Aufgaben für 5. März

Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 5. März
1. Aussagenlogik: Zeigen Sie folgende Äquivalenzen mit Hilfe von Wahrheitstabellen, wobei a und b beliebige (ev. zusammengesetze) Formeln sein können:
a) a ∧ (a ∨ b) ⇐⇒ a
d) ¬ (a ∧ b) ⇐⇒ ¬a ∨ ¬b
b) a ∨ (a ∧ b) ⇐⇒ a
e) ¬ (a ∨ b) ⇐⇒ ¬a ∧ ¬b
c) a ⇒ b ⇐⇒ ¬a ∨ b
f) a ⇒ b ⇐⇒ ¬b ⇒ ¬a
Zur Erinnerung: Für die Wahrheitswerte 0 (falsch) und 1 (wahr) gilt:
¬a „nicht“ a ∧ b „und“ a ∨ b „oder“
a ⇒ b „wenn a, dann b“
a
b
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
2. „Rechnen“ mit Aussagen: Vereinfachen Sie die Formel (p ⇒ q) ⇒ p.
3. Prädikatenlogik: Für Existenzquantor ∃x („es gibt ein x“), Allquantor
∀x („für alle x“) und beliebige Mengen X sind folgende Schreibweisen üblich:
∃x ∈ X : A(x) :⇐⇒ ∃x : x ∈ X ∧ A(x)
∀x ∈ X : A(x) :⇐⇒ ∀x : x ∈ X ⇒ A(x)
Sind A(x) und B(x, y) beliebige Ausdrücke, die von x (und y) abhängen können, dann gelten folgende Folgerung bzw. Äquivalenzen:
∀y : ∀x : B(x, y) ⇐⇒ ∀x : ∀y : B(x, y)
∃y : ∃x : B(x, y) ⇐⇒ ∃x : ∃y : B(x, y)
∃y : ∀x : B(x, y) =⇒ ∀x : ∃y : B(x, y)
¬ (∀x : A(x)) ⇐⇒ ∃x : ¬A(x)
¬ (∃x : A(x)) ⇐⇒ ∀x : ¬A(x)
Negieren Sie die Aussagen ∃x ∈ X : A(x) und ∀y ∈ X : ∃x ∈ X : B(x, y)!
4. Direkter und indirekter Beweis: ∀a ∈ N gilt: a gerade ⇐⇒ a2 gerade.
Analysis 1 SL
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Aufgaben für 12. März
5. Differenz, Vereinigung und Durchschnitt: Es sei A = {1, 2, 3, 4, 5},
B = {1, 3, 5} und C = {2, 4, 6}. Bestimmen Sie:
a) A \ B
c) B \ C
e) A ∪ C
g) (A ∩ C) \ B
b) B \ A
d) A \ C
f) A ∩ B
h) (A ∪ B) \ C
6. Gleichheit von Mengen: Zeigen Sie für beliebige Mengen X, Y, Z und
Teilmengen A, B ⊆ X:
a) X \ (X \ Y ) = X ∩ Y
b) X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B)
c) X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B)
d) X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
e) X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z)
7. Produkt- und Potenzmengen: Es sei A = {a, b, c} und B = {1, 2, 3, 4}.
Geben Sie die Elemente der Mengen A × B, B × A, A × A und P(A) an und
bestimmen Sie die Anzahl an Elementen in jeder dieser Mengen.
Analysis 1 SL
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Aufgaben für 19. März
8. Funktionen: Welche der folgenden Mengen sind Graphen von Funktionen?
a) A = {(t, t2 ) : t ∈ N}
c) C = {(t2 , t) : t ∈ Q}
b) B = {(t2 , t) : t ∈ N}
d) D = {(t4 , t2 ) : t ∈ Q}
9. Komposition: Es seien A = {a, b, c, d} und f, g : A → A Funktionen mit
den Graphen
Gf = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, d)} und
Gg = {(a, a), (b, a), (c, b), (d, c)} .
Bestimmen Sie f 2 = f ◦ f , f 3 = f ◦ f ◦ f und f n für n > 3, gleiches für g sowie
f ◦ g und g ◦ f .
10. Bilder und Urbilder: Es sei f : M → N eine beliebige Abbildung. Zeigen
Sie folgende Aussagen für beliebige Teilmengen X1 , X2 ⊆ M und Y1 , Y2 ⊆ N :
a) f (X1 ∪ X2 ) = f (X1 ) ∪ f (X2 )
b) f (X1 ∩ X2 ) ⊆ f (X1 ) ∩ f (X2 ) (Die Gleichheit gilt hier nicht immer.)
c) f −1 (Y1 ∪ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∪ f −1 (Y2 )
d) f −1 (Y1 ∩ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 ).
Analysis 1 SL
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Aufgaben für 26. März
11. Injektiv, Surjektiv, Bijektiv: Es seien X, Y, Z Mengen und f : X → Y
sowie g : Y → Z Funktionen. Zeigen Sie:
a) g ◦ f injektiv ⇒ f injektiv
b) g ◦ f surjektiv ⇒ g surjektiv.
Was folgt also, wenn g ◦ f bijektiv ist?
12. Beispiel mit Zahlen: Die Funktion f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4} habe
den Graphen
Gf = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2), (5, 3)} .
a) Ermitteln Sie f ({1, 2, 3}) \ f ({3, 4, 5}) und f ({1, 2, 4}) ∩ f ({3, 5}) sowie
f −1 ({3, 4}) ∪ f −1 ({1, 3}).
b) Zeigen Sie, dass f surjektiv ist.
c) Bestimmen Sie eine möglichst große Teilmenge A der Definitionsmenge,
sodass f |A injektiv ist.
d) Warum ist f |A bijektiv?
e) Stellen Sie die Graphen der Einschränkung f |A und ihrer Umkehrfunktion
in einem einzigen Diagramm dar. Was fällt auf?
13. Umkehrfunktion: Die bijektive Funktion f : A → B habe die Inverse
g := f −1 : B → A. Wie üblich bezeichnen wir für Y ⊆ B mit f −1 (Y ) das
Urbild von Y unter f , und mit g(Y ) das Bild von Y unter G. Zeigen Sie:
∀Y ⊆ B : f −1 (Y ) = g(Y )
Achtung: Erst nach dem Beweis ist es gerechtfertigt, für das Urbild der Funktion f −1 (Y ) und das Bild der Umkehrfunktion g(Y ) die gleiche Schreibweise
zu verwenden, wie es für bijektive Funktionen üblich ist.
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 1. April
14. Wiederholung: In welchem Fall sind folgende Aussagen möglich?
. Bernd meint: „Wenn Alex lügt, sagt Carmen die Wahrheit.“
. Alex behauptet: „Bernds Aussage ist falsch!“
15. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen für eine Funktion f : A → B:
a) Die Funktion f : A → B ist injektiv.
b) Die Bildfunktion f : Pot(A) → Pot(B) : X 7→ f (X) ist injektiv.
c) Die Urbildfunktion f −1 : Pot(B) → Pot(A) : Y 7→ f −1 (Y ) ist surjektiv.
16. Ordnungen, Extrema, Suprema, Infima und Monotonie: Die Menge A = {a, b, c} sei durch
{(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (b, c)}
und die Menge B = {1, 2, 3, 4} durch
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}
geordnet.
a) Was sind minimale und maximale Elemente sowie – falls die Werte existieren – Maxima, Minima, Infima und Suprema der folgenden Mengen?
{a, b} , {a, c} , A, ∅, B, {1, 2, 3} , {2, 3, 4} und {2, 3}
b) Bestimmen Sie alle streng monotonen Abbildungen f : A → B.
17. Ausblick: Auf N sei folgendermaßen eine Ordnung ≤1 definiert:



a
gerade und b ungerade, oder
a ≤1 b :⇐⇒ a, b gerade und a ≤ b, oder


a, b ungerade und a ≤ b.
Zeige: Mit dieser Ordnung ≤1 ist N wohlgeordnet, aber erfüllt – bezüglich des
Weiterzählens im Sinn der Ordnung – nicht das Induktionsprinzip.
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 16. April
18. Teilmengenordnung: Wir betrachten Pot({a, b, c, d, e}) mit der üblichen
Ordnung der Teilmengenbeziehung ⊆. Bestimmen Sie jeweils – sofern die Werte
existieren – die Größen min(A), max(A), sup(A) und inf(A) für
a) A = {∅, {a, b, c, d, e} , {a, b} , {a, b, d} , {a, b, e} , {a, e}}
b) A = {{a, b} , {a, b, d} , {a, b, e} , {a, e}}
c) A = {{a, b, c} , {a, b} , {a, b, d} , {a, b, e}}
d) A = {{b, c, d, e} , {c, d} , {b, e} , {c, e}}
19. Teilbarkeitsrelation: Beweisen Sie, dass R := {(a, b) ∈ N2>0 : a teilt b}
auf den positiven natürlichen Zahlen N \ {0} eine Ordnung ist.
Untersuchen Sie, ob bezüglich der Ordnung R die Werte min(B), max(B),
sup(B), inf(B) für die Mengen
a) B = {1, 2, 4, 8}
b) B = {6, 9, 36}
c) B = {4, 12, 20}
d) B = {6, 8, 18}
existieren. Kann man sup(B) und inf(B) in Worten beschreiben?
20. Monotonie: Wir betrachten eine bijektive Funktion f : X → Y für geordnete Mengen (X, ≤X ) und (Y, ≤Y ).
a) Zeigen Sie, dass f genau dann streng monoton wächst, wenn die Umkehrfunktion f −1 streng monoton wächst.
b) Wie verhält es sich bezüglich streng monoton fallend statt wachsend?
c) Kann der Fall auftreten, dass f nur monoton aber nicht streng monoton
ist?
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 23. April
21. Äquivalenzrelation: Wir definieren auf N eine Relation ∼ wie folgt:
a ∼ b :⇐⇒ (a, b) ∈ ∼ :⇐⇒ (a − b) oder (b − a) ist durch 5 teilbar.
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf N ist.
22. Beweis durch vollständige Induktion: Zeigen Sie für alle n ∈ N:
a)
n
X
k=0
b)
n
X
k=0
k=
n(n + 1)
2
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
23. Rekursive Definition: Die Funktion f : N×N → N sei induktiv definiert:
. f (0, m) = m + 1
. f (n + 1, 0) = f (n, 1)
. f (n + 1, m + 1) = f (n, f (n + 1, m))
Bestimmen Sie die Werte f (1, 1), f (2, 2) und f (3, 3).
Ergänzung: Für die Funktion lassen sich folgende Gleichungen nacheinander
durch Induktion zeigen:
a) f (1, m) = m + 2
b) f (2, m) = 2m + 3
c) f (3, m) = 8 · 2m − 3
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 30. April
24. Induktion: Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit:
a) Für alle n ∈ N mit n ≥ 10 gilt: n3 < 2n
b) Für alle n ∈ N gilt: nn ≥ n!
c) Für alle n ∈ N gilt: n2 − n + 41 ist eine Primzahl
d) Für alle n ∈ N mit n > 1 gilt: n4 + 4 ist nicht prim
e) Für alle n ∈ N mit n ≥ 3 gilt: n! > 2n−1
f) Für alle n ∈ N gilt: 6n − 5n + 4 ist durch 5 teilbar
25. Mächtigkeit: Zeigen Sie, dass für endliche Mengen A und B die Menge
der Abbildungen B A := {f : A → B} folgende Mächtigkeit hat:
# B A = #B #A
Hinweis: Vollständige Induktion über n := #A ∈ N. Für jede Menge C ist
#(C × B) = #C · #B.
26. Schubfachprinzip: Zeigen Sie, dass es für jede Menge A ⊆ {1, 2, . . . , 99}
mit #A = 10 zwei nichtleere Teilmengen M1 , M2 ⊆ A mit leerem Schnitt
M1 ∩ M2 = ∅ gibt, sodass die Summe der Zahlen aus M1 gleich der Summe
der Zahlen aus M2 ist.
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 7. Mai
27. Induktionsbeweis: Beweisen Sie für alle natürliche Zahlen n, i, k ∈ N
mit 1 ≤ i < n:
!
!
n
n+k
k
<
i
i+1
28. Bernoulliungleichung: (xn )n∈N sei eine Folge rationaler oder reeller Zahlen mit xn ≥ 0. Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N folgende Ungleichung gilt:
n
Y
(1 + xk ) ≥ 1 +
k=0
n
X
xk
k=0
29. Binomische Formel: Berechnen Sie für natürliche Zahlen n:
!
!
n
n
X
X
n
n
d)
a)
k=0 2k
k=0 k
b)
n
X
!
(−1)
k
k=0
c)
n
X
k=0
i
k
n
k
n
k
e)
!
f)
n
X
k=0
n
2k + 1
n
X
k
(−1)
k=0
!
n
2k
!
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 14. Mai
30. Geometrische Summe: Beweisen Sie folgende Gleichung für n ∈ N\{0},
wobei x und y Elemente eines beliebigen Ringes sind:
n
n
x − y = (x − y)
n−1
X
!
k n−1−k
x y
k=0
Wenden Sie diese Formel an, um folgende Gleichungen für x, y ∈ R herzuleiten:
a) Falls y 6= 1 ist:
n−1
X
yk =
k=0
b) (x + y)
2n
X
1 − yn
1−y
!
k k 2n−k
(−1) x y
= x2n+1 + y 2n+1
k=0
16
n−1
X
X
xn − 2x17 + 1
k
c) Falls x 6= 1 ist:
xk
x −
=
x−1
k=0
k=17
31. Mittelungleichung: Zeigen Sie für positive rationale oder reelle Zahlen
a, b > 0 die Ungleichungen vom quadratischen, arithmetischen, geometrischen
und harmonischen Mittelwert:
s
a+b √
a2 + b 2
≥
≥ ab ≥
2
2
1
a
2
+
1
b
32. Betragsungleichungen: Lösen Sie für x ∈ R:
1
a) |3x − 4| ≤ 6
d)
<2
x + |x − 1|
b) |x + bxc| ≤ 6
c) |x − 1| + |2x + 1| ≤ 6
e) 2 − |x − 1| > 1
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 21. Mai
33. Komplexe Zahlen: Berechnen Sie z = x + iy mit
Was ist z̄ und |z|?
2 + 5i 3
+ = 2 + 3i.
6 + 5i z
34. Polynomgleichungen:
Lösen Sie folgende Gleichungen in C, wobei Sie
√
nur dann x schreiben, falls x ≥ 0 ist:
a) z 2 + 2z = i
b) 5z 5 − 41z 4 + 48z 3 − 43z 2 + 7z = 0
c) z 3 + 35 z 2 − 3z = 5
d) z 4 + z 2 = 6
Hinweise: Polynome haben in der Form
f (z) =
n
X
ak z k mit n ∈ N und an 6= 0
k=0
genau n komplexe Nullstellen, die auch gleich sein können. Damit lassen sie
sich durch Polynomdivision in Linearfaktoren aufspalten: Für jede Nullstelle
c ∈ C gibt es ein Polynom g mit f (z) = (z − c) · g(z).
. Ist a0 = 0, dann ist 0 eine Nullstelle und man kann so lange z herausheben,
bis der konstante Teil ungleich 0 ist.
. Falls alle ak ∈ Q sind, wird das Polynom ganzzahlig, wenn es mit dem
gemeinsamen Nenner multipliziert wird.
. Sind die Koeffizienten ganzzahlig mit a0 6= 0 und ist r = jl eine rationale
Nullstelle,
n
o dann teilt lz − j das Polynom. Damit lassen sich aus
j
: j|a0 , l|an alle rationale Nullstellen durch Einsetzen aussondern.
l
35. Gaußsche Zahlenebene: Zeichnen Sie folgende Teilmengen von R ⊕ iR:
a) {z ∈ C : max {|Re(z)| , |Im(z)|} ≤ 1}
b) {z ∈ C : |Re(z)| + |Im(z)| < 1}
c) {z ∈ C : |Re(z)| · |Im(z)| ≥ 1}
d) {z ∈ C : |z − 1| < |z − i|}
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 4. Juni
36. Dichtheit: Ist
n
m
2n
o
: m, n ∈ N, 0 ≤ m ≤ 2n im Intervall [0, 1] dicht?
37. Monotonie und Beschränktheit: Die Folge (an )n∈N sei rekursiv definiert durch:
a2 + 3
an+1 := n2
an
3an + 1
Für welche Anfangswerte a0 > 0 ist sie monoton und beschränkt?
38. Zahlenbeispiele: Untersuchen Sie folgende Folgen in Q auf Monotonie
und Beschränktheit (eventuell ab p ∈ N):
5n + 17
a) n 7→ 2n + (−1)n
c) n 7→ (−1)n 2
3n − 2
!
42n
1 n
b) n 7→
d) n 7→ 1 −
n2
n
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 11. Juni
39. Häufungspunkte: Untersuchen Sie das Verhalten für n → ∞ der Folgen:
n2 + 3
n2 + 3
a) n 7→ (−1)n 3
c) n 7→ (−1)n
3n − 1
3n − 1
b) n 7→ (−1)n
n2 + 3
3n2 − 1
d) n 7→
5n − 3n2 + 2
3 · 5n + 12n3 + 7n
40. Grenzwerte: Konvergieren folgende Folgen und – falls ja – gegen welche
Werte?
√ √
√
a) n 7→ n( n + 1 − n)
√
b) n 7→ n2 + 1 − n
√
√
c) n 7→ 3 n3 + 1 − n2 + 1
41. Rekursive Folge: Was ist der Grenzwert der Folge, die durch
an+1 :=
a2n + 3
an
3a2n + 1
mit beliebigem Anfangswert a0 > 0 definiert ist?
Analysis 1 SL
SS 2012
Aufgaben für 18. Juni
42. Teilfolgen: Was lässt sich über die Folge f : N → C aussagen, wenn
folgende drei Teilfolgen konvergieren?
. n 7→ f (2n)
. n 7→ f (2n + 1)
. n 7→ f (3n)
43. Geometrische Reihe: Für welche z ∈ C konvergieren folgende Folgen
und – falls ja – gegen welchen Wert?
a) n 7→ z n
b) n 7→
n
X
zk
k=0
44. Einschließungskriterium: Bestimmen Sie die Grenzwerte (falls sie existieren) der Folgen:
√
a) n 7→ n 2n + 3n
1 n
b) n 7→ 1 −
n
1 n
c) n 7→ 1 − 2
n
1 n
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass lim 1 +
= e ist.
n→∞
n
Ausblick: Klausur am 22. Juni um 10 Uhr im HSB 7.