Mathematik- Taschenbuch

MathematikTaschenbuch
Von
Prof. Dr. Karl Bosch
R. Oldenbourg Verlag München Wien
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.3.1
1.2.
1.2.1
1.2.1.1
1.2.1.2
1.2.1.3
1.2.1.4
1.2.1.5
1.2.1.6
1.2.1.7
1.2.1.8
1.2.1.9
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
1.2.8
1.2.9
1.2.10
1.2.10.1
1.2.10.2
1.2.11
1.2.11.1
1.2.11.2
1.2.11.3
1.2.11.4
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
XXIII
Grundlagen der Arithmetik und Algebra
Mengenlehre
Grundbegriffe und Mengenoperation
Abbildungen (Funktionen) von Mengen
Direkte Produkte von Mengen
Direktes Produkt zweier Mengen
Die reelen Zahlen R
Die natürlichen Zahlen IN
Menge der natürlichen Zahlen
Rechenoperationen
Dezimalsystem
Dualsystem (Binärsystem)
p-adische Darstellung
Primzahlen
Größter gemeinsamer Teiler
Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung von ggT(m,n) . . . .
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Die ganzen Zahlen Z
Die rationalen Zahlen (Brüche)©
Das Rechnen mit Brüchen
Dezimalbrüche
Eigenschaften der rationalen Zahlen . . .
Die reelen Zahlen R
'
Das Rechnen mit reelen Zahlen
Ungleichungen
Intervalle
Beschränkte Intervalle
Nicht beschränkte Intervalle
Absolute Beiträge
Der absolute Betrag
Abstand zweier Zahlen
.Das Rechnen mit Betragsungleichungen
Quadratische Ungleichungen
Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . .-.
Die n-te Wurzel
Potenzen mit rationalen Exponenten
Potenzen mit irrationalen Exponenten
Lösung von Potenzgleichungen
1
1
1
3
5
5
6
6
6
6
7
8
8
9
9
9
10
11
11
12
13
15
16
18
21
24
24
24
25
25
25
26
27
27
27
28
30
32
33
VI
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.2.1
1.4.2.2
1.4.2.3
1.4.3
1.4.4
1.4.5
1.4.6
1.4.7
1.4.7.1
1.4.7.2
1.4.8
1.4.8.1
1.4.8.2
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
1.6
1.7
1.7.1
1.7.2
1.7.3
1.7.4
1.7.5
1.7.6
1.7.6.1
1.7.6.2
1.7.7
1.7.7.1
1.7.7.2
1.7.7.3
1.7.7.4
1.8
1.8.1
1.8.2 "
1.8.3
1.8.4
Inhaltsverzeichnis
Kombinatorik und binomischer Lehrsatz
Fakultäten
Binomialkoeffizienten
Binomialkoeffizienten bei natürlichen Zahlen
Binomialkoeffizienten bei reellen Zahlen
Das Pascalsche Dreieck
Der binomische Lehrsatz
Polynominalkoeefizienten
Der Polynomische Lehrsatz
Permutationen (Anordnungsmöglichkeiten)
Kombinationen
Kombinationen ohne Wiederholung
Kombinationen mit Wiederholung
Variationen
Variationen ohne Wiederhohlung
Variationen mit Wiederhohlung
Logarithmen
Allgemeine Logarithmen
Dekadische Logarithmen
Natürliche Logarithmen
Binäre Logarithmen
Logarithmengesetze
Umrechnungsregel bei verschiedenen Basen
Anwendungen
Vollständige Induktion
Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte . . .
Zahlenfolgen und (endliche) Reihen
Arithmetische Folgen und Reihen (erster Ordnung)
Arithmetische Folgen und Reihen höherer Ordnung
Geometrische Folgen und Reihen
Spezielle endliche bzw. unendliche Reihen (Summenformeln) . .
Finanzmathematik
Abschreibungen
Zinseszins-und Rentenrechnung
Mittelwerte
Arithmetische Mittel
Geometrisches Mittel
Harmonisches Mittel
Anwendungsmöglichkeiten der einzelnen Mittelwerte
Komplexe Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
Gaußsche (komplexen) Zahlenebene
Das Rechnen mit komplexen Zahlen
Die Eulersche Formel
34
34
35
35
35
36
37
38
38
39
40
40
41
41
41
42
43
43
43
43
44
44
45
46
46
48
48
48
49
51
54
55
55
56
59
59
59
59
60
60
60
61
62
63
Inhaltsverzeichnis
1.8.5
1.8.6
1.8.7
1.8.8
1.8.9
1.9
1.9.1
1.9.2
1.9.2.1
1.9.2.2
1.9.2.3
1.9.2.4
1.9.2.5
1.9.3
1.9.3.1
1.9.3.2
1.9.3.3
1.9.3.4
1.9.3.5
1.9.3.6
1.9.4
1.9.4.1
1.9.4.2
1.9.4.3
1.9.4.4
1.9.4.5
1.9.4.6
1.9.5
1.9.5.1
1.9.5.2
1.9.6
1.9.6.1
1.9.6.2
1.9.6.3
1.9.7
1.9.7.1
1.9.7.2
1.9.8
1.9.8.1
1.9.8.2
1.9.8.3
1.9.8.4
VII
Die Moivresche Formel
66
Geometrische Konstruktion der Wurzel
67
Komplexe n-te Einheitswurzel
68
Komplexe Lösungen bei quadratischen Gleichungen
69
Fundamentalsatz der Algebra
69
Gleichungen mit einer Unbekannten
70
Lineare Gleichungen a x + b = 0
71
Quadratische Gleichungen (Gleichungen zweiten Grades) . . .
75
Elementar lösbare Spezialfälle
75
Quadratische Ergänzung-geschlossene Formel
75
Zerlegung in Linearfaktoren
76
Die Wurzelsätze von Vieta
77
Graphische Lösung (und Anwendungen)
77
Kubische Gleichungen (Gleichungen dritten Grades)
80
Graphische Lösung
80
Elementar lösbare Spezialfälle
81
Abspalten eines Linearfaktors bei einer bekannten Lösung . . .
82
Die Cardanische Formel
82
Die Wurzelsätze von Vieta
86
Numerische Bestimmung reeller Lösungen
87
Gleichungen vierten Grades
87
Lösbare Spezialfälle
87
Abspalten von Linearfaktoren
88
Die kubische Resolvente
88
Benutzung einer reellen Lösung der kubischen Gleichung . . . .
90
Numerische Bestimmung reeller Lösungen
91
Satzvon Vieta
91
Algebraische Gleichungen n-ten Grades-Polynome
91
Berechnung der Funktionswerte mit dem Horner-Schema und
Polynomdivision
92
Wurzeln algebraischer Gleichungen
94
Gleichungen, die sich auf algebraische Gleichungen zurückführen
lassen
96
Gleichungen mit gebrochen rationalen Funktionen
96
Wurzelgleichungen
97
Die Substitutionsmethode
97
Transzendente Gleichungen
97
Exponentialgleichungen
99
Logarithmische Gleichungen
100
Numerische Verfahren zur Lösung von Gleichungen
101
Iterationsverfahren bei kontrahierenden Abbildungen
101
Regula flasi (lineares Eingabein)
104
Quadratisches Eingabein
105
Das Newton-Verfahren
105
VIII
Inhaltsverzeichnis
1.10
1.10.1
1.10.2
1.10.3
1.10.3.1
1.10.3.2
1.10.4
1.10.4.1
1.10.4.2
1.11
1.11.1
1.11.2
1.11.3
1.11.4
1.11.5
1.11.5.1
1.11.6
1.11.6.1
Interpolationspolynome
Allgemeines Polynom durch n + 1 Punkte
Interpolationspolynom
Lagrange-Interpolation
Formel für beliebige Stützstellen
Formel für äquidistante Stützstellen
Newton-Interpolation (Differenzschema)
Formel für beliebige Stützstellen
Formeln für äquidistante Stützstellen
Approximationspolynome
Taylerpolynome
Interpolationspolynome
Approximation durch Bernsteinpolynome
Kleinste Quadrat Approximation
Approximation im quadratischen Mittel
Entwicklung nach Legendre-Polynomen
Approximation im gewichteten quadratischen Mittel
Entwicklung nach Tschebyscheff-Polynomen
106
106
107
107
107
108
109
109
110
115
115
115
116
116
117
119
120
120
2.
2.1
2.2
122
122
2.2.7.1
2.2.7.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume
Zwei-und dreidimensionale Zahlenräume
Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume
V 2 undV 3
Der Begriff des Vektors
Komponentenzerlegung
Zweidimensionale Vektoren
Dreidimensionale Vektoren
Das Rechnen mit Vektoren in Komponentenzerlegung
Das Skalaprodukt (inneres Produkt)
Das Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt)
Spatprodukt und doppelte Vektorprodukte
Linear unabhängige (abhängige) Vektoren-Komponentenzerlegung
Vektoren in der Ebene
Räumliche Vektoren
Der n-dimensionale Zahlenraum Rn
Der n-dimensionale Euklidische Vektorraum Vn
Allgemeine abstrakte Vektorräume (lineare Räume)
Euklidische Vektorräume
-
3.
3.1
3.1.1
Geometrie der Ebene (analytische Geometrie und Planimetrie) .
Koordinatensysteme in der Ebene
Geradlinige Koordinatensysteme
2.2.1
2.2.2
2.2.2.1
2.2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
123
123
126
126
127
128
130
133
137
140
140
141
142
143
145
147
151
151
Inhaltsverzeichnis
3.1.1.1
3.1.1.2
3.1.2
3.1.2.1
3.1.2.2
3.1.3
3.1.3.1
3.1.3.2
3.2
3.2.1
3.2.1.1
3.2.1.2
3.2.1.3
3.2.1.4
3.2.1.5
3.2.1.6
3.2.2
3.2.2.1
3.2.2.2
3.2.2.3
3.2.3
3.2.3.1
3.2.3.2
3.2.3.3
3.2.3.4
3.2.3.5
3.2.4
3.2.4.1
3.2.4.2
3.2.4.3
3.2.4.4
3.2.4.5
3.2.4.6
3.2.5
3.2.5.1
3.2.5.2
3.2.5.3
3.2.5.4
3.2.5.5
3.2.5.6
3.2.5.7
3.2.5.8
3.-2.6
3.2.7
3.2.7.1
Schiefwinklige geradlinige Koordinatensysteme
Kartesisches Koordinatensystem
Krummlinige Koordinatensysteme
Polarkoordinaten
Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische
Transformationen kartesischer Koordinaten
Parallelverschiebung
Drehung
Analytische Geometrie der Ebenen und Planimetrie
Längen und Winkelberechnung, Streckenteilung und Lote
Abstand zweier Punkte (Streckenmessung)
Winkelmessung
Streckenteilung
Streckenhalbierung und Mittellot
Lot auf eine Strecke (Abstand)
Halbieren eines Winkels
Die Gerade
Die Parameterdarstellung einer Geraden'
Koordinatengleichungen
Hessesche Normalform-Abstand von einer Geraden
Zwei Geraden
Parallele Geraden
Schnittpunkt zweier Geraden
Schnittwinkel zweier Geraden
Orthogonale Geraden
Winkelhalbierende
Dreiecke
Allgemeine Dreiecke
Ähnliche Dreiecke und Strahlensätze
Rechtwinklige Dreiecke
Gleichschenklige Dreicke
Gleichseitige Dreicke
Trigonometrische Funktionen im allgemeinen Dreieck
Vierecke
Das allgemeine Viereck
Trapez
•
Parallelogramm
:
Rhombus (Raute)
Rechteck
Quadrat
Sehnenviereck
,.
Tangentenviereck
Regelmäßiges n-Eck
Kreis
Kreisgleichungen
IX
. . .
151
152
153
153
155
156
157
157
159
159
159
160
161
162
163
163
164
164
166
169
173
173
175
176
177
177
178
178
186
189
191
192
192
195
195
195
197
198
198
199
199
200
201
204
204
X
Inhaltsverzeichnis
3.2.7.2
3.2.7.3
3.2.7.4
3.2.7.5
3.2.7.6
3.2.7.7
3.2.7.8
3.2.7.9
3.2.7.10
3.2.7.11
3.2.8
3.2.8.1
3.2.8.2
3.2.8.3
3.2.8.4
3.2.9
Kreiseigenschaften
Kreis durch drei Punkte
Schnitt vom Kreis und Gerade
Kreisnormale
Abstand eines Punktes vom Kreis
Tangente in einem Punkt auf dem Kreis
Kreistangente von einem Punkt außerhalb des Kreises aus . . . .
Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise
Schnitt zweier Kreise
Längen-und Flächenberechnung am Kreis
Kegelschnitte
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Polarkoordinaten von Kegelschnitten
Kurven zweiter Ordnung
205
206
207
208
209
210
210
212
214
215
217
219
232
242
249
251
4.
Geometrie des Raumes (analytische Geometrie und
Stereometrie)
Koordinatensysteme
Geradlinige Koordinatensysteme
Schiefwinklige geradlinige Koordinatensysteme
Kartesisches Koordinatensystem
Krummlinige Koordinatensysteme
Kugelkoordinaten
Zylinderkoordinaten
Transformationen kartesischer Koordinaten
Parallelverschiebung
Drehungen
Analytische Geometrie des Raumes
•
Strecken und Winkel
Abstand zweier Punkte-Länge einer Strecke
Winkel zwischen zwei Strecken
Streckenteilung
Die Gerade
Parameterdarstellurig einer Geraden . . .
Gerade als Schnitt zweier Ebenen
'
Richungswinkel einer Geraden
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Parallele Geraden
Abstand zweier windschiefer Geraden
Schnitt zweier Geraden
DieEbene
Parameterdarstellung der Ebene
Koordinatengleichungen der Ebene
253
253
253
253
254
255
255
256
257
257
258
260
260
260
261
261
262
262
263
264
265
267
268
270
270
271
272
4.1
4.1.1
4.1.1.1
4.1.1.2
4.1.2
4.1.2.1
4.1.2.2
4.1.3
4.1.3.1
4.1.3.2
4.2
4.2.1
4.2.1.1
4.2.1.2
4.2.1.3
4.2.2
4.2.2.1
4.2.2.2
4.2.2.3
4.2.2.4
4.2.2.5
4.2.2.6
4.2.2.7
4.2.3
4.2.3.1
4.2.3.2
Inhaltsverzeichnis
4.2.3.3
4.2.3.4
4.2.3.5
4.2.3.6
4.2.3.7
4.2.3.8
4.3
4.4
4.4.1
4.4.1.1
4.4.1.2
4.4.1.3
4.4.1.4
4.4.1.5
4.4.1.6
4.4.1.7
4.4.1.8
4.4.2
4.4.2.1
4.4.2.2
4.4.2.3
4.4.2.4
4.4.3
4.4.3.1
4.4.4
4.4.4.1
4.4.4.2
4.4.4.3
4.4.4.4
4.5
4.5.1
4.5.2
4.5.2.1
4.5.2.2
4.5.3
4.5.4
4.5.5
4.5.6
4.5.7
4.5.8
4.5.9
4.5.10
4.5.11
4.5.12
Spezielle Ebenendarstellungen
Die Hessesche Normalform
Parallele Ebenen
Schnitt zweier Ebenen
Schnitt einer Geraden mit einer Ebene
Schnitt dreier Ebenen
Flächeninhalt von räumlichen Dreiecken und Parallelogrammen
Volumina und Oberflächen von Körpern (Stereometrie)
Polyeder
Prisma
Pyramide
Pyramidenstumpf
Tetraeder
Regelmäßige Polyeder
Keil
Obelisk
Prismoid (Prismatoid)
Zylinder
Schiefer Zylinder
Gerader Zylinder
Schiefer Kreiszylinder
Gerader Kreiszylinder
Kegel
Kreiskegel
Kugel
Vollkugel
Kugelausschnitt
•
Kugelabschitt (Kugelsegment oder Kugelkappe)
Kugelschicht
•
Flächen zweiter Ordnung
Allgemeine Flächen zweiter Ordnung
Hauptachsentransformation
Drehung
Parallelverschiebung
Ellipsoid
:
Einschaliges Hyperboloid
Zweischaliges Hyperboloid
Elliptischer Kegel
Elliptischer Zylinder
'
Hyperbolischer Zylinder
Parabolischer Zylinder
Elliptisches Paraboloid
Hyperbolisches Paraboloid
Allgemeine Diskussion der Flächen zweiter Ordnung
XI
273
275
278
279
281
282
....
283
284
284
284
287
288
290
290
292
293
294
295
295
296
296
297
300
301
305
305
306
307
307
308
308
309
309
310
310
311
313
314
315
316
317
318
319
320
XII
Inhaltsverzeichnis
4.6
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.6.4
4.6.5
4.6.5.1
4.6.5.2
4.6.5.3
Sphärische Trigonometrie (Geometrie der Kugeloberfläche) . .
Groß-und Kleinkreise auf der Kugel
Kugelzweieck (Kugelkeil)
Kugeldreieck
Rechtwinkliges Kugeldreieck
Entfernungsberechnung auf der Kugel (Erdoberfläche) . . . . .
Grundbegriffe
Kürzeste Entfernung zweier Orte - orthodrome Entfernung . . .
Loxodrome
322
322
323
324
329
330
330
331
333
5.
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.1.5
5.1.6
5.1.6.1
5.1.6.2
5.1.6.3
5.1.6.4
5.1.7
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
334
334
334
335
336
336
339
340
340
340
341
341
341
342
342
345
346
346
347
5.2.7
5.2.8
5.2.9
5.2.10
5.3
5.3.1
5.3.2
(Unendliche) Folgen, Reihen und Produkte
Reelle Zahlenfolgen
Grundbegriffe
Arithmetische Zahlenfolgen
Geometrische Zahlenfolgen
Konvergente Zahlenfolgen
Divergente Zahlenfolgen
Spezielle Grenzwerte
Geometrische Folgen
Gebrochen rationale Funktion in n
Grenzwerte bei stetigen Funktionen
Wichtige Grenzwerte
Grenzwerte von rekursiv definierten Zahlenfolgen
Unendliche Reihen
Konvergenz und Divergenz bei unendlichen Reihen
Die unendliche geometrische Reihe
Das Rechnen mit konvergenten Reihen
Alternierende Reihen (Leibniz'sche Reihen)
Absolute Konvergenz
Konvergenz- und Divergenzkriterien bei Reihen mit nichtnegativen Gliedern
Konvergenzkriterien für beliebige Reihen
Spezielle Reihen
Doppelreichen (Doppelsummen)
Multiplikation von Reihen
Unendliche Produkte
Konvergenz bei unendlichen Produkten
Absolute Konvergenz von unendlichen Produkten
6.
6.1
6.2
6.2.1
6.2.2
Reelle Funktionen einer Variablen . . .
Grundbegriffe
Grenzwerte einer Funktion
Allgemeine Grenzwerte
Praktische Berechnung von Grenzwerten
364
364
369
369
372
348
351
352
355
357
359
359
362
Inhaltsverzeichnis
6.2.3
6.2.3.1
6.2.3.2
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.3.4
6.4
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.4.4
6.4.5
6.4.6
6.4.7
6.4.8
6.4.9
6.4.10
6.4.11
6.4.12
6.4.13
6.4.14
6.4.15
6.4.16
6.4.17
6.5
6.5.1
6.5.2
6.5.2.1
6.5.2.2
6.5.2.3
6.5.2.4
6.5.2.5
6.5.3
6.5.4
6.5.4.1
6.5.4.2
6.5.4.3
6.5.4.4
6.5.4.5
XIII
Grenzwertbestimmung nach der Regel von Bernoulli- L'Hospital
(unbestimmte Ausdrücke)
373
Die Regel von Bernoulli-L'Hospital
373
Behandlung weiterer unbestimmter Ausdrücke
375
Stetige Funktionen
377
Der Begriff der Stetigkeit
377
Unstetigkeitsstellen
379
Hebbare Unstetigkeiten (Definitionslücken)
381
Eigenschaften stetiger Funktionen
383
Die Ableitung einer Funktion
384
Differenzenquotient
384
Einseitige Ableitungen
385
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle
385
Ableitungsfunktion
388
Ableitungsregeln
388
Logarithmische Ableitung
391
Eigenschaften differenzierbarer Funktionen (Mittelwertsätze) . 392
Das Differential einer Funktion
393
Höhere Ableitungen
395
Differentiale höhere Ordnung
397
Ableitungen einer in Parameterdarstellung gegebenen
Funktion
398
Ableitungen einer in Polarkoordinaten vorgegebenen Funktion . 399
Ableitungen einer impliziten Funktion
401
Taylor-Polynome und Taylor-Reihen
401
Kurvendiskussion . . •
405
Krümmung und Krümmungskreis
412
Die Elastizität einer Funktion
417
Elementare Funktionen
418
Einteilung der elementaren Funktionen
"
418
Ganze rationale Funktionen (Polynome)
419
Konstante Funktion
419
Lineare Funktion
419
Quadratische Funktion
419
Kubische Parabel
420
Polynome n-ten Grades
422
Gebrochene rationale Funktionen
426
Allgemeine Potenzfunktionen f (x) = x " ; a £ R
433
DiePotenzfunktioneny = x n ; n G N
433
Wurzelfunktionen y = Vx
434
Potenzfuntionen mit beliebigen positiven Exponenten
437
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten
437
Eigenschaften der Funktionen y = x"
438
XIV
Inhaltsverzeichnis
6.6
Exponentialfunktion und logarithmische Funktionen
6.6.1
Die allgemeine Exponentialfunktion
6.6.2
Die e-Funktion y = ex (spezielle Exponentialfunktion)
6.6.3
Der natürliche Logarithmus
6.6.4
Der allgemeine Logarithmus
6.7
Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen)
6.7.1
Definition der trigonometrischen Funktionen
6.7.2
Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen . . . .
6.7.2.1 Rückführung auf Winkel zwischen 0 und 90°
6.7.2.2 Umrechnungsformel für den gleichen Winkel
6.7.3
Additionstheoreme
6.7.4
Die allgemeine Sinusfunktion
6.7.5
Ableitungen
6.8
Zyklometrische Funktionen (Arcusfunktionen)
6.8.1
Arcussinus
6.8.2
Arcuskosinus
6.8.3
Arcustangens
6.8.4
Arcuskotangens
6.8.5
Beziehungen zwischen zyklometrischen Funktionen
6.9
Hyperbolische Funktionen (Hyperbelfunktionen)
6.10
Inverse Hyperbelfunktionen (Areafunktionen)
6.10.1 Areasinus (Area Sinus hyperbolicus)
6.10.2 Areakosinus (Area Cosinus hyperbolicus)
6.10.3 Areatangens
6.10.4 Areakotangens
6.10.5 Beziehungen zwischen den Areafunktionen
6.11
Integralrechnung
6.11.10. Das bestimmte Integral
6.11.2 Die Integralfunktion
6.11.3 Stammfunktion und unbestimmtes Integral
6.11.4 Integrationsregeln
6.11.4.1 Partielle Integration
6.11.4.2 Substitutionsmethode (Integration durch Substitution)
6.11.5 Grundintegrale
6.11.6 Klassen integrierbarer Funktionen
6.11.6.1 Integration rationaler Funktionen
6.11.6.2 Integration spezieller irrationaler Funktionsklassen
6.11.7 Integrale, die nicht durch elementare Funktionen darstellbar
sind
6.11.8 Uneigentliche Integrale
6.11.8.1 Uneigentliche Integrale über unendliche Intervalle
6.11.8.2 Uneigentliche Integrale nicht beschränkter Funktionen
6.11.9 Anwendungen der bestimmten Integrale
6.11.9.1 Flächeninhalte ebener Bereiche
439
439
441
442
445
446
446
449
449
450
450
454
455
459
459
461
462
464
465
468
472
472
474
475
477
478
480
480
485
485
487
488
490
494
495
495
498
506
508
509
514
517
517
Inhaltsverzeichnis
6.11.9.2
6.11.9.3
6.11.9.4
6.11.9.5
6.11.9.6
Bogenlänge
Mantelflächen von Rotationskörpern
Volumenberechnung aus Querschnittsflächen
Volumen von Rotationskörpern
Schwerpunkte und statistische Momente (Momente 1. Ordnung)
6.11.9.7 Die Guldnischen Regeln bei homogenen Rotationskörpern . . .
6.11.9.8 Trägheitsmomente (Momente 2. Ordnung)
6.11.10 Numerische Integration (Quadratur)
6.11.10.1 Approximation durch Interpolationspolynome
6.11.10.2 Newton-Cotes-Formeln für äquidistante Stützstellen
6.11.11 Parameterabhängige Integrale
6.11.11.1 Allgemeine parameterabhängige Integrale
6.11.11.2 Die Gammafunktion (Eulersches Integral zweiter Gattung) . .
6.11.11.3 Die Betafunktion (Eulersches Integral erster Gattung)
6.12
Funktionenfolgen und Funktionenreihen
6.12.1 Funktionenfolgen
6.12.2 Allgemeine Funktionsreihen
6.12.3 Potenzreihen
6.12.4 Fourier-Reihen und Fourier-Entwicklung
6.12.4.1 Fourier-Reihen
6.12.4.2 Fourier-Koeffizienten einer Funktion f
6.12.4.3 Fourier-Entwicklung einer Funktion mit der Periode 2 n
6.12.4.4 Fourier-Entwicklung einer Funktion mit der Periode 2 T
6.12.4.5 Fourier-Entwicklung einer Funktion in einem Intervall (a,b) . .
6.12.5 DasFourier-Integral
7.
7.1
7.2
7.3
7.4
7.4.1
7.4.1.1
7.4.1.2
7.4.2
7.4.3
7.4.4
7.4.5
7.4.6
7.4.7
7.4.8
7.4.9
Funktionen von zwei Variablen
Der Funktionsbegriff
Grenzwert einer Funktion
•
Stetigkeit
Differentiation
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitung erster Ordnung
Partielle Ableitungen höherer Ordnung .
Totales (vollständiges) Differential und Tangentialebene . . . .
Vollständige Differenzierbarkeit
Richtungsableitung und Gradient
Differentation mittelbarer Funktionen (verallgemeinerte
Kettenregel)
Auflösbarkeit und Ableitung impliziter Funktionen
Zwischenwertsatz
Taylorentwicklung
Relative Extremwerte und Sattelpunkte
XV
521
523
527
529
532
540
542
549
549
550
555
555
556
557
558
558
560
562
566
566
566
567
570
571
572
574
574
575
577
578
578
578
580
581
582
583
586
587
589
589
590
XVI
7.4.10
4.7.11
7.4.12
7.5
7.6
7.6.1
7.6.2
7.6.3
7.6.4
7.6.4.1
7.6.4.2
7.6.4.3
7.6.4.4
7.6.4.5
7.6.4.6
7.6.4.7
7.6.4.8
8.
8.1
8.2
8.3
8.4
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.4.4
8.4.5
Inhaltsverzeichnis
Extremwerte unter einer Nebenbedingung
Differenzierbarkeit Abbildungen ebener Bereiche
Partielle Elastizitäten
Homogene Funktionen
Integralrechnung bei Funktionen zweier Veränderlicher . . . . .
Gebietsintegrale (Flächenintegrale)
Zweifache Integrale (Doppelintegrale)
Variablentransformation bei Gebietsintegralen
Anwendungen von Gebietsintegralen
Volumenberechnung
Flächeninhalt eines Gebiets
Inhalt eines räumlichen Flächenstücks (vgl. 9.5.3)
Masse und Scherpunkte ebener Gebiete
Masse und Schwerpunkte eines räumlichen Flächenstücks . . . .
Trägheitsmomente eines ebenen Gebiets
Trägheitsmomente eines räumlichen Flächenstücks
Weitere Anwendung von Gebietsintegralen
Funktionen mehrerer Veränderlicher
Der Funktionsbegriff
Grenzwert einer Funktion
Stetigkeit
Differentiation
Partielle Ableitungen
Totales (vollständiges) Differential
Vollständige Differenzierbarkeit
Richtungsableitung und Gradient
Differentiation mittelbarer Funktionen (verallgemeinerte
Kettenregel)
•
8.4.6
Differenzierbare Abbildungen
8.4.7
Auflösung und Ableitung impliziter Funktionen und Funktionensysteme
8.4.8
Mittelwertsatz
8.4.9
Taylorentwicklung
8.4.10 Relative Extremwerte
8.4.11 Extremwerte unter Nebenbedingungen
8.5
Homogene Funktionen
8.6
Integralrechnung bei Funktionen von drei Veränderlichen . . . .
8.6.1
Raumintegrale
,
8.6.2
Dreifachintegrale Berechnung der Raumintegrale
8.6.3
Variablentransformation bei Dreifachintegralen
8.6.4
Anwendungen von Raumintegralen
8.6.4.1 Volumenberechnung
592
594
598
598
599
599
602
604
606
606
607
608
609
610
610
610
610
611
611
611
612
613
613
614
615
615
616
617
618
619
619
620
621
622
623
623
624
625
625
625
Inhaltsverzeichnis
XVII
8.6.4.2 Masse und Schwerpunkt eines Körpers
8.6.4.3 Trägheitsmomente eines Körpers
8.6.4.4 Massenanziehung
9.
9.1
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
9.1.5
9.1.6
9.1.7
9.1.8
9.1.9
9.1.10
9.2
9.2.1
9.2.2
9.2.3
9.2.4
9.2.5
9.2.6
9.2.7
9.2.8
9.2.9
9.3
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.3.4
9.3.4.1
9.3.4.2
9.3.4.3
9.3.5
9.3.5.1
9.3.5.2
9.3.5.3
9.3.5.4
9.3.6
9.3.7
9.4
9.5
9.5.1
Differentialgeometrie und Vektoranalysis
Raumkurven und ebene Kurven
Definition einer Raumkurve
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Bogenlänge
Tangenteneinheitsvektor
Normalebene
Schmiegebene
Hauptnormale und Krümmung
Binormalvektor und rektifizierende Ebene
Torsion Windung
Frenetsche Formeln
Ebene Kurven
Definitionsmöglichkeiten einer ebenen Kurve
Ableitungen
Tangenten und Normalenvektor
Bogenlänge
Krümmung
Singuläre Punkte
Evolute
Evolventen
Einhüllende (Enveloppe) einer Kurvenschar
Spezielle ebene Kurven
Algebraische Kurven erster und zweiter Ordnung
Algebraische Kurven dritter Ordnung
Algebraische Kurven vierter Ordnung
Zyklische Kurven (Rollkurven)
Zykloiden
Epizykloiden
Hypozykloiden
Spirallinien
Archimedische Spirale
Hyperbolische Spirale
'.
Logarithmische Spirale
Klothoide (Spinnlinie)
Kettenlinie
Traktix (Schleppkurve)
'
Zylindrische Schraubenlinie
Flächen
Flächengleichung
626
627
628
. . .
629
629
629
630
632
633
634
635
635
637
637
638
639
639
639
639
640
641
641
643
644
644
645
645
645
648
653
653
656
661
665
665
667
668
669
670
670
671
673
673
XVIII
9.5.2
9.5.3
9.5.4
9.5.5
9.6
9.6.1
9.6.2
9.6.3
9.7
9.7.1
9.7.2
9.7.3
9.8
9.8.1
9.8.2
9.9
9.10
9.10.1
9.10.2
9.10.3
9.11
9.11.1
9.11.2
10.
10.1
10.2
10.2.1
10.2.2
10.2.3
10.2.4
10.2.5
10.3
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.3.4
10.3.5
10.3.6
10.3.7
Inhaltsverzeichnis
Tangentialebene und Normalvektor
Flächeninhalt
Bogenelement einer auf der Fläche liegenden Kurve
Singuläre Flächenpunkte
Skalare Felder, Vektorfelder, Gradient und Potential
In kartesischen Koordinaten
Vektorfelder in Zylinderkoordinaten (Polarkoordinaten) . . . .
Vektorfelder in Kugelkoordinaten
Kurvenintegrale (Linienintegrale)
Das Kurvenintegral über ein Skalarfeld (Linienintegral 1. Art) .
Kurvenintegrale (Linienintegrale) 2. Art in ebenen Vektorfeldern
Kurvenintegrale (2. Art) in räumlichen Vektorfeldern
Oberflächenintegrale (Flächenintegrale)
Oberflächenintegrale 1. Art
Oberflächenintegrale 2. Art in räumlichen Vektorfeldern . . . .
Volumenintegrale
Divergenz, Zirkulation und Rotation
Divergenz eines Vektorfeldes
Zirkulation
Rotation eines Vektorfeldes
Integralsätze
Der Gaußsche Integralsatz
Der Stokessche Integralsatz
674
676
677
678
679
679
680
682
683
683
Lineare Algebra
Vektorräume (lineare Räume)
Matrizen und Determinanten
,
Matrizenoperationen
Der Rang einer Matrix
Determinanten
Inverse Matrix (Kehrmatrix)
Orthogonale Matrizen
Lineare Gleichungssysteme
Darstellung linearer Gleichungssysteme
Lösbarkeitskriterium
Lösungsmengen des homogenen und inhomogenen Systems . . .
Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung eines linearen
Gleichungssystems
Berechnung der inversen Matrix
Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe der inversen
Matrix
Cramersche Regel für m = n
698
698
698
698
702
703
706
707
707
707
708
708
685
688
691
691
692
694
695
695
696
969
697
697
697
709
712
713
714
Inhaltsverzeichnis
XIX
10.4
10.4.1
10.4.2
10.4.3
10.4.4
10.4.4.1
10.4.4.2
10.4.5
10.5
10.5.1
10.5.2
10.5.3
10.5.4
10.5.5
Lineare Abbildungen (Transformationen) von Vektorräumen . .
Grundbegriffe
Matrix einer linearen Abbildung
Verknüfpungen von linearen Abbildungen
Koordinatentransformationen
Transformationen bei beliebigen Basen
Transformationen bei orthonormalen Basen
Abbildungen bzgl. verschiedener Basenpaare
Eigenwerte und Eigenvektoren
Definition der Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenschaften
Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer reeller Matrizen .
Hauptachsentransformation symmetrischer Matrizen
Hauptachsentransformation quadratischer Formen
714
715
715
716
717
718
719
720
721
721
722
722
723
724
11.
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.6.1
11.6.2
11.6.3
11.6.4
11.6.5
Lineare Optimierung (Programmierung)
Allgemeine Problemstellung
Geometrische Lösung bei zwei Variablen
Mathematische Formulierung des allgemeinen Problems
Einführung von Schlupfvariablen
Kanonische Form
Simplexverfahren (Simplexalgorithmus)
Ausgangstableau aus einer zulässigen kanonischen Form
Basisaustauschverfahren für das Problem z = Min
Praktische Durchführung des Simplexverfahrens
Beispiele
Duales Problem
'
726
726
726
728
729
731
732
732
734
735
739
742
12.
12.1
12.2
12.2.1
12.2.2
12.2.3
12.2.3.1
12.2.3.2
12.2.3.3
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung
Explizite Differentialgleichungen 1. Ordnung
Das Richtungsfeld . . . .,
Existenz und Eindeutigkeitssätze
Spezielle integrierbare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . .
Trennung der Veränderlichen
.'
DieDifferentialgleichungy'=f(ax + by + c)
Gleichungen mit homogenen Faktoren Ahnlichkeitsdifferentialgleichung mit f (kx,Xy) = f (x,y)
12.2.3.4 Die Differentialgleichung y' = f (
A x + By + C
ax + by + c
12.2.3.5 Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
12.2.3.6 Bernoullische.Differentialgleichung
12.2.3.7 Die Riccatische Differentialgleichung
)
....
....
745
745
745
745
746
747
747
748
749
750
752
755
756
XX
Inhaltsverzeichnis
12.2.3.8 Exakte (vollständige) Differentialgleichung
756
12.2.3.9 Integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator)
758
12.2.4 Singuläre Punkte der expliziten Differentialgleichung
y' = f(x,y)
761
12.3
Die implizite Differentialgleichung 1. Ordnung F(x,y,y') = 0 . . 764
12.3.1 Nach y'auflösbare Gleichungen y ' = f(x,y)
764
12.3.2 Reguläre und singuläre Linienelemente
765
12.3.3 Nach y auflösbare Gleichungen
766
12.3.3.1 DieDifferentialgleichungy = g(x,y')
766
12.3.3.2 DieDifferentialgleichungy = g(y')
767
12.3.3.3 Die Clairautsche Differentialgleichung
768
12.3.3.4 Died'AlembertscheDifferentialgleichung
768
12.3.4 Nach x auflösbare Gleichung x = g(y,y')
769
12.4
Systeme expliziter Differentialgleichungen 1. Ordnung
771
12.4.1 Allgemeine Systeme
771
12.4.2 Systeme linearer Differentialgleichungen
772
12.4.2.1 Das homogene lineare System
773
12.4.2.2 Das inhomogene System
774
12.4.2.3 Das Reduktionsverfahren von d'Alembert
774
12.4.2.4 Lineare Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . 776
12.5
Die explizite Differentialgleichung höherer Ordnung
779
12.5.1 Existenz-und Eindeutigkeitssatz
779
12.5.2 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung
780
12.5.2.1 Die allgemeine lineare Differentialgleichung
780
12.5.2.2 Die homogene lineare Differentialgleichung
781
12.5.2.3 Die inhomogene lineare Differentialgleichung
781
12.5.2.4 Die Reduktionsmethode von d'Alembert
783
12.5.2.5 Homogene lineare Differentialgleichung mit vorgegebenen
Lösungen
784
12.5.2.6 Lösung durch Potenzreihenansatz
'
785
12.5.3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . 786
12.5.3.1 Die homogene Gleichung
785
12.5.3.2 Die inhomogene Gleichung
787
12.5.4 DieEulerscheDifferentialgleichung
790
12.5.5 Spezielle lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
792
12.5.5.1 Die Besselsche Differentialgleichung
792
12.5.5.2 Die Legendresche Differentialgleichung
795
12.5.5.3 DieLaguerrescheDifferentialgleichung
797
12.5.5.4 Die Hermetische Differentialgleichung
798
12.5.5.5 DieTschebyscheffscheDifferentialgleichung
798
12.6
Randwertaufgaben
800
12.6.1 Allgemeine Randwertaufgaben
800
12.6.2 Lineare Randwertaufgaben bei linearen Differentialgleichungen
n-ter Ordnung
801
Inhaltsverzeichnis
12.6.2.1
12.6.2.2
12.6.2.3
12.7
12.8
12.8.1
12.8.2
12.8.3
12.8.4
12.8.5
12.8.6
Lösungsmöglichkeiten beim allgemeinen Randwertproblem . .
Die Greensche Funktion
Selbstadjungierte Randwertprobleme
Eigenwertaufgaben
Numerische Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungen .
Euler-Cauchyscher Polygonzug
Verfahren von Heun
Klassisches Runge-Kutta-Verfahren
Allgemeiner Ansatz für Runge-Kutta-Verfahren
Verfahren der schrittweisen Verbesserung
Prädiktor-Korrektur Verfahren
XXI
801
803
807
810
812
812
814
815
815
816
817
Anhang: Tabellen
I. Ableitungen
II. Unbestimmte Integrale
III. Bestimmte und uneigentliche Integrale
819
819
821
855
Register
864