Kurve gegeben - Gebrochenrationale Funktionen

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Kurve gegeben - Gebrochenrationale Funktionen
Aufgaben
Kurzlösungen
Ausführliche Lösungen PLUS
Bei dieser Aufgabe brauchst du einen allgemeinen Ansatz. Mithilfe von Punkten, Polstellen und
Asymptoten kann man dann die Funktionsgleichung näher bestimmen.
Der allgemeine Ansatz lautet
a
f (x) =
n
+ c
mit
n = 1
falls ein VZW vorliegt und
n = 2
falls
(x + b)
kein VZW vorliegt.
Dabei beschreibt b die Verschiebung in x -Richtung und c die Verschiebung in y -Richtung. Die Werte
von b und c müssen anhand von Polstellen und Asymptoten entsprechend bestimmt werden. Die
∞
Polstelle sind die Stellen, an denen der Nenner gleich Null ist. Eine Asymptote liegt vor, falls sich die
Funktion für x → ±
einer Geraden (waagrechte oder schiefe Asymptote) annähert.
1.
a) Ansatz: f (x)
a
=
+ c
x + b
Polstelle bei x
= 0 → b = 0
waagrechte Asymptote bei y
P (1
∣
1)
eingesetzt: f (1)
= 0 → c = 0
a
=
= 1 → a = 1
1
Funktionsgleichung: f (x)
1
=
x
b) Ansatz: f (x)
a
=
+ c
−
x + b
Polstelle bei x
=
1 → b = 1
waagrechte Asymptote bei y
P (0
∣−
1)
eingesetzt: f (0)
Funktionsgleichung: f (x)
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a
=
= 0 → c = 0
a
=
−
=
0 + 1
−
1 → a =
−
1
1
x + 1
1 von 4
c) Ansatz: f (x)
a
=
+ c
x + b
Polstelle bei x
= 0 → b = 0
waagrechte Asymptote bei y
P (4
∣
2)
eingesetzt: f (4)
= 1 → c = 1
a
=
+ 1 = 2 → a = 4
4
Funktionsgleichung: f (x)
4
=
+ 1
x
a
d) Ansatz: f (x)
=
(da kein VZW)
+ c
2
(x + b)
Polstelle bei x
= 0 → b = 0
waagrechte Asymptote bei y
P (2
∣
1)
eingesetzt: f (2)
= 0 → c = 0
a
=
2
Funktionsgleichung: f (x)
= 1 → a = 4
2
4
=
x
2
2.
a) Ansatz: f (x)
a
=
2
(da kein VZW)
+ c
(x + b)
Polstelle bei x
= 0 → b = 0
waagrechte Asymptote bei y
P (1
∣−
1)
a
eingesetzt: f (1)
Funktionsgleichung: f (x)
=
−
=
=
+ c
x + b
Polstelle bei x
= 2 → b =
4)
eingesetzt: f (4)
−
1 → a =
−
1
1
x
2
2
= 0 → c = 0
−
−
a
=
4
Funktionsgleichung: f (x)
= 4 → a = 8
2
8
=
x
c) Ansatz: f (x)
=
2
−
waagrechte Asymptote bei y
∣
1
a
b) Ansatz: f (x)
P (4
= 0 → c = 0
2
a
=
−
+ c
x + b
Polstelle bei x
=
1 → b = 1
waagrechte Asymptote bei y
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= 2 → c = 2
a
2 von 4
P (0
∣
1)
eingesetzt: f (0)
a
=
+ 2 = 1 → a =
0 + 1
Funktionsgleichung: f (x)
−
=
=
Polstelle bei x
∣
0)
eingesetzt: f (0)
(da kein VZW)
−
= 1 → b =
1
waagrechte Asymptote bei y
P (0
+ 2
x + 1
+ c
2
(x + b)
1
1
a
d) Ansatz: f (x)
−
=
−
−
− − −
− −
1 → c =
1
a
=
(0
1 = a
2
1 = 0 → a = 1
1)
1
Funktionsgleichung: f (x)
=
1
2
(x
1)
3.
a) Ansatz: f (x)
a
=
+ c
x + b
Polstelle bei x
= 0 → b = 0
schiefe Asymptote mit y
P (1
∣
2)
= c = x
eingesetzt: f (1)
a
=
+ 1 = 2 → a = 1
1
1
Funktionsgleichung: f (x)
=
+ x
x
a
b) Ansatz: f (x)
=
+ c
2
(da kein VZW)
(x + b)
Polstelle bei x
= 0 → b = 0
schiefe Asymptote mit y
P (
− ∣−
1
3)
= c = 2x
− −
−
eingesetzt: f (
a
1) =
(
+ 2
⋅−
(
1) = a
− −
2 =
3 → a =
−
1
1
Funktionsgleichung: f (x)
=
x
c) Ansatz: f (x)
2
1)
+ 2x
2
a
=
+ c
−
x + b
Polstelle bei x
=
1 → b = 1
schiefe Asymptote mit y
P (0
∣
1)
= c =
eingesetzt: f (0)
−
x + 2
−
− −
a
=
0 + 2 = 1 → a =
0 + 1
Funktionsgleichung: f (x)
−
1
1
=
x + 2
x + 1
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a
3 von 4
a
d) Ansatz: f (x)
=
+ c
2
(x + b)
Polstelle bei x
= 1 → b =
schiefe Asymptote mit y
P (0
∣
−
(da kein VZW)
1
−
− − ⋅
− −
1
= c =
x + 1
2
2)
eingesetzt: f (0)
a
=
(0
Funktionsgleichung: f (x)
1
2
1)
(da zwei Polstellen)
+ d
−
x + 1
2
a
=
(x + b)(x + c)
Polstelle bei x
=
1
und x
= 1 → b =
waagrechte Asymptote bei y
P (0
∣−
1)
eingesetzt: f (0)
=
=
(x
f) Ansatz: f (x)
−
−
=
1
und x
P (0
∣
eingesetzt: f (0)
1)(x + 1)
Funktionsgleichung: f (x)
(0
=
2(x
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x
2
+ 1
−
1 → a = 2
(3. Binomische Formel)
1
(da zwei Polstellen)
−
1
=
=
a + 1 =
2
+ 1 =
1
und c
= 1
1
→ d =
2
4)
−
−
2
= 1 → b =
waagrechte Asymptote bei y
= 1
+ 1 =
+ d
−
und c
1)(0 + 1)
(x + b)(x + c)
Polstelle bei x
1
a
a
=
−
= 1 → d = 1
(0
Funktionsgleichung: f (x)
0 + 1 = 2 → a = 1
2
1)
1
=
(x
e) Ansatz: f (x)
1
2
−
−
2
a
1
+
1)(0 + 1)
=
2
1
1
a +
1
+
1)(x + 1)
−
2
−
2
1
=
2
1
= 0 → a =
2x
2
1
+
2
2
4 von 4