TM 2 Übung , Aufgaben an der Tafel 9.4.13, Prof. Gerling, SS 2013

TM 2 Übung , Aufgaben an der Tafel 9.4.13, Prof. Gerling, SS
2013
Christoph Hansen, Jannik Ehlert
Christoph Hansen, Jannik Ehlert
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Inhaltsverzeichnis
1
Aufgabe an der Tafel 9.4.13
1.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
2
Klausuraufgabe „Fischbauchträger“
2.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
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2
Christoph Hansen, Jannik Ehlert
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1.1
TM 2 Übung, SS 2013
Aufgabe an der Tafel 9.4.13
Aufgabenstellung
Berechnen sie den Druck auf die Mauer und entscheiden sie dann wie hoch die Mauer sein muss.
1.2
Lösung
Auf dem ersten Bild sehen wir, dass wir eine lineare Streckenlast betrachten müssen:
Wir wissen, das unser Dreieck den Schwerpunkt in der Höhe h = 1 m hat. Deshalb greift auch hier unsere
resultierende Kraft Fres an.
Diese resultierende Kraft erzeugt ein Moment und daraus folgt eine Spannungsverteilung (⇒ ist maximal am Boden der Mauer). Wir können das Problem deshalb um 90◦ drehen und es als einen mit einer
Streckenlast belasteten Balken betrachten.
Zunächst berechnen wir den Druck der Erde:
p = ρ · g · (h − x)
Wir schauen uns nun die Spannungen in der Mauer an. Diese verhalten sich so wie unten zu sehen:
Abbildung 1: rot = Zugspannung, blau = Druckspannung
Die Mauer muss also so hoch sein, dass sie die Zugspannung durch ihr Eigengewicht ausgleicht oder
übertrifft.
Wir setzen die Grundgleichung der Biegung an:
σmax =
Mb
W
3
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Wir bestimmen zunächst die resultierende Kraft und setzen dazu eine Mauerbreite von b = 20 m ein.
Fres =
Z
p dA =
h
Z
ρE · g · (h − x) · b dx
0
1
= ρE · g · b · h2
2
Das Moment greift bei h = 1 m an, deshalb gilt:
Mb =
1
1
· h · Fres = ρE · g · b · h3
3
6
Das Wiederstandsmoment ist:
W=
bd2M
6
Wir setzen ein:
σmax =
ρE · g · h3
d2M
Wir wissen auch, dass für das Eigengewicht der Mauer gilt:
σ M,max = ρ M · g · h M
Wir setzen dies gleich:
ρM · g · hM =
⇔ hM =
ρE · g · h3
d2M
ρ E · h3
d2 · ρ M
Wenn wir unsere Werte einsetzen erhalten wir:
h M = 14, 2 m
2
2.1
Klausuraufgabe „Fischbauchträger“
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die maximale Biegespannung σmax und vergleichen Sie diese mit der zulässigen σzul .
2.2
Lösung
Ein sog. Fischbauchträger ist ein I-Profil, das in diesem Fall von außen 100 mm bis mittig 500 mm
anwächst, wie links und rechts dargestellt. Gesucht ist die Biegespannung für die angegebenen Werte in
der Mitte des Trägers.
Außerdem ist die Materialstärke mit 10 mm und die Streckenlast mit q0 = 10 kN
m gegeben.
Aus der Formelsammlung entnehmen wir die Formeln für σmax (Seite 35), Widerstandsmoment Wy und
Flächenträgheitsmoment Iy (Seite 37). Die Methode zur Berechnung des Biegemoments ist bekannt: Mit
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Hilfe des Freikörperbilds in Abb. 2b) kann der quadratische Biegemomentverlauf in Abb. 2a) berechnet
werden.
x2
+ Mb (x)
2
q0 · l · x
x2
⇔ Mb (x) =
− q0 ·
2
2
q0 l 2
⇒ Mb (l/2) =
8
X
M(x) = 0 = F A x + q0
a)
b)
Abbildung 2: a) Querkraft- und Biegemoment-Verlauf; b) Freikörperbild zur Berechnung des Biegemoments
Die Grundgleichung der Biegung lautet:
σmax =
Mb
Mb · emax
=
W
Iy
Wir bestimmen nun die einzelnen Komponenten. Abb. 3 zeigt die Formelzeichen, die im Folgenden
benötigt werden:
Abbildung 3: Flansch- und Stegbezeichnungen des I-Profils
Für das Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks gilt:
Iy =
bh3
12
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Auf unserer I-Profil übertragen erhalten wir drei Rechtecke, wobei die Flächenträgheitsmomente der
Flansche mit Hilfe des Steinerschen Satzes (da nicht im Schwerpunkt) korrigiert werden.
1
1
1
dS h3S + 2 · bF dF3 + 2 · bF dF (hS + dF )
12
12
12
1
1 =
dS h3S + 2bF dF3 + bF dF (hS + dF )2
12
2
Iy =
emax ist der Abstand der äußeren zur neutralen (=mittleren) Faser. Daher gilt:
1
emax = hS + dF
2
Iy , emax und Mb (l/2) eingesetzt ergibt:
σmax =
q0 l2
·
8
1
12
dS h3S +
1
2 hS + d F
2bF dF3 + 21 bF dF (hS
+ d F )2
Wenn wir nun die Werte einsetzen erhalten wir:
σmax = 57 · 106
N
m2
N
Vergleichen wir diesen Wert mit σzul ≈ 100 mm
2 , können wir sagen, dass zu zulässige Spannung nicht
überschritten wird.