Probe-Klausur 1 Mathematik f. Bau-Ing + Chem. Modul1

Probe-Klausur 1 Mathematik f. Bau-Ing + Chem. Modul1
1. (a) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
x + 3y + 2z = 0
2x + ay + 3z = 1
3x + 4y + z = b
für die Werte a = 1, b = 2.
(b) Für welche Werte von a ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar?
(c) Welche Werte muß b annehmen, damit das Gleichungssystem für die in (b) gefundenen Werte
von a Lösungen besitzt? Geben Sie die Lösungen an!
(8 Punkte)
2. Bestimmen Sie Lage und Art der relativen Extremstellen der Funktion
8
f (x) = ln2 x2 + .
9
(8 Punkte)
3. Bestimmen Sie den Grenzwert
x cos x − x
.
x→0 x2 + x sin x
lim
(4 Punkte)
4. Bestimmen Sie die Stammfunktionen von
5. Bestimmen Sie
Z
π/2
0
f (x) =
x5 − x4 + 2x3 − 2x2 + 3
.
(x − 1)2 (x2 + x + 1)
(10 Punkte)
cos x dx
.
1 + sin x
(4 Punkte)
√
6. Durch C1 : y(x) = 1 + 1 − x2 und C2 : y(x) = 1, −1 ≤ x ≤ 1, wird ein Gebiet G der (x, y)Ebene berandet. Skizzieren Sie das Gebiet und berechnen Sie die Oberfläche des Körpers, der bei
Rotation um die x-Achse entsteht.
(7 Punkte)
7. Zeigen Sie, daß die Funktionen
f (x) := e(x
2 −2)
und
g(x) := x
sich im Intervall [0, 1] schneiden und bestimmen Sie einen Schnittpunkt
(a) mit der Regula falsi
(b) mit dem Newton-Verfahren (Beginn mit x0 = 0).
(6 Dezimalstellen, jeweils 3 Schritte, ohne Konvergenznachweis)
(9 Punkte)
Zum Bestehen der Klausur sind ca. 20 Punkte erforderlich.
Erlaubte Hilfsmittel: Skript, Übungsaufgaben mit eigenen Lösungen, Taschenrechner.
Ausdrücklich nicht erlaubt: Bücher, auch keine Formelsammlungen.
Probe-Klausur 2 Mathematik f. Bau-Ing + Chem. Modul1
1. (a) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
u
−2y +3z
−u +2x −ay −z
−2u +x +4y −z
u
−2y +az
=
=
=
=
1
1
1
1
für a = 1.
(b) Für welche Werte von a gibt es keine Lösung?
(c) Welche Werte muß a annehmen, damit das Gleichungssystem mehrere Lösungen besitzt?
Geben Sie die Lösungen an!
(8 Punkte)
2. Für welche Werte von a hat die Matrix-Gleichung

 
3 0 1 0
2
0 3 0 2 1
 
X ·
1 1 4 a − 1
0 0 1 2
1
0
2
0
1
0
0
0
0

1
2
 = 2X
2
1
eine Lösung X? Berechnen Sie die Lösung für a = 3!
(8 Punkte)
3. (a) Geben Sie alle x-Werte an, für die die Funktion f : (0, ∞) → IR mit

 2x − 4
für x ≥ 0
f (x) := (x + 1)2
 2
x + ax + b für x < 0
differenzierbar ist. (Begründung!)
(b) Bestimmen Sie alle Nullstellen und die Asymptoten.
(8 Punkte)
4. Berechnen Sie ln(1 + x2 ) an der Stelle x = 0, 1 durch Entwickeln der Funktion in ein TaylorPolynom vom Grad 2 an einer geeigneten Stelle. Zeigen Sie, daß der Fehler kleiner als 10−3 ist!
(8 Punkte)
5. Bestimmen Sie die Länge der Kurve mit der Parameterdarstellung
√
√
x(t) = (3 − t2 ) cos t + 2t sin t + 3, y(t) = −2(t cos t − sin t) + 2 7
π
π
für ≤ t ≤ .
3
2
(8 Punkte)
6. Berechnen Sie
Z
1
2
e−x dx jeweils mit Hilfe der Trapezformel, der Tangentenformel und der Simp-
0
sonformel auf 5 Dezimalstellen mit Hilfe einer Unterteilung in 8 Intervalle. Wie groß ist der Fehler
bei der Näherung mit Hilfe der Simpsonformel?
(10 Punkte)
Zum Bestehen der Klausur sind ca. 20 Punkte erforderlich.
Erlaubte Hilfsmittel: Skript, Übungsaufgaben mit eigenen Lösungen, Taschenrechner.
Ausdrücklich nicht erlaubt: Bücher, auch keine Formelsammlungen.
Probe-Klausur 3 Mathematik f. Bau-Ing + Chem. Modul1
1. Für vier Zahlen a, b, c, d ist folgendes bekannt:
Addiert man die erste zum Dreifachen der dritten und subtrahiert das Doppelte der zweiten und
die vierte Zahl, dann erhält man 5. Die Summe der ersten und des Doppelten der dritten Zahl ist
gleich der Summe der zweiten und des Dreifachen der vierten Zahl. Die Summe der zweiten und
des Doppelten der vierten Zahl ist gleich der Summe der dritten und des Dreifachen der ersten
Zahl. Addiert man das Dreifache der zweiten zur vierten Zahl und subtrahiert das Doppelte der
ersten und die dritte Zahl, dann erhält man 5.
Bestimmen Sie die Zahlen!
(8 Punkte)
2. Gegeben seien die Matrizen


2 1
1
1
1 0
α
−1 
,
A=
1 1
0
−1 
1 −1 −1 α + 1


2 −3 1 −1
2 3 −3 −1
,
B=
5 −2 0
1
2 0
3 −2


1 1
1
1
1 −1 1 −1

C=
1 1 −1 −1 .
1 −1 −1 1
Für welche Werte von α hat die Matrix-Gleichung
A · X − (B + C) · C −1 = X
eine Lösung X? Berechnen Sie die Lösung für α = 1!
(10 Punkte)
3. Gegeben sei eine Gerade g und zwei Punkte A und B auf derselben Seite der Geraden. Man
bestimme den Punkt P auf g, für den die Entfernungssumme AP + P B möglichst klein ist.
(6 Punkte)
4. Berechnen Sie arcsin(x) an der Stelle x = 0, 1 durch Entwickeln der Funktion in ein Taylor-Polynom
vom Grad 4 an einer geeigneten Stelle. Zeigen Sie, daß der Fehler kleiner als 10−5 ist!
(10 Punkte)
5. Bestimmen Sie
Z
ex
√
(a)
dx
1 − e2x
(b)
Z
(ax + b)2
dx,
ex
a 6= 0
(6 Punkte)
6. Ein quadratisches Prisma (Quader mit quadratischer Grundseite) hat das Volumen V = 900 und
die Oberfläche O = 600. Zeigen Sie:
(a) Die entsprechende Gleichung für die Quadratseite a hat genau 3 reelle Lösungen, nämlich in
den Intervallen (−20, −10), (7, 8), (12, 13).
(b) Berechnen Sie die Lösung in (7, 8) mit Hilfe der Newton-Iteration auf 5 Dezimalstellen genau.
(10 Punkte)
Zum Bestehen der Klausur sind ca. 20 Punkte erforderlich.
Erlaubte Hilfsmittel: Skript, Übungsaufgaben mit eigenen Lösungen, Taschenrechner.
Ausdrücklich nicht erlaubt: Bücher, auch keine Formelsammlungen.
Lösungen zu den Probe-Klausuren Mathematik f. Bau-Ing + Chem.
Modul1
3
Kl.1 (1) (a) x = 19
y = − 20
, z = − 14 .
20 ,
(b) Für a = 5 nicht eindeutig lösbar.
(c) Für a = 5, b = 5 :
x = z + 3,
(2) Bei x = 0 rel. Maximum, bei x =
± 13
y = −z − 1,
rel. Minima.
z ∈ IR beliebig wählbar.
(3) Mit Regel von L’Hospital Grenzwert 0.
Z
x2
2
2x + 1
1
(4)
f (x) dx =
−
+ ln(x2 + x + 1) + √ arctan √ .
2
x−1
3
3
(5) ln 2.
(6) Oberfläche 2π 2 + 8π.
(7) Regula Falsi: 0 ≤ x ≤ 0, 137950.
Newton: x = 0, 137935.
Kl.2 (1) (a) u = 11
x = 3, y = 43 , z = 0.
3 ,
(b) Für a = −2 keine Lösung.
13
(c) Für a = 3 :
u = − 31
x = −5z + 3,
5 z+ 5 ,
y = − 85 z + 45 ,
z ∈ IR beliebig wählbar.
(2) Für a = 2 keine Lösung.


1 −1 1 −3
3
4 −2 1 

Für a = 3 ist X = 
−1 −2 2 −3 Lösung.
2
2 −1 0
(3) f (x) stetig und differenzierbar in allen x 6= 0, da gebrochen rationale Funktion mit Nenner
ungleich Null für x > 0 und Polynom für x < 0.
f stetig und differenzierbar in x = 0 q
genau dann wenn a = 10, b = −4.
Nullstellen: x1 = 2 und x2,3 = − a2 ±
Asymptote = x-Achse für x → ∞.
a2
4
− b, wenn a2 ≥ 4b.
x = 0, 1:
f (x) = x2 + R2 mit |R2 | =
√
2
(5) L = π + π18 − π3 3 − 12 .
(4) x0 = 0,
(6) Trapezregel: S8 = 0, 74586561,
|f ′′′ (ξ)|
6
x3 ≤
3·0,1
6
10−3 < 10−3 .
Genauigkeit < 0, 0026.
Tangentenregel: T8 = 0, 74874713.
Simpson-Regel: P8 = 0, 74682612.
Kl.3 (1) a = 1,
b = 3,
c = 4,
d = 2.
(2) Für α 6= −1 existiert eine
 Lösung.

11 21 15 13
1 
5
−5
9
3
 Lösung.
Für α = 1 ist X =
1
−5
16 −3 −5
1
7 −15 −5
(3) Wähle Koordinatensystem mit g als x-Achse und A und B oberhalb der x-Achse mit Koorx2 y1 + x1 y2
dinaten (x1 |y1 ) und (x2 |y2 ). Dann hat P die Koordinaten x =
, y = 0.
y1 + y2
(5)
1
−5 = 1 ·10−5 < 10−5 .
(4) Mit x0 = 0: f (x) = x+ x3 +R5 mit |R5 | == |f 120(ξ)| x5 ≤ 2·10
120 10
6
6
f (0, 1) = 0, 10016.
5
(5) (a) arcsin ex .
(b)
− (ax + b)2 − 2a(ax + b) − 2a2 · e−x .
(6) (a) Funktion f (a) = 2 · (a3 − 300a − 1800) hat maximal 3 reelle Nullstellen. f nimmt an den
Enden der 3 Intervalle verschiedene Vorzeichen an und ist stetig, d.h. die 3 Nullstellen liegen
dort.
Newton: x4 = 7, 2929928.