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10. Jahrgangsstufe
Mathematik
Grundwissen
Exponentialfunktion und Logarithmus
Allgemeine Gesetze
Musterbeispiele
1. Definition einer Exponentialfunktion
Eine Funktion, bei der die frei wählbare Variable
im Exponenten steht heißt Exponentialfunktion.
Eine Exponentialfunktion hat damit eine
Funktionsgleichung der Form
y=a x
Musteraufgabe 1:
Eine Exponentialfunktion verläuft durch den
Punkt P(3;27). Bestimme die Funktionsgleichung dieser Funktion
Lösung:
27=3 3
y=3 x
Der Graph einer Exponentialfunktion hat für
a>1 das folgende Aussehen:
Musteraufgabe 2:
Zeige, dass der Graphe der Funktion
1 x
y=  eine Spiegelung des Graphen der
a
y=a x an der y- Achse ist.
Lösung:
Man wendet die Potenzgesetze in der
folgenden Art und Weise an:
1 −x
x
−1  x
y=a =a
Man kann an diesem Graphen die folgenden
Eigenschaften ablesen:
● Der Graph einer Exponetialfunktion
verläuft durch P(0;1).
● Für x<0 nähern sich die Funktionswerte
der x- Achse an, werden aber nicht 0.
Die x- Achse ist eine Asymptote.
● Für x>0 nehmen die Funktionswerte
schnell zu.
 = 
a
Damit erkennt man, dass die Funktion an der xAchse gespiegelt sind.
Musteraufgabe 3
Untersuche, wie sich das Verhalten der
Exponentialfunktion ändert, wenn man x
verdoppelt:
2x
2 x
y=a
=a 
Wird der Exponent verdoppelt, dann ist der
neue Funktionswert das Quadrat des alten
Funktionswerts.
2. Die Definition des Logarithmus
Musteraufgabe 1
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehr- Berechne den Wert des folgenden Logarithmus:
funktion der Exponentialfunktion. Man erhält
log 4 a12
den Graphen der Logarithmusfunktion durch
a
die
Spiegelung
des
Graphen
der Lösung:
Exponentialfunktion an der Gerade y=x.
● Schreibe den Logarithmus in die
Definitionsgleichung um:
4
x
  a =a12
●
Schreibe die Wurzel in die Hochzahlschreibweise um
1
4 x
12
a  =a
●
Wende die Potenzgesetze an:
1
x
4
12
●
Führe einen Exponentenvergleich durch
a
Dadurch ergeben sich die folgende Eigenschaften des Logarithmus:
● Der Logarithmus ist nur für positive
=a
1
⋅x=12
4
x=48
10. Jahrgangsstufe
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Allgemeine Gesetze
Musterbeispiele
Werte definiert.
Der Logarithmus strebt für x gegen 0
gegen minus Unendlich.
● Der Logarithmus wächst langsam, aber
geht für x gegen Unendlich ebenfalls
gegen Unendlich.
Die algebraische Definition des Logarithmus
wird wie folgt gegen:
●
log a x :
Musteraufgabe 2
Bestimme das x:
3
log x 3= a2
Umschreiben in die Exponentialgleichung
2
3
3

x =a
3
x =a
x
a =b
Die Rechengesetze des Logarithmus:
x
=loga x−loga y
y
log a x y = y⋅loga x
log3  x−4−log3 3x−12log 32x8
loga 
log3  x−4⋅3x−12−log 32x−8
 x−4⋅3x−12

2x−8
2
log3  ⋅ x−4
3
log 3
Die Basisumrechnungsformel
logb x
log b a
Die Lösung von Exponentialgleichung
Methode 1:
● Brimge die Gleichung in die
x
a =b
●
●
x=a

2
9
Musteraufgabe
Fasse den folgenden Term soweit wie möglich
zusammen:
log a  xy=log a xloga y
log a x=
2 1
⋅
3 3 3
Musteraufgabe
Löse die folgenden Exponentialgleichung:
Form
9⋅4 x =16⋅3 x
Ziehe dann auf beiden Seiten den
Logarithmus zur Basis b.
Eine Nährungslösung kann man mit
dem Taschenrechner über die Basis
Formel berechnet werden.
Lösung:
● Sortiiere die Gleichung so um, dass auf
der linken Seite nur noch Potenzen mit
dem Exponenten x stehen und auf der
rechten Seite nur Zahlen:
4x
3
●
x
16
9
Schreibe die rechte Seite als Potenzen:
4x
3
●
=
x
=
42
3
2
Wende auf beiden Seiten das
Potenzgesetz an:
4 x 4 2
  = 
3
3
●
Wenn beide Seiten die gleiche Basis
aufweisen, dann kann man einen
Basisvergleich durchführen und damit
die Lösung erhalten:
x=2