Logik für Informatiker - TU Darmstadt/Mathematik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Christian Herrmann
Richard Holzer
Tobias Löw
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2004
10. Mai 2004
Logik für Informatiker
Lösungshinweise zum vierten Übungsblatt
Präsenzübungen
(P 12) Äquivalenz
Zur Definition von Äquivalenz in einer Klasse bzw. logischer Äquivalenz sei auf das Skript Abschnitt 14.1 (bzw.
16.1) verwiesen.
(a) Überprüfe, ob folgende Terme bzw. Formeln jeweils in der Klasse aller Körper äquivalent sind (bei passender
simultaner Deklaration):
(i) x · (y + 1) und x + (y · x)
Mit den üblichen Gesetzen, die in allen Körpern gelten folgt
x · (y + 1) = (x · y) + (x · 1)
= (x · y) + x
= x + (x · y)
= x + (y · x)
also sind die Terme äquivalent.
(ii) ∀ x. ∃ y. x + 1 = y und ∀ x. ∃ y. x + y = 1
Beide Formeln gelten in allen Körpern, da jeder Körper K bezüglich + eine Gruppe bildet.
(iii) ∀ y. ∃ x. x · x = y und ∀ y. ∃ x. ∃ z. x · x = z ∧ z · z = y
Sei K die Klasse aller Körper. Um
K (∀ y. ∃ x. x · x = y) ↔ (∀ y. ∃ x. ∃ z. x · x = z ∧ z · z = y)
zu zeigen müssen wir
A
A
J∀ y. ∃ x. x · x = yK = J∀ y. ∃ x. ∃ z. x · x = z ∧ z · z = yK
A
für alle Körper A nachweisen. Angenommen J∀ y. ∃ x. x · x = yK ist wahr, d. h. zu jedem Element y
gibt es ein x mit x · x = y, also gibt es auch ein z mit z · z = x. Mit gebundener Umbenennung folgt
∀ y. ∃ x. ∃ z. x · x = z ∧ z · z = y. Dir Rückrichtung ist offensichtlich.
(b) Welche der obigen Formelpaare aus (ii) und (iii) sind logisch äquivalent?
Die Formeln in (ii) sind nicht logisch äquivalent, da die erste in der freien Termalgebra gilt, die zweite jedoch
nicht.
Die Formeln in (iii) sind logisch äquivalent. Beweis wie oben. Alternativ kann man folgende Überlegung
anstellen:
Die Formel ∀ y. ∃ x. x · x = y gilt genau dann in einer Struktur A gilt, wenn die Abbildung x 7→ x ·A x
surjektiv ist, woraus sofort wieder die Existenz eines z mit z · z = x folgt. Mit gebundener Umbenennung
folgt die Gültigkeit von ∀ y. ∃ x. ∃ z. x · x = z ∧ z · z = y. Dir Rückrichtung ist wieder offensichtlich.
(P 13)
Sei B eine endliche Boolesche Algebra, a ∈ B ein Atom und 2 die zweielementige Boolesche Algebra mit der
Trägermenge {⊥, >}.
(
> falls a ≤ b
(a) Zeige, daß durch h(b) :=
ein Homomorphismus in die Boolesche Algebra 2 definiert wird.
⊥ sonst
Nach (H 1) genügt es die Homomorphie-Eigenschaft für ∧, ⊥ und ¬ zu überprüfen. Sein x, y ∈ B, dann gilt
• h(⊥B ) = ⊥, da a 6≤ ⊥B
•
h(¬B x) = > ⇔ a ≤ ¬B x
⇔ a ∧B ¬B x = a
⇔ ¬B a ∨B x = ¬B a
⇔ x ≤ ¬B a
⇔ a ∧B x = ⊥B
⇔ a 6≤ x
⇔ h(x) = ⊥
⇔ ¬h(x) = >
a ist oberer Nachbar von ⊥B
•
h(x ∧B y) = > ⇔ a ≤ x ∧B y
⇔ a ≤ x und a ≤ y
⇔ h(x) = > und h(y) = >
⇔ h(x) ∧ h(y) = >
(b) Zeige, daß jeder Homomorphismus h : B → 2 von obigem Typ ist.
Sei h : B → 2 ein HomomorphismusWund A dieWMenge aller Atome
von B. Angenommen
es gibt kein Atom
W
W
a ∈ A mit h(a) = >, dann folgt h( a∈A a) = a∈A h(a) = a∈A ⊥ = ⊥, aber a∈A a = > und damit ein
Widerspruch. Angenommen es gibt zwei verschiedene Atome a, b mit h(a) = > und h(b) = >, dann folgt
h(a ∧ b) = > ∧ > = >, aber a ∧ b = ⊥. Widerspruch.
Also gibt
( es genau ein Atom a mit h(a) = >. Aufgrund der Monotonie von h und weil h(⊥) = ⊥ folgt
> falls a ≤ b
h(x) =
⊥ sonst.
(P 14) Freie Strukturen
Gegeben sei eine Menge P von aussagenlogischen Primformeln (d. h. Formeln die aussagenlogisch nicht weiter
zerlegt werden können). Zeige, daß die Menge aller AL-Formeln über P absolut frei erzeugt ist, d. h. jede Abbildung
f : P → B, wobei B eine Struktur in einer um → und ↔ erweiterten booleschen Signatur ist, kann eindeutig zu
einem Homomorphismus fortgesetzt werden.
Sei f : P → B, wir definieren die homomorphe Erweiterung von f rekursiv über den Aufbau der AL-Formeln über
P
• f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y)
• f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y)
• f (¬x) = ¬f (x)
• f (⊥) = ⊥
• f (>) = >
• f (x → y) = f (x) → f (y)
• f (x ↔ y) = f (x) ↔ f (y)
Damit ist die Erweiterung von f eindeutig definiert und offensichtlich ein Homomorphismus.