n - Zahweh

Mathematik-Zusammenfassung
1.
GRUNDRECHENARTEN ...................................................................................................................... 2
2.
GLEICHUNGEN..................................................................................................................................... 2
3.
FUNKTIONENLEHRE........................................................................................................................... 3
4.
FOLGEN UND REIHEN......................................................................................................................... 4
5.
ABSCHREIBUNGEN.............................................................................................................................. 5
6.
GRENZWERTE ...................................................................................................................................... 7
7.
DIFFERENTIATIONEN ...................................................................................................................... 7
8.
KURVENDISKUSSION.......................................................................................................................... 8
9.
KOSTEN-, ERLÖS- UND GEWINNFUNKTIONEN........................................................................... 11
10.
PREISELASTIZITÄTEN ................................................................................................................... 14
11.
LINEARE OPTIMIERUNG ............................................................................................................... 14
12.
STATISTIK ......................................................................................................................................... 15
13.
VERSICHERUNGEN ......................................................................................................................... 19
14.
FINANZMATHEMATIK ................................................................................................................... 22
15.
TILGUNGSRECHNUNG ................................................................................................................. 24
16.
INVESTITIONSRECHNUNG ............................................................................................................ 26
© by Marcel Arnet
Version: 08.09.00
1.
Grundrechenarten
1.1.
Vorzeichen
1.4.
Binome
2
(a + b) = a 2 + 2ab + b 2
-10x2 = -100
(-10x2) = 100
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
1.2.
Potenzieren, Radizieren
2
(−2) = 4
(a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2
Binome: Formelbuch Seite 19
(−2) 3 = −8
a 3 ⋅ a 5 = a8
−2
2
1
= 2
1
2
4
3
= 32
2
3
(a 3 ) 3 = a 9
ggT = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
1.5.2
16 4 = 16 = 4
3
− 8 = −2
Diverses mit Brüchen
3 −1 3 1 2
= − =
4
4 4 4
2 4
= =4
1 1
2
0.3
0.3 g −1 = 1
g
3
8
x = xp
q
1.5.3
Kleinstes gem. Vielfaches
KGV erhält man aus dem Produkt aller vorkommenden Primfaktor-Gruppen, in ihrer Grösstform.
1.3.
Logarithmus
log a (b ⋅ c) = log a (b) + log a (c )
4 = 2⋅ 2
8 = 2⋅ 2⋅ 2
12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3
b
log a   = log a (b) − log a (c )
c
log a (b n ) = n ⋅ log a (b)
log a (b) =
Grösster gem. Teiler
48 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
72 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n
p
q
Rechnen mit Brüchen
1.5.1
GGT erhält man aus dem Produkt der gemeinsame Primfaktoren der Zahlen
a 5− n ⋅ a 3+ 2 n = a 8+ n
a3  a 
= 
b3  b 
1.5.
kgV = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24
log(b)
log(a )
10 log( 5) = 5
1
log  = − log(v )
v
1.6.
Schriftliche Division mit Brüchen mit Restwert
5by
(12ax + 16bx − 15ay − 25by ) : (3a + 4b) = 4 x − 5 y −
3a + 4b
− (12ax + 16bx)
0
0 −15ay − 25by
−(−15ay − 20by )
0 − 5by (= Rest )
Man teilt die erste Zahl (12ax) durch den ersten Teiler (3a) und erhält nun 4x. 4x rechnet man nun mit (3a+4b)
zurück und erhält schliesslich (12ax+16bx) welches man nun von den ersten zwei Termen abzieht. etc. Einen
nicht mehr teilbaren Rest schreibt man als Bruch hin
Marcel Arnet, 08.09.00
2
2.
Gleichungen
3.
Funktionenlehre
2.1.
Lineare Gleichungen
3.1.
Die Lineare Funktion
(mit mehreren unbekannten)
2.1.1.
3.1.1
y
x
m
q
Additionsmethode
3 x + 4 y = 32
2 x − 4 y = −12
5 x = 20
2.1.2.
1-Punkte Version
x + 7 y = −16
x + 4y = 5
5 − 4 y = −16 − 7 y
y=
x = 2 + 3y
4x + 7 = 9 y
3.2.
y=x
y = m⋅ x
für
m >1=
Streckung in y - Richtung
0 < m < 1 = Stauchung in y - Richtung
m < 0 = Parabel nach unten geöffnet.
Quadr. Gleichungen
0 = ax 2 + bx + c
Lösungsansätze
3.2.3.
y = ax 2 + bx + c ⇒ y = a ( x − [ x0 ])( x − [ x1 ])
y = m( x + a) 2 + b
Allgemeines Lösungsvorgehen:
2.3.
⇒
x1 / 2 =
−b± D
2a
 b b 2 − 4ac 

S = (− a; b) =  − ;−
4a 
 2a
3.2.4.
Ungleichungen
Die allg. Form lässt sich in die Scheitelform
umwandeln:
Vertauschung beider Seiten
Multiplikation oder Division
mit einernegativen Zahl
Kehrtwertbildung
3.
2.4.
y = ax 2 + bx + c
1 2
x − 4 x + 11
2
1
y = x 2 − 8 x + 11{ m wird ausgeklamm ert
2
+ 16 in Klamm./ - 8 ausserh. Kl.
1
y = x 2 − 8 x + 16 + 11 − 8
2
da 1/2 x 16 = 8
y=
Absolute Beträge
(
x−2
⇒
x − 2 ( für x ≥ 2)
⇒ ⋅(−1) = 2 − x ( für x < 2)
(
y=
Marcel Arnet, 08.09.00
Die allgemeine Form:
y = ax 2 + bx + c
Das Ungleichheitszeichen ist umzukehren bei:
1.
2.
Die Scheitelform
Es gilt:
m = Stauchung, Streckung, Öffnung
a
= Versch. der Normalparabel in x-Richtung
b
= Versch. der Normalparabel in y-Richtung
Faktorzerlegung:
D = b 2 − 4ac
Parabel 2. Grades
2
5
1
⇒u=
x
x
Allg. Form:
Normalparabel
2
3.2.2.
bei kompexen Termen:
q
Die quadratische Funktion
3.2.1
Substitution
2.2.
y 2 − y1
y − y1
⋅ x + y1 − x1 ⋅ 2
x 2 − x1
x 2 − x1
1
424
3
14424
43
m
4 (2 + 3 y ) + 7 = 9 y
z.B. :
1
x+2
2
2
2=
1x
y=
2-Punkte Version
Einsetzungsmethode
2.1.4.
Beispiel
y = m⋅x + q
∆y
m=
∆x
Gleichsetzungsmethode
2.1.3
Strahlensatz
= Punkt auf Ordinate
= Punkt auf Abszisse
= Steigung
= y-Achsenabschnitt
3
)
)
1
( x − 4) 2 + 3 ⇒ S (4;3)
2
3.2.5
Nullstellen einer quadr.
Funktion
4.
Folgen und Reihen
(siehe auch 2.2. Quadr. Gleichungen; Allg. Lösungsvorgehen)
4.1
Arithm. Reihen + Folgen
Für Nullstellen
der quadratischen Funktion
y = a 2 x 2 + a1 x + a 0 mit der Diskriminanten
2
gilt folgendes:
a1
an
sn
n
Differenz [d] ist konstant
D = a1 − 4a0 a 2
an = a1 + (n −1)d
D>0 = zwei versch. reelle Nullstellen
2 x 2 + 3x − 6 = 0
x0,1 =
an =
− 3 ± 9 + 48
= 1,14und − 2,64
4
2⋅ sn
−a1
n
a1 = an −(n −1)d
x2 + 6x − 9 = 0
(x − 3)(x − 3) = 0 → x0,1 = 3
2⋅ sn
− an
n
2sn
−(n −1)d
n
a1 =
2
a1 =
oder
− (− 6 ) ± 0
=0
2
D<0 = keine reelle Nullstellen
an −a1
n−1
a − a Nenner = Diff
d= 6 2
4 von a6+a2
x 2 − 2x + 5 = 0
x0,1 =
d=
− (−2) ± 4 − 20
= keine reele Zahl
2
3.2.6
Linearfaktorenzerlegung
Man bestimme die Linearfaktorenzerlegung der
Funktion y = 2x2 – 12x + 16
an − a1
+1
d
2s
n= n
a1 + an
n=
Nullstellen:
2 x 2 − 12 x + 16 = 0
x 2 − 6x + 8 = 0
( x − 2)( x − 4) = 0
x0 = 2; x1 = 4
Marcel Arnet, 08.09.00
Beispiele:
a1 = 5; d = 2
s20 = 480
a 20 = 5 + [(20 − 1)2] ⇒ 43
an =
2 ⋅ 480
− 5 ⇒ 43
20
a20 = 43; d = 2;
s20 = 480
D=0 = eine doppelte Nullstelle
x0,1 =
= 1. Glied
= n-tes Glied
= Summe von n Gliedern
= Anzahl Glieder
n
sn = (a1 + an)
2
n
sn = [2a1 + (n −1)d]
2
4
a1 = 43 − [(20 − 1)2] ⇒ 5
2 ⋅ 480
− 43 ⇒ 5
20
2 ⋅ 480
− [(20 − 1)2]
⇒5
a1 = 20
2
a1 =
a20 = 43; a1=5
a6 = 15
43 − 5
⇒2
20 − 1
43 − 15
d=
⇒2
14
d=
a20 = 43; a1=5
d = 2; sn = 480
43 − 5
+ 1 ⇒ 20
2
2 ⋅ 480
n=
= 20
43 + 5
n=
a20 = 43; a1=5
d = 2; sn = 480
20
(5 + 43) ⇒ 480
2
20
sn = [2 ⋅ 5 + ( 20 − 1)2] ⇒ 480
2
sn =
4.2.
Geom. Reihen + Folgen
4.2.1
Geom. Reihen, mit Ende
Fall 3
Nullfolge
Für Fall 3:
Quotient [q] zweier aufeinander folgenden
Glieder ist konstant
a1
1− q
s − s v = rv
sn =
a1 = 1. Glied
an = n-tes Glied
sn = Summe von n Gliedern
a n = a1 q
rv =
n −1
a n = a n −1 + a n+1 ⇒ a 6 a5 + a7
an
q n −1
s (q − 1)
a1 = n n
q −1
q=
1− qn
1− q
a n+1
a n−1
q = n−1
4.2.3.
an
a1
a q ⇒ a6
q = 1 1
⇒ q = 4 q4
a1 q ⇒ a 2
Beispiel:
a1 − s v (1 − q )
a1
q=v
a1 − s v (1 − q)
a1
Dezimalzahlen in Brüche
1− q
0.566 = 0.5(k ) + 0.06(a1 ) + 0.006(a 2 ) + ...
144424443
s n − a1
sn − an
q = 0.1oder
log a n − log a1
+1
log q
log a n − [log a n q − s n (q − 1)] + log q
n=
log q
log[s n (q − 1) + a1 ] − log a1
n=
log q
5.
Quotient [q] zweier aufeinander folgenden
Glieder ist konstant
= Grenzwert
= 1. Glied
= n-tes Glied
= Summe von n Gliedern
= Teilsumme
= Differenz zwischen Summe und Teils.
q > 1 → lim an = ∞
Fall 2
q = 1 → a n = a1
n
A⋅ p
100
Rv
E
Anschaffungswert
= Anschaffungskosten
= Abschreibungsquote
= jährlicher Abschreibungsbetrag
= Schrottwert
= Restwert im Jahr i
= Anzahl Jahre der gesamten Abschr.
= jährliche Abschreibung
= Restwert nach v Jahren
= Einheit für die Degression
5.1.1.
Konstant ohne Schrottwert
Abschreibungsbetrag bleibt immer der Selbe. Am
Ende der Abschreibung ist der Betrag auf 0.
100
n
A
D=
n
p% =
für alle
konstante Folge
Marcel Arnet, 08.09.00
Abschreibungen
5.1.
A
p%
D
S
Ri
n
Geom. Reihen, unendlich
Fall 1
divergente Folge
1
10
6
1
1  6 ⋅ 10  1 2 15 2
s n = + 100 = + 
=
+
= +
1
2
2  9 ⋅ 100  2 30 30 30
1−
10
17
⇒
= 0.566
30
n=
lim
a1
an
sn
sv
rv
qv =
n
4
4.2.2



Alle Dezimalzahlen können als Brüche geschrieben
werden.
a
k=Konstante
s =k+ 1
5
q=
a1
a (1 − q v )
− 1
1− q
1− q
1− qv
s v = a1 
 1− q
s − a1
q= n
sn
a1 =
s n = a1
q < 1 → lim a n = 0
a1 = s n (1 n−→q∞)
5
A = D⋅n
100
A
n=
oder
p%
D
5.1.2.
Konstant mit Schrottwert
5.2.1
Abschreibungsbetrag bleibt immer der Selbe. Am
Ende der Abschreibung bleibt ein Schrottwert
übrig.
Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber
immer kleiner. Die Abschreibungsquoten bilden eine
geometrische Folge. Am Ende der Abschreibung
bleibt ein Schrottwert übrig.
 S  100
p% = 1 − 
A n

A−S
D=
n
100S
A=
100 − n ⋅ p
w=n
 n⋅ p
Rn = A1 −
=S
100 

A−S
 S  100
n = 1 − 
oder
A p
D

5.1.3
Digital (degressiv) ohne
Schrottwert
5.2.2.
Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber
immer kleiner. Am Ende der Abschreibung bleibt 0.
E ( n 2 + n)
A=
2
wB = n
Digital (degressiv) mit
Schrottwert
n
Degr. mit Abschwächung
S+B
A+ B
n

S + B 
p B = 1001 − n
A + B 

log( S + B) − log( A + B)
nB =
p %

log1 − B 
100 

E ( n 2 + n) + 2 S
2
n
p% 

A1 −
 −S
100 

B=
n
p% 

1 − 1 −

 100 
Buchwert
= Anschaffungskosten
= Abschreibungsquote
= jährlicher Abschreibungsfaktor
= Schrottwert (S=0 wenn ohne Schrottwert)
= Restwert im Jahr i
= Restwert nach n Jahren
= Anzahl Jahre der ges. Abschreibung
Marcel Arnet, 08.09.00
p% 

Rn = S = A1 −

 100 

S
p = 1001 − n 
A

log( S ) − log( A)
n=
p% 

log 1 −

 100 
p% 

Rn = S = ( A + B )1 −
 −B
 100 
2( A − S )
n(n + 1)
v( A − S )
Rv = A −
⋅ (2n − v + 1) ⇒ v ≤ n
n(n + 1)
A
p%
w
S
Ri
Rn
n
n
n
E=
5.2.
p% 

S = Rn = A1 −

 100 
p% 

S = Rn = ( A + B )1 −
 −B
 100 
Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber
immer kleiner. Die Abschreibungsquoten bilden eine
arithmetische Folge. Am Ende der Abschreibung
bleibt ein Schrottwert übrig.
A=
S
p%
oder1 −
A
100
A
= Anschaffungskosten
p%B = Abschreibungsquote mit Abschwächung
wB = jährlicher Abschreibungsfaktor mit Abschwächung
S
= Schrottwert (S=0 wenn ohne Schrottwert)
Ri = Restwert im Jahr i
Rn = Restwert nach n Jahren
nB = Anzahl Jahre der ges. Abschreibung mit
Abschwächung
2A
E=
n(n + 1)
v⋅ A
Rv = A −
⋅ (2n − v + 1) ⇒ v ≤ n
n(n + 1)
5.1.4
Degr. mit/ohne Schrottwert
Beispiele: siehe nächste Seite
6
Beispiele:
Wie hoch ist p bei degressiver Abschreibung vom
Buchwert, wenn zum Anschaffungswert von Fr.
200000 und zum Schrottwert von 10000 zwecks
Abschwächung je 40000 hinzugefügt werden und
die Lebensdauer 10 Jahre geschätzt wird.
6.2.
lim x n = ∞
x →∞
1
=∞
x →∞ x n
lim x n = 0
lim

10000 + 40000 

p B = 1001 − 10

+
200000
40000


= 14.51%
x→0
lim e x = ∞
x →∞
Wie hoch ist der Restwert im 6 und 8 Jahr?
6
 14.51 
R6 = S = (200000 + 40000)1 −
 − 40000
100 

R6 = 53641
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
200000
165157
135373
109913
88148
69544
53641
40046
28425
18491
fiktiver Restwert
240000
205157.367
175373.106
149912.853
128148.859
109544.511
93641.098
80046.505
68425.542
58491.684
50000
Abschreibung
0
34842
29784
25460
21765
18604
15903
13595
11621
9934
8491
lim e x = 0
x → −∞
lim e x = 0
x→0
x→0
lim (ln x ) = ∞
x →∞
lim (ln x) = 0
10000 + 40000
= 0.8548
200000 + 40000
Buchwert
x →∞
lim e x = lim e − x = 1
Wie hoch sind die 10 Abschreibungsbeträge?
Jahr
lim e − x = ∞
x → −∞
8
 14.51 
R8 = S = (240000)1 −
 − 40000
100 

R8 = 28425
w B = 10
Grenzwerte spezieller
Funktionen
x →1
lim (ln x) = −∞
x→0
Restwert
richtig
200000
165157
135373
109913
88148
69544
53641
40046
28425
18491
10000
x
1
 1
lim 1 +  = lim (1 + x ) x = e
x →∞
x →0
 x
1
1
 1
lim 1 −  = lim (1 − x ) x =
0
x →∞
x
→
e
 x
n
x
lim x = 0
x →∞ e
0 für 0 < q < 1

x
lim q = 1 fürq = 1
x →∞
∞fürq > 1

WICHTIG:
Anfangswert x wB = fiktiver Restwert 1
Restwert 1 x wB = fiktiver Restwert 2, etc.
Anfangswert – fiktiver Restwert 1 = Abschreibung 1
fikt. Restwert 1 – fiktiver Restwert 2 = Abschreib. 2.
etc.
∞für 0 < q < 1

lim q 1 fürq = 1
x →∞
0 fürq > 1

−x
richtiger Anfangswert – Abschreib. 1 = Buchwert 1
Buchwert 1 – Abschreibung 2 = Buchwert 2, etc.
7.
Differentiationen
Differentiationsregeln
6.
Grenzwerte
7.1.
6.1
Rechenregeln
(wichtige Ableitungen im Formelbuch S. 37)
lim c = c
; wobei c = Konstante
lim( a ± b) = lim a ± lim b
lim( a ⋅ b) = lim a ⋅ lim b
a lim a
lim =
b lim b
lim a n = (lim a ) n
Konstante
f ( x) = c = const.
f ′( x ) = 0
f ( x) = x 2 + 5
f ′( x) = 2 x
Faktorregel
Beispiel
f ( x ) = c ⋅ g ( x)
f ′( x) = c ⋅ g ′( x)
lim n n = n lim a
lim e a = e lim a
lim(ln a) = ln(lim a)
Marcel Arnet, 08.09.00
Beispiel
7
f ( x) = 7 ⋅ x 2
f ′( x) = 7 ⋅ 2 xoder 7 ⋅ 4 x
Summenregel
7.2.
Differentiation einiger
wichtiger Funktionen
Beispiel
f ( x) = u ( x) ± v ( x )
f ′( x) = u ′( x) ± v ′( x)
f ( x) = x 3 + 2 x 2
Siehe Formelbuch S. 37
f ′( x) = 3x + 4 x
2
7.3.
Potenzregel
Umkehrfunktion
f ( x) = x .
f ( x) = 4 x .
Vertauscht man in einer F-Gleichung das Argument
(x) mit der Variablen (y), löst die Gleichung nach y
auf, erhält man die Umkehrfunktion:
f ′( x) = n ⋅ x n −1
f ′( x) = 4 ⋅ 4 x 4−1 = 16 x 3
Schreibweise:
Beispiel
n
4
y= f
−1
( x)
Beispiel:
Produkteregel
y = f ( x) = −2 x + 4 ; x und y vertauschen
x = −2 y + 4
; nach y auflösen
1
y = f −1 ( x ) = − x + 2
2
f ( x) = u ( x) ⋅ v( x)
f ′( x) = u ′( x) ⋅ v( x) + u ( x ) ⋅ v ′( x)
Beispiel:
u ( x) = 2 x 2 ⇒ u ′( x) = 4 x
f ( x) = 2 x 2 ⋅ x 2 + 1 
Kurvendiskussion
v( x) = x 2 + 1 ⇒ v ′( x ) = 2 x 8.
8.1.
Definitionsbereich
Welche Zahlen umfasst der Diskussionsbereich
f ′( x) = 4 x ⋅ x 2 + 1 + 2 x ⋅ 2 x 2
(
)
(
)
(
)
D=?
f ′( x) = 4 x + 4 x + 4 x 3 = 4 x + 8 x 3
3
8.2.
Quotientenregel
8.3.
u( x)
f ( x) =
v( x)
u ′( x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v ′( x)
f ′( x) =
[v( x)]2
Beispiel:
(
(
Ist f(-x) = f(x) für alle x, so ist y = f(x) achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse:
Beispiel:
f ( x) = x 4 − x 2
f ( − x) = f ( x ) ?
)
)
f (−2) = (− 2) − (− 2) = f (2) = 2 4 − 2 2
4
f ′( x) =
)
2 x + 2 x − 3x + 9 x
− x + 2x + 9x
=
3
2
2
( x + 1)
x3 + 1
4
4
2
4
(
2
)
Kettenregel
f ( x ) = f [( g ( x)]
f ′( x) = f ′( x ) ⋅ g ′( x)
(
)
(
)
1
x → +∞
2
1
lim = +∞
2
x → −∞
1 −1
1
f ′ ( x ) = ( x 2 +1) 2
2
g ( x ) = x +1⇒ g ′ ( x ) = 2 x
oder
2⇒
2
f ′( x ) =
[ ( )] [ ( )]
f (−2) = − 2 4 − − 2 2 ≠ f (2) = 2 4 − 2 2
8.4.
Grenzwerte
f ( x) = x − x
lim = +∞
f ( x) = x + 1 ⇒ ( x + 1)
1444442444443
f ( x ) = x 2 +1
f ( x) = x − x
f ( − x) = − f ( x) ?
Man setzt für x Grenzwerte unendlich (pos. +neg.)
ein und schaut wohin das führt
Beispiel:
4
2
Beispiel:
2
2
Ist f(-x) = -f(x) für alle x, so ist y=f(x) punktsymmetrisch bezüglich 0
Beispiel: 4
2
2 x( x 3 + 1) − 3 x 2 ( x 2 − 3)
f ′( x) =
x3 +1
(
Symmetrie
Achsen- oder Punktsymmetrie?
2
x 2 − 3 u ( x) = x − 3 ⇒ u ′( x) = 2 x

x 3 + 1 v( x ) = x 3 + 1 ⇒ v ′( x ) = 3x 2
f ( x) =
Stetigkeit
Ganzrationale Funktion ist stetig + differenzierbar
f ( x) = 3 x 3 − 2 x 2 + 3
lim = +∞
1 2
−1
( x + 1) 2 ⋅ 2 x
2
x → +∞
lim = −∞
x → −∞
Wenn Exponent gerade, immer positiv = negativ,
wenn Exponent ungerade, unterschiedlich
Marcel Arnet, 08.09.00
8
8.5.
0 = x4 − x2
Nur bei gebrochenen rationalen Funktionen wird
das Verhalten für sehr grosse x untersucht. Es
gibt 3 Fälle:
8.5.1.
Beispiel
f ( x ) = x 4 − x 2 → f ( x) = 0
Beispiel:
Asymptoten
(
Grad Zähler ist kleiner als
Grad Nenner
oder
x
2
x +1
x
1
2
lim = 2 x
→ x →0
x → +∞
1
x
1
1+ 2
+ 2
2
x
x
x
f ( x) =
f ( x ) = x 3 − 4 x → f ( x) = 0
0 = x3 − 4x
4x = x
4 = x2
4 = x → ±2 = x
x-Achse = Asymptote
8.5.2.
Grad Zähler ist gleich wie
Grad Nenner
Beispiel
2x − 1
x2 +1
2x 2 1
1
− 2
2− 2
2
x →
x →2
lim = x 2
x → +∞
1
x
1
1+ 2
+ 2
2
x
x
x
f ( x) =
8.7.1
f ( x) =
0=
f ( x) =
(x
3
x3 + x + 1
x2 −1
)(
)
+ x +1 : x2 −1 = x +
x n +1 = x n −
2x + 1
x2 −1
f ( x) = x 3 − x 2 + 0.5 → f ′( x) = 3x 2 − 2 x
Für x1 wird - 0.5 angenommen !
x1 = −0,5; f ( x1 ) = 1.25; f ′( x1 ) = 1.75
Polstellen
0.125
→ −0.571429
1.75
− 0.013120
→ −0.565247
x3 = −0.571429 −
2.122449
− 0.000103
→ −0.0565198
x 4 = −0.565247 −
2.089008
− 0.00000001
x5 = −0.565198 −
→ −0.0565198
2.088741
x 2 = −0.5 −
f ( x) =
→ Df = Rohne1
x −1
lim+ f ( x) = ∞ ⇒ lim− f ( x ) = −∞
x →1
Die Polstelle ist immer eine parallele zu der y-Achse
und führt in diesem Fall nach –/+ Unendlich.
Nullstellen
Man setzt den x-Wert auf Null und löst Gleichung
nach x auf . So erhält man die Schnittpunkte mit der
y-Achse. Eine ganzrationale Funktion n-Grades
hat höchstens n verschiedene Nullstellen.
Marcel Arnet, 08.09.00
f ( xn )
f ′( x n )
wobei für x irgendein Wert angenommen wird. Zu
beachten ist, das nach dem ersten Verfahren mit
Newton die Zahl x2 möglichst nahe bei 0 liegen
muss. Ansonsten muss eine andere Zahl genommen werden.
Beispiel:
x strebt gegen Zahlen welche aus dem Def.-Bereich
ausgeschlossen sind.
Beispiel:
x2
8.7.
Nullstellen nach Newton
Iteratives Näherungsverfahren mit der Formel.
Kann nur bei differenzierbaren Funktionen angewendet werden.
Nur bei gebrochen rationalen Funktionen!!!
x →1
1 3
x − 2x 2 + 3
3
8.7.2
Wenn x gegen unendlich strebt, verschwindet der
zweite Summand. Somit ergibt sich eine y=x und
eine Gerade durch 0. Dies ist die Asymptote.
8.6.
1 3
x − 2x2 + 3 = 0
3
Keine Möglichkeit mit „normalem“ Verfahren
Grad Nenner ist kleiner wie
Grad Zähler
Beispiel
Nullstellen bei Funktionen
höheren Grades
Sollte das obenerwähnte Verfahren nicht aufgehen,
z.B. bei einer Gleichung höheren Grades, dann gibt
es verschiedene andere Anwendungen
Beispiel:
2
Parallele zur x-Achse = Asymptote.
8.5.3.
)
0 = x2 x2 −1
x1 = −1; x 2 = +1; x3 = 0
Eine Nullstelle liegt nun bei –0.0565198. Da es eine
Potenz 3. Grades in der Funktionsgleichung hat,
könnte es bis zu drei Nullstellen geben. Die höchste
Potenz in der Funktionsgleichung zeigt an, wieviel
Nullstellen es geben kann.
9
8.7.3
Nun weiss man, da es keinen Rest gegeben hat,
dass es noch mehr Nullstellen haben muss. Man
kann mittels Newton, Regula falsi oder durch erraten weitere Nullstellen herausfinden.
Nullstellen nach Regula falsi
Iteratives Verfahren, ohne das die Funktion differentierbar sein muss. Die Formel lautet:
x3 = x 2 − f ( x 2 ) ⋅
x 2 − x1
f ( x 2 ) − f ( x1 )
Die 2. Nullstelle x 02 wurde erraten und lautet + 2
wobei , f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) < 0
x 3 − 9 x 2 + 26 x − 24 : (x − 2 ) = x 2 − 7 x + 12
Es gab wieder kein Rest. Da man jetzt aber eine
Quadratische Gleichung erhält, kann mit der allg.
Nullstellenbestimmung (à3.2.5) die restliche(n)
bestimmen.
Beispiel:
f ( x) = x + x + 1
x1 = 1 → f ( x) = 3
3
x 2 − 7 x + 12
x 2 = −1 → f ( x ) = −1
+ 7 ± 49 − 48
+ 7 ± 1  x 03 = 3
−1−1
x03 , x 04 =
=

= −0.5
2
2  x 04 = 4
−1− 3
3
→ f ( x3bzw. − 0.5) = (− 0.5) + (− 0.5) + 1 = 0.375 Eine ganzrationale Funktion 4-Grades hat höch-
x3 = −1 − (−1) ⋅
stens 4 verschiedene Nullstellen.
da f(x3) positiv ist, wird x3 nun anstelle von x1 gesetzt. Nur so gilt wieder f(x1)· f(x2)<0. daraus folgt:
8.8.
x3 → x1 = −0.5 → f ( x) = 0.375
x 2 = −1 → f ( x ) = −1
f ( x) = x − x → f ′ ( x ) = 4 x − 2 x
− 1 − (−0.5)
x3 = −1 − (−1) ⋅
= −0.63636 3
− 1 − 0.375
→ f ( x3 bzw. − 0.636 3 ) =
y ′( x) = 0 = 4 x 3 − 2 x
0 = 2 x(2 x 2 − 1)
(− 0.636 3 ) + (− 0.636 3 ) + 1 = 0.105935...
3
x1 = 0; x 2 =
da f(x3) wieder positiv ist, wird x3 nun anstelle von
x1 gesetzt. Nur so gilt wieder f(x1)· f(x2)<0. Dieses
Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis mein f(x3)Wert nahe Null ist.
8.7.4
Extremwerte
Erhält man , in dem man y in der 1. Ableitung auf
Null setzt. 4
2
3
1
1
; x3 = −
2
2
Somit sind die Nullstellen an den x-Werten bekannt,
aber nicht ob Minimum oder Maximum.
Mittels 2. Ableitung erhält man die Auskunft, ob Min.
oder Max., indem man die x-Werte einsetzt.
Daraus folgt:  y ′′ ( x ) < 0 = rel. Maximum (Hoch)
Nullstellen durch Division
und Anzahl der Nullstellen
bestimmen
0

y ′(x 0 ) = 0 und  y ′′ (x0 ) >
 y ′′ ( x ) =
0

Eine ganzrationale (ganze Zahlen) Funktion n-Grades kann auch bis auf eine Quadratische reduziert
werden, um die restlichen Nullstellen herauszufinden. Die erste Nullstelle kann nach Newton oder
Regula Falsi bestimmt werden. Die erweitern können mittels Divisionsverfahren herausgefunden
werden.
0 = rel. Minimum (Tief)
0 = Sattelpunkt
Beispiel:
f ( x) = x 4 − x 2 → f ′′ ( x ) = 12 x 2 − 2
f ′′( x1 ) = f ′′(0) = 12 ⋅ (0 2 ) − 2 = − 2 → rel.Max.
 1 
1
 − 2 = 4 → rel.Min.
f ′′( x 2 ) = f ′′ ( ) = 12 ⋅ 

2
2 
2
Um zu entscheiden, ob das Polynom noch weitere
Nullstellen besitzt, dividiert man das Polynom durch
den Linearfaktor (x-xn). Gibt es noch weitere Nullstellen, darf bei dieser Division kein Rest entstehen.
Gibt es keine weiteren, erhält man in der Regel
einen Rest.


2

1
f ′′( x 2 ) = f ′′ (−
) = 12 ⋅  −
2

f ( x ) : [x − (± x n )] = ?
1 
− 2 = 4 → rel .Min.
2 
Um die y-Werte der Extremwerte nun zu erreichen,
setzen wir die erhaltenen x-Werte in die Ausgangsgleichung ein.
Beispiel:
Beispiel:
f ( x) = x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 − 50 x + 24
Die Nullstelle x 01 wurde erraten und lautet + 1
f ( x) = x 4 − x 2
x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 − 50 x + 24 : (x − 1) = x 3 − 9 x 2 + 26 x − 24 f ( x1 ) = f (0) = x 4 − x 2 → 0
(Behandlung von Division von Brüchen siehe
auch unter Kapitel 1.5.)
Marcel Arnet, 08.09.00
10
4
1
f ( x2 ) = f ( ) =
2
1
−
2
1
f ( x 2 ) = f (−
)=
2

−


2
1
→ − 0.25
2
4

1 
− −


2

2
1 
→ − 0.25
2 
Daraus folgt:
In der Gleichung f(x)=x4-x2 haben an folgenden
Punkten Extremwerte:
9.2.3.
Variable Kosten
Yv ( x ) = YK ( x ) − Y f
P(0;0 ) → relatives Maximum, konkav
Beispiel:
YK ( x) = x 3 − 20 x 2 + 150 x


1
;− 0,25  → relatives Minimum, konvex
 2

P
9.3.
Formeln Durchschnittskosten
9.3.1.
Totale Durchschnittskosten

1
 ;− 0,25 → relatives Minimum, konvex
Y ( x)
YKD ( x ) = K
2 

x

P   −
 
Beispiel:
8.9.
x 3 − 20 x 2 + 150 x + 200
x
200
2
→ x − 20 x + 150 +
x
Krümmungsverhalten
YKD ( x ) =
Gibt Auskunft, ob konkav (rechts-) oder konvex
(links gekrümmt). Dies sieht man in der 2. Ableitung
y ′′( x) < 0 → konkav
y ′′( x) > 0 → konvex
8.10.
9.3.2.
Wende- und Sattelpunkte
Y fD =
Wechsel zwischen konvex und konkav oder Umgekehrt. Bei einem Sattelpunkt ist eine Wendestelle
mit horizontaler Tangente
Durchschn. Fixkosten
Yf
x
9.3.3.
y ′′ ( x0 ) = 0 + y ′′′ ( x 0 ) ≠ 0 → x0 = Wendestelle
Y fD =
Beispiel:
200
x
Durchschn. variable Kosten
x 3 − 20 x 2 + 150 x
Yv ( x)
Y
(
x
)
=
vD
YvD ( x ) =
Beispiel:
x
Beispiel
x
4
2
2
2
f ( x) = x − x → f ′′ ( x ) = 12 x − 2 → f ′′′ ( x ) = 24 x
→ x − 20 x + 150
9.4.
Formeln Gewinn + Erlös
y ′′ ( x) = 0 = 12 x 2 − 2
y ′′ ( x0 ) = 0 + y ′′′ ( x 0 ) = 0 → x 0 = Sattelpunkt
−
9.4.1
2 = 12 x 2
x=±
2
1
→ ±
12
6
Beispiel:
YG ( x) = YE ( x) − YK ( x)
YG ( x) = (− x 2 + 300 x ) − (x 3 − 20 x 2 + 150 x + 200 )
3
9.4.3.
4
1  
− ±
6  
YGD ( x ) =
2
1 
= ± 0.1388
6 
9.
Kosten-, Erlös- und
Gewinnfunktionen
9.1.
9.2.
Nachfragefunktion
YN ( x ) = − x + 300
Formeln Gesamtkosten
9.2.1.
Gesamtkostenfunktion
Yf = d
Beispiel:
YG ( x )
x
x 3 + 19 x 2 + 150 x − 200
YGD ( x ) =
x
200
2
→ − x + 19 x + 150 −
x
YK ( x) = x 3 − 20 x 2 + 150 x + 200
Fixkosten
Durchschnittsgewinn
−
Beispiel:
9.2.2.
200
Beispiel:
YK ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Marcel Arnet, 08.09.00
2
→ − x + 19 x + 150 x −
f ( x) = x 4 − x 2
Beispiel:
Gesamtgewinn
Beispiel:
Setzt man nun den erhaltenen x-Wert in die Ausgangsgleichung, erhält man den dazugehörigen yWert der/des Wendepunkte(s).
1  
= ±
6  
YE ( x) = x ⋅ (− x + 300) = − x 2 + 300 x
9.4.2.
1
1
y ′′′(±
) = 24 ⋅ ±
≠ 0
6
6

f  ±

Gesamterlös
YE ( x) = Menge ⋅ Pr eis → x ⋅ YN ( x )
Y f = 200
11
9.4.4.
Grenzgewinn
YG′ (x)
Beispiel: YG′ ( x) = − 3x 2 +
38 x + 150
9.4.5.
YE′ ( x ) = 0
Menge des max. Erlöses
Beispiel: Y E ( x) = − x 2 +
9.4.8.
300 x
YE′ ( x) = 0 = − 2 x + 300
x = 150
R
r
YE (150) = − (150 2 ) + (300 ⋅ 150 )
→
22500
Gewinnmaximierung mit
indirekten Steuern
= Gesamtsteuer = r · x
= Steuer pro Stück
YKr′ ( x) = YE′ ( x )
Beispiel:
Die Menge 150 ergibt den grösstmöglichen Erlös
von 22500.
YK ( x) = 0.04 x 3 − 0.6 x 2 + 3x + 3
r = 2GE / ME ⇒ 2 x
9.4.6.
YKr ( x) = 0.04 x 3 − 0.6 x 2 + 3x + 3 + 2 x
YN ( x ) = − 0.16 x + 5 ⇒ YE ( x ) = x ⋅ (− 0.16 x + 5)
Gewinnmaximum beim
Monopol
YK′ ( x) = YE′ ( x)
YKr′ ( x) = YE′ ( x)
oder
YG′ ( x) = 0
0.12 x 2 − 1.2 x + 3 + 2 = − 0.32 x + 5
Beispiel:
0.12 x 2 − 0.88 x = 0
x(0.12 x − 0.88) = 0
3 x 2 − 40 x + 150 = − 2 x + 300
 Auflösung nach allg. Verf.x1 = 0; x 2 = 7.3

0 = 3 x 2 − 38 x − 150
YN (7.3) = 3.832
38 ± 1444 + 1800  x1 = − 3,16
− b± D
Bei einer indirekten Steuer von Fr. 2.—pro Stück
→
x1 / 2 =

wäre die gewinnmaximierende Menge 7.3 Stück
2a
6
 x 2 = 15,83
YN ( x ) = − x + 300
und der Preis pro Stück Fr. 3.832.
YN (15.83) = − 15.83 + 300 → 284.17
9.4.9.
Gesamtsteuer
Das heisst bei einer Menge von 15.83 und einem
Preis von 284.17 würde das Gewinnmaximum erreicht.
R
= r· x
Für das obenerwähnte Beispiel gilt:
Merke:
Beim Cournotschen Punkt (=Gewinnmaximum)
ist die Nachfrage stets elastisch oder fliessend!
Die Gesamtsteuer beträgt beim Gewinnmaximum
Fr. 14.6.
9.4.7.
R = 2 ⋅ 7.3 = 14.6
9.4.10.
Gewinnmaximum beim
Polypol
Steuerrate festlegen, damit
möglichst hohes Steueraufkommen erzielt wird
Die Kostenfunktion Ykr(x) muss abgeleitet und nach
r aufgelöst werden.
Beispiel:
YE ( x) = p ⋅ x ⇒ YE′ ( x) = p ⇒ Y
YG′ ( x) = 0
YK ( x) = 0.04 x 3 − 0.6 x 2 + 3 x + 3
YE′ ( x) − YK′ ( x) = 0
YKr ( x) = 0.04 x 3 − 0.6 x 2 + 3 x + 3 + (r ⋅ x )
YN ( x ) = − 0.16 x + 5 ⇒ YE ( x) = x ⋅ (− 0.16 x + 5)
Beispiel:
YK ( x) = x 3 − 12 x 2 + 60 x + 98;0 ≤ x ≤ 12
YKr′ ( x) = YE′ ( x)
p = 60GE / ME
0.12 x 2 − 1.2 x + 3 + r = − 0.32 x + 5
YK′ ( x) = p
0.12 x 2 − 0.88 x − 2 + r = 0
3x 2 - 24x + 60 = 60
r = − 0.12 x 2 + 0.88 x + 2
3x 2 − 24 x = 0
x(3x − 24) = 0
x1 = 0; x 2 = 8 ⇒ gewinnmax. Menge
Die Steuerrate müsste nun wie oben festgelegt
werden, damit der Staat ein möglichst hohes Steueraufkommen erzielt.
YG (8) = (8 ⋅ p ) − YK (8)
./.
YG ( x) = 480 − 322 = 158
Das heisst bei einer Menge von 8 und einem Preis
von 60 würde der Gesamtgewinn von Fr. 158.—
erreicht.
Marcel Arnet, 08.09.00
12
Die Gesamtsteuer würde wie folgt berechnet:
Beispiel:
R = x(− 0.12 x 2 + 0.88 x + 2) = − 0.12 x 3 + 0.88 x 2 + 2 x
R ′ = 0 = − 0.36 x 2 + 1.76 x + 2
Auflösung nach allgemeinem Lösungsverfahren:
R ′ = 0 = − 0.36 x 2 + 1.76 x + 2
x1 = − 0.944; x 2 = 5.833
R(5.833) = 17.792
Die Gesamtsteuer würde bei der oben berechneten
Steuerrate Fr. 17.792 ergeben.
9.4.11
S
s
Gewinnmaximierung mit
Subventionen
x1 / 2 =
= Gesamtsubvention = s· x
= Subvention pro Stück
Formeln Grenzfunktionen
9.5.1.
Grenzkosten
YK′ (x)
Beispiel:
9.5.2.
YE′ (x )
YK′ ( x) = 3 x 2 − 40 x + 150
Formeln Deckungsbeitrag
9.6.1.
Totaler Deckungsbeitrag
langfr. Preisuntergrenze
YK′ ( x) = YKD ( x)
200
x
Näherungsverfahren nach Newton nötig, um Null3 x 2 − 40 x + 150 = x 2 − 20 x + 150 +
stelle zu bestimmen.
9.8.2.
Beispiel:
kurzfr. Preisuntergrenze
YK′ ( x) = YvD ( x)
Basis ist die Menge vom Gewinnmaxi mum
Beispiel:
YD ( x) = (− x 2 + 300 x ) − (x 3 − 20 x 2 + 150 x )
3 x 2 − 40 x + 150 = x 2 − 20 x + 150
2
→ − x + 19 x + 150 x
YD (15.83) = − (15.833 ) + (19 ⋅ 15.83 2 ) + (150 ⋅ 15.83)
9.6.2.
Preisuntergrenzen
9.8.1.
Beispiel:
YD ( x) = YE ( x) − Yv ( x )
3
9.8.
Minimum der Durchschnittskosten
YE′ = − 2 x + 300
9.6.
b ± b 2 − 4ac − 2 ± 36  x1 = 4
=

2a
1
 x2 = − 8
Das heisst, dass das Marktgleichgewicht bei einem
Preis von 10 eine Menge von 4 erreicht wird.
Grenzerlös
Beispiel:
−
x 2 fällt nicht in Def. - Bereich, also weg damit
1
Y A (4) = 2 ⋅ (4 + 1) = 10; YN (4) = ⋅ (36 − 4 2 ) = 10
2
Gleich wie bei den Steuern, ausser das eine Subvention von den Kosten abgezogen würde
9.5.
Y A ( x) = 2 ⋅ ( x + 1) 
1
≤ x≤ 6
1
2 
YN ( x ) = ⋅ (36 − x ) 2
2

1
2
⋅ (36 − x ) = 2 ⋅ ( x + 1)
2
 1
 1
0 = 2 x + 2 − 18 −  − x 2  = x 2 + 2 x − 16
 2
 2
Allg. Lösungsverfahren :
Deckungsbeitrag per Stk.
YED ( x) = YN ( x )
YDD ( x) = YED ( x) − YvD ( x )
0 = 2 x 2 − 20 x
20 x = 2 x 2
10 = x
YK′ (10) = 50
Beispiel:
Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt bei einer
Menge von 10 und einem Preis von 50
YDD ( x) = 284.17 − (x 2 − 20 x + 150 )
Gewinnschwelle
Basis ist die Menge und der Preis vom Gewinnmax.9.9.
Break-even-point / Nutzenschwelle, -grenze
YD (15.83) = 284.17 − (15.83 2 − (20 ⋅ 15.83) + 150) YG ( x) = YE ( x) − YK ( x) = 0
oder
9.7.
Marktgleichgewicht
YN(X) = Nachfragef.; YA(X)= Angebotsf.
Y K ( x ) = YE ( x )
Y N ( x) = Y A ( x)
Beispiel:
x 3 − 20 x 2 + 150 x + 200 = − x 2 + 300 x
0 = − x 3 + 19 x 2 + 150 x − 200
Auflösung mittels Näherungsverfahren nach Newton
Kleinste Zahl = Nutzschwelle;
Grösste Zahl = Nutzengrenze
Marcel Arnet, 08.09.00
13
10.
Preiselastizitäten
10.1.
Nachfrageelastizität
Beispiel:
Es gilt:
∈N
( x ) < − 1 → elastisch → Luxusgüter
∈N
( x ) > − 1 → unelastisc h → lebensnotw . Güter
∈N
( x ) = − 1 → fliessend
Eine Bergwerksgesellschaft fördert die gleiche Erzsorte in
zwei Gruben G1 und G2 die an 3 Verhüttungswerken W1,
W2 und W3 geliefert werden.
Die Höhe der Tagesförderung, der Mindestbedarf der 3
Verhüttungswerke in der Woche und die täglichen Produktionskosten sind in der folgenden Tabelle angegeben. An
wieviel Tagen muss in den einzelnen Gruben Erz gefördert
werden, damit der Bedarf erfüllt wir und die Produktionskosten möglichst gering sind?
Vollkommen elastisch: Parallel zur x-Achse E=unendl.
Vollkommen unelastisch: Parallel zur y-Achse E=0
W1
W2
W3
Prod.kosten je
Tag in SFR
Formel:
∈N
( x) =
Y N ( x)
Y ( x)
dx
1
⋅
= N
⋅
x
dY N ( x )
x
YN′ ( x )
( x) =
x1 / 2 ≥ 0
2 x1 + x 2 ≥ 8 ⇒ x 2 ≥ − 2 x1 + 8
dY N ( x)
x
x
⋅
=
⋅ YN′ ( x)
Y N ( x)
dx
Y N ( x)
x1 + x 2 ≥ 6 ⇒ x 2 ≥ − x1 + 6
Beispiel:
YN ( x ) = − x 2 + 12500}50 ≤ x ≤ 100
x1 + 4 x 2 ≥ 12 ⇒ x 2 ≥ −
3. Zielfunktion
Gesucht : Elastizitä tkoeffizie nt für x = 80
− 6100 1
∈ N (80) =
⋅
≈ − 0.48
80
160
10.2.
Bedarf je
Woche
8
6
12
Min.
1. Nichnegativitätsbedingung
2. Restriktionen
Falls angegeben:
∈N
Tageförderung in t
G1
G2
2
1
1
1
1
4
100
200
1
x1 + 3
4
100 x1 + 200 2 = Z → Min. ⇒ x 2 = −
Beim Zeichnen ist darauf zu achten, dass bei einem
Minimum der Bereich rechts der Restriktionsgeraden Maximum der Bereich links der Restriktionsgeraden gilt.
Angebotselastizität
Es gilt:
Das zulässige Ziel ist jeweils der Eckpunkt:
∈A
( x) > 1 → elastisch → Massenprod./konservi erbar
∈A
der letztmögliche
( x) < 1 → unelastisc h → verderbl./Produktionsprobl. Maximum
Minimum der erstmögliche
∈A
( x) = 1 → fliessend
Formel:
10.3.
11.2.
Y ( x)
1
∈ A ( x) = A
⋅
x
Y A′ ( x)
Amoroso-Robinson


Beispiel:
Ein Wohnwagenhersteller stellt drei Typen A, B, C von
Caravans her. Die Grundmontage erfolgt in Werk 1, die
Herstellung der Inneneinrichtung in Werk 2. Die Anzahl der
Arbeitsstunden, die für die Herstellung eines WW erforderlich sind, die Gesamtanzahl der zur Verfügung stehenden
Arbeits-h im Monat sowie die Gewinne je Wohnwagen sind
wie folgt:
Arbeitszeit je WW Gesamtanzahl der h
A
B
C
Werk I
40 60
20
11200 h
Werk 2
80 60
40
17600 h
Gewinn je WW 400 500 200
Max.
1 

∈ N ( x) 
11.
Lineare Optimierung
11.1.
Allgemeines
Lineare Optimierung mit 3
x-Werten
NUR MÖGLICH, WENN MINDESTENS EINE RESTRIKTION EINE GLEICHUNG UND KEINE UNGLEICHUNG IST!!!
Mit dieser Gleichung kann nachgewiesen werden,
dass der Grenzerlös von dem Preis und dem Elastizitätskoeffizienten abhängig ist.
Formel:
YE′ ( x) = YN ( x ) ⋅  1 +
1
Z
x1 +
2
200
Vorgehen
1. Nichtnegativitätsbedingung:
2. Restriktionen
3. Zielfunktion
Die Firma stellt im Monat insgesamt 300 WW her. Von Typ
A können höchstens 120, von Typ B höchstens 100
WW/Monat produziert werden.
Wieviele WW müssen von jedem Typ im Monat hergestellt
werden, damit der G möglichst gross ist.
1.
2.
Nichtnegativitätsbedingung
Restriktionen
x1 / 2 ≥ 0
a)40 x1 + 60 x 2 + 20 x3 ≤ 11200
b)80 x1 + 60 x 2 + 40 x3 ≤ 17600
c) x1 ≤ 120; x 2 ≤ 100
d ) x1 + x 2 + x3 = 300 ⇒ x3 = 300 − x1 − x 2
Marcel Arnet, 08.09.00
14
Beispiel:
Der Zielbereich ist der Schnittpunkt folgender Restriktionen:
Daraus folgt, dass die 4. Restriktion nach x3 aufgelöst
werden kann. Dieses Ergebnis wird dann in für x3 in die
anderen Gleichungen eingesetzt:
a)40 x1 + 60 x 2 + (20(300 − x1 − x 2 )) ≤ 11200
⇒ x1 + 2 x 2 ≤ 260
4
1
x1 + 13
3
3
2
b)60 x1 + 150 x 2 ≤ 1200 ⇒ x 2 ≤ − x1 + 8
5
a)80 x1 + 60 x 2 ≤ 800 ⇒ x 2 ≤ −
b)2 x1 + x 2 ≤ 280
c) x1 ≤ 120; x 2 ≤ 100
Die Zielfunktion sieht so aus:
d ) x1 + x 2 = 300
3.
5000 x1 + 4000 x 2 = Z → Max.
Zielfunktion
⇒
400 x1 + 500 2 + 200 x3 = Z → Max.
x2 = −
5
Z
+
4 4000
⇒
400 x1 + 500 x 2 + 200(300 − x1 − x 2 ) = Z → Max. Der Deckungsbeitrag von x2 von 4000 soll nicht
⇒
200 x1 + 300 x 2 + 60000 = Z → Max.
verändert werden. In welchem Bereich darf der DB
von x1 schwanken?
Schlussendlich wird dies behandelt wie 12.1.! Die restlichen Wohnwagen von den 300 sind dann automatisch x3WW.
11.3.
Spezialfälle
12.3.1
Zielfunktion = Restriktion
mz = Steigung der Zielfunktion
ma = Steigung der Restriktion a
mb = Steigung der Restriktion b
ma ≤ mz ≤ mb
In diesem Fall sind sämtliche Lösungen auf der
Lösungsgeraden der Restriktion optimal. Bei Max.
und Min.
−
5333.33 ≤ 5000 ≤ 1600
Restriktion =Lösungsmenge
11.3.2.
4
5000
2
≤ −
≤ −  ⋅ − 4000
3
4000
5
Der Deckungsbeitrag von x1 darf zwischen 1600
und 5333.33.. schwanken
Lösungsmenge ist nicht beschränkt
12.
Ex existiert kein Maximum. Kommt nur bei Max. vor
12.1.
Skala
Nominal
Ordinal
11.3.3.
Lösungsm. wird durch Achsen d. Koordinaten beschr.
metrisch
Wertepaar (0;0) ist Zielfunktion. Kommt nur bei Min.
vor.
Beispiel
Geschlecht, Religion,
Beruf, Nationalität
Noten
Kilometer, Temperaturen
Zählvorgang in ganzen Einheiten
Zählvorgang in Einheiten mit Dezimalzahlen
12.2.
Lagemasse
12.2.1.
Modus
Wert, welcher in einer Verteilung am häufigsten
vorkommt
Anwendung: bei mehrgipfligen Verteilungen
Vorteil:
keine Berechnung erforderlich
fällt immer mit existierenden Merkmalswerten zusammen
Nachteil:
charakterisiert nur Grössen an einer
bestimmten Stelle. Somit wird nur ein
Bruchteil der verfügbaren Infos ausgeschöpft
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
Kann direkt abgelesen werden.
Lösungsmenge ist leer
Die einschränkenden Bedingungen widersprechen
sich. Somit gibt es keine Lösung
11.4.
Skalierung und Zählung
Beschreibung
Merkmale sind unterscheidbar,
aber keine Reihenfolge
natürliche Rangordnung, jedoch
keine Abstände erkennbar
Rangordnung da und Abstände
quantifizierbar
diskrete Merkmale
stetige Merkmale
Zielfunktion
11.3.4.
Statistik
Konstanter Deckungsbeitrag
Angenommen der ein Deckungsbeitrag bleibt konstant, muss der Bereich einer linearen Optimierung
verschoben werden, ohne dass sich die Zielfunktion
ändert.
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
Mo =
Modus
xu =
Untergrenze der Klasse, in die der
Modus fällt
f0 =
Häufigkeit der Modus-Klasse
f0-1=
Häufigkeit der vorangehenden Kl.
f0+1=
Häufigkeit der nachfolgenden Kl.
i=
Klassenbreite, bei allen Kl. gleich


f 0 − f 0−1
M o = xu + 
⋅ i 
 (2 ⋅ f 0 ) − f 0−1 − f 0+ 1 
Marcel Arnet, 08.09.00
15
12.2.2.
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
Median
n
Merkmalsausprägung des Wertes, welcher eine
der Grösse nach geordneten Reihe halbiert.
Anwendung: Fälle, in welchen AM nicht angewendet wird. Speziell bei extrem kleinen
Stichproben, Häufigkeitsverteilung mit
offenen Klassen, bei ausgesprochen
schiefen Verteilungen.
Vorteil:
ohne Berechnung bestimmbar
Extremwerte haben keinen verzerrenden Einfluss
Charakterisiert auch Verteilungen mit
kleinem Umfang
Summe der absoluten Abweichungen
aller Merkmalswerte vom Median ist
klein
Nachteil:
Es werden nur Rangnummern einbezogen
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
z=
Ordnungsnummer
n=
Anzahl der Werte
Bei der Ordnungsnummer z entspricht der Wert
dem Median:
z=
x=
M z = xu
x=
0
0
11
2
1
0
12
3
2
1
13
6
Schritt 1
4
1
15
4
5
0
16
3
6
2
17
2
12.2.3.
n
=
n
∑ fi
i =1
Geometrisches Mittel
Berechnung von Wachstumsraten
Anwendung: Bestimmung des Durchschnittes von
Veränderungen
Um Wachstumtendenzen zu berücksichtigen
Vorteil:
Aussagekräftiger Durchschnittswert
bei multiplikativ verknüpften Daten.
Extremwerte haben geringeren Einfluss als bei AM
Nachteil:
theoretischer Wert (Wert, welcher in
der Verteilung nicht vorkommt
Einzelne Veränderungsraten sind bekannt:
G% =
(
n
x1 ⋅ x 2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ x n − 1)⋅ 100
Anfangs- und Endwert sind bekannt:


Endwert = x n
− 1 ⋅ 100
G% =  n−1

Anfangswer t = x1


Beispiel:
Problem Bruttosozialprodukt:
Das BSP beträgt 1965 Fr. 62190, 1980 Fr. 177345
und 1994 Fr. 365635. Zwischen 1965 und 1980 ist
es somit um
7
1
18
1
8
3
19
1
9
0
20
1
 177345

G% =  15
− 1 ⋅ 100 = 72%

 62190

10
1
angestiegen.
34 + 1
z=
= 17.5
2
Wie hoch wäre es 1994, wenn es ab 1965 in der
selben Wachstumsrate wie 1965 – 1980 angestiegen wäre:
G%
x17 + x18 13 + 14
=
= 13.5Pkt .
2
2
 177345 

=  15
 62190 


12.2.5
Arithmetisches Mittel
29
⋅ 62190 =
471604
Schiefe einer Verteilung
Normalverteilung = Symmetrisch: Mo=AM=Mz
Rechtsschief = Mo > AM < Mz
Linksschief = Mo< AM > Mz
Summe der Merkmalsausprägung geteilt durch
deren Anzahl
Anwendung: Kann immer angewendet werden.
Sollte jedoch nicht berechnet werden
bei: kleinen Stichproben, schiefer
Verteilung, Veränderung im Zeitablauf
Vorteil:
Jeder Wert hat Einfluss auf Berechnung.
Nachteil:
Da jeder Wert Einfluss hat, können
Extremwerte das AM verzerren.
AM kann ein Wert sein, welches in
der Verteilung selbst nicht gibt.
Marcel Arnet, 08.09.00
=
12.2.4.
Der 17.5 Schüler gilt als Median. 17.5 fällt zwischen
die Klasse 17 und 18. Kumuliert man die Anzahl
Schüler der 17 bzw. 18 Klasse, sieht die Punktzahl
des 17.5 Schülers wie folgt aus:
Klasse =
∑ (xi ⋅ f i ) (x ⋅ f ) + (x ⋅ f ) + ... + (x ⋅ f )
i 1
n
n
1
1
2
2
i=1


3
0
14
5
x1 + x 2 + x 3 + ... + x n
n
∑ fi
Beispiel:
Punktzahlen bei einer Prüfung (n=34)
Punkte
Schüler
Punkte
Schüler
n
=
n
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
Mz =
Median
xu =
Untergrenze der Kl., in die der Median fällt
fu =
Häufigkeit aller vorangehenden Kl.
fe =
Häufigkeit der Kl., in welche der Median fällt
i=
Klassenbreite, bei allen Kl. gleich
n+1

− fu 
2
⋅ i
fe

i =1
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
n+1
2


+



∑ xi
12.3.
Streuungsmasse
12.3.1
Spannweite
Differenz zwischen dem grössten und kleinsten
Merkmalswert.
SW = x max − x min
16
12.3.2.
Mittlere, absol. Abweichung
AM aus den absoluten Beträgen der Abweichung
aller Werte einer Verteilung vom AM
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
i=1
d=
( x1 − x ) + ... + ( x n − x )
=
n
Korrelationskoeffizient
12.5.1.
nach Bravais-Pearson
Anwendung bei metrisch skalierten Variablen. Er
gibt den linearen Zusammenhang zwischen 2
Merkmalen an und kann so als Gütemass einer lin.
Regression verwendet werden
n
∑ xi − x
12.5.
(∑
rxy =
n
(∑ xi 2 − nx 2 )(∑
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
∑ ( xi − x ⋅ f i ) ( x − x ⋅ f ) + .. + ( x − x ⋅ f )
n
n
1
1
i 1
=
=
n
∑
n
∑ fi
fi
i =1
i =1
12.3.3.
Varianz
12.5.2.
Summe der Abweichungsquadrate aller Werte einer
Verteilung vom AM, dividiert durch die Anzahl Werte
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
n
σ
2
=
∑ ( xi − x )
2
i=1
n
2
Rangkorrelationskoeffizient
Anwendung bei ordinal skalierten Variablen. Den
Reihen müssen Ränge verteilt werden, mit welchen
gearbeitet wird.
di
= Differenz des Rangplatzpaares (rxi – ryi)
n
= Anzahl der Rangplätze
( x1 − x )2 + ... + ( x n − x )2
=
y i − ny 2 )
AUSWERTUNG:
Das Ergebnis liegt immer zwischen –1 und +1. Je
näher der Wert an einer Geraden liegt, desto näher
liegt rxy bei +1, wenn die Gerade eine positive Steigung hat und bei –1, wenn die Gerade eine negative Steigung aufweist
− 1 ≤ rxy ; rs ≤ + 1
n
d=
x i yi ) − (nx y )
rs
n
Bei in Klassen eingeteilten Werten:

= 1− 


2
6 ⋅ ∑ di 

n ⋅ (n 2 − 1) 
Beispiel:
2
∑ ([x i − x ] ⋅ f i )
n
σ
2
=
i=1
n
=
([x1 − x ]2 ⋅ f1 ) + .. + ([x2 − x ]2 ⋅ f 2 )
n
∑ fi
∑ fi
12.3.4.
Standardabweichung
i =1
σ =
12.3.5.
σ
r(yi)
di
(rxi – ryi)
di
150
141
128
120
100
1
2
3
4
5
135
130
105
110
95
1
2
4
3
5
0
0
-1
1
0
0
0
0
1
1
0
2
σ
x
Zeitreihen / Trends
12.4.1.
Lineare Regression
P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
Sind zwei oder mehrere Ereignisse nicht diskjunkt
(=sich gegenseitig ausschliessend), so muss die
Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung noch um die
Doppelzählung (Schnittmenge) korrigiert werden:
(
)
2
∑ xi − (x ⋅ ∑ xi )
Marcel Arnet, 08.09.00
P( A ∪ C ) = P( A) + P(C ) − P( A ∩ C )
Alternativformel:
∑
Zentrale Axiome (Regeln)
Die Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B,
die sich gegenseitig ausschliessen, ist gleich der
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
b
= Schnittpunkt der Trendfunktion mit y-Achse
a
= Steigung der Trendfunktion
x
= unabhängige Variable
n
= Anzahl Werte
Das Ganze ergibt schlussendlich eine lineare Funktion: y = b + a· x
1.
∑ x i y i − y ⋅ ∑ xi
b=
Wahrscheinlichkeit
12.6.1.
P( S ) = 1; P(0) = 0
Analyse der Beziehung von zwei Datenreihen.
b = y − (a ⋅ x )
12.6.
Jedem Ereignis eines klar definierten Ereignis- oder
Stichprobenraum wird eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 zugeordnet. 0 ≤ P( A) ≤ 1
Die Wahrscheinlichkeit p eines sicheren Ereignisses
S ist stets 1, die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist stets 0.
⋅ 100
12.4.
6⋅ 2
= + 0.9
5 ⋅ (5 2 − 1)
Die Verwaltungseff. und die Bürgerzufriedenheit korrelieren stark
positiv miteinander (Auswertung siehe unter Bravais-Pearson)
Variationskoeffizient
v% =
2.
Bürgerzufriedenheit yi
rs =
Prozentuales Verhältnis der Standardabweichung
zum AM. Es handelt sich um ein relatives Streuungsmass.
a=
r(xi)
i =1
Standardabweichung umgeht das Problem der
Quadratur bei der Varianz
2
2
Verwaltungseffizienz xi
Beispiel:
Ereignis A: Ein Ass aus einem Kartenspiel ziehen
Ereignis B: Eine Rose aus einem Kartenspiel ziehen
y i − (a ⋅ ∑ xi )
n
P( A ∩ B ) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
4
9
1 12
⇒
+
−
=
36 36 36 36
17
12.6.2.
Klassische Wahrscheinlichkeit
P(A) = Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A
eintritt
m
= Anzahl günstige Fälle
n
= Anzahl mögliche Fälle
P( A) =
=
12.7.2.
ð=n
p
óp
á
1 − P( A)
Beispiel:
n
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem
Wurf mittels eines fairen Würfels, keine 3 oder 4
erscheint?
6− 2
2 4 2
P( A ) =
12.6.3.
6
=
1−
6
=
6
=
n=
3
E = P(G ) ⋅ G ⇒ E = 10. − ⋅ 1 / 5 = 2. −
(zα / 2 )2 ⋅ p ⋅ (1 − p)
( zα / 2 ⋅ σ p ) 2
n = 100; p =
1
1
1
1
⋅1+ ⋅ 2 + ⋅ 2 + ⋅ 3 +
6
6
6
6
40
= 0.4;σ p =
100
0.4 ⋅ (1 − 0.4)
= 0.49
100
Normalverteilsungsvert von 2.5 % gemäss Tabelle
liegt bei –1.96/1.96
1
1
1
⋅ 4 + ⋅ 5 + ⋅ 6 = 3.5
6
6
6
P(0.4 − 1.96 ⋅ 0.049 ≤ 100 ≤ 0.4 + 1.96 ⋅ 0.049)
= P (0.304 ≤ 100 ≤ 0.496)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der
Anteil Ja-Stimmen zwischen 30.4 % und 49.6 %
A und B sind zwei Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, vorausgesetzt A ist eingetreten,
wird dann bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A genannt und als P(B I A) geschrieben.
Beispiel:
Fischteich mit 20 % Karpfen (K) / 80 % Forellen (F)
Geschlechter bei Karpfen 50 % w / 50 % m
Geschlechter bei Forellen 70 % w / 30 % m
Wie gross ist Wahrschenlichkeit, dass ein zufällig
gefangener Fisch, weiblich ist, wenn es sich um
einen Karpfen handelt?
P (w I K) = 0.5
12.8.
Binomialverteilung
Tabelle im Formelbuch auf Seite 120 ff.
Anwendung, wenn ein Ereignis eintritt oder
nicht.
12.8.1.
p
q
1-p
n
xi
Stochastische Unabhängigkeit
geordnetes Ziehen mit zurücklegen
= Anteil des eintretenden Erfolges
= Anteil des nichteintretenden Erfolges
= q = Anteil des nichteintretenden Erfolges
= Grösse der Stichprobe
= Anzahl der gezogenen Stichprobe
X ~ B(n : p) = x sei Binomialve rteilt
A: Wahrsch. dass er in 10 J. noch lebt = 0.8
B: Wahrsch. dass er in 10 J: noch lebt = 0.6
Das beide in 10 J. noch leben ist:
 n  xi n − xi
 p q
 xi 
P(X = x i ) = 
P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
⇒ 0.8 ⋅ 0.6 = 0.48
Marcel Arnet, 08.09.00
Stichprobenberechnung
=Stichprobengrösse
= Stichprobenwert
= Standardabweichung der Stichprobe
= Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Befragung von 100 Personen geben 40 an,
dass sie bei den nächsten Wahlen den amtierenden
Präsidenten wählen. In welchem Bereich liegt nun
der tatsächliche Ja-Stimmen Anteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %.
Bein einer diskreten Zufallsgrösse X sieht dies so
aus: E ( x) = p ⋅ x + p ⋅ x + ... + p ⋅ x
1
1
2
2
n
n
Beispiel:
Der Erwartungswert, bei einem Wurf mit einem
fairen Würfel, dass eine Augenzahl auftritt ist gleich:
12.6.5.
ì = 0.5
σp =
P(G) = Wahrscheinlichkeit
G = Wahrscheinlicher Geldbetrag
E
= Erwartungswert
Die Wahrscheinlichkeit, einen Geldbetrag von 10.—
zu erhalten ist 1/5. Der Geldbetrag ist somit:
12.6.4.
)
p ⋅ (1 − p)
n
Bandbreite = P(p - z α / 2 ⋅ σ p ≤ π ≤ p + zα / 2 ⋅ σ p )
Mathematische Erwartung
E ( Augenzahl ) =
σ
X ~ N (µ ;σ 2 ) = X sei Normalverteilt
3
=
x− µ
xα = µ + zα ⋅ σ
Das Nichteintreten, also der Misserfolg wird so
geschrieben:
n− m
P( A ) =
Standardnormalverteilung
P ( X < x) = P ( z =
Beispiel:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit einem
Wurf bei einem fairen Würfel eine gerade Zahl gewürfelt wird?
3 1
6
Normalverteilung
12.7.1.
Tabelle im Formelbuch auf Seite 126
z
= Wert der Zufallsvariablen
ì
= Zentralwert
ó
= Standardabweichung
m
n
P( A) =
12.7.
P(X > 1) = 1 − P( X = 0) − P( X = 1)
P(X < 1) = P( X = 0) + P( X = 1)
18
Beispiel:
Nach Angaben der Swisscom kommen 64 % der
Telefongespräche beim ersten Wählen zustande.
Muster muss acht Gespräche starten:
12.9.
59.2 % Steuerpflichtige erbringen 16.3 % des Steuerbetrages
32.4 % Steuerpflichtige erbringen 36.6 %
8.4 % Steuerpflichtige erbringen 47.1 %
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Gespräch beim ersten Wählen zu stande
kommt:
Steuerpflichtige in %ð
X ~ B(8;0.64) = x sei Binomialve rteilt
P(X ≥ 1)
 8
0
8− 0
=
= 1 −   0.64 ⋅ 0.32
 0
ñ
S
t
e
u
e
r
n
0.999718
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 7 Gespräche beim ersten Wählen zu stande
kommen:
X ~ B(8;0.64) = x sei Binomialve rteilt
 8
P(X ≤ 7) = 1 −   0.64 8 ⋅ 0.32 8− 8 = 0.971853
 8
ungeordnetes Ziehen ohne
zurücklegen
52.9%
16.3 %
13.
Versicherungen
13.1
Lebensversicherung
13.1.1.
Lebenserwartung
Sterbetafel: Formelbuch S. 132 ff.
P
= Wahrscheinlichkeit der Lebenserwartung
lx
= Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel)
l(x+y) = Alter, welches erreichbar ist (Zahl Sterbet.)
Ziehen ohne Wiederholung
k
= Ereignis trifft ein
n
= Anzahl möglicher Fälle
k
100%
59.2% 91.6% 100%
Taschenrechn: „10 tief 5“ mittels „10 PRB (nCr) 5“
12.9.1.
Lorenz-/ Konzentrationskurve
 n
C n =  
 k
Px → ( x + y ) =
l x+ y
lx
Beispiel:
3 Klassen stehen 6 Freikarten für ein Konzert zur
Verfügung. Es melden sich aus Kl. A sechs, aus Kl.
B drei und Kl. C vier = insgesamt 13 Interessenten.
Beispiel:
Wie gross ist die W., dass ein 10-jähriger Mann 50
Jahre wird
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Freikarten zu
verteilen, wenn 6 der 13 Interessenten ausgelost
werden
13.1.2.
P10→ 50 =
 13 
C13 =   = 1716
6 
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Freikarten zu
verteilen, wenn jeder Kurs genau 2 Karten erhält?
Px → ( x + y ) = 1 −

 6
C 6 =   = 15
 2


 3

2
C 3 =   = 3 15 ⋅ 3 ⋅ 6 = 270
 2

2
C4
 4
=   =
 2
12.8.1
6
l x+ y
lx
Beispiel
Wie gross ist W., dass ein 90-jähriger Mann innerhalb 10 Jahren stirbt?
l100
92
= 1−
= 98.18%
5052
l90
Leistung des Versicherten
P90 → 100 = 1 −



13.2.
Formelerklärungen:
D(x) = diskontierte Lebende (s. FUT ab S. 132)
N(x) = der disk. Lebenden (s. FUT ab S. 132)
P
= Mise / einmalige Zahlung
p
= Höhe der jährlichen Ratenzahlung
lx
= Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel)
n
= Anzahl Jahre der Zahlung des Versicherten
Mittelwert / Varianz B-Vert.
Der Mittelwert = Erwartungswert lautet
Die Varianz lautet: V ( x ) = n ⋅ p ⋅ q
Sterbeerwartung
P
= Wahrscheinlichkeit des Sterbens
lx
= Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel)
l(x+y) = Todeserwartung in y Jahren (Zahl Sterbet.)
6
2
90672
= 92.90%
97605
E ( x) = n ⋅ p
13.2.1
Einmalige Zahlung / Mise
P ⋅ D ( x) = P ⋅
lx
lx
= P⋅
x
p
q
1−
100
Beispiel:
Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein
40jähriger Mann Fr. 100'000 bezahlt?
P ⋅ D (40) = 100'000 ⋅ 26'177.26 = 2'617'726'000
Marcel Arnet, 08.09.00
19
13.2.2.
13.3.2.
Mehrm. Zahlung ohne Ende
p ⋅ N (x )
P ⋅ D ( x)


p ⋅ N ( x)
 = r ⋅ N ( x)
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
Beispiel:
Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein
40jähriger Mann jährlich Fr. 100 bezahlt?
100 ⋅ N (40) = 100 ⋅ 531'988 = 53'198'800
13.2.3.
Rentenvers. / Leibrente
Dem Versicherten wird ab sofort bis ans Lebensende eine jährliche Rente ausbezahlt
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 70jähr. Mann will bis zum Lebensende jährl. Fr.
15'000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen?
Mehrm. Zahlung mit Ende
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n ) ]
Beispiel:
Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein
40jähriger Mann während 30 Jahren jährlich Fr. 100
bezahlt?
100 ⋅ [N (40) − N (40 + 30)] =
100 ⋅ [531'988 − 58'327] = 47'366'100
r ⋅ N ( x)
D( x)
15'000 ⋅ N (70) 15'000 ⋅ 58'327
=
= 132'864.55
6'584.94
D (70)
13.2.4
13.3.3.
P ⋅ D ( x) = r ⋅ N ( x ) ⇒ P =
Prämienkorrektur bei Ratenzahlung
Falls die Jahresprämie in mehrmaligen Zahlungen
bezahlt wird, wird die Prämie wie folgt korrigiert
Aufteilung:
Beispiel:
Bei JP von Fr. 100 koste
die jew. Rate:
1.02 ⋅ p
1.02 ⋅ 100
p HJ =
= 51 / HJ
2
2
1.03 ⋅ p
1.03 ⋅ 100
p HJ =
p1 / 4− Jahr =
= 25.75 / VJ
4
4
1.04 ⋅ p
1.04 ⋅ 100
p monatl. =
p Mt =
= 8.66 / Mt
12
12
13.3.
Leistung der Versicherung
p1 / 2− Jahr =
Formelerklärung:
x
= Ausgangsjahr
y
= Anzahl Jahre der Gültigkeit der Auszahlung
K
= Betrag, welcher Versicherter erreichen will
k
= Karenzzeit
D(x) = diskontierte Lebende (s. FUT ab S. 132)
N(x) = der disk. Lebenden (s. FUT ab S. 132)
M(x) = diskontierte Tote (s. FUT ab S. 132)
r
= jährliche Rente
n
= Anzahl Jahre der Zahlung des Versicherten
13.3.1.
P ⋅ D ( x)


p ⋅ N ( x)
 = r ⋅ [N ( x ) − N ( x + y ) ]
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 70jähr. Mann will während 15 Jahren eine jährl.
Fr. 15'000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen?
P ⋅ D ( x) = r ⋅ [N ( x ) − N ( x + y )]
r ⋅ [N ( x ) − N ( x + y ) ]
⇒P=
D ( x)
15'000 ⋅ [N (70) − N (85)] 15'000 ⋅ [58'327 − 4232]
=
D(70)
6'584.94
= 123'224,35
13.3.4.
Rente mit Karenzzeit
ohne Ende
Dem Versicherten wird nach k Jahren bis zum Tode
jährlich eine Rente ausbezahlt.
Vers. auf Erlebensfall
P ⋅ D ( x)


p ⋅ N ( x)
 = r ⋅ N (x + k )
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
Dem Versicherten wird eine Summe beim Erreichen
des (x+y)-ten Lebensjahres ausbezahlt
P ⋅ D ( x)


p ⋅ N ( x)
 = K ⋅ D( x + y)
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will in 20 Jahren jährl. Fr. 15'000
erhalten. Welche Mise muss er bezahlen?
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähriger Mann will beim Erreichen des 65
Altersjahres Fr. 50'000 erhalten. Welche Mise muss
er bezahlen.
r ⋅ N(x + k)
D( x )
15'000 ⋅ N (60) 15'000 ⋅ 153'357
=
= 87'876.10
D(40)
26'177.26
P ⋅ D( x) = r ⋅ N ( x + k ) ⇒ P =
K ⋅ D( x + y )
D ( x)
50'000 ⋅ D(65) 50'000 ⋅ 9200.17
=
= 17'572.80
D(40)
26'177.26
P ⋅ D ( x) = K ⋅ D ( x + y ) ⇒ P =
Marcel Arnet, 08.09.00
Abgekürzte Rente
Dem Versicherten wird ab sofort während y Jahre
jährlich eine Rente ausbezahlt.
20
13.3.5.
Abgek. Rente mit Karenzzeit
mit Ende
13.3.8.
Aufgeschobene Todesfallv.
Den Hinterbliebenen des Versicherten wird im
Todesfall ein Betrag ausbezahlt. Dies aber nur,
wenn der Todesfall erst in k Jahren eintritt.
Dem Versicherten wird nach k Jahren während y
Jahren jährlich eine Rente ausbezahlt.
P ⋅ D ( x)
p ⋅ N ( x)

P ⋅ D ( x)



 r ⋅ [N ( x + k ) − N ( x + k + y ) ] p ⋅ N ( x )
 = K ⋅ M (x + k )

p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will, dass bei einem Todesfall die
Hinterbliebenen Fr. 100000 erhalten. Dies gilt aber
nur, wenn der Todesfall nicht vor 50 Jahren eintritt.
Welche Mise muss er bezahlen?
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will in 20 Jahren während 25 Jahren jährl. Fr. 15'000 erhalten. Welche Mise muss er
bezahlen?
P ⋅ D ( x) = r ⋅ [N ( x + k ) − N ( x + k + y ]
r ⋅ [N ( x + k ) − N ( x + k + y ]
⇒P=
D( x )
15'000 ⋅ [N (60) − N (85)]
=
D (40)
15'000 ⋅ [153'357 − 4234]
= 85'449.95
26'177.26
13.3.6.
K ⋅ M (x + k)
D ( x)
100'000 ⋅ M (50) 100'000 ⋅ 8651.45
P=
=
= 33'049.50
D(40)
26'177.26
P ⋅ D ( x) = K ⋅ M ( x + k ) ⇒ P =
13.3.9.
Einfache Todesfallvers.
Den Hinterbliebenen des Versicherten wird im Todesfall ein Betrag ausbezahlt.
P ⋅ D( x)


p ⋅ N ( x)
 = K ⋅ M ( x)
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
P ⋅ D( x)
p ⋅ N ( x)


 = K ⋅ [M ( x + k ) − M ( x + k + y )]
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will, dass bei einem Todesfall
innert 10 Jahren – welcher nicht vor 10 Jahren
eintreten darf – die Hinterbliebenen Fr. 100000
erhalten. Welche Mise muss er bezahlen?
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will, dass bei seinem Todesfall die
Hinterbliebenen Fr. 100000 erhalten. Welche Mise
muss er bezahlen?
K ⋅ [M ( x + k ) − M ( x + y + k )]
D( x )
100'000 ⋅ [M (50) − M (60)]
=
D(40)
100'000 ⋅ [8651.45 − 7179.73]
=
= 5622.15
26'177.26
P=
K ⋅ M ( x)
D( x )
100000 ⋅ M (40) 100'000 ⋅ 9431.88
=
D (40)
26'177.26
= 36030.80
P ⋅ D ( x) = K ⋅ M ( x) ⇒ P =
13.3.7.
13.3.10.
Verkürzte Todesfallvers.
Den Hinterbliebenen des Versicherten wird – falls er
innert y Jahren stirbt - ein Betrag ausbezahlt.
P ⋅ D ( x)


p ⋅ N ( x)
 = K ⋅ [M ( x) − M ( x + y )]
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will, dass die Hinterbliebenen im
Todesfall Fr. 100000 erhalten. Diese erhalten die
Summe aber nur, wenn der Todesfall in den nächsten 20 Jahren eintritt. Welche Mise muss er bezahlen?
P ⋅ D ( x) = K ⋅ M ( x) − M ( x + y )
[
]
Gemischte Versicherung
Bei den Todesfallversicherungen unter 13.3.6. bis
13.3.9 muss die Versicherung nur zahlen, wenn der
Todesfall eintritt. Dies kann man mit der gemischten
Versicherung ausschliessen.
Dem Versicherten – falls er nicht stirbt - oder seinen
Hinterbliebenen – falls er stirbt - wird ein Betrag
ausbezahlt.
P ⋅ D( x)


p ⋅ N ( x)
 = K ⋅ [M ( x) − M ( x + y ) + D ( x + y )]
p ⋅ [N ( x ) − N ( x + n)]
K ⋅ [M ( x ) − M ( x + y )]
D ( x)
100'000 ⋅ [M (40) − M (60)]
=
P=
D (40)
100'000 ⋅ [9431.88 − 7179.73]
Marcel Arnet, 08.09.00
21
= 8603.45
26'177.26
⇒P=
Aufgesch., verk. Todefallver.
Fall unter 13.3.8. Unterschied ist, dass Versicherung nur während y Jahren zahlen muss.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel siehe nächste Seite
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann schliesst eine Vers. ab. Mit dem
50. Lebensjahr erhält er, oder falls er in der Zwischenzeit stirbt erhalten seine Hinterbliebenen Fr.
100'000 ausbezahlt. Welche Mise muss er bezahlen?
K0
Kn
n
m
N
t
(1+i)n
qn
vn
i
p
z
zt
Nachschüssige Verzinsung
K n = K 0 ⋅ (1 + i )
n
oder K n = K 0 ⋅ q n
Diskontierung:
K0 =
Kn
(1 + i) n
oder K 0 = K n ⋅ v n
 K 
i =  n n  −1
 K 
0 

 K 
q = n n 
 K 
0 

log( K n ) − log( K o )
n=
log(1 + i )
log( K n ) − log( K o )
n=
log(q)
p ⋅ K0
z=
100
Finanzmathematik
= Anfangs- bzw. Barwert
= End- oder Zeitwert nach n Jahren
= ganze Jahre
= Verzinsungszeiträume
= ganze Jahre bei gemischter Verzinsung
= Tage bzw. Monate
= Aufzinsungsfaktor (FUT S. 136)
= (1+i)n
= Abzins.- / Diskontierungsf. (FUT S. 137)
= Zinsfuss in Dezimalschreibweise
= Zinsfuss in % (p/100 = i)
= Zinsanteil
= Tageszinsen
14.1.
Zinseszinsen
14.2.1.
postnumerando
Der Zins wird am Jahresende zum Kapital addiert.
Anwendbar bei ganzen Jahren.
P ⋅ D ( x) = K ⋅ [M ( x) − M ( x + y ) + D( x + y )]
K ⋅ [M ( x ) − M ( x + y ) + D( x + y )]
⇒P=
D( x)
100'000 ⋅ [M (40) − M (50) + D(50)]
P=
D (40)
100'000 ⋅ [9431.88 − 8651.45 + 18321.84]
=
26177.26
= 72'972.75
14.
14.2.
14.2.2.
Vorschüssige Verzinsung
antizipativ, pränumerando
Vorschüssige Zinsen kommen bei Wechselgeschäften und bei der geometrisch, degressiven Abschreibung zum Zuge.
Einfache Verzinsung
Der Zins wird am Ende der Zinsperiode auf ein
separates Konto entrichtet. Anwendbar bei angebrochenen Jahren.
K nA =
K0
(1 − i A ) n
 n ⋅ K0 ⋅ p 
K 0 = K n A ⋅ (1 − i A ) n
Kn = K0 + 
 oder K n = K 0 + (n ⋅ K 0 ⋅ i )Beispiel:
 100 
Ein Kapital von 10000 ist bei einem vorschüssigen
Zinsfuss von 8 % in 4 J. zurückzuzahlen. Welcher
z = n ⋅ K0 ⋅ i
100 ⋅ z
K0 =
p⋅n
100 ⋅ z
p=
K0 ⋅ n
n=
Betrag muss der Schuldner heute zahlen?
Kn
oder K 0 =
1+ i ⋅ n
K 0 = 10000 ⋅ (1 − 0.08) 4
= 7163.93
14.2.3.
Unterjährliche Verzinsung
Bei Darlehen, Schuldverschreibungen findet die
Verzinsung nicht jährlich sondern meist halb-, vierteljährlich oder anderen Abschnitten statt.
pR = relativer, unterjährlicher Zinsfuss
p
= Jahreszinsfuss
m = Anzahl der Jahresabschnitte
100 ⋅ z
K0 ⋅ p
K0 ⋅ t
t ⋅ Ko ⋅ p
Zinszahl
zt =
= 100 ⇒
360
100 ⋅ 360
Zinsteiler
p
Tageszins:
pR =
p
m
Beispiel: (p=8%)
8
=4
2
8
vierteljährlich : p R = = 2
4
8 2
monatlich : p R =
=
12 3
halbjährlich : p R =
Bei monatlicher gibt es 2, bei vierteljährlicher 4, bei
monatlicher 12 Verzinsungszeiträume pro Jahr.
Marcel Arnet, 08.09.00
22
Formeln:
p 

K m⋅n = K 0 ⋅ 1 +

 100 ⋅ m 
K m⋅ n
K0 =
m⋅ n
p 

1 +

 100 ⋅ m 
m⋅ n
14.4.
Kn = K0 ⋅ e
Beispiel:
Auf welchen Endwert wachsen 5000 in 6 J. bei
einem Jahreszinsfuss von 10 % - bei monatlicher
12⋅6
Verzinsung – an.
10


K 12⋅6 = 5000 ⋅ 1 +

 100 ⋅ 12 
K0 = Kn ⋅ e
K0 = Kn ⋅ e
iA
1 − iA
14.3.
0.04
= 0.0385
0.04 + 1
0.04
= 0.0526
1 − 0.04
Gemischte Verzinsung
Beispiel:
Ein Kapital von 5000.—wird 5 Jahre und 5 Mt. verzinst. Zinsfuss = 4 %. Wie hoch ist der Endwert
K 5 5 = 5000 ⋅ (1 + 04) 5 ⋅ (1 + 0.04 ⋅ 5
bei einfachen Zinsen
]
[
6000 4000 5000
+
+
= 13212.96
1.04 2 1.04 3 1.04 5
log(15000) − log(13212.96)
nMittel =
= 3.234
log(1.04)
14.6.
Rentenrechnung
) = 6184.65 K 0 =
) ⋅ 1.04 3 ⋅ 1 + (0.04 ⋅ 269
)
360
= 5'934.02
Marcel Arnet, 08.09.00
bei Zinseszinsen
Gleiches Beispiel wie 14.7.1
Beispiel:
Auf welchen Betr. wächst ein Kap. von 5000.--, dass
bei einem p=4 % vom 20.5.91–29.9.95 angel. wird?
20.5.91 – 31.12.91
220 Tage einf. Verzinsung
31.12.91 – 31.12.94 3 Jahre
Zinseszinsen
31.12.94 – 29.9.95
269 Tage einf. Verzinsung
360


 1

6000 + 4000 + 5000
=
− 1 ⋅
 6000 + 4000 + 5000
 0.04
 1 + 0.04 ⋅ 2 1 + 0.04 ⋅ 3 1 + 0.04 ⋅ 5 
= 3.209 Jahre
14.5.2.
K n = K 0 ⋅ (1 + i ⋅ t1 ) ⋅ q N ⋅ (1 + i ⋅ t 2 )
[
= 126954 EW
Mittlerer Zahlungstermin
nMittel
Verzins. im Laufe des Jahres
K n = 5000 ⋅ 1 + (0.04 ⋅ 220
3⋅5
100
14.5.1.
nMittel
12
12
14.3.2.
−
14.5.
Verzinsung zu Jahresbeginn
K n = K 0 ⋅ q N ⋅ (1 + i ⋅ t )
pn
100
Ein Schuldner hat folgende Zahlungen zu leisten:
6000.—nach 2 Jahren, 4000.—nach 3 Jahren,
5000.--- nach 5 Jahren. Wann ist der mittlere Zahlungstermin bei p = 4 %.
i=
Bei Verzinsung für Jahresbruchteile und ganze
Jahre
14.3.1.
oder K o = K n ⋅ e −in



 1
K n1 + K n 2 + ... + K nn
− 1 ⋅
nMittel = 
 K n1 + K n 2 + ... + K nn
 i
1 + i ⋅ n 1 + i ⋅ n

1 + i ⋅ nm
1
2


Beispiel:
Berechnung des dekursiven Zinssatzes:
Beispiel: antizipat. Zinssatz: 4 %
i=
−
K 0 = 147500 ⋅ e
Umrechnung vom antizipativen zum dekursiven Zinssatz
iA =
pn
100
Beispiel:
Einwohner einer Stadt sind in 5 Jahren bei stetigem
W mit W-Rate 3 % auf 147500 gewachsen. Wieviel
Einwohner hatte die Stadt vor 5 Jahren?
Zu jedem dekursiven gibt es auch den dazugehörigen antizipativen Zinssatz und umgekehrt.
Berechnung des antizipativen Zinssatzes:
Beispiel: dekursiver Zinssatz: 4 %
i
i +1
−
oder K n = K 0 ⋅ e in
ln K n − ln K 0
n
ln K n − ln K 0
n=
i
m


p 
peff = 100 ⋅ 1 +
 − 1

 m ⋅ 100 


p eff
− 1
p = 100 ⋅ m ⋅  m 1 +
100 

iA =
pn
100
i=
= 9087.97
Man kann den jährlichen, nominellen Zinsfuss (p)
auch auf den dazu konformen effektiven Zinsfuss
(peff) umrechnen
14.2.4.
Stetige Verzinsung
Bei bisherigem Vorgehen wird immer angenommen,
dass Wachstum sprunghaft zu nimmt. Es kann aber
sein, dass der Wachstum kontinuierlich zu nimmt .
23
]
Eine in gleicher Höhe periodische Zahlung. Je nach
dem kann die Rente am Ende (nachschüssig,
postnumerando) oder am Anfang (vorschüssig,
pränumerando) einer Periode ausgezahlt werden.
r
= Rente
B
= Anfangswert nachschüssig
Sn
= Endwert nachschüssig
B‘
= Anfangswert vorschüssig
S‘n
= Endwert vorschüssig
q
= (1+i)
n
= Laufzeit
14.6.1.
Nachschüssige Rente
z.B. Pensionskasse
r = Sn ⋅
q −1
qn −1
Ewige Rente
Die jährlichen Zinsen werden immer wieder, vorzu,
entnommen.
Sn
r qn −1
=
⋅
q n qn q −1
log[(S n ⋅ i ) + r ] − log (r )
n=
log( q)
B=
qn −1
Sn = r ⋅
q −1
14.6.2.
14.6.6.
p⋅K
= K (q − 1)
100
r=
14.6.7.
Sparkassenformel
Kapitalaufbau
Vorschüssige Rente
Zu einer einmaligen Zahlung folgen regelmässig –
zusätzlich – Renten.
z.B. bei Geburt, wird ein Konto eingerichtet
NACHSCHÜSSIG:
VORSCHÜSSIG:
z.B. bei Miet- und Pachtzahlungen
q −1 1
S 'n
r qn −1
⋅
B
'
=
=
⋅
qn −1 q
q n q n −1 q − 1
qn −1
E = K ⋅ qn + r ⋅
n
log[(S ' n ⋅i ) + (r ⋅ q )] − log (r ⋅ q )
q −1
q −1
S 'n = r ⋅ q ⋅
n=
Kapitalentnahme
q −1
log( q)
r = S 'n ⋅
14.6.3.
qn −1
E = K ⋅q − r⋅
q −1
n
14.6.8.
f ( p) =
15.
A
Z
Q, T
l
K0 /Ri
a
*
Unterbrochene Rente
Rente mit Wartezeiten zwischen den Auszahlungen.
(siehe Formel nachschüssige/vorschüssige Rente
und Aufgeschobene Rente)
Beispiel:
Ein Holzbestand wirft am Ende des 14 bis zum
Ende des 17 Jahres einen Ertrag von Fr. 6000.—
p.a. ab; desgleichen nach Wiederaufforstung am
Ende des 28. bis zum Ende des 31 Jahres. Wie
hoch ist der Barwert dieses Ertrages (p=5)?
Schritt 1: Abzinsung bis auf jeweils ein Jahr vor dem
ersten Ertrag. Da beide Perioden gleich gross sind,
gilt auch der gleiche Anfangswert
Schritt 2: Nun wird der Barwert auf den Zeitpunkt 0
abgezinst:
Tilgungsrechnung
Tilgungsplan/Zahlungsplan
1.08 − 1
= 108157.69
1.08 6 − 1
2. Z 1 = 500000 ⋅ 8% = 40000
3. Q1 = 108157.69 − 40000 = 68157.69
1. A
Abgebrochene Rente
Marcel Arnet, 08.09.00
Sn p
p 8
⋅
− (1 +
) +1 = 0
r 100
100
Vorgehen: siehe Beispiel
Beispiel:
Eine Schuld von 500'000 soll durch Annuitätentilgung in 6 J. bei p = 8% getilgt werden.
Im Anschluss an die letzte Zahlung liegt ein Zeitraum, in welchem keine Z. folgen. Der Wert wird
aber verzinst.
qn −1 k
k = Unterbruch S
= r⋅
⋅q
B0 =
Bestimmung des Zinses
= Annuität (jährliche Gesamtzahlung)
= Zinsen, für die jeweilige Restschuld
= Tilgungsrate
= gesuchter Zeitpunkt
= Gesamt- bzw. Restschuld
= Agio / Aufgeld
= Betrag inkl. Agio
15.1.1
21275.70
= 11282.96
1.0513
21275.70
= 5698.66
27 B 4 =
1.05 27
13 B4 + 27 B4 = 16981.62
B4 =
n+k
qn −1
q −1
15.1.
Annuitätentilgung
, wobei A konstant ist, Z abnimmt und
A = Z + Q Q zunimmt.
An q n − q A K q n q − 1
= 0⋅ ⋅ n
K0 = B = n ⋅
q −1
q −1
q
ql −1
Ql = Ql ⋅ q l −1
Rl = K 0 ⋅ q l − A ⋅
q −1
ln A − ln [A − (K 0 ⋅ i )]
n=
ln q
6000 1.05 4 − 1
B4 =
⋅
= 21275.70
1.05 4 1.05 − 1
14.6.5.
E'= K ⋅ qn − r ⋅ q ⋅
Der Zinssatz p kann nur iterativ nach Newton gelöst
werden: Newton siehe: 8.7.2
2000 1.058 − 1
B8 =
⋅
= 12'926.43
1.058 1.05 − 1
12926.43
= 10'128.20
5 B8 =
1.05 5
13
qn −1
q −1
Von einer einmaligen Zahlung werden regelmässige
Renten abgehoben.
z.B. bei Erbe
NACHSCHÜSSIG:
VORSCHÜSSIG:
Aufgeschobene Rente
Rente mit Karenzzeit. Kann nach- oder vorschüssig berechnet werden.
Bn1
n1 = Laufzeit
n 2 Bn1 =
n2 = Karenzzeit
q n2
Beispiel:
Eine Rente von 2000.—p.a. soll erst nach 5. J.
beginnen und dann 8x gezahlt werden. Wie hoch ist
der Barwert der Rente bei p = 5 %. Das ganze geschieht nachschüssig.
14.6.4.
E' = K ⋅ q n + r ⋅ q ⋅
4.
q −1
= 500000 ⋅ 1.08 6 ⋅
R1 = 500000 − 68157.69 = 431842.31
Restschuld
anfangs J.
500000
431.842.31
358232
S n+ k
q −1
=r⋅ n
n+ k
q
q ⋅ (q − 1)
n
24
Zins (Z)
40000
34547.38
28658.56
Tilgung
(Q)
68157.69
73610.31
79499.13
Annuität (A) Restschuld
ende J.
108157.69
431842.31
108157.69
358.232
108157.69
278732.87
Die Tilgungsraten nach Jahr 1 können auch wie
folgt gerechnet werden:
Beispiel 2 zur mittleren Kreditfrist
Berechne die Monatsrate für ein Kredit von Fr.
18'000.— in 36 Monatsraten bei einem Jahreszins
von 15.5 %. Der monatliche Zins ist zu rechnen als:
Jahreszins / 12
68157.69 ⋅ 1.08 = 73610.31
73610.31 ⋅ 1.08 = 79499.13etc
15.5
= 1.291 6
12
36 + 1
mk =
= 18.5
2
50000 = A ⋅ ↵
15.5
12
1
1
1
 1
 Z
+
+
+

 Monat = 18000 ⋅ 100 ⋅ 18.5 = 4301.25
 1.1 1.1 ⋅ 1.09 1.1 ⋅ 1.09 ⋅ 1.08 1.1 ⋅ 1.09 ⋅ 1.08 ⋅ 1.07 
18000 + 4301.25
50000
A=
= 619.48
A=
= 15445.95
36
0.0909 + 0.8340 + 0.7722 + 0.7217)
15.2.
Ratentilgung
pm =
Beispiel mit verschiedenen Zinssätzen:
Eine Schuld von Fr. 50000 soll mit vier gleichen
nachschüssigen Annuitäten getilgt werden. Es wurden folgende Zinssätze abgemacht: J1 10 %, J2
9%, J3 8%, J4, 7%. Annuität?
Beispiel mit verschiedenen Annuitäten
Gemäss Vertrag vom 1.1.96 muss Muster Ende
1996 Fr. 50000 und Ende 1999 nochmals 50000
bezahlen. Er möchte mehrere und zu Beginn grössere Zahlungen leisten. Offerte Bank: Zahlung von 4
Annuitäten im Abstand von einem Jahr (erstmals
Ende 96). Ende 1997 soll Annuität 15 % kleiner sein
als 1996, 1998 15 % kleiner als 1997 und Ende
1999 15 % kleiner als 1998. p = 6 %
Nicht Annuität ist konstant, sondern Tilgungsrate Q.
Somit nimmt A und Z ab.
l
Rl = K 0 − l ⋅ Q = K 0 ⋅ (1 − )
n
 l −1
Z l = [K 0 − (1 − l ) ⋅ Q ] = K 0 1 −
⋅i
n 

Q=
K0
n
Beispiel:
1
1
+ 50000 ⋅
= 86774.94 Eine Schuld von 60000 soll bei p=8% in 6 J. durch
4
gleich hohe Jahresraten zurückbezahlt werden.
1.06
1.06
Restschuld
Restschuld
Zins (Z) Tilgung Annuität
0.06
(Q)
(A)
ende J.
anfangs J.
ARe g = 86774.94 ⋅ 1.06 ⋅
= 25042
60000
4800
10000
14800
50000
4
1.06 − 1
50000
4000
10000
14000
40000
A98
A99
40000
3200
10000
13200
30000
A97
474
8 6
474
8
6
474
8 6
2
3
4 ⋅ ARe g = A96 + A96 0.85 + A96 0.85 + A96 0.85 ↵
15.3.
Tilgung mit Agio
Als Anreiz zur Übernahme einer Schuld/Anleihe
2
3
4 ⋅ ARe g = A96 1 + 0.85 + 0.85 + 0.85
wird gelegentlich ein Agio in % des TilgungsbetraBarwert '96 : 50000 ⋅
(
A96 =
4 ⋅ 25042
= 31430
3.187
15.1.2.
:
)
ges vereinbart.
15.3.1
Methode der mittleren Kreditfrist
Q +1
mk =
2
p
⋅ mk
100 ⋅ 12
p
Z Monat = K 0 ⋅ Monat ⋅ mk
100
Beispiel:
Z Jahr = K 0 ⋅
Al = Z l + Q + a
Z = Q ⋅ A − K0
p=
z ⋅ 100 ⋅12
K 0 ⋅ mk
a=
K0 a
⋅
n 100
 1  l −1
a 
Al = K 0  + 1 −
⋅i +
100 ⋅ n 
n 
n 
Beispiel:
Eine Schuld von 500000 soll durch gleich grosse
Tilgungsraten in 5 J bei p=6% getilgt werden. Zusätzlich ist ein Agio von 5 % der jew. Tilgungsrate
vereinbart.
500000 5
1.
a=
⋅
= 5000
Ein Kreditbetrag von Fr. 16000.— soll in 48 Monatsraten zu Fr. 449.35 getilgt werden. Die Bank –
schreibt im Prospekt, dass der Zins zwischen 15.8
und 17.0 % liegt. Stimmt das?
5
48 + 1
mk =
= 24.5
2
Z = 48 ⋅ 449.35 − 16000 = 5568.8
5568.8 ⋅ 100 ⋅ 12
p=
= 17.047%
16000 ⋅ 24.5
Marcel Arnet, 08.09.00
Ratentilgung mit Agio
Grundformeln siehe 15.2. Zusätzliche Formeln:
25
100
2.
Z 1 = 500000 ⋅ 6% = 30000
3.
5 
1
A1 = 500000  + 1 ⋅ 0.06 +
= 135000
100 ⋅ 5 
5
Restschuld
anfangs J.
500000
400000
300000
Zins (Z)
30000
24000
18000
15.3.2.
Tilgung
(Q)
100000
100000
100000
Annuität (A)
Restschuld
anfangs J.
Zins (Z)
Agio (a)
5000
5000
5000
135000
129000
123000
100000
85298.25
69861.42
5500
4691.40
3842.37
Annuität
(A*)
14701.75
15436.83
16208.68
1470.17
1543.69
1620.87
21671.92
21671.92
21671.92
14701.75 ⋅ 1.05 = 15436.83
15436.83 ⋅ 1.05 = 16208.68etc
Lediglich Summe von Z+Q bleiben konstant. Grundformeln siehe 15.1. Zusätzliche Formeln:
al =
Agio (a)
ohne
Aufgeld(Q)
Die Tilgungsraten nach Jahr 1 können auch wie
folgt gerechnet werden:
Annuitätentilgung mit Agio
(ohne konst. Annuität)
Al = Z l + Ql + a l
Tilgung
Ql ⋅ a
100
16.
Ba
Be
A
a
e
t
l
r
i
C0
Beispiel:
Eine Schuld von 500000 soll durch gleich grosse
Tilgungsraten in 5 J bei p=6% getilgt werden. Zusätzlich ist ein Agio von 10 % der jew. Tilgungsrate
vereinbart.
1.08 − 1
1. A = 500000 ⋅ 1.08 6 ⋅
= 108157.69
Investitionsrechnung
= Barwert der Ausgaben
= Barwert der Einnahmen
= Annuität
= Ausgabe
= Einnahme
= Nutzungsdauer
= Jahr l
= Restwert
= Zins dezimal (p dezimal)
= Kapitalwert
1.08 6 − 1
1 = 108157.69 − 40000 = 68157.69
68157.69 ⋅ 10
3. a =
= 6815.77
l
100
16.1.
Annuitätenmethode
4. A = Z + Q + a = 40000 + 68157.69 + 6815.77 Diese Methode vergleicht die diskontierten Werte.
l
l
l
l
2. Q
= 114973
Restschuld
anfangs J.
500000
431842.31
358232
Zins (Z)
40000
34547.38
28658.56
Tilgung
(Q)
68157.69
73610.31
79499.13
Agio (a)
6815.77
7361.03
7949.91
Man erhält schlussendlich einen Wert, welcher einer
Rente gleicht.
Annuität
(Al)
114.973.46
115518.72
116107.60
n 
al
Ba = ∑ 
tl
l = 0  (1 + i )
Annuitätentilgung mit Agio
(konstante Annuität)
p* =
a
1+
100
Ql * = Q * ⋅q *l −1
A* = K * ⋅
q *n (q * −1)
q *n −1
AG = 0 ⇒ Investition geht genau auf
Ql *
Ql =
a
1+
100
Ql * = A * − Z l
K* = K +
AG > 0 ⇒ Investition wirft Gewinn ab
AG < 0 ⇒ Investitio n lohnt sich nicht
Beispiel:
Eine Maschine wird für 80000 angeschafft. Die
Nutzungsdauer beträgt 4 J.. Für diese Zeit werden
folgenden Einnahmen und Ausgaben geschätzt. Der
Restwert ist 3000.
Jahr
Einnahmen e Ausgaben a
1
60000
40000
2
75000
45000
3
70000
46000
4
78000
50000
Restwert 3000
a
100
Beispiel:
Ein Darlehen von 100000 ist bei p=5 ½ mit einem
Agio von a=10 in 6 Jahren durch gleich hohe Annuitäten zu tilgen.
1.
51 / 2
p* =
= 5% ⇒ q* = 1.05
10
1+
100
10
= 110000
2. K * = 100000 +
100
60000
+
1.08
= 234'961.65
40000
Ba =
+
1.08
= 228'885.05
Be =
1.05 6 (1.05 − 1)
= 21671.92
1.05 6 − 1
4. Z = 110000 ⋅ 5% = 5500
1
3.
A* = 110000 ⋅
5. Q
l
6.
75000 70000 78000 3000
+
+
+
1.08 2
1.083
1.08 4 1.08 4
45000 46000 50000
+
+
1.08 2
1.08 3
1.08 4
1.08 4 ⋅ (1.08 − 1)
AG = (234'961.65 − 228'885.05) ⋅
1.08 4 − 1
= 1834.65
(
* = 21671.92 − 5500 = 16171.92
16171.92
= 14701.75
10
1 +08.09.00
Marcel Arnet,
100




Aussage:
Ähnlich wie 15.3.2. Ausser, dass Annuität konstant
ist.
p
n 
el
Be = ∑ 
tl
l = 0  (1 + i )
 q n ⋅ (q − 1) 

AG = (Be − Ba ) ⋅ 
n
 q −1 
konstant=108‘157.69
15.3.3.




Ql =
26
)
16.2.
Net present value / Kapitalwertmethode
Diese Methode gibt lediglich an, ob es sich lohnt,
eine Invest. zu tätigen oder nicht. Sie gibt keine
diskontierten Werte an. Der Schlusswert zeigt, ob
es sich netto lohnt oder nicht. Der Kalkulationszins
ist 10 %.
 n  e − al
C 0 = − a 0 + ∑  l
l
 l =0  (1 + i )

rn
 +
 (1 + i )n

Wenn Überschüsse gleich bleiben:
 e − a q n − 1
rn
C0 = −a0 +  n ⋅
+

q − 1  (1 + i )n
 q
Aussage:
AG = 0 ⇒ Investition geht genau auf
AG > 0 ⇒ Investition wirft Gewinn ab
AG < 0 ⇒ Investitio n lohnt sich nicht
Beispiel:
Ein Invest.-Objekt mit Anschaffungskosten von
120000 wird während 5 J. genutzt und durch folgende Einnahmenüberschüsse gekennzeichnet:
Jahr (l)
1
2
3
4
5
el – al (in TFR)
30 30 45 35 60
C 0 = −120000 +
+
30000 30000 45000 35000
+
+
+
1.1
1.12
1.13
1.14
60000
0
+ 5 = 27036.03
5
1.1
1.1
Die Investition ist zweckmässig, da sie eindeutig
einen Überschuss erzielt.
16.3.
Interner Zinsfuss
Man rechnet, mit welchem Zinsfuss eine Investition
genau aufgeht, also 0 ergibt. Dies passiert mittels
Auflösung einer Gleichung (bei höherer Potenz wie
2 mittels Newton (siehe 8.7.2)
 n e −a
C 0 = 0 = − a0 + ∑  l l l

 l =0  q int

r
 + n n
 q
int

Beispiel:
Eine Invest. mit einer Anschaffung von 47900 kann
2 J. genutzt werden. Im 1. Jahr gibt es Einnahmenüberschüsse von 30000, im 2. Jahr von 25000. Es
soll kein Liquiditätserlös geben. Mit welchem Zins
lohnt sich diese Investition?
C 0 = 0 = −47900 +
30000 25000
+
+ 0⋅ q2
2
q
q
0 = −47900q 2 + 30000q + 25000
Auflösung mittels Diskrimina nte (siehe 2.2)
q1 = 1.1005; q 2 = −0.4742
Bei einem Zinsfuss von 10.05 % oder höher ist
diese Investition zweckmässig.
Marcel Arnet, 08.09.00
27