Einige Lösungen: Serie 1, Nr. 5: Ein Polynom dritten

Einige Lösungen:
Serie 1, Nr. 5:
Ein Polynom dritten Grades mit reellen Koeffizienten besitzt mindestens eine reelle Nullstelle.
Es ist in beiden Fällen Pk0 (x) = 3x2 + 1 ≥ 1 > 0, die Funktionen sind also auf der gesamten Menge der
reellen Zahlen streng monoton wachsend.
Mithin gibt es jeweils genau eine Nullstelle. Diese ist jedesmal positiv.
√
a) Vorbetrachtung: Wegen x3 + x > x3 würde aus x3 = 11 das Ergebnis x = 3 11 = 2.224 folgen, also gilt
für die Lösung von P1 (x) = 0 die Abschätzung x∗ < 2.224. Man hat damit 0 < x∗ < 2.200 .
Wegen offensichtlich P1 (2) = 10 < 11 gilt sogar die engere Einschließung 2 < x∗ < 2.224.
Im Ausdruck x3 + x = x2 · x + x = x2 · x + 1 · x ist das fettgedruckte x gerade x2 > 4 mal so wichtig wie
der andere Summand. Es ist mithin naheliegend, nach x3 aufzulösen:
√
Aufgelöst nach x in x3 , sei x0 = 0, Fixpunktgleichung: x = 3 11 − x
x1 = 2.223 980, x2 = 2.062 683, x3 = 2.075 243, x4 = 2.074 271, x5 = 2.074 346, x6 = 2.074 340, x7 =
2.074 341 = x8 ,
Ergebnis (auf fünf Stellen sicher gerundet): 2.07434.
Hätte man nach dem x1 aufgelöst, so ergibt die Iterationsvorschrift x = 11 − x3 die Folge (wieder mit
x0 = 0 beginnend): x1 = 11, x2 = −1320, x3 = 2 299 968 011, . . . . Sie divergiert.
√
Konvergenzbedingung bei der Fixpunktiteration ist |ϕ0 (x∗ )| < 1. Im Erfolgsfall ϕ(x) = 3 11 − x ist ϕ0 (x) =
− 13 (11 − x)−2/3 mit ϕ0 (x∗ ) = ϕ0 (2.07434) = −0.077 467.
De Verbesserung des Ergebnis erfolgt zum Ende der Iteration mit einem Faktor 0.077 ..., d. h. der Restfehler
wird mit dieser Zahl multipliziert. Damit wird eine weitere Kommastelle geliefert (sogar mehr als das).
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xk
0
2.223980091
2.062683209
2.075243445
2.074270828
2.074346176
2.074340339
2.074340791
2.074340756
2.074340759
xk − x∗
-2.074340759
0.149639332
-0.011657550
0.000902686
-0.000069931
0.000005417
-0.000000420
0.000000032
-0.000000003
0.000000000
(xk − x∗ )/(xk−1 − x∗ )
-0.07213825952
-0.07790431730
-0.07743359454
-0.07746990648
-0.07746206975
-0.07753369023
-0.07619047619
-0.09375000000
0
Im Ergebnis sind jeweils die Dezimalstellen unterstrichen, die bei der weiteren Rechnung ’stehenbleiben’.
Die Quotienten der aufeinaderfolgenden Abweichungen nähern sich dem Ableitungswert ϕ0 (2.07434) =
−0.077 467, weichen aber später wieder von ihm ab. Letzteres ist ein Effekt der Rundungsfehler. Die
Abweichungen sind beide Werte nahe Null und das Verhältnis solch kleiner Werte kann stark streuen. Im
Falle k = 8 hat man (lt. Tabelle) 3/32 = 0.09375. Wenn Zähler und Nenner das Resultat korrekter Rundung
sind, so kommen eigentlich alle Werte zwischen 2.5/32.499999 = 0.07692 und 3.49999/31.5 = 0.11111 in
Frage.
b) Aufgelöst nach x, Fixpunktgleichung: x = 0.1 − x3 , x0 = 0
x1 = 0.1, x2 = 0.099, x3 = 0.099 0297, x4 = 0.099 02883, x5 = 0.099 0289, Ergebnis: 0.099 029
Es sollen fünf gültige Ziffern sein (relative Genauigkeit). Also braucht man hier sechs Nachkommastellen.
Die erste ist Null und gibt nur die Größenordnung der Zahl an, die gültigen Ziffern beginnen in der zweiten
Nachkommastelle.
Die Ableitung ist ϕ0 (x) = (0.1 − x3 )0 = −3x2 mit ϕ0 (0.1) = −0.03 - diesmal geben zwei Schritte etwa drei
Kommastellen.
√
Das Auflösen nach x3 hätte keinen Erfolg gebracht: x = 3 0.1 − x. Beginnt man mit x0 = 0, so ist
x1 = 0.464159 und danach hätte man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müssen. Legt man
(unerlaubterweise) gewaltsam fest, daß die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl eben auch eine negativen
Zahl ist, so wird x2 = −0.714108, dann x3 = 0.933743, anschließend x4 = −0.941190, darauf x5 = 1.020387
- das Verfahren konvergiert nicht.
Angenommen, man nimmt den obigen Lösungswert 0.099 029 so als x0 in den Taschenrechner und startet
damit, so wird nacheinander (alle Stellen abgeschrieben): x1 = 0.099023835, x2 = 0.099199090, x3 =
0.092866947 √
- das Verfahren verläßt die Lösung.
Es hat nun ( 3 0.1 − x)0 in x = 0.099029 den Wert 33.99, jeder neue Fehler ist also rund das 34-fache seines
Vorgängers. Das führt nicht zum Ergebnis.
1
Serie 2, Nr. 2:
Es ist ln(axbk ) = ln a + b ln xk = c + b ln xk mit der neuen Unbekannten c für ln a. Damit sollen - im
Idealfall! - die folgenden drei Gleichungen erfüllt sein:
c + b ln 1 = ln 25 ,
c + b ln 3 = ln 270 ,
c + b ln 6 = ln 880
oder, in Zahlen:
c = 3.219 ,
c + 1.099b = 5.599 ,
c + 1.792b = 6.780 .
Man gelangt zu dem Ausgleichssystem


1
0
1
1
1 
c
1

1 1.099
=
0 1.099 1.792
b
0
1 1.792
1
1
1.099 1.792


3.219
 5.599 
6.780
Es resultiert das System
3 2.891
2.891 4.419
c
b
=
15.598
18.303
,
in dem man die erste Gleichung durch 3, die zweite durch 2.891 dividiert;
1 0.964
c
5.199
=
.
1 1.529
b
6.331
Folglich ist (1.529 − 0.964)b = 6.331 − 5.199 oder b = 2.00 und c = 3.27, d.h. a = ec = 26.2. Die gesuchte
Funktion wird damit
y(x) = 26.2 · x2
.
Ihre Werte sind: y(1) = 26.2 , y(3) = 236 , y(1) = 943.
Das ergibt die absoluten Differenzen y(1) − y1 = 26.2 − 25 = +1.2, y(3) − y2 = 236 − 270 = −34 und
y(6) − y3 = 943 − 880 = +63, die Abweichung nach oben überwiegt beträchtlich. Warum?
Die Anwendung des Logarithmus auf die Idealgleichungen hat den Maßstab verzerrt.
Zur relativen Abweichung: 26.2 : 25 = 1 + 0.048, 236 : 270 = 1 − 0.126, 943 : 880 = 1 + 0.072. Diese
Abweichungen liegen enger zusammen.
Logarithmiert wurde, um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten. Hätte man das Prinzip ’Minimale
Quadratsumme der Abweichungen’ auf die Ausgangsgleichungen angewandt, so wären die zwei nichtlinearen
Gleichungen entstanden:
∂ (a − 25)2 + (a · 3b − 270)2 + (a · 6b − 880)2 = 2(a − 25) + 2 · 3b · (a · 3b − 270) + 2 · 6b · (a · 6b − 880) = 0
∂a
∂ (a − 25)2 + (a · 3b − 270)2 + (a · 6b − 880)2 = 2 · a · ln 3 · 3b · (a · 3b − 270) + 2 · a · ln 6 · 6b · (a · 6b − 880) = 0
∂b
Seine Lösung ist schwieriger. Man bekommt a = 39.29 und b = 1.736 - ziemlich stark abweichende Werte!
Dann ist 39.29 · 11.736 − 25 = +14.29, 39.29 · 31.736 − 270 = −5.42, 39.29 · 161.736 − 880 = +1.36. Die beiden
großen Werte sind erstaunlich gut, aber beim kleinen hat man einen Fehler von 57%.
Es ist sicher sachgemäßer, die Quadratsumme der relativen Fehler zu minimieren:
2 2
a
2 a · 3b
a · 6b
−1 +
−1 +
−1
25
270
880
→
min ! ,
was die Werte a = 26.06 und b = 2.00 ergibt - fast dieselben wie mit der linearen Rechnung. Aber mit viel
mehr Aufwand.
Noch mehr Mühe macht es, wenn man sich das Ziel stellt, die maximale Abweichung in den drei Wertepaaren minimal zu machen:
a · 3b
a · 6b
a
max − 1 , − 1 , − 1
−→ min ! .
25
270
880
Jetzt wird a = 27.42 und b = 1.988 mit
a
−1=−
25
a · 3b
−1
270
=
a · 6b
− 1 = 0.0975 .
880
Jeder Parametersatz ist im Sinne seiner jeweiligen Optimierungszielstellung korrekt.
2
Serie 2, Nr. 3:
Idealgleichungen: 5.8 = a/t0 , 7.8 = a/(t0 − 3), 11.4 = (t0 − 6)
Umgeformt in ein lineares System: 5.8t0 − a = 0, 7.8t0 − a = 7.8 · 3, 11.4t0 − a = 6 · 11.4




5.8 −1
0
t
0
⇒  7.8 −1 
=  23.4 
a
11.4 −1
68.4
Ausgleichssystem:
224.44 −25.0
−25.0
3
Cramersche Formel (es wird nur eine
t0 = t0
a
=
962.28
−91.8
.
Unbekannte gesucht):
962.28 −25.0 −91.8
3 585.00
=
= 12.1
48.32
224.44 −25.0 −25.0
3 Man hätte auch im Ausgangssystem die Quadratsummen minimieren können, was aber wiederum ein
nichtlineares Gleichungssystem ergeben hätte:
"
2 2 2 #
∂
a
a
a
− 5.8 +
− 7.8 +
− 11.4
=
∂a
t0
t0 − 3
t0 − 6
11.6
15.6
22.8
2a
2a
2a
+
2 − t
2 − t −3 +
2 − t −6 =0
t0
0
0
0
(t0 − 3)
(t0 − 6)
"
2 2 #
2 ∂
a
a
a
− 7.8 +
− 11.4
=
− 5.8 +
∂t0
t0
t0 − 3
t0 − 6
=
=
15.6 a
2 a2
22.8 a
−2 a2
11.6 a
2 a2
3 +
2 −
3 +
2 =0
3 +
2 −
t0
t0
(t0 − 3)
(t0 − 3)
(t0 − 6)
(t0 − 6)
Hier ist die Lösung t0 = 12.3. Welche von beiden ist richtig - 12.1 oder 12.3 ?
Die Frage ist müßig. Beides sind Näherungswerte, gewonnen auf der Basis verschiedener Annahmen. Klar
ist nur: Spätestens ab t = 11 ist erhöhte Wachsamkeit geboten.
3