b - TU Ilmenau

Institut für Medien- und
Kommunikationswissenschaft
Brückenkurs Mathematik
Mathematische Grundlagen
Grundbegriffe
Indizierung von Variablen
Elementare Rechenoperationen
Bruchrechnung
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
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Kommunikationswissenschaft
Brückenkurs Mathematik
Grundbegriffe
Wichtige, hier nicht behandelte
mathematische Themen
Mathematische Logik:
Aussageformen,
Aussagefunktionen,
Aussagenlogisches Schließen
Mathematische Beweise:
direkter und indirekter Beweis,
Prinzip der vollständigen Induktion
Mengenlehre:
Mengenrelationen,
Mengenoperationen
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Grundbegriffe
Mengen, Elemente und Variablen
Menge:
Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte
A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
A = { x | x ist eine Ziffer kleiner gleich 6 }
Element:
zu einer Menge gehörendes Objekt
3 ∈ { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
Variable:
Bezeichnung (Platzhalter) für ein Objekt, das verschiedene
Werte aus einer Menge annehmen kann
x ∈ A; x = 1; … ; 6
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Kommunikationswissenschaft
Grundbegriffe
Indizierung von Variablen
  Darstellung verschiedener Variablen mit dem gleichen
Buchstaben mittels Durchnummerierung (Index)
a1; a2; a3; …
  Indizes sind z.T. selbst Variablen, deren Werte der
Indexmenge entstammen
ai ; i ∈
N
  Das Prinzip der Durchnummerierung lässt sich auf Doppel-/
Mehrfachindizierungen ausweiten.
a1,1; a1,2; a2,1; a2,2
ai,j ≠ aj,i
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Kommunikationswissenschaft
Grundbegriffe
Intervalle
  Abgeschlossenes Intervall: [ a ; b ]
  Offenes Intervall
]a;b[
  Rechts offenes Intervall:
[a;b[
  Links offenes Intervall:
]a;b]
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Elementares Rechnen
Eingrenzung der Zahlenbereiche
Natürliche
Zahlen
Ganze
Zahlen
Rationale
Zahlen
Reelle
Zahlen
positive nicht
gebrochene
Zahlen
positive und
negative nicht
gebrochene
Zahlen
endliche bzw.
unendliche
periodische
Dezimalbrüche
alle, d.h. auch
unendl. nicht
periodische
Dezimalbrüche
Komplexe Zahlen
Zahlen mit zwei reellwertigen Komponenten:
dem Realteil und dem Imaginärteil
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Elementares Rechnen
Zahlenbereiche und elementare
mathematische Operationen
Natürliche
Zahlen
Addition,
Multiplikation,
Potenzieren
Ganze
Zahlen
Rationale
Zahlen
Reelle
Zahlen
auch
Subtraktion
auch
Division
auch
Radizieren
positiver
reeller Zahlen
Komplexe Zahlen
auch Radizieren und Logarithmieren
negativer reeller Zahlen
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Elementares Rechnen
Absoluter Betrag
Bezeichnet den Abstand eines Zahlenpunktes vom Nullpunkt
-a
0
|a|
a
|a|
# a für a % 0
a ="
!$ a für a < 0
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Elementares Rechnen
Grundlegende Gesetzmäßigkeiten
Kommutativität
–  der Addition:
–  der Multiplikation:
a+b=b+a
ab=ba
Assoziativität
–  der Addition:
–  der Multiplikation:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a  b)  c = a  (b  c)
Distributivität
 
a  (b + c) = a  b + a  c
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Elementares Rechnen
Vorzeichenregeln
-(-a) = a
-(a + b) = -a - b
-(a - b) = -a + b
a(-b) = (-a)b = -(ab)
(-a)(-b) = ab
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Elementares Rechnen
Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
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Elementares Rechnen
Das Summenzeichen
  Kurzdarstellung der Addition von Summanden, die nach
einem Bildungsgesetz von den natürlichen Zahlen
abhängen:
obere Summationsgrenze
n
∑ ai = a1 + a2 + … + an
i =1
„Summe aller Zahlen ai
von i gleich 1 bis n.
untere Summationsgrenze
Summationsindex
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Elementares Rechnen
Rechnen mit Summenzeichen
n
! (a
!
k =1
n
k
n
+ bk ) = !k =1 ak + !k =1 bk
n
n
c
"
a
=
c
"
a
!
k
k =1
k =1 k
!
n
n
n
a
"
b
#
a
"
b
!
!
k
k
k
k =1
k =1
k =1 k
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Brückenkurs Mathematik
Elementares Rechnen
Rechnen mit Beträgen
  Multiplikation:
  Division:
  Dreiecksungleichung:
a "b = a " b
a a
=
b b
a+b ! a + b
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Bruchrechnung
Erweitern und Kürzen von Brüchen
a a!c
=
b b!c
a a ÷c
=
b b÷c
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Brückenkurs Mathematik
Bruchrechnung
Addition und Subtraktion von Brüchen
  Mit gleichen Nennern
a c a+c
+ =
b b
b
a c a!c
! =
b b
b
  Mit ungleichen Nennern
a1 a2 a1b2 + a2b1
+ =
b1 b2
b1b2
a1 a2 a1b2 ! a2b1
! =
b1 b2
b1b2
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Bruchrechnung
Multiplikation und Division von Brüchen
  Multiplikation:
a c a!c
! =
b d b!d
  Division:
a c a!d
÷ =
b d b!c
  Doppelbrüche:
a
b = a
c b!c
a a!c
=
b
b
c
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Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Logarithmieren:
n = logb a
n
b = a = b$!!
b#
!…
!b
!
"
n Faktoren
Radizieren:
n
b= a =a
1
n
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Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Potenzgesetze
m
n
n
n
a !a = a
m
m+n
n
a ! b = (a ! b )
m n
(a ) = a
a
m"n
=a
n
a
n
n
a
(a%
=& #
n
b
'b$
m! n
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Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Wurzelgesetze
n
n
n
n
a ! b = a !b
n
m
a =
( a)
n
m
n
m n
a n a
=
b
b
a = m! n a
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Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Logarithmengesetze
logb (u ! v ) = logb u + logb v
(u%
logb & # = logb u " logb v
'v$
logb (u n )= n ! logb u
logb n
1
u = ! logb u
n
logb1 a =
logb2 a
logb2 b1
ln a
lg a =
ln 10
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Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Anwendung von Logarithmen
  Logarithmen verdeutlichen Größenordnungen:
a = m ! 10
k
Kennziffer
Mantisse; 1≤m<10
log10 a = lg a = lg m + k
0 ≤ lg m < 1
  Die Größe von lg a hängt eher von der Kennziffer,
d.h. von der Größenordnung der Zahl a ab.
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Brückenkurs Mathematik
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Beispiel: Angabe von
Größenverhältnissen
Das Verhältnis einer Messgröße zu einer
Bezugsgröße wird häufig in deziBel (dB)
angegeben:
xmess
a = 20 ! lg
xbezug
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Brückenkurs Mathematik
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Logarithmen und Zahlenbasis
Gebräuchliche Logarithmen sind
  Dekadischer Logarithmus lg (x) = log10(x)
  Natürlicher Logarithmus ln (x) = loge(x)
  Dualer Logarithmus ld (x) = log2(x)
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Brückenkurs Mathematik
Grundbegriffe
Zahlenbasis und Positionssysteme
Reelle Zahlen werden in einem Positionssystem dargestellt.
Die verwendeten Ziffern haben neben dem Zahlenwert auch
einen Stellenwert.
z(b ) = z nb n + z n −1b n −1 + … + z0b 0 + z −1b −1 + … + z − mb − m
  Dezimalsystem:
  Binärsystem:
  Hexadezimalsystem:
n
=
i
z
b
∑i
i =− m
Basis b=10; Grundziffern: 0,1,...,9
Basis b=2; Grundziffern: 0,1
Basis b=16;
Grundziffern: 0,1,...,9,A,B,C,D,E,F
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Grundbegriffe
Aufgaben Positionssysteme
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