Praktikum II - hanno
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Praktikum II TE: Thermische Emission Betreuer: Waldemar Kaiser Hanno Rein Florian Jessen [email protected] [email protected] 31. März 2004 Made with LATEX and Gnuplot Praktikum II TE: Thermische Emission 1 Seite 1 von 9 Vorwort Die Erzeugung von Elektronenstrahlen spielt eine große Rolle. Eine Möglichkeit nutzt die thermische Emission. Dieses Verfahren wird beispielsweise in den Röhren von Fernsehern und “älten“ PC-Monitoren verwendet. 2 2.1 Grundlagen Kennlinie einer Glühdiode Ab einer bestimmten Temperatur können Elektronen aus der heißen Kathode austreten. Da diese in der Regel einen Energieüberschuß haben, können sie ein schwaches Gegenfeld, gegeben durch eine Spannung UG überwinden. Es gilt nun für den so entstehenden Anlaufstrom ef f e·U G kB T − IA (UG , T ) = IS (T ) · e (1) wobei kB die Boltzmann-Konstante, e die Elemantarladung, T die absolute Temperatur und IS (T ) ≡ IA (0, T ) der temperaturabhängige Sättigungsstrom ist. Sorgt man nicht dafür, dass die Elektronen abgeführt werden, so entsteht um die Kathode eine Elektronenwolke, die weitere Elektronen daran hindert das Metall zu verlassen. Diesen Bereich der Kennlinie nennt man daher Raumladungsbereich. Den Sättigungsstrom erhält man aus der Richardson-Dushman-Gleichung: Wk BT −k IS (T ) = A0 F T 2 · e (2) A0 ist dabei eine Konstante und F die Oberfläche der Kathode. 2.2 Bestimmung der Kathoden-Temperatur aus der Kennlinie Die Temperatur der Kathode lässt sich mit den bekannten Größen nur aus dem Anlaufbereich bestimmen. Es gilt hier nach (1) und (2) Wk BT −k IA (UG , T ) = A0 F T 2 · e − ·e ef f e·U G kB T (3) Da durch Angleichung der Fermi-Niveaus von Anode und Kathode eine Kontaktspannung auftritt, wird die Messung verfälscht. Es gilt jedoch ef f e · UG = e · UG − WK + WA (4) Ein weiterer Fehler tritt durch den Innenwiderstand des Amperemeters auf. Dieser wird wie folgt korrigiert UG = UG,M ess + RAmperemeter · IA (5) Berücksichtigt man nun die Korrekturen nach (4) und (5), so erhält man − IA (UG , T ) = A0 F T 2 · e e·UG +WA kB T (6) beziehungsweise ln IA (UG , T ) = ln A0 F T 2 − WA e · UG − kB T kB T (7) Das bedeutet, dass im logarithmischen Diagramm die Kurve zu einer Geraden wird, deren Steigung durch e m=− (8) kB T gegeben ist. 2.3 Bestimmung der Anoden-Austrittsarbeit Ist die Temperatur der Kathode bekannt, so lässt sich mit Hilfe von (6) die Anoden-Austtrittsarbeit berechnen A0 F T 2 WA = kB T · ln (9) IA (0, T ) Praktikum II TE: Thermische Emission 2.4 Seite 2 von 9 Schottky Effekt V Erhöht man die elektrische Feldstärke E auf Werte |E| > 105 m , so stellt man fest, dass der Emissionstrom weiter steigt, obwohl das Sättigungsplateau des Stroms bereits erreicht wurde. Die tatsächlich zu überwindende Austrittsarbeit W der Elektronen wird bei starken elektrischen Feldern verringert. Dies hat folgende Gründe: • Ist ein Elektron bereits außerhalb des Metalls, so wirkt auch dort noch eine rücktreibende Kraft FB . Die Kraft wird Bildkraft genannt und rührt daher, dass das Elektron auf der Metalloberfläche positive Ladungen induziert. Das elektrische Feld verhält sich so, also ob sich eine positive Ladung e+ im Metall befindet: Abbildung 1: Spiegelladung durch Influenz bewirkt Bildkraft Die Ladung wird somit durch die Coulombkraft zum Metall zurück gezogen: FB 1 q1 q2 · 4π0 r2 e2 = − 16π0 x2 = − (10) (11) Somit ist das Bildkraftpotential WB (x) Z WB (x) = W0 − WBlind = W0 − − x = W0 − ∞ e2 dx 16π0 x2 e2 16π0 x (12) (13) • Hinzu kommt noch das äußere Feld E, das die potentielle Energie WE (x) = −eEx liefert. Überlagert man beide Effekte, so gilt für die Austrittsarbeit in Abhängigkeit des Abstandes: W (x) = WE (x) + WB (x) (14) 2 = −eEx + W0 − e 16π0 x (15) Der Abstand xmax bei dem die Austrittsarbeit maximal ist, folgt aus der Bedingung dW (x) dx xmax e2 = −eE + =0 16π0 x2 r e = 160 πE Somit ist die maximale Austrittsarbeit, die es zu überwinden gilt: s e3 E Wmax = W0 − W (xmax ) = W0 − 40 π (16) (17) (18) Praktikum II TE: Thermische Emission Seite 3 von 9 Man sieht, dass ein starkes elektrisches Feld, die Austrittsarbeit erniedrigt. Dies führt zu der beobachtbaren Erhöhung des Emissionsstroms: WA 2 Is (T, E) = AF T exp − (19) kB T q e3 E W0 − 4 π 0 (20) = AF T 2 exp − kB T q 3 e E W0 40 π = AF T 2 exp − · exp (21) kB T kB T q 3 Is (T, E) 2.5 = Is (T, E = 0) · exp e E 40 π kB T (22) Grauer Strahler - Schwarzer Strahler Ein schwarzer Strahler ist ein Körper, der alle auf ihr einfallende Strahlung absorbiert. Es gilt daher für das Absorbtionsvermögen A= absorbierte Strahlungsenergie =1 auftreffende Strahlungsenergie (23) Gleichzeitig wird Energie mit einen charateristischen Spektrum auch abgestrahlt und es stellt sich ein thermisches Gleichgewicht ein. Der schwarze Strahler kann durch einen Hohlraumstrahler realisiert werden. Um die Gesammtenergie eines solchen Körpers zu bestimmen, integriert man über alle abgestrahlten Wellenlängen und erhält LS (T ) = σSB 4 T π (24) und das Stefan-Boltzmann Gesetz M S (T ) = σSB · T 4 (25) Dabei ist σSB = 5.67 · 10−8 Wm−2 K−4 die Stefan-Boltzmannn-Konstante. Graue Strahler haben einen geringeres Absorbtionsvermögen: M S (T ) = · σSB · T 4 (26) Praktikum II TE: Thermische Emission 3 3.1 Seite 4 von 9 Auswertung Messungen Zu drei gegebenen Heizströmen wurde die Kennlinie der Glühdiode im Anlaufbereich ausgemessen. Es ergeben sich die folgenden Diagramme mit den Ausgleichskurven der Form exp(m · x + c). Dabei wurden die Randwerte nicht berücksichtigt, da hier Fehler durch die Erwärmung der Anode, sowie durch die Raumladungen auftreten. Die Kathodentemperatur wurde nach (8) bestimmt, der zugehörige Fehler über die Fehlerfortpflanzung nach ∆T = e ∂ · ∆m T · ∆m = ∂m kB · m2 . Abbildung 2: Heizstrom 450 mA m = −12.2314 ± 0.2158, c = 7.0381 ± 0.06671 Kathodentemperatur (949.09 ± 16, 74)K Praktikum II TE: Thermische Emission Abbildung 3: Heizstrom 500 mA m = −10.9717 ± 0.1773, c = 8.8999 ± 0.07943 Kathodentemperatur (1058.06 ± 17, 10)K Abbildung 4: Heizstrom 550 mA m = −10.8972 ± 0.1504, c = 10.7193 ± 0.09811 Kathodentemperatur (1065.29 ± 14, 70)K Seite 5 von 9 Praktikum II TE: Thermische Emission Seite 6 von 9 Die Austrittsarbeit an der Anode wurde gemäß (9) berechnet. Der Fehler ergibt sich mit s 2 2 ∂ ∂ ∆WA = WA · ∆T + WA · ∆IA ∂T ∂IA (0, T ) Für IS (0, T ) wurde der Schnittpunkt der Ausgleichskurve mit der Ordinate berechnet, um die Randeffekte zu eliminieren. Abbildung 5: Austrittsarbeit Man erkennt deutlich, dass im Rahmen der Messunsicherheiten nur eine geringe Temperaturabhängigkeit feststellbar ist. Heizstrom [mA] 450 500 550 Kathodentemperatur [K] 949.09 ± 1.74 1058.06 ± 17.10 1065.29 ± 14.70 Austrittsarbeit [eV] 1.36 ± 0.03 1.51 ± 0.03 1.51 ± 0.02 Praktikum II TE: Thermische Emission 3.2 Seite 7 von 9 Emissionswirkungsgrad Im Folgenden soll der Emissionswirkungsgrad einer Wolfram- und einer Oxidkathode bestimmt werden. Der Emissionswirkungsgrad ist wie folgt definiert η= Emissionsstrom IS = Heizleistung PH (27) Mit der Richardson-Gleichung und dem Boltzmann-Gesetz ergibt sich WK BT −k IS (T ) = AR F T 2 · e P = σF T 4 − η = (28) (29) WK AR · e kB T σT 2 (30) Dabei ist der spektrale Emissionsgrad des Körpers, σ = 5.6705 · 10−12 cmW 2 K 4 die Konstante des StafanNoltzmann-Gesetzes, F die Fläche der Kathode und AR wiederum eine Materialkonstante. Um hiermit den Emissionswirkungsgrad zu bestimmen, muss die Temperatur der Kathode bekannt sein. Man erhält diese aus der geforderten Stromdichte mit Hilfe der Richardsom-Dushmann-Gleichung WK BT −k js = CRD T 2 · e ln js − ln CRD WK = 2 ln T − kB T (31) (32) CRD = AR = 60 cmA 2 K 2 ist hierbei die Richardson-Dushmann-Konstante. Betrachtet man diese Gleichung als Funktion von T , so muss gelten 2 ln T − WK − ln js + ln CRD = f (T ) = 0 kB T (33) (34) D.h. man muss eine Nullstelle bestimmen. Ein geeignetes nummerisches Verfahren stammt von Newton. Die Ableitung der Funktion lautet 2 WK d f (T ) = + dT T kB T 2 (35) Man erhält so für die Wolfram Kathode eine Temperatur von TW olf ram = 2656.85K. Damit ist der EmisA sionswirkungsgrad bestimmt zu ηW olf ram = 7.015·10−3 W Analog kann die Rechnung für die Oxidkathode A durchgeführt werden. Man erhält TOxi = 1183.48Kund ηOxi = 236.569 · 10−3 W . Praktikum II TE: Thermische Emission Seite 8 von 9 Anhang - Orginal Messdaten Heizstrom U [mV] 1150 1090 1030 977 920 863 805 748 690 631 575 518 461 402 345 287 230 175 114 57 0 450mA I [µA] 0.00135 0.0028 0.0048 0.00785 0.014 0.026 0.0498 0.0941 0.2 0.42 0.81 1.82 3.65 7.26 16.5 32.6 59.4 58 96 135 178 Heizstrom U [mV] 1409 1340 1269 1198 1128 1058 987 917 845 776 705 635 568 493 423 351 280 211 141 71 0 500mA I [µA] 0.0018 0.0034 0.006 0.0114 0.022 0.045 0.0945 0.22 0.496 1.18 2.64 5.77 13.8 31.4 65.2 74 126 185 249 317 390 Messbereich [Ohm] 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 10000 10000 10000 1000 1000 1000 100 100 100 10 10 10 10 Messbereich [Ohm] 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 10000 10000 1000 1000 1000 100 100 100 10 10 10 10 10 10 U [V] korrigiert 1.15 1.09 1.03 0.98 0.92 0.87 0.81 0.76 0.69 0.64 0.58 0.52 0.46 0.41 0.35 0.29 0.24 0.18 0.11 0.06 0.00 U [V] korrigiert 1.41 1.34 1.27 1.20 1.13 1.06 1.00 0.92 0.85 0.78 0.71 0.64 0.57 0.50 0.43 0.35 0.28 0.21 0.14 0.07 0.00 Praktikum II TE: Thermische Emission Heizstrom U [mV] 1623 1583 1509 1433 1351 1270 1191 1113 1032 953 872 794 715 635 555 475 397 313 236 156 81 0 550mA I [µA] 0.002 0.0028 0.005 0.009 0.019 0.0417 0.091 0.229 0.51 1.27 3.06 6.89 18.2 42.2 90.4 147 171 250 331 420 509 607 Messbereich [Ohm] 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 10000 10000 1000 1000 1000 100 100 100 10 10 10 10 10 10 10 Seite 9 von 9 U [V] korrigiert 1.62 1.58 1.51 1.43 1.35 1.27 1.20 1.12 1.04 0.95 0.88 0.80 0.72 0.64 0.56 0.48 0.40 0.32 0.24 0.16 0.09 0.01
