Drehstrom – Rotary Current

Drehstrom – Rotary Current
Skript zum Kurs Elektrizätslehre 3
im Herbstsemester 2014
Autor: Martin Schlup
Editor: Martin Weisenhorn
Winterthur, im September 2014
Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften
Institut für Signalverarbeitung und Nachrichtentechnik
Technikumstrasse 9
Postfach
8401 Winterthur
Inhaltsverzeichnis
1.
Einleitung
1
2.
2.1.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.4.
2.4.1.
2.4.2.
.1.
Drehstrom
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Symmetrische Belastung . . . . . . . . . . . .
Sternschaltung (bei Drei- oder Vierleiternetz)
Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . . .
Asymmetrische Belastung . . . . . . . . . . .
Sternschaltung am Vierleiternetz . . . . . . .
Sternschaltung am Dreileiternetz . . . . . . .
Dreieckschaltung am Dreileiternetz . . . . . .
Leistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . .
Aron-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Blindleistungskompensation . . . . . . . . . .
Drehstromschaltung . . . . . . . . . . . . . . .
A.
Stern-Dreieck-Umwandlung
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
7
7
8
9
9
10
11
11
12
12
13
17
i
Kapitel
1
Einleitung
In der Energietechnik (elektrische Energieumladung1 und -verteilung) hat sich der sinusförmige Wechselstrom, kurz Wechselstrom (alternating current, AC) auf Grund seiner
technischen Vorteile gegenüber dem Gleichstrom (direct current, DC) durchgesetzt. Dessen Vorteile liegen in der relativ einfachen technischen Realisierbarkeit der Wechselstrom-,
bzw. Drehstromerzeugung2 (Generator als drehende Maschine) und in der ebenfalls einfachen Realisierbarkeit der Spannungstransformation ohne beweglichen mechanische Teile
mit Transformatoren (transformer).
1
2
Energie ist für alle physikalischen Prozesse ein und dasselbe. Sie kann also nicht umgewandelt, sondern nur von einem Energieträger zum anderen umgeladen oder ausgetauscht werden. Dabei wird sie
freigesetzt oder gebunden.
Drehstrom ist eine besondere Form von Wechselstrom: er besteht aus drei zeitlich versetzten Wechselstromspannungen.
1
Kapitel
2
Drehstrom
Drehstromsysteme (cf Abb. 2.1) weisen gegenüber Wechselstromsystemen mit unabhängigen Strängen wesentliche praktische Vorteile auf:
• Die von einem Drehstromsystem übertragene Momentanleistung ist bei symmetrischer Belastung (Verbraucher) zeitlich konstant. Die den Synchrongenerator antreibende Maschine (z. B. Turbine) wird so mit einem zeitlich konstanten Drehmoment
belastet.
• Auf der Verbraucherseite kann ein magnetisches Drehfeld mit drei räumlich stationären Spulen erzeugt werden.
• Das Drehstromsystem liefert sechs verschiedene Spannungen die sich bezüglich Effektivwert und Phasenlage unterscheiden.
• Die Übertragungsverluste bei gleicher übertragener Energie sind geringer als bei
einem Wechselstromsystem mit drei unabhängigen Strängen (drei, bzw. vier anstelle
von sechs Leitern).
2.1. Definitionen
Für die Bezeichnungen der Drehstromsystemen sollte die Norm DIN 40108: Stromsysteme
(Begriffe, Grö§en, Formelzeichen) konsultiert werden. Einige Begriffe und Grössen seien
hier kurz erläutert:
Aussenleiter oder Polleiter (CH)
Leiter des Drehstromsystems: L1, L2, L3
Diese wurden früher als Phasen R, S und T bezeichnet. Diese Bezeichnungen gelten
nicht mehr. Phase beschreibt den momentanen Phasenwinkel einer periodischen,
harmonischen Schwingung: ωt + φ. Der Begriff sollte nicht mehr für die Aussenleiter
benutzt werden.
2
2. Drehstrom
3
Neutralleiter
Leiter der am Sternpunkt eines Drehstromsystems angeschlossen ist
Dieser gleicht die Aussenleiterströme bei asymmetrischer Belastung des Systems aus.
PE-Leiter (protective earth)
Sicherheitsleiter der mit der Erde niederohmig verbunden ist (wird hier nicht weiter
betrachtet).
4-Leitersystem
Drehstromsystem mit 3 Aussenleitern und einem Sternpunkt- oder Neutralleiter
Diese Konfiguration ist typisch für die Niederspannungsseite.
3-Leitersystem
Drehstromsystem mit 3 Aussenleitern
Diese Konfiguration ist typisch für Hochspannungsnetze, wo die Sternpunkte der
Generatoren niederohmig mit dem Erdboden verbunden sind.
starres Netz
idealisiertes Netz bei dem die Aussenleiterspannungen lastunabhängig sind
Sternspannungen
Aussenleiterspannungen gegen den Sternpunkt (cf. Abb. 2.2)
U1N = U ∠ 0
U2N = U ∠ − 2π/3
U3N = U ∠ + 2π/3
Abbildung 2.1.: Vereinfachtes Drehstromnetz ohne Last
Die drei Quellen sind Teil eines einzigen Generators mit drei Wicklungen, welche räumlich gegeneinander um 120◦ gedreht sind. Zwischen Generator und Last befinden sich im Allgemeinen noch
Transformatoren und noch viele andere Systemkomponenten die hier nicht behandelt werden sollen
und daher weggelassen wurden. Ebenfalls werden die Leitungen als ideal betrachtet, was selbstverständlich in Wirklichkeit nicht der Fall ist, da diese neben Widerständen auch Kapazitäten und
Induktivitäten aufweisen.
2. Drehstrom
4
in Europa beträgt die Sternspannung U = 230 Volt (±10%) bei 50 Hz. Die Richtung
der Spannung U1N ist hier eine Konvention.
Leiterspannungen
Spannungen zwischen den Aussenleitern (cf. Abb. 2.2)
U12 = U1N − U2N
= U∆ ∠ + π/6
U23 = U2N − U3N
= U∆ ∠ − π/2
U31 = U3N − U1N
= U∆ ∠ + 5π/6
√
in Europa beträgt die Dreieckspannung U∆ = 3 U ≈ 400 Volt (cf. Abb. 2.2). Das
√
Verhältnis von 3 zwischen der Dreieckspannung U∆ und der Sternspannung U
kann aus dem Bild links geometrisch gewonnen werden.
Abbildung 2.2.: Zeigerdiagramme mit den Drehstromspannungen. Auf der linken Seite sind die
Spannungen zwischen den Aussenleitern und dem Sternpunkt örtlich dargestellt, auf der rechten,
so wie sie als Zeiger oder als komplexe Zahlen in der Gauss’schen Ebene liegen würden.
2. Drehstrom
5
Strang
einzelne Generatorwicklungen oder Lastkomponenten
Diese werden mit U, V und W bezeichnet und deren Anschlüsse mit U1, U2, V1, V2,
W1, W2. Lastkomponenten können als Stern oder als Dreieck geschaltet werden
(cf. Abb. 2.3). Als Strangspannungen versteht man die Spannungen über diesen
Elementen.
Abbildung 2.3.: Anschlussschemata (oben) für Stern- und Dreieckschaltung (unten)
Aderbezeichnung
Auf der folgenden Seite finden Sie eine Tabelle mit den neuen Aderbezeichnungsfarben nach er Norm HD 308 S2.
Vergleich der Aderkennzeichnung mit Farben - alte und neue Ausführung
Aderzahl
alt: SEV 1101, 1102
Tabelle 1a (CH)
Für feste Verlegung
alt: SEV 1101, 1102
Tabelle 2 (CENELEC)
Für feste oder mobile
Verlegung
Adern flexibel
Adern steif
Phasenfolge / Drehsinn
Mit gelb-grünem Schutzleiter
sw bl ge/gn
neu: HD 308 S2
Für feste und mobile Verlegung
Adern steif oder flexibel
br
bl ge/gn
ge/gn bl
br
sw
br
ge/gn bl
br
sw
ge/gn br
sw
gr
ge/gn bl
br
3
sw
rt
bl ge/gn
sw
rt
ws ge/gn
sw
rt
ws
bl ge/gn
*)
4
4
bl ge/gn
sw
br
Ohne gelb-grünem Schutzleiter
sw bl
br
bl
sw
bl ge/gn
sw
gr
5
bl
br
2
sw
rt
ws
sw
rt
ws
sw
br
bl
sw
br
sw
sw
br
sw
br sw
gr
**)
bl
bl
br
sw
gr
sw bl
bl
br
sw
gr sw
3
bl
4
5
*) Nur für bestimmte Anwendungen: gelb-und-grün, blau, braun, schwarz
**) Nur für bestimmte Anwendungen: blau, braun, schwarz
Abkürzungen für Farben: ge/gn = gelb-und-grün, bl = blau, br = braun, sw = schwarz, gr = grau,
rt = rot, ws = weiss
Funktion
Polleiter
Abkürzung
alte Aderfarben SEV
neue Aderfarben HD 308 S2
sw
sw
L
Einleiter-Kabel
sw
3L
rt
ws
Einleiter-Kabel
br
sw
Mehrleiter-Kabel
Mehrleiter-Kabel
bl
bl
ge/gn
ge/gn
Neutralleiter N
Schutzleiter
PE
gr
2. Drehstrom
7
2.2. Symmetrische Belastung
Bei symmetrischer Belastung eines Drehstromnetzes ist die durch eine Last bezogene
Momentanleistung p(t) zeitlich konstant und entspricht gerade der gesamten Wirkleistung
P.
2.2.1. Sternschaltung (bei Drei- oder Vierleiternetz)
Die einzelnen Stränge können durch den folgenden komplexen Widerstand dargestellt werden:
Z = Z∠ ϕ
(mit |ϕ| ≤ π/2)
Damit erhält man für die Aussenleiterstromstärken:
I1 =
I2 =
I3 =
U
∠−ϕ
Z
U
∠ − ϕ − 2π/3
Z
U
∠ − ϕ + 2π/3
Z
Dabei gilt:
IN
= I1 + I2 + I3 = 0
I = I1 = I2 = I3
Für die Leistungen erhält man:
S = 3 U I∠ ϕ
U2
cos ϕ
Z
U2
Q = 3 sin ϕ
Z
P
= 3
2. Drehstrom
8
2.2.2. Dreieckschaltung
Die einzelnen Stränge können durch den folgenden komplexen Widerstand dargestellt werden:
Z = Z∠ ϕ
(mit |ϕ| ≤ π/2)
Damit erhält man für die Strangstromstärken:
I 12 =
I 23 =
I 31 =
U∆
∠ − ϕ + π/6
Z
U∆
∠ − ϕ − π/2
Z
U∆
∠ − ϕ + 5π/6
Z
und für die Aussenleiterstromstärken:
√ U∆
3
∠−ϕ
Z
√ U
= 3 ∆ ∠ − ϕ − 2π/3
Z
√ U∆
= 3
∠ − ϕ + 2π/3
Z
I 1 = I 12 − I 31 =
I 2 = I 23 − I 12
I 3 = I 31 − I 23
Dabei gilt:
I∆ = I12 = I23 = I31
I1 + I2 + I3 = 0
√
I = I1 = I2 = I3 = 3 I∆
Für die Leistungen erhält man:
S = 3 U∆ I∆ ∠ ϕ = 3 U I∠ ϕ
Abbildung 2.4.: Symmetrische Sternschaltung der Stränge, 3 × Z: Bei symmetrischer Belastung
fliesst im Neutralleiter kein Strom.
2. Drehstrom
9
2
U∆
cos ϕ
Z
U2
Q = 3 ∆ sin ϕ
Z
P
= 3
2.3. Asymmetrische Belastung
2.3.1. Sternschaltung am Vierleiternetz
Die einzelnen Stränge können durch die folgenden komplexen Widerstände dargestellt werden:
Zk = Zk ∠ ϕk
(mit k = 1, 2, 3 und |ϕk | ≤ π/2)
Damit erhält man für die Aussenleiterstromstärken:
I1 =
I2 =
I3 =
U
∠ − ϕ1
Z1
U
∠ − ϕ2 − 2π/3
Z2
U
∠ − ϕ3 + 2π/3
Z2
Dabei gilt:
IN
= I1 + I2 + I3
Für die Leistungen erhält man:
S = U1N I ∗1 + U2N I ∗2 + U3N I ∗3
P
=
Q =
U2
U2
U2
cos ϕ1 + cos ϕ2 + cos ϕ3
Z1
Z2
Z3
2
2
U
U
U2
sin ϕ1 + sin ϕ2 + sin ϕ3
Z1
Z2
Z3
2. Drehstrom
10
2.3.2. Sternschaltung am Dreileiternetz
Die einzelnen Stränge können durch die folgenden komplexen Widerstände dargestellt werden:
Zk = Zk ∠ ϕk
(mit k = 1, 2, 3 und |ϕk | ≤ π/2)
Für die Spannungen zwischen den Aussenleitern und dem Sternpunkt der Last ergibt
sich:
U1K
= U1N − UKN
U2K
= U2N − UKN
U3K
= U3N − UKN
Damit erhält man für die Aussenleiterstromstärken mit den Leitwerten Y k = 1/Zk :
I 1 = Y 1 U1K = Y 1 (U1N − UKN )
I 2 = Y 2 U2K = Y 2 (U2N − UKN )
I 3 = Y 3 U3K = Y 3 (U3N − UKN )
Dabei gilt:
I1 + I2 + I3 = 0
Aus den vier letzten Gleichungen kann die Spannung UKN zwischen dem Sternpunkt und
dem (fiktiven) Neutralleiter berechnet werden (die Herleitung wird dem Leser überlassen):
UKN =
Y 1 U1N + Y 2 U2N + Y 3 U3N
Y1+Y2+Y3
Für die Leistungen erhält man:
S = U1K I ∗1 + U2K I ∗2 + U3K I ∗3
= U1N I ∗1 + U2N I ∗2 + U3N I ∗3
P
= <{S}
Q = ={S}
2. Drehstrom
11
2.3.3. Dreieckschaltung am Dreileiternetz
Die einzelnen Stränge können durch die folgenden komplexen Widerstände dargestellt werden:
Zk = Zk ∠ ϕk
(mit k = a, b, c und |ϕk | ≤ π/2)
Damit erhält man für die Strangstromstärken:
I 12 =
I 23 =
I 31 =
U∆
∠ − ϕc + π/6
Zc
U∆
∠ − ϕa − π/2
Za
U∆
∠ − ϕb + 5π/6
Zb
und für die Aussenleiterstromstärken:
I 1 = I 12 − I 31
I 2 = I 23 − I 12
I 3 = I 31 − I 23
Dabei gilt:
I1 + I2 + I3 = 0
Für die Leistungen erhält man:
S = U12 I ∗12 + U23 I ∗23 + U31 I ∗31
= U1N I ∗1 + U2N I ∗2 + U3N I ∗3
P
= <{S}
Q = ={S}
2.4. Leistungsmessung
Für die komplexe Scheinleistung eines Drehstromsystems gilt offenbar folgende Formel für
sämtliche Fälle:
S = P + jQ = U1N I ∗1 + U2N I ∗2 + U3N I ∗3
(2.1)
Bemerkungen
• Messtechnisch ist gemäss der Gleichung (2.1) die Bestimmung der Gesamtleistung
einfach, da die Aussenleiter bei allen Lastformen zugänglich sind.
Bei fehlendem Neutralleiter, kann für die Messung ein virtueller Sternpunkt mit drei
identischen, sternförmig geschalteten Kondensatoren gebildet werden.
2. Drehstrom
12
• Die gesamte Wirkleistung der Last kann theoretisch aus der Summe der Realteile
der drei Komponenten der Scheinleistung bestimmt werden:
P = <{U1N I ∗1 } + <{U2N I ∗2 } + <{U3N I3∗ }
Im Fall einer asymmetrischen Belastung sind diese aber nicht deckungsgleich mit den
Wirkleistungen in den Strängen. Letztere Aussage gilt auch für die Blindleistung.
2.4.1. Aron-Schaltung
Bei allen Konfigurationen, wo die Bedingung I1 + I2 + I3 = 0 gilt, kann die AronSchaltung1 mit nur zwei Leistungsmessgeräten benutzt werden (cf. Abb. 2.10). Dies ist
möglich, da folgende Gleichung gilt:
S = U1N I1∗ + U2N I2∗ + U3N I3∗
= U1N I1∗ + U2N I2∗ + U3N (−I1∗ − I2∗ )
= (U1N − U3N ) I1∗ + (U2N − U3N ) I2∗
= U13 I1∗ + U23 I2∗
(wobei U13 = −U31 )
2.4.2. Blindleistungskompensation
Die Blindleistungekompensation einer induktiven Last kann bei symmetrischen Verbrauchern durch drei als Stern oder Dreieck geschaltete identische Kondensatoren erreicht
werden. Wegen der höheren Dreieckspannung sind die Kapazitäten der Dreieckschaltung
3 mal kleiner als in Sternschaltung.
C =
C∆ =
−Qtot /3
ωU2
−Qtot /3
2
ωU∆
Zur Bestimmung der benötigten Kapazität muss also die Blindleistung bestimmt werden.
Typische Leistungsmessgeräte messen aber die Blindleistung wesentlich weniger genau
(grössere Messunsicherheiten) als die Wirk- oder die Scheinleistung, so das hier Vorsicht
geboten ist. Die Unsicherheit wird meistens noch durch Nichtlinearitäten in den Verläufen von Spannungen und Stromstärken wegen nichtlinearen Elementen wie z. B. „einsenhaltige“ Spulen oder Transformatoren verstärkt, denn es wird im Allgemeinen nur die
Blindleistung der Grundfrequenz gemessen2 . Ohne direkte Messung mit einem Leistungsmessgerät lässt sich die Blindleistung aus der Schein- und der Wirkleistung bestimmen:
√
|Q| = S 2 − P 2 . Auch hier ergeben sich Schwierigkeiten im Vorhandensein von nichtlinearen Komponenten, das diese Formeln eigentlich nur bei rein harmonischen Signalen
anwendbar sind.
1
2
Hermann Aron (1845 - 1913)
Nichtlineare Elemente erzeugen zusätzliche Frequenzen, welche ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
sind.
2. Drehstrom
13
Sind die Laststränge asymmetrisch, so kann die Blindleistung in jedem einzelnen Ast
durch einen eigenen Kondensator kompensiert werden. Grössere Anlagen haben schaltbare
Kondensatorbatterien.
.1. Drehstromschaltung
Listing 1: Matlab-Code zur Berechnung einer Drehstromschaltung
%
%
%
%
%
%
%
Beispiel fuer die Berechnung einer Drehstromschaltung
gegeben : symmetrische und asymmetrische R - un RL_Last
gesucht : A u s s e n l e i t e r s t r o m s t a e r k e n
Schein - S , Wirk - P und Blindleistung Q
© M . Schlup , 13. Nov . 2004
clear all , clc
% starres Netz
Us =230; % Sternspannung in V
U1n = Us * exp ( i *0) ;
U2n = Us * exp ( - i *120* pi /180) ;
U3n = Us * exp ( i *120* pi /180) ;
Ud =400; % Aussenlei terspannung in V
U12 = Ud * exp ( i *30* pi /180) ;
U23 = Ud * exp ( - i *90* pi /180) ;
U31 = Ud * exp ( i *150* pi /180) ;
f =50;
% Hz
w =2* pi * f ;
jw = j * w ;
% Last
R1 =1 e3 ; % Ohm
R2 = R1 ;
R3 = R1 ;
L1 =1.40;
% H
L2 =0;
L3 =0;
fprintf (1 , '% s \ n ' , ' *** symmetrische , resistive Dreiecklast : ')
Z12 = R1 ; Z23 = R2 ; Z31 = R3 ;
I12 = U12 / Z12 ; I23 = U23 / Z23 ; I31 = U31 / Z31 ;
I1 = I12 - I31 ; I2 = I23 - I12 ; I3 = I31 - I23 ;
I1 = abs ( I1 ) , phi_I1_grad =180* angle ( I1 ) / pi ,
I2 = abs ( I3 ) , phi_I2_grad =180* angle ( I2 ) / pi ,
I3 = abs ( I3 ) , phi_I3_grad =180* angle ( I3 ) / pi ,
S1 = U1n * I1 '; S2 = U2n * I2 '; S3 = U3n * I3 ';
S = S1 + S2 + S3
P = real ( S )
Q = imag ( S )
fprintf (1 , '\ n % s \ n ' , ' *** 4 - Leiternetz , asymmetrische Sternlast : ')
Z1 = R1 + jw * L1 ; Z2 = R2 + jw * L2 ; Z3 = R3 + jw * L3 ;
2. Drehstrom
I1 = U1n / Z1 ; I2 = U2n / Z2 ; I3 = U3n / Z3 ;
In = I1 + I2 + I3 ;
I1 = abs ( I1 ) , phi_I1_grad =180* angle ( I1 ) / pi ,
I2 = abs ( I2 ) , phi_I2_grad =180* angle ( I2 ) / pi ,
I3 = abs ( I3 ) , phi_I3_grad =180* angle ( I3 ) / pi ,
In = abs ( In ) , phi_In_grad =180* angle ( In ) / pi ,
% ' S in VA , P in W , Q in var : '
S1 = U1 * I1 '; S2 = U2 * I2 '; S3 = U3 * I3 ';
S = S12 + S23 + S31
P = real ( S )
Q = imag ( S )
14
2. Drehstrom
Abbildung 2.5.: Symmetrische Dreieckschaltung der Stränge, 3 × Z
Abbildung 2.6.: Asymmetrische Sternschaltung der Stränge am Vierleiternetz
Abbildung 2.7.: Asymmetrische Sternschaltung der Stränge am Dreileiternetz
15
2. Drehstrom
16
Abbildung 2.8.: Asymmetrische Dreieckschaltung der Stränge
Abbildung 2.9.: Messung der Wirkleistung einer Drehstromlast
Die gesamte Wirkleistung ist die Summe der drei Messwerten: P = Pm1 + Pm2 + Pm3 . Im Fall einer
symmetrischen Belastung genügt ein einziges Messgerät: P = 3 Pm .
Abbildung 2.10.: Aron-Schlatung zur Messung der Wirkleistung einer Drehstromlast
Die gesamte Wirkleistung ist die Summe der beiden Messwerten: P = Pm1 + Pm2 .
Anhang
A
Stern-Dreieck-Umwandlung
Abbildung A.1.: Stern- und Dreieckslast an den Drehstromaussenleitern L1, L2 und L3
Für die Formeln unten sind die Indizes der Teillasten zu beachten: Z 1 liegt z.B. gegenüber Z a .
Dreieck → Stern
Z1 =
Z2 =
Z3 =
Zb Zc
Z
Za Zc
Z
Za Zb
Z
mit Z = Za + Zb + Zc
Stern → Dreieck
Ya =
Yb =
Yc =
Y 2Y 3
Y
Y 1Y 3
Y
Y 1Y 2
Y
mit Y = Y 1 + Y 2 + Y 3
17
A. Stern-Dreieck-Umwandlung
18
Spezialfall
Z1 = Z2 = Z3 = Z ↔ Za = Zb = Zc = Z∆
Z∆
=
Z
=
3Z
Z∆
3