Funktionen mit gegebenen Eigenschaften – Aufgabe 07 – Lösung

Funktionen mit gegebenen Eigenschaften – Aufgabe 07 – Lösung
Der Graf einer kubische Funktion mit der Gleichung f(x) = a⋅x3 + b⋅x2 + c⋅x + d
hat ihren Wendepunkt im Ursprung des Koordinatensystems und bei x = −3
einen Tiefpunkt. Die Wendetangente hat die Steigung −1.
a) Bestimmen Sie die Koeffizienten.
Ausführlich formuliert lautet der Aufgabentext:
Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Punkt P(0 ; 0). Sie hat bei x = − 3
einen Tiefpunkt und an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt. An der Wendestelle
gilt f '(0) = −1.
Damit gilt:
f (x)
=
f ' (x) =
a0 +
a1 ⋅ x +
a2 ⋅ x 2 +
a3 ⋅ x 3
a1 + 2 ⋅ a2 ⋅ x + 3 ⋅ a3 ⋅ x 2
f '' ( x ) = 2 ⋅ a2 + 6 ⋅ a3 ⋅ x
Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem:
f (0) = 0
⇔ a0
=0
f ' ( 0 ) = −1
⇔
a1
f ' ( −3 ) = 0
⇔
a1 − 6 ⋅ a2 + 27 ⋅ a3 = 0
f '' ( 0 ) = 0
⇔
= −1
2 ⋅ a2
=0
mit den Lösungen
1
a3 =
; a2 = 0 ; a1 = −1 ; a0 = 0
27
1 3
⇒ f (x) =
⋅x −x
27
b) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten in den Schnittpunkten mit
der x-Achse.
Nullstellen von f:
f (x) =
1 3
 1 2 
⋅ x − x = x ⋅
⋅ x − 1
27
 27

 1 2 
x ⋅
⋅ x − 1 = 0 ⇔
 27

x=0 ∨
x = − 27 = −3 ⋅ 3
Tangentengleichungen:
(
)(
)
( x ) = f ' (3 ⋅ 3 ) ⋅ ( x − 3 ⋅ 3 ) = 2 ⋅ x − 6 ⋅
t1 ( x ) = f ' −3 ⋅ 3 ⋅ x + 3 ⋅ 3 = 2 ⋅ x + 6 ⋅ 3
t2
t3 ( x ) = f ' ( 0 ) ⋅ x = − x
3
∨
x = 3⋅ 3