Vektoren

Vektoren
Aufgabe 1. Berechnen Sie
µ
2
−3
¶
µ
+
1
0
¶
.
Stellen Sie diese Operation grafisch durch Pfeile in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dar.
Aufgabe 2. Beweisen Sie das ausführlich das Assoziativgesetz der Vektoraddition
+ ∈ Rn × Rn → Rn .
Sie dürfen dabei alle Gesetze der reellen Addition
+∈R×R→R
verwenden — machen Sie aber deutlich an welcher Stelle Sie diese benutzen.
Aufgabe 3. Berechnen Sie die skalare Multiplikation
µ
¶
2
−3
.
−1
Stellen Sie diese Operation grafisch durch Pfeile in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dar.
Aufgabe 4. Beweisen Sie ausführlich, dass für alle a ∈ R und für alle ~x, ~y ∈ Rn
gilt
a(~x + ~y ) = a~x + a~y .
Sie dürfen dabei alle Gesetze der reellen Arithmetik verwenden — machen
Sie aber deutlich an welcher Stelle Sie diese benutzen.
Aufgabe 5. Beweisen Sie ausführlich, dass für alle a, b ∈ R und für alle ~x ∈ Rn
gilt
(a + b)~x = a~x + b~x.
Sie dürfen dabei alle Gesetze der reellen Arithmetik verwenden — machen
Sie aber deutlich an welcher Stelle Sie diese benutzen.
Aufgabe 6. Beweisen Sie ausführlich, dass die Relation “kollinear” transitiv
ist.
Aufgabe 7. Die Relation “kollinear” ist eine Äquivalenzrelation auf Rn \ {~0}.
Sei ~x ∈ Rn \ {~0} ein beliebig aber fest gewählter Vektor und K~x die Äquivalenzklasse von ~x bzgl. der Relation “kollinear”. Interpretieren Sie die
Elemente von K~x als Ortsvektoren in einem n-dimensionalen Koordinatensystem. Welche geometrische Form (Kreis, Gerade, Fläche,. . . ) hat die
1
Punktmenge, die durch diese Ortsvektoren beschrieben wird? Wenn Sie
unsicher sind, berechnen Sie zunächst ein paar Elemente der Äquivalenzklasse von
µ
¶
1
~x =
2
und zeichnen Sie diese Vektoren in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein.
Aufgabe 8. Berechnen Sie
µ
2
3
¶
µ
−
1
4
¶
.
Stellen Sie diese Operation grafisch durch Pfeile in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dar.
Aufgabe 9. Ein etwas anderer (grafisch intuitiverer) Zugang zur Vektorrechnung, bei dem Sie Ihre Kenntnisse aus dem letzten Semester ausspielen können. Zunächst wird definiert, was ein n-dimensionaler Pfeil ist —
nämlich ein Paar
(r, s) ∈ Rn × Rn .
Intuitiv ist r der Startpunkt, s der Endpunkt des Pfeils. Zwei Pfeile (r, s)
und (u, v) heißen äquivalent, wenn sie sich nur durch eine Verschiebung
unterscheiden, d.h. wenn es ein t ∈ Rn gibt, so dass
(u, v) = (r + t, s + t).
Die hier verwendete Addition auf Rn ist gleich definiert wie unsere Vektor
Addition. So sind z.B. die Pfeile
¡
¢
¡
¢
(2, 3), (−1, 9) und (3, 5), (0, 11)
äquivalent. Zeigen Sie, dass die so definierte Relation “äquivalent” eine
Äquivalenzrelation auf der Menge aller Pfeile ist.
Ein Vektor wird nun definiert als Äquivalenzklasse eines Pfeils, oder anders
ausgedrückt: Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen mit gleicher Länge und
gleicher Richtung. Anders herum ist ein Pfeil nichts anderes als ein Repräsentant eines Vektors. Wenn man also einen Vektor durch einen Pfeil in
einem Koordinatensystem visualisiert, zeichnet man in Wirklichkeit einen
Repräsentanten des Vektors. Verwendet man einen Vektor als Ortsvektor,
wählt man in Wirklichkeit den Repräsentanten des Vektors, dessen erste
Komponente (0, 0, . . . , 0) ist, d.h. den Pfeil, der im Koordinatenursprung
beginnt. Versuchen Sie das nachzuvollziehen, Sie verstehen dann auch in
wiefern man Vektoren verschieben darf bzw. ob sie am Koordinatenursprung befestigt sind.
2
Aufgabe 10. Berechnen Sie
µ
2
−3
¶ µ
¶
5
◦
.
1
Sind die beiden Vektoren kollinear bzw. orthogonal?
Aufgabe 11. Zeichnen Sie zwei Vektoren in ein Koordinatensystem ein, die
zueinander orthogonal sind. Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Aufgabe 12. Beweisen Sie ausführlich, dass es keine zwei Vektoren gibt, die
sowohl kollinear als auch orthogonal sind. Mit anderen (weniger) Worten:
kollinear ∩ orthogonal = ∅.
Hinweis. Formulieren Sie die Aussagen in der Sprache der Prädikatenlogik
und formen Sie sie so lang äquivalent um, bis Sie bei der Aussage
∀~x, ~y ∈ Rn kollinear(~x, ~y ) → ¬orthogonal(~x, ~y )
sind. Nutzen Sie dann aus, dass ~x, ~y ∈ Rn \ {~0} kollinear sind genau dann
wenn ~y = a~x für ein a ∈ R und orthogonal sind genau dann wenn ~x ◦~y = 0.
Aufgabe 13. Beweisen Sie ausführlich, dass
∀a ∈ R ∀~x, ~y ∈ Rn a(~x ◦ ~y ) = (a~x) ◦ ~y .
Hinweis: Sie benötigen im Beweis sowohl das Assoziativgesetz als auch das
Distributivgesetz auf den reellen Zahlen.
Aufgabe 14. Beweisen Sie ausführlich, dass wenn ~x und ~y orthogonal sind,
auch a~x und b~y orthogonal sind für beliebige a, b ∈ R \ {0}. Nutzen Sie im
Beweis die Eigenschaften des Skalarprodukts.
Aufgabe 15. Finden Sie zwei kollineare Vektoren ~x und ~y so dass die normierten Richtungsvektoren von ~x und ~y ungleich sind.
Aufgabe 16. Beweisen Sie ausführlich: Wenn ~x, ~y ∈ Rn \ {~0} und ~y = a~x für
ein a > 0, dann sind die normierten Richtungsvektor von ~x und ~y gleich.
Aufgabe 17. Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren
µ
¶
µ
¶
1
−2
~x =
und ~y =
.
1
3
Zeichnen Sie die Vektoren in ein Koordinatensystem ein und prüfen Sie
Ihr Ergebnis mit dem Geodreieck.
3
Aufgabe 18. In Bild 1 ist die Orthogonalprojektion eines Vektors ~y auf einen
Vektor ~x dargestellt. Zeigen Sie, dass man den Ergebnisvektor ~z durch die
Formel
~z = (~y ◦ ~ex )~ex
berechnen kann, wobei ~ex der normierte Richtungsvektor von ~x ist. Hinweis: Schauen Sie sich dazu die Konstruktion an, mit der wir in der Vorlesung die Formel
~x ◦ ~y
cos(α) =
||~x||||~y ||
hergeleitet haben. Das meiste davon können Sie übernehmen.
y~
~x
~z
Abbildung 1: Orthogonalprojektion von ~y auf ~x.
Aufgabe 19. Beweisen Sie ausführlich, dass der Winkel zwischen zwei kollinearen Vektoren entweder 0 Grad oder 180 Grad beträgt.
Aufgabe 20. Eine komplexe Zahl
z = x + jy
kann als zweidimensionaler Vektor
~z =
µ
x
y
¶
interpretiert werden. Multipliziert man eine komplexe Zahl mit ejϕ bedeutet dies geometrisch, dass sich der komplexe Zeiger um Winkel ϕ gegen
den Uhrzeigersinn dreht. Benutzen Sie Ihre Kenntnisse aus der Vektorrechnung um zu beweisen, dass für alle ~z ∈ C \ {0} und für alle Winkel ϕ
zwischen 0 und 180 Grad der Winkel zwischen z und zejϕ tatsächlich ϕ ist.
Hinweis: Sie müssen zejϕ zuerst in kartesische Koordinaten umrechnen.
Aufgabe 21. Ein komplexer Vektor ist ein Vektor, dessen Komponenten komplexe Zahlen sind. Alle Rechenoperationen, die Sie für reelle Vektoren
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kennen, gelten genau so auch für komplexe Vektoren — mit einer Ausnahme: dem Skalarprodukt. Eine wichtige Eigenschaft des Skalarprodukts
war ja die positive Definitheit, d.h.
~x ◦ ~x ≥ 0 für alle ~x ∈ Rn
und
~x ◦ ~x = 0 genau dann wenn ~x = ~0.
Diese Eigenschaft ist so nützlich, dass man sie gerne auf komplexe Vektoren übertragen würde. Problematisch dabei ist, dass für zwei komplexe
Vektoren das Skalarprodukt in der Regel eine komplexe Zahl liefern würde,
und der Vergleich ≥ 0 gar nicht definiert wäre. Die Lösung besteht darin, das komplexe Skalarprodukt für zwei Vektoren ~x, ~y ∈ Cn wie folgt zu
definieren:
~x ◦ ~y = x1 y 1 + x2 y 2 + · · · + xn y n
wobei y i die konjugiert komplexe Zahl von yi ist.
Zeigen Sie, dass das so definierte komplexe Skalarprodukt tatsächlich positiv definit ist. Zeigen Sie weiterhin, dass gilt
~x ◦ ~y = ~y ◦ ~x.
Das komplexe Skalarprodukt ist also nicht kommutativ!
Aufgabe 22. Seien ~a1 , ~a2 ∈ Rm orthogonale und normierte Vektoren, und
f ∈ R2 → Rm durch
f (~x) = x1~a1 + x2~a2
definiert. Zeigen Sie, dass dann
||f (~x)|| = ||~x||
für alle ~x ∈ R2 .
Sie dürfen alle in der Vorlesung bewiesenen Eigenschaften des Skalarprodukts und der Euklidischen Norm verwenden.
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