Funktionentheorie I für Mathematiker, ¨Ubungsblatt 14 vom 11.7

Funktionentheorie I für Mathematiker,
Übungsblatt 14 vom 11.7.2013
Die Aufgaben werden immer am Donnerstag gestellt und sind am Donnerstag der darauf folgenden Woche vor der Vorlesung abzugeben. (Andere
Abgaben in Briefkästen oder nach der Vorlesung usw. werden nicht anerkannt und gehen nicht in die Wertung ein.) Es müssen mindestens 50%
aller möglichen Punkte erreicht werden, um den Übungsschein zu erhalten.
Evtl. dienen diese 50 % nur als Zulassung zu einer Übungsscheinklausur.
Alle Lösungen sind zu begründen, ansonsten erfolgt Abzug eventuell aller
Punkte.
Auf jede (Teil-)Aufgabe gibt es 0 Punkte (Aufgabe nicht oder fast nicht
gelöst.), 1 Punkt (Aufgabe unvollständig gelöst.) oder 2 Punkte (Aufgabe
(nahezu) vollständig gelöst.)
Bitte beschriften Sie Ihe Aufgabenzettel mit der Seminargruppe, die Sie
besuchen. Beachten Sie dies auch schon bei der Abgabe der Lösungen. Nicht
abgeholte ÜA werden bei Frau Leißner, Raum A 544 zwischengelagert. Sie
können Montag, Mittwoch (ganztägig) oder Donnerstag (bis Mittag) abgeholt werden.
Werten Sie Ihre Lösungen aus während und nach der Rückgabe
sowie der Diskussion im Seminar!! Dies gilt besonders, wenn Ihre
Lösungen falsch sind.
Dies hier ist eine zusätzliche Serie. Sie richtet sich nur an Studenten, denen zur Erlangung des Übungsscheines noch ein paar
Punkte fehlen. Alle anderen Studenten, die nach 13 Serie mindestens 50% der Punkte erreicht haben, bitte nicht abgeben.
53.
a) Bestimmen Sie die Mittag-Leffler-Reihe für die meromorphe Funktion
cot (πz)
f (z) = π 3 2
sin (πz)
mit möglichst einfachen konvergenzerzeugenden Summanden (gν =
0).
b) Geben Sie eine konforme Abbildung f an, die das Innere des
Einheitskreises auf die von −1/4 bis ∞ längs der negativen reellen
Achse aufgeschnittene Ebene abbildet.
c) Wie kann man b) verallgemeinern, um das Innere des Einheitskreises auf eine mit einem beliebigen gradlinigen Schlitz versehene
Ebene abzubilden?
d) Bilden Sie das Äußere der Ellipse (x2 /a2 ) + (y 2 /b2 ) = 1 mit a =
1 + 1/r und b = 1/r − 1 mit r < 1 auf das Innere von Kr (0)
konform ab.
54. Geben Sie eine biholomorphe Abbildung des Kreissektors
S = {reiϕ | 0 < ϕ <
π
, 0 ≤ r < 1}
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auf das Innere des Einheitskreises an.
55. Seien ω1 , ω2 ∈ C zwei rell-linear unabhängige Zahlen. Zeigen Sie, dass
es bis auf Addition einer Konstanten genau eine doppelt periodische
Funktion mit den Perioden ω1 und ω2 gibt, die außer einem Pol in z = 0
mit dem Hauptteil 1/z 2 keinen weiteren Pol im Fundamentalbereich
F = {λ1 ω1 + λ2 ω2 | 0 ≤ λi < 1, i = 1, 1}
besitzt.
56.
a) Berechnen Sie die Hauptteile der Laurantentwicklung von tan3
an sämtlichen Polstellen.
b) Berechnen Sie die Hauptteile der Laurantentwicklung von cot3 an
sämtlichen Polstellen.