Panorama der Mathematik und Informatik

Panorama der Mathematik und Informatik
2: Geschichte: Antike
Dirk Frettlöh
Technische Fakultät
16.4.2014
2: Geschichte: Antike
Panorama der Mathematik und Informatik
Beweise: Zuerst im antiken Griechenland (Thales, Pythagoras,...)
1. Geometrische Aussagen (“in allen Fällen gilt...” s.o.)
2. Geometrische Konstruktionen (mit Zirkel und Lineal)
3. Aussagen über ganze Zahlen (s. unten, Übung 3)
4. Korrektheit eines Algorithmus (Euklidischer Algor., s.u.)
5. Existenzsätze (irrationale Zahlen, Dodekaeder)
(s. Wußing Kap. 5)
Beispiele: zu 1: Satz des Pythagoras, oder: in jedem Dreieck
schneiden sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt.
Zu 2.: Reguläres n-eck für n = 4, 5, 6, 15, Winkelhalbierung,
Winkeldrittelung (?!)
Zu 3.: Eindeutige Primfaktorzerlegung, oder Existenz unendlich
vieler Primzahlen
Zu 4: ?
Zu 5.:
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Satz: In einem regulären Fünfeck ist das Verhältnis der Längen der
Seiten und der Diagonalen irrational.
irrational: nicht von der Form qp , wobei p und q irgendwelche
ganzen Zahlen sind.
regulär: alle Seiten gleich lang, alle Innenwinkel gleich.
b
a
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Wir brauchen: (Vereinbarung: Vollwinkel = 1)
(A) Außenwinkel eines regulären n-Ecks
ist 21 + n1
(B) α + β =
(B)
β
α
1
2
(C) (Winkelsumme im Dreieck)
α + β + γ = 12
(D) a = b ⇒ α = β (Thales !)
β
(E) α = β ⇒ a = b
(F) Haben zwei Dreiecke die gleichen
Seitenlängen, dann auch die
gleichen Winkel.
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α
(C)
(D) & (E)
a
β
γ
α
b
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1/5 1:(A)
3/10
2:(B)
zu 2: 1 − ( 12 + 15 ) =
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3
10
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b
1/5
3/10
b
1/10
1/10
3:(C)&(D)
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3:
3
10 +?+?
= 12 , also ? =
1
10 .
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b
1/10
1/5
5
4:(F)
1/10 b
1/10
2: Geschichte: Antike
4: Regelmäßiges Fünfeck, also
Dreiecke gleich (F).
1
2
3
− 10
= 10
= 15 .
5: 10
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b
1/5
1/10
b
1/10
1/5 1/10
c 8
7:(E) b 6:(C)
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1
6: 10
+ 15 +? =
8: c:=a-b
1
2
⇒? =
1
5
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b
b
c
1/10
9d
10
9: d:=b-c
10: Fünfeck regulär, also wie 3.
1/10
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b
b
c
1/10
d
Und jetzt....
c
1/10
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Angenommen, ba ist rational. Also können a und b als ganze
Zahlen gewählt werden.
In der Mitte des großen regulären Fünfecks ist nun ein kleines
reguläres Fünfeck. Dessen Diagonale ist c, dessen Seite d. Also:
a
c
b = d.
Wir sahen: c = a − b und d = b − c. Also sind auch c und d
ganze (positive!) Zahlen.
Wir können das Spiel von oben beliebig oft wiederholen, mit immer
kleineren und kleineren Fünfecken. Das liefert immer kleinere und
kleinere Zahlen a > b > c > d > e > f > g > h · · · > 0.
Da alles ganze Zahlen sind, ist das unmöglich. Also muss unsere
Annahme: “ ba ist rational” falsch sein. Also ist ba irrational!
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Noch ein Beispiel für einen antiken Beweis:
Satz von Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Widerspruchsbeweis. (wikipedia)
“Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen p1 , . . . , pn .
Es sei m das Produkt aller dieser Zahlen. Betrachten wir nun
m + 1. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
1. m + 1 ist eine Primzahl. Sie ist dann nach Konstruktion größer
als p1 , . . . , pn und somit eine weitere Primzahl im Widerspruch zur
Annahme.
2. m + 1 ist keine Primzahl. Sie muss daher einen Primteiler q
besitzen. Nach Annahme muss q dann eine der Primzahlen
p1 , . . . , pn sein, und folglich Teiler von m. Als Teiler von m und
von m + 1 müsste q aber auch die Differenz, also 1, teilen. Da 1
keinen Primteiler besitzt, ergibt sich ein Widerspruch. Die
Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, ist also falsch.”
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Euklidischer Algorithmus:
”[The Euclidean algorithm] is the granddaddy of all algorithms,
because it is the oldest nontrivial algorithm that has survived to the
present day.” Donald Knuth, The Art of Computer Programming.
Ziel: Größter gemeinsamer Teiler. Z.B. von 322 und 138.
Algorithmus: Input: a > b positive ganze Zahlen.
1. Ziehe b von a wiederholt ab, bis das Ergebnis c kleiner als b
ist.
2. c = 0: STOP. Ausgabe b.
3. Sonst a := b, b := c, weiter bei 1.
Bsp.: 1. 322 − 138 = 184, 184 − 138 = 46, 2. 138 − 46 = 92,
92 − 46 = 46, 46 − 46 = 0. STOP. Ausgabe 46.
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Ein Höhepunkt: Euklid’s Elemente (Band 1-13).
Axiomatischer Aufbau: Definitionen und Axiome, Satz, Beweis.
wikipedia: “Dieses Vorgehen beeinflusste bis heute nicht nur die
Mathematiker, sondern auch viele Physiker, Philosophen und Theologen
bei ihrem Versuch, ihre Wissenschaft auf Axiomen aufzubauen.
Die Elemente wurden 2000 Jahre lang als akademisches Lehrbuch
benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach
der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur.”
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Buch 1-6: Flächengeometrie, u. a. kongruente und ähnliche Figuren
I
Buch 1: Von den Definitionen bis zum Satz des Pythagoras
I
Buch 2: Geometrische Algebra
I
Buch 3: Kreislehre
I
Buch 4: Vielecke
I
Buch 5: Irrationale Größen
I
Buch 6: Proportionen
Buch 7-9: Arithmetik, u. a. Zahlentheorie und Proportionenlehre
I
Buch 7: Teilbarkeit und Primzahlen
I
Buch 8: Quadrat-, Kubikzahl und geometrische Reihen
I
Buch 9: Gerade und ungerade Zahlen
Buch 10: Geometrie für inkommensurable Größen
Buch 11-13: Raumgeometrie
I
Buch 11: Elementares zur Raumgeometrie
I
Buch 12: Exhaustionsmethode
I
Buch 13: Die fünf gleichmäßigen Körper
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