Übungsblatt 2

MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften
Herbstsemester 2010
Übungsblatt 2
Abgabetermin: Mittwoch, 6. Oktober, Donnerstag 7. Oktober, bzw. Freitag, 8. Oktober, bei der
Übungsleiterin oder beim Übungsleiter in der jeweiligen Übungsstunde.
Hinweis. Alle diese Aufgaben sollten ohne Taschenrechner gelöst werden können.
Aufgabe 12. (5 Punkte)
Wir betrachten eine Pyramide mit Spitze S, deren Grundfläche ein Parallelogram ABCD
−→
−→
−→
ist. Wir setzen ~a = SA, ~b = SB, ~c = SC.
a) Erstellen Sie eine Skizze dieser Pyramide.
Drücken Sie nun die folgenden Vektoren als Linearkombination von ~a, ~b und ~c aus, das
heisst in der Form α~a + β~b + γ~c:
−−→
−→
−→
−−→
b) BC, c) AC, d) SD, e) BD.
Aufgabe 13. (6 Punkte)
Es seien ~a und ~b zwei Ortsvektoren mit demselben Anfangspunkt, welche nicht auf einer
Geraden liegen.
a) Beschreiben Sie in Worten die Menge aller Punkte mit Ortvektor ~x = r~a + s~b, wobei
0 ≤ s ≤ 1 und r + s = 1 ist. Erstellen Sie eine Skizze dieser Menge.
b) Wie sieht die Punktemenge aus a) aus, wenn man die Bedingung 0 ≤ s ≤ 1 weglässt?
Erstellen Sie wiederum eine Skizze.
c) Wie sieht die Punktemenge aus a) aus, wenn wir die Bedingung 0 ≤ s ≤ 1 durch die
Bedingung 0 ≤ s ersetzen? Erstellen Sie auch für diesen Fall eine Skizze.
Aufgabe 14. (6 Punkte)(∗)
Es seien wiederum ~a und ~b zwei Ortsvektoren mit demselben Anfangspunkt, welche nicht
auf einer Geraden liegen.
a) (1 Punkt) Beschreiben Sie in Worten die Menge aller Punkte mit Ortvektor ~x = r~a+s~b,
wobei r, s ∈ R. Skizzieren Sie diese Menge.
b) (2 Punkte) Es seien nun −1 ≤ r ≤ 0 und 0 ≤ s ≤ 1. Beschreiben und skizzieren Sie
wiederum die Menge aller Punkte mit Ortsvektor ~x = r~a + s~b.
c) (3 Punkte) Es seien u, v, y, z ∈ R beliebige reelle Zahlen mit u ≤ v und y ≤ z, und es
gelte u ≤ r ≤ v und y ≤ s ≤ z. Beschreiben und skizzieren Sie auch für diesen Fall die
Menge aller Punkte mit Ortsvektor ~x = r~a + s~b.
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Aufgabe 15. (◦)
Im nebenstehenden geraden dreikantigen Prisma haben alle Kanten die Länge 1.
a) Berechnen Sie die Skalarprodukte ~a~b, ~a~c und daraus auch ~a~x.
b) Bestimmen Sie den Winkel zwischen ~a und ~x.
(Diese Aufgabe wird in der Vorlesung gelöst.)
Version vom 17. September 2010, 8:25 Uhr
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~x
~b
~a
~c
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MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften
Herbstsemester 2010
Aufgabe 16. (4 Punkte)
a) Die Vektoren ~a bzw. ~b haben die Länge 2 bzw. 1. Ihr Zwischenwinkel beträgt 240◦ .
Berechnen Sie das Skalarprodukt (~a + 3~b)(2~a − 3~b).
b) Die Vektoren ~r bzw. ~s haben die Länge 2 bzw. 4 und schliessen den Zwischenwinkel
π/3 ein. Bestimmen Sie die Länge der Vektoren ~r + ~s und ~r − ~s. Im Sinne dieser Übungsaufgaben sollen Sie dabei nicht mit Formeln aus der Trigonometrie, sondern mit dem
Skalarprodukt (~r ± ~s)2 arbeiten.
Aufgabe 17. (5 Punkte)
Gegeben ist ein Vektor ~a 6= ~0 sowie ein Vektor ~x. Der Vektor ~x soll so in eine Summe
zerlegt werden, dass der erste Summand parallel zu ~a, der zweite aber senkrecht zu ~a ist.
a)(3 Punkte) Wir machen dazu den Ansatz ~x = t~a + (~x − t~a). Bestimmen Sie t so, dass
die Forderungen erfüllt sind.
b)(2 Punkt) Ein Zahlenbeispiel: Es sei |~a| = 3, |~x| = 4 und ^(~a, ~x) = 2π/3. Berechnen
Sie t (ohne Verwendung des Taschenrechners).
Aufgabe 18. (6 Punkte)(∗)
a) (2 Punkte) Zwei nichtparallele Ebenen haben die Normalenvektoren ~n bzw. m.
~ Geben
Sie einen Richtungsvektor des Ebenenschnittes an.
b) (4 Punkte) Es sei g die Gerade durch den Punkt Q mit der Richtung ~t (6= ~0). Sei A
ein weiterer Punkt. Zeigen Sie, dass der Abstand d zwischen A und g durch
~ × ~t|
|QA
d=
|~t|
gegeben ist.
Aufgabe 19. (4 Punkte)
a) Bestimmen Sie zwei verschiedene Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte A(2/0/3) und B(−1/1/3).
b) Wo schneidet diese Gerade die y-z-Ebene?
Aufgabe 20. (4 Punkte)
a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene an, welche durch den Punkt P (1/ −
2/ − 1) geht und senkrecht zum Vektor ~n = (2, 4, −5) steht.
b) Wo schneidet diese Ebene die Gerade, welche durch die Punkte (1/1/1) und (2/2/2)
geht?
Aufgabe 21. (4 Punkte)
Gesucht ist die Ebene, welche durch die drei Punkte P (0/3/2), Q(2/2/3) und R(4/−1/1)
geht. Geben Sie
a) eine Parameterdarstellung,
b) eine Ebenengleichung (Koordinatengleichung).
z
.. h
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Aufgabe 22. (◦)
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...
Die beiden Geraden g und h liegen in der x-z-Ebene.
Es fällt Licht in Richtung ~r = (1, 2, −1) ein. Wie gross
ist der Winkel der Schatten von g und h auf der x-yEbene?
Version vom 17. September 2010, 8:25 Uhr
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g
90◦
x
30◦
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