Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis Vorwort I Zahlen 5 1. Rechnen mit ganzen Zahlen Addition, Subtraktion und Multiplikation Division mit Rest Teiler und Primzahlen Der ggT und das kgV 6 7 7 9 11 2. Rechnen mit Brüchen Rationale Zahlen . . Addition und Subtraktion von Brüchen Multiplikation und Division von Brüchen 12 13 15 17 3. Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzen Exponenten Wurzeln aus ganzen Zahlen Wurzeln aus Brüchen in der Standardform n-te Wurzeln in der Standardform Potenzen mit rationalen Exponenten 18 19 21 23 25 27 II 29 Algebra 4. Rechnen mit Buchstaben Prioritätsregeln Rechnen mit Potenzen Klammern auflösen Terme ausklammern Die Bananenformel 30 31 33 35 37 39 5. Die binomischen Formeln Das Quadrat einer Summe oder einer Differenz Die Differenz zweier Quadrate 40 41 43 Craats, Jan van de Grundwissen Mathematik 2010 digitalisiert durch: IDS Luzern 6. Brüche mit Buchstaben Aufspalten und auf einen gemeinsamen Nenner bringen . . . . Vereinfachen von Brüchen 46 47 49 III 51 Zahlenfolgen 7. Fakultäten und Binomialkoeffizienten Die Formeln für (a + b)3 und (a + b)A Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck Das Berechnen der Binomialkoeffizienten Der binomische Lehrsatz und die Sigma-Notation 8. Folgen und Grenzwerte Arithmetische Folgen Geometrische Reihen Periodische Dezimalzahlen Spezielle Grenzwerte Grenzwerte von Quotienten Wachstumsraten von Folgen Was ist die genaue Bedeutung des Grenzwertes einer Folge? . . 52 53 55 57 59 60 61 63 65 65 67 67 69 IV 71 Gleichungen 9. Lineare Gleichungen Allgemeine Lösungsregeln Ungleichungen Reduktion einer Gleichung zu einer linearen Gleichung 10. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen Quadratische Ergänzung Die ßbc-Formel und die pq—Formel 11. Lineare Gleichungssysteme Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Drei Gleichungen mit drei Unbekannten V Geometrie 12. Geraden in der Ebene Die Gleichung einer Geraden in der Ebene Die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte Der Schnittpunkt zweier Geraden 13. Abstände und Winkel Abstand und Mittelsenkrechte Der Normalenvektor einer Geraden Senkrechter Stand von Geraden und Vektoren Das Skalarprodukt vi .... 72 73 75 77 78 79 81 83 84 85 87 89 90 91 93 95 96 97 99 101 103 14. Kreise Kreisgleichungen Die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden Die Schnittpunkte zweier Kreise Tangenten an einen Kreis 104 105 107 109 111 15. Raumgeometrie Koordinaten und Skalarprodukt im Raum Ebenen und Normalenvektoren Parallele und einander schneidende Ebenen Drei Ebenen Kugeln und Tangentialebenen 112 113 115 117 119 121 VI 123 Funktionen 16. Funktionen und Graphen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen und Parabeln Schnittpunkte von Graphen Gebrochen lineare Funktionen Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen und Betragsfunktion . . . Polynome Rationale Funktionen 124 125 127 129 131 133 135 137 17. Trigonometrie 138 Winkelmessung 139 Sinus, Cosinus und Tangens 141 Der Tangens auf der Tangente 143 Das rechtwinklige Dreieck 143 Additionstheoreme und Verdopplungsformeln 145 Graphen der Winkelfunktionen 147 Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens 149 Graphen von Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens . . . 151 Ein Standardgrenzwert 153 Dreiecksgeometrie 155 18. Exponentialfunktionen und Logarithmen Exponentialfunktionen Logarithmische Funktionen Die Funktion e x und der natürliche Logarithmus Weiteres zum natürlichen Logarithmus Standardgrenzwerte 156 157 159 161 163 165 vu 19. Parametrisierte Kurven Kurven in der Ebene Polarkoordinaten Raumkurven Geraden in Parameterdarstellung 166 167 169 171 173 VII 175 Differenzial- und Integralrechnung 20. Differenzieren 176 Tangente und Ableitung 177 Rechenregeln und Standardableirungen 179 Differenzierbarkeit 181 Höhere Ableitungen 183 Wachsende, fallende Funktionen, Vorzeichen der Ableitung . . 185 Extremwerte 187 Kritische Punkte und Wendepunkte 189 Knobeln mit Funktionen und ihren Ableitungen 191 21. Differenziale und Integrale 192 Differenziale - Definition und Rechenregeln 193 Fehlerabschätzungen 195 Wie gut ist das Differenzial als Annäherung? 197 Eine Flächeninhaltsberechnung 199 Flächeninhalt und Stammfunktion 201 Integrale - allgemeine Definition und Rechenregeln 203 Stammfunktionen der Standardfunktionen 205 Nochmals der Zusammenhang zwischen Fläche und Integral . 207 Unbestimmte Integrale 209 Die Stammfunktionen von f(x) = \ 211 22. Integrationstechniken Die Substitutionsregel Explizite Substitutionen Partielle Integration Gemischte Aufgaben Beispiele der partiellen Integration Uneigentliche Integrale vom Typ I Uneigentliche Integrale vom Typ II Summen und Integrale Numerische Integration Gibt es immer eine Formel für die Stammfunktion? vi u 212 213 215 217 218 219 221 223 225 227 229 23. Anwendungen Der Tangentialvektor an eine parametrisierte Kurve Die Bogenlänge einer Kurve Der Inhalt eines Rotationskörpers Flächeninhalt der Mantelfläche eines Rotationskörpers Exponentielles Wachstum Logistisches Wachstum - das Richtungsfeld Logistisches Wachstum - Die Lösungsfunktionen 230 231 233 235 237 239 241 243 VIII 245 Hintergrundwissen 24. Reelle Zahlen und Koordinaten Die Zahlengerade Die Akkoladen-Notation für Mengen Intervalle Mathematik und Realität Koordinaten in der Ebene Der Satz des Pythagoras Koordinaten im Raum 25. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit Funktionen, Definitionsbereich und Bildmenge Umkehrbare Funktionen Symmetrie Periodizität Grenzwerte Stetigkeit 26. Ergänzende Herleitungen Skalarprodukt und Cosinussatz Exponentialfunktionen und Logarithmen Rechenregeln für Ableitungen Differenziale und Kettenregel Ableitung der Standardfunktionen 247 247 248 248 249 249 251 252 253 253 254 255 255 256 258 261 261 261 262 264 264 Antworten 271 Formelsammlung 313 Stichwortverzeichnis 321