und Geowissenschaftler I WS 2004/05

Klausur zur Vorlesung
Mathematik für Werkstoff- und Geowissenschaftler I
WS 2004/05
PD Dr. Jürgen Müller
Aufgabe 1: Vollständige Induktion.
Pn
Für n ∈ N zeige man mit vollständiger Induktion: k=1 k =
n(n+1)
.
2
(3 Pkt.)
Aufgabe 2: Grenzwerte.
Man berechne die folgenden Grenzwerte:
a) limx→1
x3 +x2 −x−1
x+1
c) limx→∞
2
2
(x+1) −x
x
x3 +x2 −x−1
x−1
√
1− 1−x2
limx→0
x2
b) limx→1
(2+2 Pkt.)
d)
(2+3 Pkt.)
Aufgabe 3: Ableitungen.
Man gebe Definitionsbereiche und Ableitungen der folgenden Funktionen an:
a) x4 · ex
d)
ln(x)
x
√
b) e
x2 +1
e) cos(ln(x))
c) esin(x)
(2+2+2 Pkt.)
f ) ln(cos(x))
(2+2+2 Pkt.)
Aufgabe 4: Tangenten.
Man bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion e−x
an der Stelle x = 0.
(2 Pkt.)
Aufgabe 5: Kurvendiskussion.
Es sei f (x) := ex·ln(x) für x > 0.
a) Man zeige: Es gilt limx→0 f (x) = 1. Existiert limx→∞ f (x)?
(4 Pkt.)
b) Man untersuche f (x) auf Maxima, Minima und Monotonie.
(4 Pkt.)
Aufgabe 6: Extremalprobleme.
Unter allen ebenen Rechtecken gleicher Fläche A > 0 bestimme man diejenigen
kleinsten Umfangs.
(3 Pkt.)
Aufgabe 7: Arcus-Tangens.
Für x > 0 zeige man: Es gilt arctan( x1 ) + arctan(x) = c, für eine geeignete
Konstante c ∈ R. Man bestimme die Konstante c.
(4 Pkt.)
1
Aufgabe 8: Taylor-Reihen.
1
Es sei f (x) := 1−x
für x 6= 1.
a) Für n ∈ N zeige man: Es gilt f (n) (x) =
n!
(1−x)n+1 .
(3 Pkt.)
b) Man gebe die Taylor-Reihe von f (x) an der Stelle x = 0 an, und berechne
ihren Konvergenzradius r.
(3 Pkt.)
c) Man zeige, daß die Taylor-Reihe für |x| < r gegen f (x) konvergiert. (3 Pkt.)
Aufgabe 9: Potenzreihen.
P∞
1
Es sei f (x) := k=0 2k+1
· x2k+1 für |x| < 1.
(Sie dürfen annehmen, daß die Potenzreihe für |x| < 1 konvergiert.)
a) Man zeige: Es gilt f 0 (x) =
1
1−x2 .
(3 Pkt.)
b) Man gebe die Partialbruchzerlegung von
q
1+x
c) Man zeige: Es gilt f (x) = ln
1−x .
Aufgabe 10: Integration.
Man berechne die folgenden Integrale:
Rπ
Re
a) x=0 x · sin(2x)
b) x=1 ln(x)
x
1
1−x2
an.
(3 Pkt.)
(3 Pkt.)
c)
R∞
x=0
Aufgabe 11: Komplexe
√ Zahlen.
Es sei ω := 12 · (−1 + i 3) ∈ C. Man berechne ω 2 und
Aufgabe 12: Matrixrechnung.
1 −1
1
2×2
Es seien A :=
∈Q
und B :=
2
3
4
2
5
2
x · e−x
(3+3+3 Pkt.)
1
ω.
(3 Pkt.)
∈ Q2×2 .
Man berechne die Determinante det(A) und das Matrixprodukt AB.
(2 Pkt.)
Aufgabe 13: Lineare Gleichungssysteme.


2 5 1
a) Man untersuche die Matrix A :=  3 6 0  ∈ Q3×3 auf Invertierbarkeit,
1 1 1
und bestimme gegebenenfalls die Inverse.
(4 Pkt.)
 
0
b) Man bestimme die Lösungen des Gleichungssystems Ax =  0 . (2 Pkt.)
0
2