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12 Stoßprobleme
Stöße sind kurzzeitige Körperkontakte mit großen Kontaktkräften, die zu sprungförmiger
Änderung des Geschwindigkeitszustands führen. Theoretisch könnte man ein solches
Stoßproblem mit den bereits bekannten Methoden der Mehrkörperdynamik lösen, müßte
dazu aber ein Kraftgesetz am Berührpunkt definieren. Da Stöße jedoch in sehr kurzer Zeit
ablaufen und die dabei auftretenden Verformungen sehr klein sind, läßt sich das Vorgehen
durch Grenzübergang wesentlich vereinfachen.
Dabei vernachlässigt man die Verformungen und betrachtet die stoßenden Körper als starr.
Weiterhin betrachtet man die Stoßzeit als vernachlässigbar kurz, d.h. Dt ³ 0. Da die Körper
sich nur mit endlicher Geschwindigkeit bewegen, kann die Lageänderung während des
Stoßes vernachlässigt werden. Auch endlich große Kräfte wie Gewichtskräfte, Feder- oder
Dämpferkräfte erzeugen damit nur einen vernachlässigbar kleinen Kraftstoß. Die Stoßkräfte
im Kontaktpunkt und in Bindungen werden dagegen unendlich groß, so dass sie einen endlich großen Kraftstoß erzeugen, der Einfluß auf die Impuls- und Drallbilanzen der beteiligten
Körper hat.
Das rechnerische Vorgehen entspricht dem bei Mehrkörpersystemen: Zunächst schneidet
man die stoßenden Körper frei und ersetzt Kontakte und Bindungen durch äquivalente
Kraft- und Momentenstöße. Anschließend formuliert man Impuls- und Drallbilanzen, welche
die sonst üblichen Impuls- und Drallsätze ersetzen. Zusätzlich muss man an den Kontaktstellen ein Stoßgesetz für die Differenzgeschwindigkeiten der Kontaktpunkte in Normalenrichtung vor und nach dem Stoß formulieren. Dies führt auf ein System von linearen Gleichungen, das mit den Hilfsmitteln der linearen Algebra zu lösen ist.
Bezeichnungen:
C1
Index
Bezeichnung
−, +
Zeitpunkt unmittelbar vor (t −)
bzw. nach (t +) dem Stoß
1, 2, ...
T, N
T
P
P
C2
N
stoßender Körper
Tangential- und NormalenRichtung
Kontaktpunkt
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12 Stoßprobleme
12.1 Stoßarten
Stöße lassen sich hinsichtlich ihrer Kinematik und Werkstoffpaarung klassifizieren:
zentrischer Stoß
C1
exzentrischer Stoß
C1
C2
N
Schwerpunkte liegen
auf Stoßnormale
N
C2
gerader Stoß
C1
v*
1
C2
v*
2
N
Schwerpunktsgeschwindigkeiten
in Richtung Stoßnormale
v*
2
schiefer Stoß
C1
C2
N
F
N
F
N
v*
1
glatter Stoß
rauer Stoß
F
F
Kontaktkräfte in
Normalenrichtung
tangentiales Haften
elastischer Stoß: Erhaltung der kinetischen Energie T ) + T *
)
)
plastischer Stoß: Körper bleiben im Berührpunkt haften ³
v PN2 + ³
v PN1
12 Stoßprobleme
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12.2 Grundgleichungen
M, I C
Einführendes Beispiel: Exzentrischer Stoß einer Kugel
auf einen Stab
l
m
v0
t * : unmittelbar
vor dem Stoß
t ) + t * ) Dt : unmittelbar
nach dem Stoß
Stoß
Fc
w2
v2
FS
FS
v1
Impulssatz:
.
mv 1 + * F S
.
Mv 2 + F S * F c
Drallsatz:
.
I Cw 2 + l F S
2
Integration über Stoßintervall
Impulsbilanzen:
Drallbilanz:
*
mv )
1 + mv 1
* Dp
*
Mv )
2 + Mv 2
) Dp
l
*
I Cw )
2 + I Cw 2 ) 2 Dp
mit Dp +
ŕ
t)
t*
F Sdt
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12 Stoßprobleme
Werkstoffpaarung am Berührpunkt P:
elastischer Stoß ³ Energiebilanz T ) + T *
1 mv )2 ) 1 Mv )2 ) 1 I w )2 + 1 mv *2 ) 1 Mv *2 ) 1 I w *2
1
2
1
2
2
2
2 C 2
2
2
2 C 2
* Ǔ
* Ǔ
Ǔ+0
³ mǒv )
) Mǒv )
) ICǒw )
* w *
1 * v1
2 * v2
2
2
2
2
³ mǒv )
1 −v 1
2
2
2
2
*
Ǔǒv)
Ǔ
ǒ ) *Ǔǒ ) *Ǔ
ǒ ) *Ǔǒ ) *Ǔ
1 +v 1 ) M v 2 −v 2 v 2 +v 2 ) I C w 2 −w 2 w 2 +w 2 + 0
*
*
*
Ǔ ǒ ) *Ǔ l ǒ )
Ǔ
³ * ǒv )
1 ) v1 ) v2 ) v2 ) 2 w2 ) w2 + 0
³
ǒv)2 ) 2l w)2 Ǔ * v)1
+*
ƪǒv
*
2 )
*
)
³ v)
P2 * v P1
ƫ
Ǔ
l w * * v*
1
2 2
*
+ * [v P2 * v P1]
oder
*
Dv )
P + * Dv P
plastischer Stoß
Dv )
P +0
³ Haften am Kontaktpunkt nach dem Stoß:
allgemeiner Stoß ³ voneinander Lösen mit partiellem Energieverlust
*
Dv )
P + * eDv P
mit
0 v e v 1:
e+1
elastisch
e+0
plastisch
0 t e t 1 teilelastisch, teilplastisch
Allgemeines Vorgehen zur Lösung von Stoßaufgaben
1)
Zeichnen des Systems in der Stoßkonfiguration und Festlegen aller Geschwindigkei*
*
ten v i , w i unmittelbar vor dem Stoß
2)
Freischneiden aller Körper, Ersetzen der Kontaktstellen und Bindungen durch unbekannte Kraftstöße Dp k + F kdt und Momentenstöße DL k + M kdt
!
(Beachte actio + reactio, Nicht−Stoßkräfte werden vernachlässigt)
3)
Formulierung der Grundgleichungen für alle Körper und Stoßpaarungen:
ŕ
ȍ Dpk
*
ȍǒrkȀ
L)
i + Li )
*
Impulsbilanz: p )
i + pi )
Drallbilanz:
ŕ
mit p + mv C
Dp k ) DL kǓ mit L + I Cw, C: Schwerpunkt
oder L + I Ow, O: Fixpunkt
Werkstoff:
*
Dv )
P + * eDv P
Stoßzahl
4)
mit 0 v e v 1
e + eǒ Werkstoffe, Kontaktgeometrie, Stoßgeschwindigkeiten Ǔ
Elimination der Kraft- und Momentenstöße, Berechnung der Geschwindigkeiten nach
dem Stoß
12 Stoßprobleme
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12.3 Stoßbeispiele
Gerader, zentrischer Stoß zweier Kugeln
*
*
v1 u v2
C2
C1
m1
m2
³ v)
1 +
*
*
*
*
1
ƪm 1v 1 ) m 2v 2 ) m 2e(v 2 * v 1 )ƫ
m1 ) m2
v)
2 +
*
*
*
*
1
ƪm 1v 1 ) m 2v 2 * m 1e(v 2 * v 1 )ƫ
m1 ) m2
speziell:
plastischer Stoß: e + 0
*
m 1v *
1 ) m 2v 2
)
)
³ v1 + v2 +
m1 ) m2
gleich große elastische Kugeln: e + 1, m 1 + m 2
*
*
)
³ v)
1 + v2 , v2 + v1
Haften nach dem Stoß
Geschwindigkeitsaustausch
*
elastische Kugel gegen stehende Wand: e + 1, m 2 ³ R, v 2 + 0
m1 * m2 *
*
³ v)
Rückprall
1 + lim m ) m v 1 + * v 1
m2³R 1
2
Elastischer, glatter, schiefer, zentrischer Stoß einer Kugel gegen eine Wand
v0
m
Dp N
v N1
2
C1
v T1
a
Impulsbilanz in Normalenrichtung
Tangentialrichtung
Werkstoffpaarung (e + 1)
*
³ v)
T1 + v T1 + v 0 sin a
*
v)
N1 + * v N1 + * v 0 cos a
*
mv )
N1 + mv N1 * Dp N
*
mv )
T1 + mv T1
*
v)
N1 + * v N1
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12 Stoßprobleme
Stoß eines gelagerten Stabes
m, I C
P1
w0
C1
P2
2
s
l
³ Rückprall:
w)
1 + * ew 0
Lagerstoß: Dp L +
I C ) ms 2 * msl
(1 ) e)w 0
l
!
speziell: stoßfreies Lager, Dp L + 0
³l+
I C ) ms 2
5 L red
ms
C1
s
m, I C
m
^
+
L red