5.Uebung - TU Darmstadt/Mathematik

A
Lineare Algebra II
für M, LaG, LaB, Inf, WInf
SS 2005
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. C. Herrmann
Steen Fröhlich
Stefan Reiter
12./13. Mai 2005
5. Übungsblatt
Gruppenübungen
G17 Es sei V ein endlich dimensionaler K -Vektorraum und Ui ⊆ V, i ∈ I, |I| < ∞. Es gelte Ui ∩ Uj = 0
für alle i 6= j. Folgt daraus bereits
X
Ui = ⊕i∈I Ui ?
i∈I
G18 Die FibonacciZahlen
Die Elemente der Folge u1 , u2 , . . . , gegeben durch die Startwerte u1 = u2 = 1 und die Rekursionsformel
un+1 = un−1 + un
heiÿen die FibonacciZahlen. Die ersten 14 FibonacciZahlen wurden zum ersten Mal 1228 im Manuskript von Leonardo of Pisa (Fibonacci) erwähnt.
a) Berechne die ersten 8 FibonacciZahlen.
b) Wir schreiben die FibonacciZahlen als Einträge eines Vektors auf die folgende Art und Weise:
un
~xn :=
un−1
für n = 2, 3, . . . . Finde eine Matrix A, so dass gilt
A~xn = ~xn+1 .
Drücke ~xn durch eine Gleichung in ~x2 und A aus.
c) Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
√ n √ n 1+ 5
− 1−2 5
(Binets Formel ) indem Du ~xn mit Hilfe von c) bestimmst.
d) Zeige un = √15
2
e) Berechne den Limes a = limn→∞ uun+1
. (Der Limes heisst Goldener Schnitt, d.h. er teilt eine
n
a
Strecke der Länge 1 in 2 Teile a und 1 − a mit a1 = 1−a
.)
G19 Es sei α : v1 , v2 eine Basis des R-Vektorraums V und ϕ : V → V ein Endomorphismus mit ϕ(v1 ) =
2v1 − v2 und ϕ(v2 ) = v1 . Gib alle Basen β an, bzgl derer die Darstellungsmatrix Aβ von ϕ die
Gestalt
1 1
A=
0 1
hat.
G20 Gegeben sei ein System S , welches sich in n verschiedenen Zuständen benden kann, die wir mit
1, . . . , n bezeichnen. Ferner sei ein sogenannter stochastischer Elementarprozess A gegeben, bei welchen sich das System S mit Wahrscheinlichkeit 0 ≤ aij ∈ R vom Zustand i in den Zustand j übergeht.
Weiter sei
n
X
aij = 1
j=1
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand i in irgendeinen Zustand k ∈ {1, . . . , n} übergeht. Es bezeichne die stochastische Matrix
A = (ai,j ) ∈ Rn×n
die Übergangsmatrix zum Elementarprozess A.
a) Welchen Eigenwert und Eigenvektor hat A immer?
b) Zeige: Sind A, B stochastische Matrizen, so auch AB.
Meist interessiert man sich für das Verhalten des Systems bei oftmaliger Anwendung des Elementarprozesses A. Zur k -maligen Anwendung gehört die Übergangsmatrix Ak , welche für grosse k i.a.
schwer zu berechnen ist. Daher fragt man sich, ob der
lim Ak
k→∞
(k)
existiert. Ist Ak = (aij ), so ist
(k)
lim Ak = ( lim aij ).
k→∞
k→∞
(k)
Dabei ist limk→∞ aij die Wahrscheinlichkeit nach sehr vielen Prozessen vom Zustand i in den Zustand
j zu gelangen.
c) Wir betrachten nun folgendes Beispiel: Im Lande Oz gebe es nie 2 aufeinanderfolgende Sonnentage. Ist es heute sonnig, so kommt morgen Schnee oder Regen, jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Regnet oder schneit es heute, so herrscht morgen mit p = 1/2 das gleiche Wetter und
die beiden anderen Zustände treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit p = 1/4 ein.
Bestimme die Übergangsmatrix A, deren Eigenwerte und Eigenvektoren und limk→∞ Ak
Hausübungen
H17 Es sei V ein endlich dimensionaler K -Vektorraum und ϕ, ψ ∈ End(V ). Zeige: Ist λ ein Eigenwert
von ϕ ◦ ψ, so dann er auch Eigenwert von ψ ◦ ϕ.
H18 (Mäuselabyrinth)
Es habe ein Labyrinth 4 Kammern. Ferner gebe es in jeder Kammer eine Tür, die zu einer der
übrigen Kammern führt. Wir setzten nun eine Maus ins das Labyrinth. Wir können annehmen, dass
die Maus in einem Elementarprozess mit Wahrscheinlichkeit 0 ≤ p < 1 in der jeweiligen Kammer
bleibt und jede der möglichen Ausgänge (Türen) mit der gleichen Wahrscheinlichkeit (1 − p)/3 nutzt.
Es bezeichne i den Zustand, dass die Maus in der Kammer i ist.
Bestimme die Übergangsmatrix A, deren Eigenwerte und Eigenvektoren und limk→∞ Ak
H19 Es sei A ein stochastische Matrix. Zeige:
a) Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 1 von A ist gleich seiner algebraischen. (Hinweis:
Zeige, es gibt einen Eintrag vk von v mit |(Av)k | ≤ |vk | und betrachte für v ∈ ker(A − 1)n den
Vektor Ak v für grosse k .) )
b) Ist λ ∈ C ein Eigenwert von A, dann gilt |λ| ≤ 1. Folgere daraus:
P = lim Ak existiert ⇒ 1 ist der einzige Eigenwert von A vom Betrag 1
k→∞
(Anm. es gilt sogar die Umkehrung)
c) Es existiere P = limk→∞ Ak . Zeige P = P 2 = AP = P A.

z1 . . .
 ..
..
Folgere: Wenn dim(ker(A − 1)) = 1, dann ist P =  .
.
z1 . . .
P
eindeutig bestimmt ist durch zA = z, zi = 1.

zn
..  , wobei z = (z , . . . , z )
1
n
. 
zn
H20 Es wird die Gelegenheit geboten, nichtbearbeitete Gruppen/Hausübungen vom vorherigen Übungsblatt zu bearbeiten.