Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6
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Lena Braun Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 Rechnen mit Brüchen Sekund arstufe I aun Le n a B r rbeiten a r e g i tständ s b l e s e alt Lerninh k i t a m e Math chritt rS hritt fü c S n e t pkar Mit Tip igen Lösung t zur rich Downloadauszug D ownloadauszug Originaltitel: aus dem Originaltit tel: 6 Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 Rechnen mit Brüchen Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 Über diesen Link gelangen Sie zur entsprechenden Produktseite im Web. http://www.auer-verlag.de/go/dl6935 Inhaltsverzeichnis Vorwort ............................................................... 2 Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth Rechnen mit Brüchen ....................................... 3 Addition von gleichnamigen Brüchen ............. 3 Subtraktion von gleichnamigen Brüchen ........ 4 Addition von ungleichnamigen Brüchen ......... 5 Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen .... 6 Multiplikation von Brüchen .............................. 7 Division von Brüchen ...................................... 8 Rechnen mit Brüchen und natürlichen Zahlen .......................................... 10 Rechnen mit Brüchen 1 Vorwort Das Schönste, was entdeckendes Lernen im Unterricht bewirken kann, sind mathematische Aha-Erlebnisse. Das plötzliche Begreifen von etwas, was kurz vorher noch gedanklich undurchdringbar erschien, ruft in den Schülern1 nicht nur Stolz auf die eigene Leistung hervor, sondern bildet darüber hinaus eine wichtige Grundlage für das Vertrauen in den eigenen Verstand und in die eigene Urteilsfähigkeit. „Die schönste Mathematik ist die selbst entdeckte“. – Diese Aussage von Prof. Dr. Henn (TU Dortmund) kann auch als Leitsatz für Autorin und Herausgeber der vorliegenden Veröffentlichung gelten. Wir möchten ihn gerne noch präzisieren durch „Die beim Schüler wirkungsvollste Mathematik ist die selbst entdeckte“, denn Inhalte, die den Schülern einfach nur „eingetrichtert“ wurden, haben eine kurze Halbwertzeit und sind schon sehr bald nicht mehr abrufbar. Der amerikanische Psychologe Burrhus Frederic Skinner schreibt dazu: „Bildung ist das, was überlebte, wenn das Gelernte vergessen wurde“. Auch im Hinblick auf einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht und auf eine sinnvolle und gewinnbringende Lebensvorbereitung ist selbstentdeckendes Lernen unabdingbar, denn die Schüler entwickeln dabei selbst Strategien, erproben und verwerfen sie und suchen neue Lösungswege – Fähigkeiten, die in Alltag und Berufsleben unabdingbar sind. Wie geht man als Mathematiklehrer jedoch damit um, wenn ein Schüler nicht weiß, wie er an ein neues Problem herangehen soll oder wenn seine Strategie so gar nicht zum Erfolg führen will? Jeder von uns ken kennt dies aus seiner nnvollen Einsa tagtäglichen Arbeit. Wir haben im Unterricht hierzu sehr gute Erfahrungen mit dem sinnvollen Einsatz von Tippkarten gemacht. Der Aufbau der Unterrichtshilfe ist klar und einfach: ei Tip rten, die gestaffelte ges affelte Hinweise Hinw er AufZu jeder Aufgabenkarte gibt es eine, zwei oder drei Tippkarten, zur Lösung der ten sow hl auf der qua titativ Ebene als auch auf der Ergaben geben. Sie bieten Differenzierungsmöglichkeiten sowohl quantitativen h). Die Schüler wähle ppkarten sie schließungsebene (handelnd, bildlich oder symbolisch). wählen individuell aus,, w wie viele Tippkarten benötigen, um zur Lösung zu gelangen – jederr arbeite arbeitet dabei iin seinem eigenen Tempo. ungskarte zur zu Selbstkontrolle. Selbst Zu jeder Aufgabe gibt es jeweils eine Lösungskarte ga ntiert ein optimales opti en: Das übersichtliche Layout derr Karten garantiert Zurechtfinden: Aufgabenkarte arte 1 ippkarte 1 Tippkarte 2 T pkarte 2 Tippkarte 3 Tippkarte 3 Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth Lösungskarte rte Die Karten wer werden den (idealerwei (idealerweise e ver vergrößert) kopiert und ggf. laminiert; so können die Schüler ihre Lösung mit stift darau Folienstift darauff notieren. Die T Tippkarten werden an einem fest vereinbarten Ort im Klassenzimmer abgelegt oder den sich in der er Hand d befinden des Lehrers, der sie dann entsprechend einzeln ausgibt. Folgende Hauptth Hauptthemen mit allen wesentlichen Unterthemen der Klasse 6 werden abgedeckt: 쎲 Teilbarkeit und Einführung in die Bruchrechnung 쎲 Rechnen mit Brüchen 쎲 Einführung in die Dezimalbruchrechnung 쎲 Rechnen mit Dezimalbrüchen 쎲 Kreis, Winkel und Symmetrien 쎲 Flächeninhalt und Rauminhalt 쎲 Daten und Zufall Viel Erfolg beim Einsatz der Materialien wünschen Herausgeber und Autorin 1 Aufgrund der besseren Lesbarkeit ist in diesem Buch mit Schüler auch immer Schülerin gemeint, ebenso verhält es sich mit Lehrer und Lehrerin etc. Rechnen mit Brüchen 2 Rechnen mit Brüchen 3 £ Die Nenner werden multipliziert. £ Der Nenner bleibt gleich. £ Die Nenner werden addiert. gleic bleibt gleich. addiert gleichnamige e Brüche Brüche, indem man die Nenner addiert; der Zähler £ Man addie eibt bt gleich bleibt gleich. mige Brüche, indem man die Zähler addiert; der Nenner £ Man addiert gleichnamige d Nenner addiert. t. die ichnamige B Brüche, indem man die Zähler multipliziert und £ Man addiert gleichnamige AD DDITION DITION TION VON VO GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN £ Die Nenner werden subtrahiert. 3 Zähler werden dividiert. £ Die Z Die Zähler werden addiert. £ Di £ Die Zähler werden subtrahiert. £ Die Zähler werden multipliziert. Wie ie la lautet nun die Regel für die Addition von gleichnamigen Brüchen? ADDITION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN ADDITION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Wie werden gleichnamige Brüche addiert? Betrachte den Zähler der beiden Brüche und kreuze an. 1 Betrachte den Nenner der beiden Brüche und kreuze an. 2 Betrachte das Beispiel und formuliere eine Regel gel für d die Addition von gleichnamigen Brüchen. 3+ 4 = 7 8 8 8 ADDITION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Ü Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth Rechnen mit Brüchen 4 SUBTRAKTION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Überlege noch einmal, wie du bei der Addition von gleichnamigen Brüchen vorgegangen bist, und übertrage dieses Wissen auf eine Regel für die Subtraktion. Stelle eine Rechnung auf, indem du die beiden Brüche subtrahierst. 1 Sieht man sich die Rechnung + = an, ste stellt lt man fes fest, dass die Zählerr addi addiert werden (3 + 4 = 7). ern bleibt gleich. gleic Der Nenner hingegen wird nicht addiert, sondern ADDITION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth SU UBTRAKTION TRAKTION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN TRAKTIO Wie lange müssen wir dann noch fahren? – = Vergle Vergleiche diese Rechnung hnung mit folge folgendem Schaubild und überprüfe, ob das E Ergebnis stimmt. 3− 1= ? 4 4 Deine Rechnung ung sollte ffolgendermaßen aussehen: 2 Die Zugfahrt dauert eine 3 4 Stunde. Wir sind ja erst 1 Stunde 4 unterwegs. SUBTRAKTION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Rechnen mit Brüchen 5 SUBTRAKTION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN 1+ 3 = ? 4 8 6 Lea holt ein Gefäß aus dem Schrank, auf dem steht, dass Liter hineinpassen. 8 Reicht das Gefäß für ihr Erfrischungsgetränk? Sie hat folgende Rechnung dazu aufgestellt. Lea möchte sich ein Erfrischungsgetränk mischen. In einem Rezept steht, dass ass man dazu 1 Liter Grapefruitsaft mit 3 Liter Orangensaft mischen soll. 8 4 ADDITION VON UNGLEICHNAMIGEN BRÜCHEN = Das Ergebnis kannst du aber noch kürzen: 3− 1= 2 4 4 4 Dein Ergebnis sollte folgendermaßen aussehen: ussehen: 3 Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth AD DDITION DITION TION VON VO UNGLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Überlege, ege e, wie m man den Bruch ruch 1 anders dars darstellen kann, um die Regel der Addition 4 vo on gleichnam n anwenden zu können. von gleichnamigen Brüchen 3 Die Schaubilder der zeigen die Brüche 1 und . 8 4 1 Die Zugfahrt d dauert also noch eine halbe Stunde. 2 : 2 = 1. 4:2 2 Eve Eventuell kann man das Ergebnis noch kürzen. Dann wird aus 3− 1= 2 4 4 4 Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert; der Nenner bleibt gleich. SUBTRAKTION VON GLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Rechnen mit Brüchen 6 ADDITION VON UNGLEICHNAMIGEN BRÜCHEN 8 SUBTRAKTION VON UNGLEICHNAMIGEN BRÜCHEN = 3 − 1= ? 10 8 Wie viel Hektar Wiese besitzt er jetzt noch? Hilf dem Bauern bei der Berechnung: 3 Bauer Fritz hat eine Wiese, die Hektar groß ist. Leider ist er nicht mehr der er 10 1 Jüngste, weshalb er Hektar seiner Wiese verkauft, um weniger Arbeit damit zu 8 haben. 1· 4· Der Bruch 1 wird so erweitert, dass der Nennerr 8 ist: 4 Dann kannst du die Regel der Addition von gleichnamige gleichnamigen Brüchen anwenden. den. Erweitere oder kürze die Brüche so, dass s sie denselbe denselben Nenner besitzen. en 2 Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth SU UBTRAKTION TRAKTION VON UNGLEICHNAMIGEN BRÜCHEN TRAKTIO 6 5 kle kleiner ein als ist, reicht das Gefäß für Leas Erfrischungsgetränk. 8 8 3 − 1= 2 10 8 2 Hierr w wurde etwas s fals falsch lsch gema gemacht. E kenn du den Fehler? ehler? Wie b Erkennst berechnet man die Aufgabe richtig? 1 Da 2+ 3 = 5 8 8 8 Nun kann man nach der Regel der Addition von gleichnamigen Brüchen „Die Zähler w werden addiert; der Nenner bleibt gleich“ den Bruch addieren. 2 Durch das Erweitern des Bruchs 1 mit der Zahl 2 erhält man den Bruch . 8 4 ADDITION VON UNGLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Rechnen mit Brüchen 7 SUBTRAKTION VON UNGLEICHNAMIGEN EN BRÜCHEN Bauer Fritz besitzt also noch 3⋅ 4 − 1⋅ 5 = 12 − 5 = 7 10⋅ 4 8⋅ 5 40 40 40 7 Hektar Wiese. 40 Der Hauptnenner der Brüche ist 40. Die Brüche müssen also folgendermaßen erweitert werden: 3 1 Um – zu berechnen, musst du beide Brüche erweitern. Die Zähler und Nenner 10 8 einfach zu subtrahieren, ist falsch. SUBTRAKTION VON UNGLEICHNAMIGEN BRÜCHEN Überlege, wie man vorgehen muss, damit man die Regel bei dieser Aufgabe egel auch be anwenden kann. Diese Regel kann man aber nur anwenden, wenn der Nen Nenner bei beiden Brüchen er b gleich ist. „Die Zähler werden subtrahiert; der Nenner bleibt eibt gleich.“ Du kennst die Regel für die Subtraktion von n gle gleichnamigen hnamig Brüchen. 2 Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth SUBTRAKTION VON UNGLEICHNAMIGEN BRÜCHEN eine Regel für die Multiplikatio Multiplikation Stelle ei en au von Brüc Brüchen auf. Die Brüche wurden multiplizier D multipliziert. 3 ⋅ 5 = 15 4 7 28 MULTIPLIKATION LTIPLIKA LTIPLIK VON BRÜCHEN 3 – 1 = – = 10 8 40 40 40 H Hier eine kleine Hilfestellung. Der gemeinsame Nenner ist 40. Beide Brüche müssen so erweitert werden, dass sie anschließend denselben Nenner besitzen. 3 Rechnen mit Brüchen 8 MULTIPLIKATION VON BRÜCHEN 3⋅ 5 = 15 4⋅ 7 28 Man multipliziert Brüche, indem man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet. Folgende Regel solltest du formuliert haben: MULTIPLIKATION VON BRÜCHEN Sieh dir die Zahlen genau an und überlege, welche elche Zah Zahlen miteinander multipliziert ultipliziert 15 wurden, um das Ergebnis zu erhalten. 28 1 Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth MULTIPLIKATION VON BRÜCHEN 7 :1=? 1 10 5 Sie stellen folgende Rechnung stel ec nung auf: Lars su und Anna wollen en am Sch Schulfest einen Getränkeverkauf veranstalten. In jedes 1 Glas passt Liter. Wie viele Glä Gl as pa Gläser können sie mit einer Flasche mit 7 Liter 5 10 Limonade füllen? Lim DIIVISION VISION SION VO VON V BRÜCHEN Formul Formuliere nun eine Regel. B Betrachte anschließend die beiden Nenner und multipliziere die Zahlen. 4ž7=? Betrachte zuerst die beiden Zähler und multipliziere die Zahlen. 3ž5=? 2 Rechnen mit Brüchen 9 DIVISION VON BRÜCHEN DIVISION VON BRÜCHEN Aus 7 : 1 = ?, wird deshalb 7 · 1 = ? 10 5 10 5 Achtung! Der erste Bruch bleibt unverändert stehen. Achtung! Aus dem : wird ein · Achtung! Nur beim zweiten Bruch wird der Kehrwert gebildet. Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner eines nes Bruchs vertauscht. 3 den Versuche, Annas Regel auf die Aufgabe anzuwenden. Anna weiß die Lösung! ch teilt oder o Sie sagt: „Es ist egal, ob man durch einen Bruch ob man mit dem Kehrwert malnimmt.“ 1 Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth DIVISION VON BRÜCHEN Da 35 gekürzt ekürzt 3 1 ergeben, können Lars und Anna mit einer Flasche Limonade 10 2 3 1 Gläser fü füllen. llen. 2 7 ⋅ 5 = 35 5 10 1 10 Je Jetzt kannst du die Regel für di die Multiplikation von Brüchen wieder anwenden: Zähle d Nenner mal Nenner: Zähler mal Zähler und Die Regel für die ie Divis Division sion von Brüchen lautet: Man dividiert Brüche, indem man mit d em Kehrwert K dem des zweiten Bru Bruchs multipliziert. DIV IVISION SION ION VON VO BRÜCHEN er Kehrwe Der Kehrwert des Bruchs 27 ist 2 . 2 27 Der Kehrwert des Bruchs 7 ist 9 . 9 7 D Der Kehrwert des Bruchs 1 ist 3 . 3 1 Versuche, mit folgenden Beispielen zu erklären, was der „Kehrwert eines Bruchs“ ist. 2 Rechnen mit Brüchen 10 5 ⋅ 1 ist also dasselbe wie 5 ⋅ 1 = 5 . 2 1 2 2 Man kann also natürliche Zahlen einfach in einen Bruch umschreiben, indem man im Nenner eine 1 schreibt. Die Zahl 5 kann man als Bruch 5 schreiben, da 5 : 1 = 5. 1 RECHNEN MIT BRÜCHEN UND NATÜRLICHEN ZAHLEN Überlege zuerst, wie man die Zahl 5 als Bruch darstellen kann. Berechne: 5 ⋅ 1 2 Sven geht 5-mal pro Woche für jeweils 1 Stunde schw schwimmen. 2 ? Wie viele Stunden schwimmt er in 5 Tagen? RECHNEN MIT BRÜCHEN UND NATÜRLICHEN R ZAHLEN EN N Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 6 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth RECHNEN MIT BRÜCHEN UND NATÜRLICHEN ZAHLEN £ 51 £ 51 5 (Denke daran, dass eigentlich 5 : 5 bedeutet.) £ 5 5 5 Überlege, welcher der Brüche 5 ergibt. Kreuze an. 1 Impressum 6 Auer Ver g © 2016 Verlag ehrerfachv age GmbH Gmb AAP Lehrerfachverlage vorbehal Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ga Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. 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