Vermischte Aufgaben
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Niedersachsen Vermischte Aufgaben 27 Lösungen zu Kapitel 1 1 Winkel a = 180° – 37° = 143° Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. b = 37° Scheitelwinkel von 37° ist ebenfalls 37°. g = 143° Scheitelwinkel von a ist gleich groß wie a. 2 Winkeldetektiv a) a = 110° b) b = 130° c) g = 135° 3 Winkeldetektiv a) d = 140° b) d = 135° 4 Parallelogramm 65 Wir betrachten zunächst das Winkelpaar a2 und a7: Zu a2 ist a4 Stufenwinkel, also a4 = a2. Zu a4 ist a8 Stufenwinkel, also a8 = a4 = a2. Zu a8 ist a7 Scheitelwinkel, also a7 = a8 = a4 = a2. Für das andere Winkelpaar b4 und b5 ist die Beweisführung ähnlich. 5 Falsche Behauptungen Die Behauptungen (3) und (5) sind falsch. 6 Winkel unter dem Dachfirst Der Querschnitt des Dachs ist ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Scheitelwinkel a. Deshalb sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Wenn Guido einen Basiswinkel b gemessen hat, dann berechnet er den Scheitelwinkel mit der Formel a = 180° – 2 ∙ b. Lösungen zu Kapitel 2 1 Symmetrische Figuren a)Die Figuren der Aufgabe und b) eine mögliche selbsterfundene Figur. Drehsymmetrisch sind: (1), (5), (6) und (8) mit dem Drehwinkel 180°; (2) und (4) mit den Drehwinkeln 90°, 180° und 270°. Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 1 Niedersachsen 65 2 Ein Schmetterling Vollständiger Schmetterling mit gestrichelter Symmetrieachse. 3 Eine Blüte In der Blüte sind die ergänzten gespiegelten Strecken grau gezeichnet. 4 Welche Figur wird Drehsieger? Drehwinkel für Abbildungen auf sich selbst: (1) 120° und 240°, (2) beliebige Winkel, (3) 180°, (4) 72°, 144°, 216° und 278°. „Drehsieger“ ist der Kreis. 5 Spiegeln und Drehen im Koordinatensystem a)A′(4 I 5), B′(6 I 8), C′(3 I 8) b)A″ (2 I 3), B″ (0 I 0), C″ (3 I 0) Antwort für Zusatzaufgabe: Das Dreieck A″B″C″ wird durch eine Drehung um 90° in das Dreieck ABC überführt. Der Drehung des Dreiecks ABC um 90° in das Dreieck A′B′C′ folgt eine zweite Drehung um 180° (so kann man auch die Punktspiegelung beschreiben) in das Dreieck A″B″C″. Nach einer weiteren Drehung um 90°, insgesamt also nach einer Drehung um 360°, hat das Dreieck ABC wieder seine Ausgangslage erreicht. 66 6 Spiegeln auf Kästchenpapier Das Spiegeln auf Kästchenpapier ist genau dann einfach, wenn die markanten Punkte der Figur auf den Ecken der Kästchen liegen und der Spiegelpunkt in der Kästchenmitte oder ebenfalls auf einem Eckpunkt liegt. 7 Wegbeschreibung Christians Fortsetzung der Wegbeschreibung: „… nach der Apotheke rechts, dann ist die 2. Straße links die Hasengartenstraße, hier Nr. 8“. Den Fehler hat vermutlich deshalb niemand bemerkt, weil man an der Tankstelle nur in die Straße gegenüber der ­Tankstelle einbiegen kann, die Straße geradeaus endet als Sackgasse. Wenn man dann auf die breite Straße trifft, geht man zur ­Apotheke und biegt unmittelbar danach in die kleinere Straße, denn es gibt für das Abbiegen keine andere Wahl. Dann ­erreicht man als 2. Querstraße die Zielstraße. Wegbeschreibung für die richtige Seite der Folie: „An der Tankstelle nach rechts abbiegen, dann nach links bis zur Apotheke, dort wieder links, und die 2. Straße rechts ist die Hasengartenstraße, hier Nr. 8.“ Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 2 Niedersachsen 66 8 Spiegeln eines Kreises a)Zuerst wird die Senkrechte zur Geraden a gezeichnet, die durch den Mittelpunkt M des Kreises geht. Diese Senkrechte schneidet die Gerade in einem Punkt, den wir mit F (= Fußpunkt des Lotes von M auf a) bezeichnen. Wir nehmen den Abstand MF in den Zirkel, schlagen damit einen Bogen um F. Der zweite Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Senkrechten ist der Mittelpunkt M′ des Spiegelkreises, den wir schließlich mit dem Radius r des gegebenen Kreises zeichnen. b) Die Spiegelachse (1)liegt zwischen den beiden Kreisen und ist die Mittelsenkrechte auf der Verbindungsstrecke MM′ der Mittelpunkte beider Kreise, deren Länge großer als 2 ∙ r ist (r = Kreisradius), (2)ist Tangente an beide Kreise durch deren gemeinsamen Berührungspunkt und ist gleichfalls Mittelsenkrechte auf MM′, der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der beiden Kreise, deren Länge genau gleich 2 ∙ r ist, (3)geht durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise und steht senkrecht auf der Verbindungsstrecke MM′ der Mittelpunkte beider Kreise, deren Länge kleiner als 2 ∙ r ist, (4) geht durch den Mittelpunkt beider Kreise. 9 Schneckenhäuser Die Windungsrichtungen der beiden Schneckenhäuser sind spiegelbildlich zueinander. 10 Wahr oder falsch? a) Richtig, denn ein Parallelogramm hat keine Symmetrieachsen, es sei denn, dass es als Sonderfall ein Rechteck ist. b)Richtig c)Richtig d) Falsch, denn jedes Rechteck hat zwei Symmetrieachsen. e) Falsch, denn ein Drachenviereck hat seine längste Diagonale als Symmetrieachse, aber es ist nicht punktsymmetrisch. 11 Vergleich von Rechteck und Raute Ein Rechteck und eine Raute haben je zwei verschiedene Symmetrieachsen. Beim Rechteck gehen die beiden Symmetrie­ achsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten, bei der Raute sind die Diagonalen die beiden Symmetrieachsen. Ein Quadrat hat alle vier Symmetrieachsen. Das ist plausibel, weil sowohl das Rechteck als auch die Raute als Sonderfall ein Quadrat sein können. 67 12 Schmücken – kein Problem Schüleraktivität 13 Spiegelschrift auf Fahrzeugen a)Das Firmenlogo ist so auf dem roten Auto angebracht, dass man als Fahrer im vorherfahrenden Auto das Firmenlogo beim Blicken in den Rückspiegel lesen kann, in diesem Fall HALLO PIZZA!. b)Schüleraktivität 14 Geheimschrift a) Die entzifferten Worte sind HEXE und DEICH. b)Große Druckbuchstaben mit Symmetrie zur Querachse: B, C, D, E, H, I, K, O, X Möglich sind z. B. BIOKOCH und HEIDI. c)Große Druckbuchstaben mit Symmetrie zur Längsachse: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Damit kann man auch eine Geheimschrift bilden, indem man nur die rechte bzw. linke Seite der Buchstaben schreibt. 15 Dreiecke bei der Vermessung a)Es sind 12 Dreiecke erkennbar: je 4 in den beiden linken Vierecken und 4 weitere in der rechten Hälfte des Netzes. b) Stumpfwinklig sind diese Dreiecke: (1) Napf – Wisenberg – Lägern, (2) Napf – Rothorn – Titlis, (3) Rothorn – Titlis – Rigi Alle anderen Dreiecke sind spitzwinklig, bis auf ein rechtwinkliges. c) Das Dreieck Rigi – Scheye – Hörnli ist ein gleichschenkliges Dreieck. Das Dreieck Nägli – Rigi – Lägern hat einen rechten Winkel bei Rigi. Ein gleichseitiges Dreieck ist nicht vorhanden. Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 3 Niedersachsen 105 Lösungen zu Kapitel 3 1 Summe und Differenz 35 2 __ = 1 a) __ 33 33 g) _38 12 _1 b) __ = 1 8 2 9 h) __ 13 37 c) __ 60 9 i) __ 28 2 Rechnen mit gemischten Zahlen 1 a) 4 __ 10 3 Kopfrechnen a) 8 _12 7 a) 1 __ 20 12 _1 e) __ = 1 8 2 1 k) __ 30 1 e) 2 __ 12 b) 1 _27 c) 6 d) 1 _45 b) 7 _25 c) 1 _14 d) 7 _45 4 Rechnen mit mehr als zwei Brüchen 41 11 __ d) __ = 1 30 30 15 _1 j) __ = 30 2 b) _16 c) 1 _37 24 f) __ = 3 8 13 l) __ 40 5 d) __ 16 5 Zauberquadrate 1 __ a) D ie Summe der drei Zahlen in den Zeilen, in den Spalten und in den Diagonalen ergeben jeweils __ 33 = 3 . Es ist also ein 30 10 Zauberquadrat. b)Die Summe der drei Zahlen in der linken Spalte ergibt 5. Nacheinander werden nun die Felder 13 _ 32 _43 __ 6 rechts oben, rechts in der Mitte und rechts unten ergänzt, dann kann man die Zahlen in der Mitte oben und unten berechnen. Zur Kontrolle werden die drei Zahlen in der mittleren Spalte _53 1 _73 addiert, deren Summe ist ebenfalls 5. 11 _7 __ 6 6 Berechne die Produkte a) _58 8 g) __ 15 b) _45 h) _12 15 c) __ 2 i) 1 d) 1 j) _15 e) _53 27 k) __ 64 c) 8 _13 13 d) __ 24 e) 26 9 c) 1 __ m 10 d) 3 _14 kg 7 Multiplizieren mit gemischten Zahlen a) 7 b) 34 8 Rechnen mit Größen b) _25 ℓ a) 5 min 9 Zahlenmauern a) 1 320 5 __ 7 ___ 16 _ 54 _74 7 __ 16 106 _57 __ 7 _13 25 __ 7 _ 45 20 5 __ 28 4 _12 100 _14 49 __ 25 6 f) _75 l) 0 b) ___ 7 2 _ 89 20 __ 49 _ 4 _32 _38 _23 3 _21 _43 _13 4 __ 9 64 __ 9 16 __ 3 64 10 Bruchzahlen-Domino _ 3 8 _46 _14 _57 11 Gib jeweils den Kehrbruch an a) _53 b) _49 12 Berechne den Quotienten 1 a) __ 10 b) _17 13 Dividieren durch einen Bruch a) _54 b) _23 5 __ 28 14 __ 15 _ 1 6 4 _23 _57 __ 10 21 1 c) __ 10 d) _27 e) _11 = 1 f) _31 = 3 c) _12 1 d) __ 36 e) _18 f) _76 c) _32 12 d) __ 7 10 e) __ 7 12 f) __ 23 Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel _ 7 3 10 __ 9 g) _32 _39 __ 10 27 _ 3 5 h) _32 4 Niedersachsen 106 14 Mit Bildern rechnen Die Bilder stellen diese Rechnungen dar: a) _23 + _ 12 = _ 46 + _ 36 = 1 _16 und b) _ 38 – _ 14 = _ 38 – _ 28 = _ 18 Bilder zu den Rechenaufgaben c) _13 + _ 16 = _ 12 d) _12 + _ 14 = _ 34 3 9 __ 10 = e) _35 + __ 10 f) _34 – _ 18 = _ 58 15 Diskussion 3 4 _4 __ Nein, der Kehrbruch von 2 _34 ist __ 11 , der Kehrbruch von 2 ist . 3 10 16 Etwas zum genau Hinschauen 20 __ _4 _5 a) Die Summe, denn _ 45 + _ 57 = __ 53 > = ∙ . 5 7 35 35 _3 _1 10 > = 3 ∙ . b) Die Summe, denn 3 + _ 13 = __ 3 3 3 17 Etwas zum Nachdenken Gegeben sind die beiden Brüche _ ba und _ dc mit _ dc < _ ba und d ≠ 0 ≠ b. Wir dividieren die Ungleichung mit _ dc , indem wir sie mit dem Kehrwert _ dc multiplizieren: → _dc ∙ _ dc < _ ba ∙ _ dc , also ist (3) richtig. 107 18 Vorfahrts- und Rechenregeln a) Distributivgesetz b) Punkt- vor Strichrechnung c)Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Multiplikation 19 Terme 5 10 5 1 a) _83 b) __ c) 22 d) 42 _23 e) __ f) __ g) 6 h) __ 49 18 18 36 Die unterschiedlichen Ergebnisse von e) und f) kommen durch die unterschiedliche Klammersetzung zustande. Für Terme dieser Art gilt aber kein Assoziativgesetz. 20 Text und Term 7 32 a) ( 5 + _ 34 ) ∙ _ 18 – _ 12 = __ 1 b) _12 : _ 25 – _ 12 ∙ _ 25 = 1 __ 20 c)( 2 _18 + 3 _13 ) : _ 18 = 43 _23 21 Eine Zugfahrt a) 3 _23 + 1 _14 + _ 14 = 5 _16 (= 5 h 10 min) b) 3 h 40 min + 1 h 15 min + 15 min = 4 h 70 min = 5 h 10 min 22 Entfernungen Der Unterschied beträgt 5 _58 – 3 _34 = 1 _78 km (= 1 km und 875 m). 23 Eine Schulklasse Zuerst teilen wir 12 durch 2 und erhaIten so die Zahl der Kinder, die einem Fünftel der Klasse entspricht, Multiplikation mit 5 ergibt die Klassenstärke: (12 : 2) ∙ 5 = 30. Das ist die Anzahl der Kinder in der Klasse. 24 Multiplikation oder? 3 15 __ Ein Viertel von _ 34 sind __ 16 , so dass damit erst des Fahrradpreises finanziert sind. 16 25 Piraten Nachdem der erste Pirat _ 13 des Schatzes entwendet hatte, nahm sich der zweite Pirat _ 13 von den verbliebenen _ 23 = _ 69 , also nur _ 29 , so dass dem dritten Piraten _ 49 des Schatzes übrig blieben. Tatsächlich besaßen nun aber die Piraten verschieden große Anteile. Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 5 Niedersachsen 107 26 Rätselhaftes 158 5 21 __ _7 _1 24 = = , d. h. ⩠ 4,5 m → 4,5 ∙ 8 = 36 m Turmhöhe a) _23 + __ 24 8 8 5 ∙ 36 = 7,5 m tief. b)Am Standort des Turms ist das Wasser __ 24 Lösungen zu Kapitel 5 1 Zauberquadrate a) –4 0 –5 –1 –6 1 –3 –1 0 3 –7 2 –2 5 9 –2 4 –1 3 –8 –4 –3 10 2 5 4 6 1 –5 8 2 Training Addieren – Subtrahieren a)–100 b) 7 7 b)10 c) 130 d)2400 e)–50 f) –22 3 Mehrere Faktoren a) 120 b) 432 c) –700d) –120e) –480f) 10 000 4 Lücken füllen a)–2 b)9 5 Gefährliche Mischung a)4 b)0 c) –36 d)8 e)125 f) –186 c) –51 d)21 e)–7 f) 24 g)–21 h)5 6 Geometrie und Koordinaten a,b) Der Punkt D (–2 I 1) ergänzt A, B und C zu einem Quadrat. c) Der Punkt M (1I –2) ist Mittelpunkt des Quadrates. 7 Ein Muster im Koordinatensystem Über die Eckpunkte I (–2 I 2), J (–2 I –3), K (3 I –3), L (3 I 3), M (–3 I 3), N (–3 I –4), … setzt sich die Schnecke fort. Für die folgenden Punkte gilt: Die x-Koordinate wird nach folgendem Muster gebildet +4, +4, –4, –4,+5, +5, …, und die zugehörigen y-Koordinaten werden nach einem ähnlichen Muster gebildet –4, +4, +4, –5, –5, +5, … Die so gewonnenen Punkte sind O (4 I –4), P (4 I 4), Q (–4 I 4),R ( –4 I –5), S (5 I –5), T (5 I 5), usw. Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 6 Niedersachsen 159 8 Großer Aufwand? Wenn man so addiert: –49 + 49 – 48 + 48 – 47 + 47 … – 1 + 1 = 0, dann erkennt man sofort, dass das Ergebnis der Aufgabe 0 ist. 9 Wurde hier richtig gerechnet? a) RichtigKommutativgesetz der Addition b) RichtigKommutativgesetz der Addition c) FalschKommutativgesetz gilt nicht für Subtraktion d) RichtigAssoziativgesetz der Multiplikation e) FalschAssoziativgesetz gilt nicht bei Division f)FalschIn der geklammerten Summe kann man zwar das Kommutativgesetz der Addition anwenden, dabei darf man aber nicht, wie hier geschehen, das Vorzeichen der Zahl 5 ändern. 10 Zahlentrick a) Das Ergebnis ist jedes Mal 0. b) Der Trick klappt auch mit jeder positiven Zahl. 11 Andere Bücher – andere Regeln a) Beispiele zu PLUS I: (1) +2 + 9 = + (2 + 9) = 11 (2) –2 + ( –9) = – (2 + 9) = –11 Beispiele zu PLUS II: (1) +2 + (–9) = – (9 – 2) = –7 (2) –2 + 9 = + (9 – 2) = 7 Beispiel zu MINUS I: (1) 5 – 4 = 5 + (–4) b)Es gibt nur eine Regel für das Subtrahieren, weil das Subtrahieren zweier negativer Zahlen dem Addieren zweier ganzer Zahlen mit gleichem Vorzeichen entspricht. 204 12 Schiffswracks a) Die Bismarck liegt 910 m tiefer als die Titanic. b) Von der Titanic (Bismarck) müsste man 13 (15) Eiffeltürme stapeln, der letzte würde 296 (30) m aus dem Meer ragen. 13 Extreme Temperaturänderung Der Temperaturanstieg betrug in Spearfish 27 °C, in Tummel Bridge waren es 29 °C. Lösungen zu Kapitel 6 1 Graphen beschreiben a)Der Graph fällt zuerst langsam, dann schneller, dann wieder langsamer werdend bis zu einem kleinsten Wert, von dem er zuerst langsam, dann wieder schneller steigt und dabei den Anfangswert übertrifft. b)Waagerecht im Koordinatenschnittpunkt beginnend, steigt der Graph erst langsam an, wird dann immer steiler, bis er etwa gleichweit von den Koordinatenachsen entfernt ist, um dort in eine waagerechte Linie abzuknicken. c)Der Graph beginnt sehr steil im Koordinatenursprung, er wird allmählich weniger steil und flacht dann langsam ab in eine waagerechte Linie. 2 Tabelle – Graph – Term (1) + d) + (d); 3 Rechenvorschriften a) y = 4x (2) + a) + (a); b) y = _4x (3) + b) + (c); c) y = x – 4 (4) + c) + (b) d) y = _ 4x f) y = __ 2x = x 2 e) y = 2x2 –2 –8 –2 –2 –2 –6 –2 –0,5 –2 8 –2 –2 –1 –4 –1 –4 –1 –5 –1 –0,25 –1 2 –1 –1 0 0 0 n. def. 0 –4 0 0 0 0 0 0 1 4 1 4 1 –3 1 0,25 1 2 1 1 2 8 2 2 2 –2 2 0,5 2 8 2 2 Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 7 Niedersachsen 204 3 Rechenvorschriften Die Rechenvorschriften a), d) und f) gehören zu proportionalen Zuordnungen, ihre Graphen sind Ursprungsgeraden. Die Rechenvorschrift b) gehört zu einer antiproportionalen Zuordnung, ihr Graph ist eine Hyperbel. 205 4 Zuordnungsvorschriften finden a) y = 3x b) y = _ 2x c) y = 1,5x d) y = __ 12 x 5 Variable Umfänge a) (1)U = 5 + 2x + 2y (2)U = 12 + x + y b) (1)U = 31 (2)U = 25 c) Mit y = 2x ist (1)U = 5 + 6x (2)U = 12 + 3x 6 Füllkurven (1) + c) Die Höhe des Wasserstandes steigt im Zylinder linear mit der Zeit an. (2) + d) D ie Höhe des Wasserstandes steigt im unteren breiten Gefäßteil langsamer linear mit der Zeit an als im oberen engen Teil. (3) + b) D ie Höhe des Wasserstands steigt wegen des zunehmenden Durchmessers des Gefäßes zuerst schneller und dann kontinuierlich langsamer an. (4) + a) D ie Höhe des Wasserstands steigt wegen des abnehmenden Durchmessers des Gefäßes zuerst langsam und dann kontinuierlich schneller an, bis sie dann im oberen Teil des Gefäßes linear mit der Zeit ansteigt. 7 Wahr oder falsch? (1) Falsch. Eine Schwingung hat z. B. unendlich viele Hochpunkte. (2) Falsch. „Je mehr, desto mehr“ – Zuordnungen können auch nichtlinear verlaufen. (3) Richtig. Eine proportionale Zuordnung ist immer eine „Je mehr, desto mehr“ – Zuordnung. (4) Falsch. Die Aussage ist nur dann richtig, wenn x > 0 und y > 0 sind. (5) Falsch. Die Kantenlänge nimmt mit der Wurzel aus dem Flächeninhalt des Quadrates zu. (6) Richtig. Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist immer eine Hyperbel. 8 Warum-Fragen a) Solange die Flüssigkeit in ein Gefäß fließt, kann die Füllkurve nicht fallen. b) Das Wachstum ist bei jedem Tier begrenzt, deswegen kann es nicht proportional zur Zeit sein. c) Nur bei Ursprungsgeraden ist das Kriterium der Quotientengleichheit erfüllt. d)Das Kriterium der Produktgleichheit für antiproportionale Zuordnungen lässt einen Faktor Null nicht zu. Bei Sachaufgaben ist für x = 0 kein Sachbezug vorhanden. 9 Begriffe, Begriffe, Begriffe Die Gleichung y = 3x beschreibt eine „je mehr, desto mehr“ – Zuordnung, für das Wertepaar (y, x) gilt die Quotientengleichheit, und der Faktor 3 ist der Proportionalitätsfaktor. Die Gleichung y = _ 6x beschreibt eine „je mehr, desto weniger“ – Zuordnung, für das Wertepaar (y, x) gilt die Produktgleichheit, und die Zahl 6 ist die Gesamtgröße. 10 Terme finden a)x → 2x + 1 b)x → 2(x + 1) 1,50 € ∙ x km + 3 € c) Fahrtkosten = ( ____ km ) d)Wenn x die Breite des Rechtecks ist, dann ist x + 2 die Länge des Rechtecks. Mit x → x ∙ 2x = 2x2 (x → 2x + 2 ∙ 2x = 6x) wird der Breite der Flächeninhalt (der Umfang) des Rechtecks zugeordnet. Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 8 Niedersachsen 206 11 Beim Kinderarzt a)Die Graphen bewerten das gemessene Körpergewicht der Kinder in Abhängigkeit von ihrer Körpergröße: Liegt das Körpergewicht über der oberen Kurve, so ist das Kind „auffällig schwer“, liegt es unter der unteren Kurve, so ist es „auffällig leicht“. b) Die Untersuchungsdaten von Christoph Alter (in Monaten) Körpergewicht (in kg) 3 6 7 9 12 11 24 13 c)Ankes Gewicht liegt gerade noch unter der Kurve „auffällig schwer“. Beates Gewicht ist „auffällig leicht“. Claus‘ Gewicht ist „auffällig schwer“. Monikas Gewicht ist „auffällig leicht“. Julians Gewicht liegt im normalen Bereich. 12 Grafischer Fahrplan Der Zug fährt um 9.00 Uhr von Anstadt los und erreicht nach 15 km um 9.20 Uhr Kremdorf, wo er 15 Minuten hält. Dann fährt er in 10 Minuten zum 15 km entfernten Baumhausen. Nach 10 Minuten fährt er ab zum 15 km entfernten Radstadt, wo er um 10.10 Uhr ankommt. 13 Ein Kran a) Die vom Kran noch sicher tragbare Last in Abhängigkeit von der Länge des Auslegers Auslegerlänge (in m) Sicher noch tragbare Last (in kg) 207 10 3200 20 1600 25 1280 32 1000 b) Der Graph, auf dem die Wertepaare liegen, ist eine Hyperbel. Es handelt sich also um eine antiproportionale Zuordnung. 14 Der Goldpreis 5 a)Mit dem Taschenrechner wurde das Verhältnis von Goldmasse/Goldpreis berechnet, hier also _____ 269,02 = rd. 0,0186 _ € . Für 1 € bekommt man also 0,0186 g Gold. b) Für 1000 € (3000 €, 450 €) bekommt man 1000 ∙ 0,0186 = 18,6 g (55,8 g, 8,4 g) Gold. c)Ein Goldbarren mit einem Gewicht von 500 g kostet das 100-fache des 5 g – Goldstücks aus a), also rd. 26 900 €. d)Aus a) folgt, dass der Materialwert von 1 g Gold 269,02 : 5 = 53,80 € ist. De Materialwert von einer Münze mit 11,230 g (25,760 g) ist dann 11,230 ∙ 53,80 = 595,19 € (1385,89 €). Goldmünzen sind im Verkauf teurer, weil sie wegen ihrer Verwendbarkeit als Zahlungsmittel etwas begehrter sind als schlichte Goldstücke. 15 Meteoriten 1 a)Um eine Regel für die Entstehung der Werte in der 2. Spalte zu gewinnen, ergänzen wir die Tabelle zuerst um eine 4. Spalte, in der wir die Differenzen der Werte der 3. Spalte eintragen. Wir erkennen, dass die Differenz stets 900 ist. Wir setzen 900 nun in alle Felder der 4. Spalte ein, wodurch wir in der Lage sind, die noch freien drei Felder der 3. Spalte zu berechnen. Jetzt können wir die letzten drei Felder n der 2. Spalte berechnen. b)T (10) = 45 000 °CT (11) = 54 450 °CT (12) = 64 800 °C Das sind die höchsten Temperaturen für verglühende Meteoriten, die mit der Geschwindigkeit v in die Erdatmosphäre eintreten. Spalte (1) Geschwindigkeit v (in Meilen/Sekunde) 5 11 250 4950 Spalte (2) Höchste Temperatur T (in °Celsius) 6 16 200 900 Spalte (3) Differenz der Temperaturen in Spalte (2) 5850 7 22 050 900 Spalte (4) Differenz der Temperaturen in Spalte (3) g 8 28 800 9 36 450 10 45 000 11 54 450 12 64 800 6750 7650 8550 9450 10 350 900 900 900 900 16 Meteoriten 2 Gewicht Mit ______ errechnen wir das spezifische Gewicht des Meteoriten → ca. 7,6 ___ cm . Volumen Für ein Volumen von 1 m3 = 1 000 000 cm3 (bzw. 27 m3 = 27 000 000 cm3) ergibt das nun 7 600 000 g = 7,6 Tonnen (bzw. 205 Tonnen) als ursprüngliches Gewicht des Meteoriten. g 3 Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 9 Niedersachsen 207 234 17 Mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs Licht benötigt für die 150 000 000 km der Strecke Sonne – Erde 500 Sekunden, was 300 000 km pro Sekunde bedeutet. Wir 300 000 km und erhalten rd. 126,7 Sekunden ≈ 2,1 Minuten als teilen nun die 38 000 000 km Entfernung Erde – Sonne durch _______ Sekunde Laufzeit für das Licht bzw. für Funksignale zwischen den beiden Planeten. 18 Treppenstufen laufen Pro Stufe benötigt Peter durchschnittlich 32 : 52 ≈ 0,615 ≈ 0,62 Sekunden. a)Multipliziert mit der Zahl 776 ergibt 481 Sekunden ≈ rd. 8 Minuten, die Peter braucht, um den Donauturm zu erklimmen, vorausgesetzt, er klettert die ganze Zeit mit konstanter Geschwindigkeit, was aber bezweifelt werden darf. b)Rein rechnerisch würde Peter 0,62 · 4000 = 2480 Sekunden ≈ 41 Minuten benötigen, um die Alpentreppe zu bewältigen, also müsste er rund eine _ 34 Stunde lang die gleiche Leistung wie beim Hochlaufen der Schultreppe aufbringen, was aber wohl sehr unrealistisch ist. Lösungen zu Kapitel 7 1 Brüche als Prozente a) Die folgenden Brüche als Prozente angeben _ 1 2 _13 _14 _15 _18 1 __ 10 1 __ 20 50 % 33,3 % 25 % 20 % 12,5 % 10 % 5 % _ 3 4 _25 ___ 23 1 % 75 % 40 % 23 % 100 b) Die folgenden Prozentangaben als Brüche angeben 50 % 25 % 75 % 10 % _ 1 _14 _34 1 __ 10 2 1 ___ 100 2 Anteile in Prozent a) 25 % b) 33,3 % 1 % 20 % 40 % 15 % 10 % 100 % 150 % ___ 1 _ 15 _25 3 __ 20 1 __ 10 1 _32 100 c) 5 % d) 2 % e) 0,5 % 3 Nochmals Anteile in Prozent a) Nein, es sind genau 48 %. 360 570 000 · 100 = 70,7 %. b) Der Anteil der Wasseroberfläche an der Erdoberfläche beträgt p % = ___________ 510 000 000 4 Kino 6,75 · 100 a) Der Eintritt kostet am Abend ______ = 9 Euro. 75 6,75 · 80 9 · 80 = 5,40 € und am Abend ____ = 7,20 €. b) Der Eintrittspreis für Kinder beträgt am Nachmittag ______ 100 100 5 Was ist drin? Aus dem abgedruckten Streifendiagramm wird ermittelt: Anteil der Rosinen: 5,1 cm von 12,5 cm ⩠ 40,8 % Anteil der Erdnüsse: 3,1 cm von 12,5 cm ⩠ 24,8 % Anteil der Cashewnüsse: 1,6 cm von 12,5 cm ⩠ 12,8 % Anteil der Mandeln: 2,7 cm von 12,5 cm ⩠ 21,6 % Zur Probe: Die Summe der vier Prozentzahlen ergibt 100 %. 6 Prozentsatz – Prozentwert – Grundwert Prozentsatz p % Prozentwert W Grundwert G 12 36 300 17 68 400 22 110 500 400 400 100 175 735 420 7 Reifenkauf a)Die vier Reifen kosten ohne Mehrwertsteuer 440,00 €, dazu kommen 83,60 € für die 19 % Mehrwertsteuer. Der Gesamtpreis beträgt also 523,60 €. Hierauf erhält die Kundin einen Rabatt von 2 %, was einen Betrag von 10,47 € ausmacht, so dass die Kundin 513,13 € an der Kasse bezahlt. b)Weil der Skontoabzug von Endpreis inklusive Mehrwertsteuer erfolgen und nicht zur Verminderung der Mehrwertsteuer dienen soll. Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 10 Niedersachsen 235 8 Zinsrechnung ist nichts anderes als Prozentrechnung Zinssatz Kapital Zinsen 2,5 % 4500 € 112,50 € 1,5 % 3200 € 48 € 11 % 890 € 97,90 € Textaufgabe zur 1. Spalte Frau Meier hat am 1. Januar auf einem Sparbuch 4500 € angelegt und erhält dafür 2,5 % p. a. Zinsen. Wie hoch ist die Zinsgutschrift am Jahresende? Textaufgabe zur 2. Spalte Herr Schmitt hat gerade im Radio gehört, dass die Inflationsrate zur Zeit 1,5 % p. a. beträgt. Er will wissen, wie viel seine 3200 €, die bei ihm zu Hause liegen, in einem Jahr an Wert verlieren. Textaufgabe zur 3. Spalte Frau Schultze hat ihr Konto mit 890 € überzogen und soll dafür 11 % p. a. an Zinsen bezahlen. Wie viel € kostet der Kredit in einem Jahr? 9 Textaufgabe erfinden a)Der Nettopreis einer kleinen Stereoanlage beträgt 245 €. Wie hoch ist ihr Bruttopreis? b)Ein Käufer bezahlt für einen Gebrauchtwagen 4500 €. Er hat in der Verhandlung mit dem Verkäufer einen Nachlass von 10 % erzielt. Wie hoch war die ursprüngliche Forderung des Verkäufers? 10 Der „Dicke Pitter“ Menge an Kupfer: 78 % von 24 000 kg = 18 720 kg Menge an Zinn: 22 % von 24 000 kg = 5280 kg 11 Genau lesen Der Umsatz beträgt in diesem Jahr 103,5 % des Vorjahresumsatzes. 22,5 Mio. € : 1,035 = 21,74 Mio. €. Der Umsatzzuwachs ist 0,76 Mio. €. 12 Bestandserhaltung Es dürfen 87,5 m3 Holz im Jahr geschlagen werden. 13 Aufgepasst bei Preissenkungen a) Der Preis ist um 0,35 € gesunken, was einer Preissenkung von 6,6 % entspricht. b)Das Waschmittel kostete ursprünglich 5,30 : 1,5 = 3,53 €/Liter, jetzt kostet es 3,81 €/Liter. In Wahrheit ist der Literpreis für das Waschmittel um 0,28 €/Liter gestiegen, was eine Preissteigerung von 5,3 % ist. 14 Steigung a) Der Höhenunterschied beträgt 5,9 % von 32 000 m = 1888 m. b)Wichtiger sind für beide Personengruppen Angaben zur maximalen Steigung, um abzuschätzen, ob die Strecke überhaupt mit dem Fahrrad bzw. mit dem Auto zu bewältigen ist. 15 Schnellrechnen a) Die 72 Mio. km² sind der Prozentwert W für 20 % auf den gesuchten Grundwert G. · 100 W · 100 = ___________ 72 Mio. km = 72 Mio. km2 : 0,2 = 360 Mio. km2 b) Der Grundwert G wird berechnet mit G = _____ 20 p % c) (1) Das Auto kostet nach einer Preiserhöhung von 3,5 % auf den Grundpreis G jetzt 22 300 €, was 103,5 % entspricht. W · 100 22 300 · 100 = ________ = 21 546 €. (2) Der Grundwert G wird berechnet mit G = _____ 103,5 p % 2 18 500 · 102,8 d) Nach der Preiserhöhung kostet das Auto _________ = 19 018 €. 100 Mathematik Neue Wege, ISBN 978-3-507-85642-L, Schroedel 11
