Lösungshinweise zu Übungsblatt 4

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan, L. Lauerbach
Wintersemester 2015/16
03.11.2015
4 . Übung zur Analytische Geometrie
Abgabe: Bis 11.11.2015, 14.14 Uhr, in der Vorlesung.
4.1 ( 3+3+3+3+3+3 Punkte)
Beweisen oder widerlegen Sie:
2×2
a) Ist A eine
symmetrisch positiv definite Matrix aus R , so ist die Blockmatrix
0 A
∈ R4×4 symmetrisch positiv definit.
A> 0
b) Sind A und Bbeidessymmetrisch positiv definite Matrizen aus R2×2 , so ist die
A 0
Blockmatrix
∈ R4×4 symmetrisch positiv definit.
0 B
c) Es seien v1 , v2 , w1 , w2 ∈ R4 \ {0}. Schneiden sich die beiden Geraden v1 + Rw1
und v2 + Rw2 , so scheiden sich auch die beiden Geraden v2 + Rw1 und v1 + Rw2 .
d) Es seien v1 , v2 , w1 , w2 ∈ R4 \ {0}. Schneiden sich die beiden Geraden v1 + Rw1
und v2 + Rw2 nicht, so scheiden sich auch die beiden Geraden v2 + Rw1 und
v1 + Rw2 nicht.
e) Ist b1 , . . . , bn eine Orthonormalbasis des Rn , und ist A ∈ Rn×n mit det(A) = 1,
so ist auch Ab1 , . . . , Abn eine Orthonormalbasis des Rn .
f) Ist b1 , . . . , bn eine Orthonormalbasis des Rn , und ist A ∈ Rn×n mit A> A = E,
so ist auch Ab1 , . . . , Abn eine Orthonormalbasis des Rn .
Lösungshinweise:
a) falsch. Wähle A = E und x = (1, 0, 0, 0)> . Dann ist xT Ax = 0, aber x 6= 0.
b) richtig. Symmetrie ist klar. Positiv definit: Sei M die gegebene Matrix. Für alle x =
(x1 , x2 , x3 , x4 )> ist x> M x = (x1 , x2 )> A(x1 , x2 ) + (x3 , x4 )> B(x3 , x4 ). Da A und B positiv
definit sind, gilt (x1 , x2 )> A(x1 , x2 ) > 0 und (x3 , x4 )> B(x3 , x4 ) > 0 für alle x 6= 0 und
gleich Null sind diese Ausdrücke genau für x = 0. Also gilt auch x> M x > 0 für x 6= 0
und gleich Null für x = 0.
c) und d) richtig. Die zwei Geraden v1 + Rw1 und v2 + Rw2 schneiden sich genau dann,
wenn das Gleichungssystem v1 + λ1 w1 = v2 + λ2 w2 eine Lösung besitzt. Äquivalent dazu
kann man schreiben
v1 − v2 = λ2 w2 − λ1 w1 .
In dieser Schreibweise steht links der Vektor v1 − v2 und rechts ein Vektor aus dem
Untervektorraum span(w2 , −w1 ). Die beiden Geraden schneiden sich also genau dann,
wenn v1 − v2 ∈ span(w2 , −w1 ). Da span(w2 , −w1 ) ein Untervektorraum ist, liegt mit
v1 − v2 auch jedes Vielfache in diesem Vektorraum, insbesondere also −(v1 − v2 ) = v2 −
v1 ∈ span(w2 , w1 ) (ebenso: liegt ein Vektor nicht im Unterraum, dann auch keines seiner
Vielfachen). Damit gilt wiederum, dass v2 − v1 = λ2 w2 − λ1 w1 eine Lösung besitzt, oder
äquivalent dazu v2 + λ1 w1 = v1 + λ2 w2 ist lösbar. Daher schneiden sich auch diese beiden
Geraden.
1 1
e) falsch. Gegenbeispiel: Wähle A =
und die Standardbasis des R2 . Die Stan0 1
dardbasis ist offensichtlich eine ONB und es gilt det A = 1. Jedoch ist Ae1 = (1, 0)>
und Ae2 = (1, 1)> . Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist 1, also sind sie nicht
orthogonal. Ebenso ist der zweite auch nicht normiert.
f) richtig. Es muss gezeigt werden, dass die Abj orthogonal und normiert sind: das Ska>
larprodukt (euklidisch, also x> y) zweier solcher Vektoren ist (Abj )> Abi = b>
j A Abi =
>
>
>
>
bj Ebi = bj bi . Da die bj eine ONB bilden, ist bj bi = 0 für i 6= j und bj bi = 1 für i = j,
was genau den Eigenschaften einer ONB entspricht (orthogonal und normiert). Daher ist
auch (Abj )> Abi = 0 für i 6= j und (Abj )> Abi = 1 für i = j und somit sind auch die Abj
eine ONB.
4.2 (3+3 Punkte)
Es sei v1 = (1, 0, 1, 1)> und v2 = (0, 2, −1, 1)> und U := span{v1 , v2 }.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis b1 , b2 , b3 , b4 des R4 , so dass gilt:
U = span{b1 , b2 }.
b) Bestimmen Sie eine Matrix A ∈ R4×4 , so dass U = Kern(A) ist.
Lösungshinweise:
a) Zuerst wähle eine Basis des R4 , deren erste beiden Vektoren U aufspannen, z.B.
V = {v1 , v2 , e1 , e2 } (e1 und e2 sind hier die ersten beiden Standardeinheitsvektoren).
Zuerst muss überprüft werden, dass dies eine Basis ist, d.h. dass die Vektoren linear unabhängig sind (mit Gauß oder mit Determinante). Nun wird der Gram-SchmidtAlgorithmus angewandt. Dieser ergibt
 
 
 
 
1
0
2
0
2
0
1

1 
1
1
1
0
 , b2 = √   , b3 = √   , b4 = √   .
b1 = √ 


1
3
6 −1
6 −1
3 1 
1
1
−1
−1
Da wir die Basis V schon so gewählt haben, dass die ersten beiden Vektoren den Raum
U aufspannen, ist dies nach dem Gram-Schmidt-Algorithmus immer noch der Fall, daher
gilt U = span{b1 , b2 }.
>
b) Wähle A mit den Zeilenvektoren b>
3 , b4 und dem Rest 0, also
 2
−1 −1 
√
√
0 √
 6
6
6


1
1
−1

 0 √
√
√
A=
.

3
3
3
 0
0
0
0 
0
0
0
0
>
>
>
Dann ist Ax = (b>
3 x, b4 x, 0, 0) . Dies ist genau dann gleich Null wenn b3 x = 0 und
b>
4 x = 0 ist, also wenn x orthogonal zu b3 und b4 ist. Daher muss x im orthogonalen
Komplement von span{b3 , b4 } liegen, und dieses ist genau U (siehe a)). Also ist Ax = 0,
wenn x ∈ U ist.