Quadratische Gleichungen - pythagoras-club

Mathematik
bla
Quadratische Gleichungen
Bestimme die Lösungsmengen.
A. Reinquadratische Gleichungen
1.
2
2x – 7 = 1
2.
2
3x – 1 = (x – 1)(x + 1)
2
3.
50x + 9 = 11
x + 4x + 4 = 1
B. Gemischtquadratische Gleichungen: Zerlegung in zwei lineare Faktoren
4.
7.
2
x – 4x – 21 = 0
1
 x 2  5x  12  0
2
2
5.
x – 8x + 12 = 0
6.
8.
3 (10 – x) (2x – 15) = 0
9.
2
x2
6x

0
x6 6x
C. Quadratisches Ergänzen
2
11. x + 4x = 1
2
14. x – 52x + 576 = 0
10.
x – 8x + 16 = 4
13.
x – 2x – 5 = 0
16.
3x + 10x + 9 = 0
2
2
12. x – 8x = – 7
2
2
15. x – 0.6x = 0.16
2
2
2
18. 4x – 12x + 5 = 0
17. 2x + 8x + 6 = 0
D. Allgemeine quadratische Gleichungen: Lösungsformel
2
20. 4x – x – 3 = 0
3x + 2 = 7x
2
23. 100x + 100x = 620x – 651
25.
(x – 3)(2x – 7) = 1
26. x + 3x + 4 = 0
28.
Für welche Werte des Parameters a hat die Gleichung zwei, eine, keine Lösungen?
2
x + 2x + 3a = 0
29.
Stelle den Lösungsterm für x möglichst einfach dar.
30.
Bestimme die Lösungsmenge:
19.
5x + 8x – 4 = 0
22.
2
2
2
Gib eine quadratische Gleichung mit folgenden
Lösungsmengen an:
a) L = {–3, 1½ }
32.
L  {1  2 ,1  2 }
b)
1 2 1
1
x  x 0
2
3
6
2
27. n + 20n + 100 = 0
2
ux – v = (u – v)x
François Viète oder Franciscus Vieta, wie er
sich in latinisierter Form nannte
(* 1540 in Fontenay-le-Comte;
† 13. Dezember 1603 in Paris), war ein
französischer Advokat und Mathematiker. Er
führte die Benutzung
c) von
L Buchstaben
= {11 ; 0} als
Variablen in die mathematische Notation ein.
Zerlege die folgenden Terme in Linearfaktoren:
a) x  2 2 x  2
2
33.
24.
x  4 30  x 2

x  5 x 2  5x
E. Der Satz von Vieta
31.
2
21. 5x – 8x + 4 = 0
b)
2
2x - 2x - 1
2
Gegeben ist die Gleichung 3x + bx + 3 = 0
a)
Welche Zahlen kann man für b einsetzen, damit 4 eine Lösung ist?
b)
Welche Zahlen kann man für b einsetzen, wenn die Gleichung genau eine Lösung hat?
c)
Beweise: für jedes b, welches zwei Lösungen ergibt, gilt immer:
Die eine Lösung ist gleich dem Kehrwert der andern Lösung!
1
Quadratische Gleichungen
F. Textaufgaben
2
34.
Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt A = 60 cm ist 4 cm länger als breit.
Berechne die Längen der Rechteckseiten.
35.
Bestimme p und q so, dass die Gleichung x + px + q = 0 die Lösungen p und q hat.
36.
Welches Vieleck hat 350 Diagonalen?
37.
Welches Vieleck hat 150 Diagonalen mehr als Seiten?
38.
Ein Blumenbeet von 3m Länge und 2m Breite ist ringsum mit konstanter Breite von Rasen
eingefasst, so dass die Einfassung und das Beet den gleichen Flächeninhalt haben.
Wie breit ist die Einfassung?
39.
In einem rechtwinkligen Dreieck von 20cm Umfang ist die
Hypotenuse 1cm länger als eine Kathete. Berechne die Länge
der Hypotenuse.
40.
Die Grundseite des halkreisförmigen Fensters (vgl. Skizze)
ist b. Berechne daraus den Radius des kleinen Kreises.
2
G. Biquadratische Gleichungen:
41.
4
2
x - 11x + 18 = 0
42.
4
2
20x - 41x + 20 = 0
4
43.
2
4x - 5x + 1 = 0
H. Wurzelgleichungen
Für welche Werte von x ist der Wurzelterm definiert?
44.
3x  9
45.
2
1
x
46.
x 1
x3
x
y
49.
u  v 

  uv
 2 
Vereinfache (wenn möglich ohne Wurzel darstellen):
47.
ab2
48.
Berechne ohne Taschenrechner:
50.
1

2
53.
2
2
51.
xy:
2
 2  1 2  1
Ist die folgende Gleichung wahr oder falsch?
52.
 3 5  3 5 




3  12  18  2  8  27
Bestimme die Lösungsmengen:
54.
4  x2  7  x  3
55.
x  8  1  16x
57.
7  3 x 2  x  5  2x
58.
2x  7 
60.
5x  5x  3x  3x
59.
x5 5 x
61.
2a  2ax  a  x
63.
x 2  5x  1  6 x 2  5x  1  5
64.
2


x 4  x  24  x
quadr_gleichungen.docx
62.
65.
1
x4
56.
3x  2  2x  2
2 x4
x4 x 3 0
1
x2
 x2
2
2
Quadratische Gleichungen: Lösungen
L1 = {–2;2}
L2 = { 0 }
L3 = { +1/5 ; - 1/5 }
L4 = { -3; 7 }
L5 = { 2; 6 }
L6 = { -1; -3 }
L7 = { -2; 12 }
L8 = { 10; 7.5 }
L9 = { 0; -6 }
L10 = { 6; 2 }
L11 = { -2+5; -2-5 }
L12 = { 7; 1 }
L13 = { 1+6 ; 1-6}
L14 = { 36; 16 }
L15 = { 0.8; -0.2 }
L16 = 
L17 = { -1; -3 }
L18 = { 2.5 ; 0.5 }
L19 = { 0.4; -2 }
L20 = { 1 ; -3/4 }
L21 =
L22 = { 2 ; 1/3 }
L23 = { 3.1 ; 2.1}
L24 = { 1/3; -1 }
L25 = { 4 ; 2.5 }
L26 = 
L27 = { –10 }
28.
keine Lösung für a>1/3
1 Lösung für a=1/3
2
29.
ux – v = (u – v)x
30.
L30 = { -3 }
31.
a)
(x + 3)(x – 1½) = 0

b)
p = –(x1 + x2) = –2
q = x1  x2 = –1
a)
x1 = x2 = 2
b)
x 1,2 
a)
b = 12.75
c)
x 1,2 
32.
33.
34.
2 Lösungen für a<1/3
L29 = { -v/u ; 1 }
x = 5 ist keine Lösung, da der Nenner Null wird!
2
x + 1½x – 4½ = 0

2  12 1
3
 
4
2
2
b)

2x + 3x – 9 = 0

x – 2x – 1 = 0
2
2
x 2  2 2 x  2  (x  2 )2
2
2x – 2x – 1 = ( x 
1
3
1
3

)( x  
)
2
2
2
2
b=6
 b  b 2  36
6
x: Breite das Rechtecks
1
x2
Zeige: x 1 
d.h.:
 b  b 2  36
6

6
 b  b 2  36
L = { –10, 6 }
x ( x + 4 ) = 60
Das Rechteck ist 6cm breit und 10cm lang.
2
p = 1 und q = –2
pq = q
also: x + x – 2 = 0
35.
p + q = -p
36.
Anzahl Diagonalen in einem n-Eck:
½n(n–3) = 350
n = 28
37.
Anzahl Diagonalen in einem n-Eck:
½n(n–3) = n + 150
n = 20
38.
x: Breite des Rasenstreifens
(3+2+3+2)x + 4x = 6
2
L = { –3; 0.5 }
Die Einfassung ist 0.5 m breit.
39.
x: Länge der Hypotenuse
2
2
x = (x – 1) + (21 – 2x)
40.
2
x–1 Kathete
20–x–(x–1): Kathete
L = { 13; 8.5 }
Die Hypotenuse misst 8.5 cm
x: Radius des kleinen Kreises
2
2
42.
IL = { –
b
b

b

Satz von Pythagoras:      x     x 
4
2
4
 




x=
41.
2
b
6
IL = {–2; 2, –-3; 3 }
2
5
quadr_gleichungen.docx
;
2
5
;–
5
5
;
}
2
2
43.
IL = {–½; ½; –1; 1 }
3
Wurzelgleichungen
44.
47.
ID = {x  IR | x3 }
ab
48.
y
45.
ID = {x  IR | x>0 \/ x– ½}
46.
ID = {xIR | x>3 \/ x1}
49.
uv
2
51.
1
56.
IL = , -4 IL
50.
0
52.
10
53.
Wahr: 3 2 + 3 3 = 3 2 + 3 3
54.
IL= { 3 }
55.
IL = { 1 },
57.
IL = { 27 } , 2 IL
58.
IL = { –3,5 : –3 }
59.
IL = { 9 }
60.
IL = { 0 }
61.
IL = { a } , 5a IL
62.
IL = { 1; 9 }
63.
IL = { –3; 0; 5; 8 }
64.
IL = { 9 }
65.
IL= { 5 } , – 5 IL
quadr_gleichungen.docx
49
IL
225
4