Folgen und deren Charakterisierung

Folgen und deren Charakterisierung
Folgen sind Anordnungen von reellen Zahlen. Z.B.:
2.5, 4.5, 6.5, 8.5, ...
Die einzelnen Zahlen heißen Glieder der Folge. (Im Beispiel wäre das erste Glied 2.5)
Formal ausgedrückt sind Folgen Abbildungen von N in R. Es wird also jeder natürlichen Zahl eine
Reelle zugeordnet. Man schreibt dies:
f: N ! R , i ! ai
Die Folgen selbst werden in den nachstehenden Formen dargestellt:
ai
n
i =1
oder kurz:
ai
Folgen könne durch Aufzählen ihrer Glieder, durch Angabe eines Bildungsgesetzes oder rekursiv
bestimmt werden.
Beispiele:
Aufzählung:
+ai, = +2,4,6,8,... ,
Bildungsgesetz:
+ai, = +2 @ i,
Rekursiv:
+ai,: a1 = 2 , ai+1 = ai + 2
Folgen können durch nachstehende Schemata charakterisiert werden:
monoton steigend:
Jedes Glied ist kleiner oder gleich seinem Nachfolger. (ai # ai+1)
Beispiel:
+2,4,6,8,...,
monoton fallend:
Jedes Glied ist größer oder gleich seinem Nachfolger. (ai $ ai+1)
Beispiel:
+8,6,4,2,...,
streng monoton fallend / steigend:
Für strenge Monotonie gilt das Gleiche wir für normale Monotonie, mit dem unterschied, daß die
Gleichheit verboten ist. Die nachfolgenden Glieder sind also kleiner bzw. größer als ihre Vorgänger.
Aber niemals gleichgroß.
(ai < ai+1 , bzw. ai > ai+1)
alternierend:
Eine Folge heißt alternierend, wenn jedes Glied eine anderes Vorzeichen als sein Nachfolger hat.
(ai+1 @ ai < 1)
Beispiel:
+2,-4,8,-16,...,
beschränkt:
Eine Folge heißt beschränkt, wenn s gibt eine reelle Zahl, die größer oder gleich jedem Glied der
Folge ist. (|ai| # M, für ein M 0 ú)
Beispiel: +1,1/2, 1/4, 1/8,..., nach oben durch M = 1 und nach unten durch M2 = 0 beschränkt.
Arithmetisch:
Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.
In Formeln:
an+1 – an = d
Bildungsgesetzt: an = a1 + (n-1) @ d
Daraus ergibt sich die Eigenschaft, daß jedes Glied das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist.
In Formeln:
1
an = (an +1 + an −1 )
2
Eine ebenfalls herausragende Eigenschaft von arithmetischen Folgen ist, daß man leicht die Summe
er ersten n Glieder bilden kann. Es läßt sich nämlich folgende Herleitung führen:
Sei Sn die Summer der ersten n Glieder
Sn = a1 + a2 +a3 + ... +an
Nun schreiben wir diese Zeile nun zweimal untereinander, wobei wir sie jedoch umstellen:
Sn = a1 + a2 +a3 + ... +an
Sn = an + an-1 +an-2 + ... +a1
Addieren wir nun beide Zeilen, so erhalten wir:
2 @ Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an + a1)
Da die „Abstände“ (also Differenzen) zwischen den einzelnen Folgengliedern hier konstant sind, ergibt
die Summe in jeder Klammer den gleichen Wert. (Man kann sich dies an Zahlenbeispielen
verdeutlichen.) Wir können die Gleichung also auch wie folgt schreiben:
2 @ Sn = n @ (a1 + an)
bzw.:
Sn = (n / 2) @ (a1 + an)
Wie man sieht kann man bequem die Summe bis zum n-ten Glied der Folge berechnen.
Geometrisch:
Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.
In Formeln: a n +1
=q
an
Bildungsgesetzt:
an = a1 @ q
n-1
Daraus ergibt sich die Eigenschaft, daß jedes Glied das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist.
In Formeln:
a n = a n +1 ⋅ a n −1
Auch hier läßt sich die Summe bis zum n-ten Glied leicht berechnen. (Auf die Herleitung verzichte ich
an dieser Stelle.)
S n = a1 ⋅
qn −1
q −1
für q … 1