Blatt Nr 08.03 Mathematik Online - ¨Ubungen Blatt 8 Klasse 8

Blatt Nr 08.03
Mathematik Online - Übungen Blatt 8
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 08
reelle Zahlen
Quelle: eigen
Kapitel 6
Nummer: 6 0 2009010093
W
quadratische Funktionen
Kl: 8X
Aufgabe 8.1.1: Bestimmen Sie den x−Wert des Scheitels (des Schaubildes) der quadratischen Funktion:
f (x) = −2x2 − 12x + 1.
Parameter:
x1
x2
x3
x4
=
=
=
=
Koeffizient a der Parabel
Koeffizient −b der Parabel
Koeffizient c der Parabel
Faktor, der entscheidet, ob a positiv oder negativ ist
f (x) = x1 x2 − x2 x + x3
Der Term ist von der Form
In dieser Aufgabe sind x1 = -2, x2 = 12, x3 = 1, x4 = -1.
Erklärung:
Der x−Wert des Scheitel kann entweder über quadratische Ergänzung oder über die Formel
−b
2a
xs =
gerechnet werden.
Rechnung:
Berechnung des Scheitel mit Hilfe quadratischer Ergänzung:
f (x) = −2x2 − 12x + 1
⇔
⇔
f (x) = −2(x2 + 6x) + 1
f (x) = −2(x + 3)2 + 18 + 1
Damit ist der x−Wert des Scheitels xs = −3.
Dieser hätte einfacher auch mit der Formel xs =
−b
2a
=
⇔
f (x) = −2(x2 + 2 · 3x + 9 − 9) + 1
⇔
f (x) = −2(x + 3)2 + 19
12
2·−2
= −3 berechnet werden können.
Angebotene Lösungen:
× −3
2
−6
3
24
4
11
5
−2
6
19
7
es gibt keinen
8
144
9
1
Fehlerinterpretation:
10
6
11
0
12
12
× −3
2
−6
3
24
4
11
5
−2
6
19
7
es gibt keinen
8
144
9
1
10
6
11
0
12
12
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
richtig
DF: nicht halbiert (FNr 5)
DF: a nicht beachtet (FNr 14)
DF: a + b + c angegeben (FNr 17)
DF: Koeffizient a (FNr 10)
DF: y− Wert des Scheitels angegeben (FNr 4)
DF: Doch (FNr 8)
DF: b quadriert (FNr 15)
DF: Lösung geraten (FNr 19)
DF: a nicht beachtet (FNr 13)
DF: Lösung geraten (FNr 18)
DF: Koeffizient b (FNr 11)
Blatt 08
reelle Zahlen
Quelle: NW 4
Kapitel 6
Nummer: 20 0 2009010033
W
quadratische Funktionen
Kl: 8X
Aufgabe 8.1.2: Die Bahnkurve eines Balls, der im Ursprung eines Achsenkreuzes fortgeschleudert
wird, hat die Form einer Parabel. Die maximale Wurfhöhe des Balls ist 3 m. Er fliegt 30 m weit.
Bestimmen Sie den Koeffizienten a der Parabelgleichung y = ax2 + bx + c.
Parameter:
x1 = Maximalhöhe des Balls mit x1 > 0
x2 = Wurfweite mit x2 > 0 und x2 ist durch 2 teilbar
In dieser Aufgabe sind x1 = 3 und x2 = 30.
Erklärung:
Bestimmen Sie zunächst den Scheitel der Parabel. Achten Sie dabei auch auf deren Symmetrie. Setzen
Sie dann die Scheitelform y = a · (x − xs )2 + ys an. Um a zu bestimmen, machen Sie eine Punktprobe.
Rechnung:
Der Scheitel der Parabel liegt bei S(15; 3). Damit ist die Parabelgleichung von der Form
y = a · (x − 15)2 + 3.
Der Ursprung O(0; 0) liegt auf der Parabel. Punktprobe ergibt: 0 = a · (0 − 15)2 + 3 ⇔ a =
Angebotene Lösungen:
1
5
9
1
75
1
100
75
Fehlerinterpretation:
×
6
10
−1
75
3
−25
7
1
150
11
−75
−1
5
1
5
4
−1
300
8
−5
12
3
10
−3
152
=
−1
75
1
×
3
4
5
1
75
−1
75
−75
−1
300
1
100
6
−25
7
−1
5
8
9
10
11
12
−5
75
1
150
1
5
3
10
DF: falsches Vorzeichen (FNr 5)
richtig
DF: falscher Quotient (FNr 3)
DF: nicht halbiert (FNr 15)
DF: nicht halbiert (FNr 14)
DF: falscher Quotient (FNr 7)
DF: nicht quadriert (FNr 2)
DF: falscher Quotient (FNr 13)
DF: falsches Vorzeichen (FNr 4)
DF: nicht halbiert (FNr 16)
DF: falscher Quotient (FNr 12)
DF: falscher Quotient (FNr 10)
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 08
reelle Zahlen
Quelle: NW 4,34
Kapitel 6
Nummer: 38 0 2009010029
W
quadratische Funktionen
Kl: 8X
Aufgabe 8.1.3: Eine Brücke mit der Spannweite b = 600 m und der Höhe h = 27 m hat einen
parabelförmigen Abstützbogen (siehe Abbildung). Die beiden Brückenpfeiler A und B sind gleichlang
und haben einen Abstand von s = 540 m. Wie lang sind diese Pfeiler?
Parameter:
x1 = Halbe Breite des Parabelbogens
x2 = Höhe des Parabelbogens x2 = x21 · 0.0003
x3 = Halber Abstand der Pfeiler x3 < x1
x4 = Faktor a der Parabel
In dieser Aufgabe sind x1 = 300, x2 = 27, x3 = 270 und x4 = 0.0003.
Erklärung:
Wählen Sie ein Achsenkreuz und bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm, der den Parabelbogen
beschreibt. Am Besten wählt man das Achsenkreuz im Scheitel der Parabel, dann ist der Funktionsterm
von der Form y = a · x2 hier mit a < 0, weil die Parabel nach unten offen ist.
Rechnung:
Wir legen den Scheitel der Parabel in den Ursprung - damit ist die Funktionsgleichung von der Form
y = a · x2 . Der Punkt (300; −27) liegt auf der Parabel (beachten Sie, dass der x− Wert der halben
−27
Spannweite entspricht). Punktprobe ergibt −27 = a · 3002 ⇔ a = 90000
= −0.0003.
2
Die Pfeilerlänge p ist |f (270)| = | − 0.0003 · 270 | = 21.87.
Angebotene Lösungen:
1
5
9
−0.09
−24.3
24.3
43.74
10.935
× 21.87
2
3
6
7
11
−3000
−11.111
3000
4
8
12
11.111
−43.74
−21.87
Fehlerinterpretation:
−0.09
2
43.74
3
−3000
4
11.111
5
−24.3
6
10.935
7
−11.111
8
−43.74
9
24.3
× 21.87
11
3000
12
−21.87
DF: Lösung geraten (FNr 14)
DF: nicht die halbe Spannweite verwendet (FNr 4)
DF: Lösung geraten (FNr 11)
DF: Lösung geraten (FNr 7)
DF: Lösung geraten (FNr 12)
DF: nicht die halbe Spannweite verwendet (FNr 3)
DF: Lösung geraten (FNr 13)
DF: nicht die halbe Spannweite verwendet (FNr 6)
DF: Lösung geraten (FNr 10)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 9)
DF: Längen sind positiv (FNr 2)
Klasse 8
Textaufgabe
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 08
reelle Zahlen
Quelle: NW 4
1
Kapitel 6
Nummer: 126 0 2009010030
W
quadratische Funktionen
Kl: 8X
Aufgabe 8.1.4: Eine Brücke mit der Spannweite b = 800 m und der Höhe h = 96 m hat einen parabelförmigen Abstützbogen (siehe Abbildung). Die beiden Brückenpfeiler A und B haben die Länge
47.04 m. Berechnen Sie den Abstand s der Pfeiler.
Parameter:
x1 = Halbe Breite des Parabelbogens
x2 = Höhe des Parabelbogens x2 = x21 · 0.0006
x3 = Halber Abstand der Pfeiler, x3 < x1
x4 = Faktor a der Parabel
In dieser Aufgabe sind x1 = 400, x2 = 96, x3 = 280 und x4 = 0.0006.
Erklärung:
Wählen Sie ein Achsenkreuz und bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm, der den Parabelbogen
beschreibt. Am Besten wählt man das Achsenkreuz im Scheitel der Parabel, dann ist der Funktionsterm
von der Form y = a · x2 hier mit a < 0, weil die Parabel nach unten offen ist.
Rechnung:
Wir legen den Scheitel der Parabel in den Ursprung - damit ist die Funktionsgleichung von der Form
y = a · x2 . Der Punkt (400; −96) liegt auf der Parabel (beachten Sie, dass der x - Wert der halben
−96
Spannweite entspricht). Punktprobe ergibt −96 = a · 4002 ⇔ a = 160000
= −0.0006.
Die Pfeilerlänge p ist 47.04. Wir berechnen die Position der Pfeiler (Beachten Sie, dass die Pfeiler
’nach unten gehen’).
−47.04 = −0.0006 · x2
⇔
78400 = x2
⇔
±280 = x
Damit ist der Pfeilerabstand 2 · 280 = 560 m.
Angebotene Lösungen:
1120 m
±560 m
× 560 m
1
2
5
6
10
160000 m
192 m
400 m
3
7
11
±140 m
496 m
140 m
4
8
12
280 m
304 m
±280 m
Fehlerinterpretation:
1120 m
160000 m
3
±140 m
4
280 m
5
±560 m
6
192 m
7
496 m
8
304 m
× 560 m
10
400 m
11
140 m
12
±280 m
1
2
DF: nicht die halbe Spannweite verwendet (FNr 3)
DF: Lösung geraten (FNr 11)
DF: Abstände sind positiv (FNr 7)
DF: Verdoppeln vergessen (FNr 2)
DF: Abstände sind positiv (FNr 8)
DF: Lösung geraten (FNr 12)
DF: Lösung geraten (FNr 9)
DF: Lösung geraten (FNr 13)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 10)
DF: nicht die halbe Spannweite verwendet (FNr 5)
DF: Abstände sind positiv (FNr 6)
Allgemeine Hinweise:
Bei weiteren Fragen, wenden Sie sich bitte an W. Schmid ([email protected]) .
Weitere Hinweise finden Sie auf unserer Veranstaltungswebseite unter: http://www.mathe3.de.vu