-, Längen-, Gewichtsangaben oder zufällige Abweichungen von
einem Sollwert beschreibt, ist normalverteilt.
3. Exponentialverteilung
Parameter a > 0
Dichte fX (x):
fX (x) =
Verteilungsfunktion FX (x):
Erwartungswert:
Varianz:
Schreibweise:
0
ae−ax
x≤0
x>0
FX (x) =
0
1 − e−ax
x≤0
x>0
EX = a1
Var(X) = a12
X ∼ exp(a)
Anwendung: Eine Zufallsgröße X, die z.B. die Lebensdauer von Bauelementen oder
die Bedienzeit von Kunden oder Reparaturzeiten oder Zerfallszeiten radioaktiver
Substanzen beschreibt, ist exponentialverteilt.
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