Elemente der Mathematik 8 Niedersachsen ISBN 978-3-507

Elemente der Mathematik 8
Niedersachsen
ISBN 978-3-507-87208-0
Inhaltsverzeichnis
Zum Aufbau des Buches .................................................................................................................
1.
Terme und Gleichungen mit Klammern ........................................................................ 7
Lernfeld: Klammern gewähren Vorrang ........................................................................................ 8
1.1
Auflösen einer Klammer................................................................................................... 10
1.2
Minuszeichen vor einer Klammer – Subtrahieren einer Klammer ................................... 17
1.3
Ausklammern ................................................................................................................... 19
1.4
Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt .............................................................. 22
1.5
Binomische Formeln
Zum Selbstlernen .......................................................... 25
1.6
Faktorisieren einer Summe .............................................................................................. 28
1.7
Vermischte Übungen........................................................................................................ 30
Im Blickpunkt: Pascal’sches Dreieck – Potenzieren von Summen.................................. 32
1.8
Mischungsaufgaben ......................................................................................................... 34
Auf den Punkt gebracht: Öffne den Blick – löse Probleme.............................................. 36
.
1.9
Gleichungen vom Typ T1 T2=0 ......................................................................................... 38
1.10 Formeln – Gleichungen mit Parametern .......................................................................... 40
1.10.1 Umformen von Formeln ................................................................................................... 40
1.10.2 Lösen von Gleichungen mit Parametern.......................................................................... 42
1.11 Aufgaben zur Vertiefung .................................................................................................. 43
Bist du fit?.................................................................................................................................... 44
Bleib fit im Umgang mit linearen Funktionen............................................................................... 45
2.
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen – Systeme linearer Gleichungen ............. 47
Lernfeld: Geraden mit System..................................................................................................... 48
2.1
Lineare Gleichungen der Form ax+by=c.......................................................................... 49
2.1.1 Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen – Graph..................................... 49
2.1.2 Sonderfälle bei linearen Gleichungen mit zwei Variablen................................................ 53
2.2
Systeme linearer Gleichungen – Grafisches Lösungsverfahren...................................... 56
2.3
Gleichsetzungsverfahren ................................................................................................. 61
2.4
Einsetzungsverfahren Zum Selbstlernen .................................................................... 63
2.5
Additionsverfahren ........................................................................................................... 64
2.5.1 Subtraktion zweier Gleichungen eines Systems.............................................................. 64
2.5.2 Lösen eines Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren ........................................ 65
2.5.3 Sonderfälle beim rechnerischen Lösen............................................................................ 67
2.5.4 Vermischte Übungen........................................................................................................ 69
2.6
Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme ............................................................ 71
Im Blickpunkt: Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe des GTR .............................. 78
2.7
Aufgaben zur Vertiefung .................................................................................................. 80
Bist du fit?.................................................................................................................................... 82
3.
Quadratwurzeln – Reelle Zahlen................................................................................... 83
Lernfeld: Entdeckungen an Zahlen ............................................................................................. 84
3.1
Quadratwurzeln................................................................................................................ 86
3.1.1 Einführung der Quadratwurzeln ....................................................................................... 86
3.1.2 Näherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln......................................................... 88
3.1.3 Intervallhalbierungsverfahren........................................................................................... 91
3.1.4 Irrationale Wurzeln ........................................................................................................... 93
Im Blickpunkt: Das Heronverfahren – Schnelle Wurzelberechnung mit dem Computer . 96
3.2
Reelle Zahlen ................................................................................................................... 98
3.3
Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren ............................................ 100
3.4
Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung............................................... 104
3.5
Umformen von Wurzeltermen Zum Selbstlernen..................................................... 109
3.6
Überblick über die reellen Zahlen .................................................................................. 112
3.6.1 Rechnen mit reellen Zahlen ........................................................................................... 112
3.6.2 Vergleich der Zahlbereiche IN, + , − , und IR ............................................................. 113
3.7
Wurzelgleichungen......................................................................................................... 115
3.8
Aufgaben zur Vertiefung ................................................................................................ 117
Im Blickpunkt: Wie viele rationale Zahlen gibt es? ........................................................ 118
Bist du fit?.................................................................................................................................. 120
Bleib fit im Umgang mit Prozenten ............................................................................................ 121
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
Satz des Pythagoras .................................................................................................... 123
Satz des Pythagoras ...................................................................................................... 124
Berechnen von Streckenlängen..................................................................................... 129
Umkehrung des Satzes des Pythagoras........................................................................ 139
Höhensatz und Kathetensatz des Euklid ....................................................................... 141
Auf den Punkt gebracht: Direkter und indirekter Beweis ............................................... 145
4.5
Aufgaben zur Vertiefung ................................................................................................ 147
Bist du fit?.................................................................................................................................. 148
5.
Parabeln – Quadratische Funktionen und Gleichungen......................................... 149
Lernfeld: Nicht gerade, aber symmetrisch ................................................................................ 150
5.1
Quadratfunktion – Eigenschaften der Normalparabel.................................................... 154
5.2
Quadratische Gleichungen – Grafisches Lösungsverfahren ......................................... 156
5.2.1 Lösen einer quadratischen Gleichung durch planmäßiges Probieren........................... 156
5.2.2 Grafisches Lösen bei quadratischen Gleichungen ........................................................ 158
5.3
Verschieben der Normalparabel .................................................................................... 161
5.3.1 Verschieben der Normalparabel in Richtung der y-Achse............................................. 161
5.3.2 Verschieben der Normalparabel in Richtung der x-Achse............................................. 164
5.3.3 Verschieben der Normalparabel in beliebiger Richtung ................................................ 168
5.4
Strecken und Spiegeln der Normalparabel .................................................................... 175
5.5
Strecken und Verschieben der Normalparabel.............................................................. 182
Im Blickpunkt: Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen................................................ 189
5.6
Optimierungsprobleme mit quadratischen Funktionen .................................................. 191
5.7
Lösen quadratischer Gleichungen – Verschiedene Wege............................................. 195
5.8
Modellieren – Anwenden von quadratischen Gleichungen Zum Selbstlernen ........ 199
Auf den Punkt gebracht: Näherungslösungen und exakte Lösungen ........................... 202
5.9
Methode der Substitution – Biquadratische Gleichungen.............................................. 204
5.10 Satz von Vieta und seine Anwendungen ....................................................................... 206
5.11 Regression ..................................................................................................................... 209
Im Blickpunkt: Parabeln im Sport................................................................................... 212
5.12 Quadratwurzelfunktion ................................................................................................... 214
5.13 Geometrisches Erzeugen von Parabeln ........................................................................ 217
5.14 Aufgaben zur Vertiefung ................................................................................................ 220
Bist du fit?.................................................................................................................................. 221
Projekte
Pythagoras ................................................................................................................................ 222
Quadratisch, parablisch, gut!..................................................................................................... 224
Teste dich – Vermischte Übungen......................................................................................... 226
Anhang
Lösungen zu Bist du fit? ............................................................................................................ 234
Lösungen zu Teste dich - Vermischte Übungen ....................................................................... 239
Verzeichnis mathematischer Symbole ...................................................................................... 247
Stichwortverzeichnis.................................................................................................................. 248