Testaufgaben

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2
1. Das skizzierte Weg-Zeit-Diagramm beschreibt die Bewegung eines Körpers auf einer
geraden Bahn.
s
ta
t
tb
tc
td
te
Zu welchem Zeitpunkt ti ist der Betrag der momentanen Geschwindigkeit des Körpers
am größten?
A
Zeitpunkt ta
B
Zeitpunkt tb
D
Zeitpunkt td
E
Zeitpunkt te
C
Zeitpunkt tc
3
2. Der skizzierte Graph stellt die Geschwindigkeit v eines Körpers in Abhängigkeit von
der Zeit t für fünf gleiche Zeitintervalle dar.
In welchem Zeitintervall hat der Körper die kürzeste Wegstrecke zurückgelegt?
v
A
B
C
D
E
A
Intervall A
B
Intervall B
D
Intervall D
E
Intervall E
t
C
Intervall C
4
3. Als Diagramm dargestellt ist die Geschwindigkeit eines Körpers.
v
t
A
B
C
D
E
In welchem Zeitabschnitt ist der Betrag |a| seiner Beschleunigung am größten?
(Knickpunkte sollen nicht berücksichtigt werden!)
A
Zeitabschnitt A
B
Zeitabschnitt B
D
Zeitabschnitt D
E
Zeitabschnitt E
C
Zeitabschnitt C
5
4. Im Diagramm ist das Weg-Zeit-Gesetz der geradlinigen Bewegung eines Körpers skizziert.
Weg s
Zeit t
ta
tb
tc
td
te
Zu welchem Zeitpunkt ist der Betrag v seiner Geschwindigkeit am größten?
A
Zeitpunkt ta
B
Zeitpunkt tb
D
Zeitpunkt td
E
Zeitpunkt te
C
Zeitpunkt tc
6
5. Das Newtonsche Gravitationsgesetz ergibt für den Betrag der Beschleunigung a eines
Körpers (Masse m) nahe der Oberfläche eines Planeten (Masse M , Radius RP )
a=G
M
2 .
RP
Welche abgeleitete Einheit – ausgedrückt in SI-Basiseinheiten – hat die Gravitationskonstante G?
A
m3 kg−1 s−1
B
m3 kg−1 s−2
C
m s−2
D
m−2 kg
E
Andere Einheit
7
6. Ein Körper wird aus dem Stand gleichmäßig beschleunigt.
Wie verhalten sich die nach den Zeiten t1 und t2 erreichten Geschwindigkeiten v1 und
v2 zueinander?
A
v1 : v2 = t22 : t21
B
v1 : v2 =
C
v1 : v2 = t2 : t1
D
v1 : v2 = t1 : t2
E
Anderes Verhältnis
√
t1 :
√
t2
8
7. Welche Aussage ist für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung eines Körpers aus
dem Stand richtig?
A
Die Beschleunigung wächst linear mit der Zeit.
B
Die Beschleunigung wächst quadratisch mit der Zeit.
C
Der zurückgelegte Weg wächst linear mit der Zeit.
D
Der zurückgelegte Weg wächst quadratisch mit der Zeit.
E
Andere Aussage
9
8. Ein Körper bewegt sich mit konstanter Beschleunigung auf einer geraden Bahn. Seine
Anfangsgeschwindigkeit ist v0 = 0.
Wie verhalten sich die in zwei Zeiten t1 und t2 zurückgelegten Wege s1 und s2 zueinander?
A
s1
t1
=
s2
t2
B
s1
t2
=
s2
t1
C
s1
=
s2
D
s1
=
s2
E
Anderes Verhältnis
t1
t2
t2
t1
10
9. Eine Stahlkugel wird auf eine schiefe Ebene aufgesetzt und anschließend losgelassen.
Die Kugel rollt die schiefe Ebene hinab.
Welches Diagramm stellt die Beziehung zwischen zurückgelegtem Weg s und Zeit t
qualitativ richtig dar?
s
s
A
s
B
t
s
C
t
t
s
D
E
t
t
A
Diagramm A
B
Diagramm B
D
Diagramm D
E
Diagramm E
C
Diagramm C
11
10. Welches Beschleunigungs-Zeit-Diagramm beschreibt eine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung eines Fahrzeugs aus dem Stand qualitativ richtig?
a
a
a
A
B
t
a
C
t
t
a
D
E
t
t
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
Anderes Diagramm
12
11. Das Weg-Zeit-Gesetz der Bewegung eines Körpers lautet
s(t) = bt3 .
Welches Beschleunigungs-Zeit-Gesetz ist richtig?
A
a(t) = 3b
B
a(t) = 6b
C
a(t) = 3bt
D
a(t) = 6bt
E
a(t) = 3bt2
F
a(t) = 6bt2
13
12. Ein Körper bewegt sich geradlinig nach folgendem Weg-Zeit-Gesetz:
x(t) = α0 + α1 t + α2 t2 + α3 t3
(x Weg, t Zeit, αi konstante Koeffizienten.)
Welche Geschwindigkeit v(0) hat der Körper zum Zeitpunkt t = 0 s?
A
v(0) = α0
B
v(0) = α1
C
v(0) = 2α2
D
v(0) = α3
E
v(0) = 3α3
F
Andere Anfangsgeschwindigkeit
14
13. Ein Fahrzeug bewegt sich geradlinig. Seine Bewegung wird beschrieben durch das
Weg-Zeit-Gesetz
s(t) = k0 + k1 t + k2 t2 + k3 t3 .
Wegkoordinate
Zeit
konstante Koeffizienten
s
t
ki
Welche Beschleunigung a(0) hat das Fahrzeug zur Zeit t = 0?
A
a(0) = k0
B
a(0) = k1
C
a(0) = 2k2
D
a(0) = 6k3
E
Anderer Wert
15
14. Welches Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm beschreibt die gleichmäßig beschleunigte
Bewegung eines Körpers aus dem Stand qualitativ richtig?
v
v
v
A
B
t
v
C
t
t
v
D
E
t
t
A
A
B
B
D
D
E
E
C
C
16
15. Die Anfangsgeschwindigkeit eines Körpers beträgt vA = 3 m s−1 .
Er wird zeitabhängig – linear zunehmend – beschleunigt (vgl. Skizze).
a/m s−2
5
4
3
2
1
t/s
1
2
Welche Endgeschwindigkeit vE hat der Körper nach t = 2 s errreicht?
A
vE = 4 m s−1
B
vE = 5 m s−1
D
vE = 10 m s−1
E
vE = 13 m s−1
C
vE = 8 m s−1
17
16. Ein Wagen fährt mit der Geschwindigkeit v0 geradeaus.
Beginnend bei t = 0 wird der Wagen abgebremst. Er kommt nach der Zeit τ zum
Stehen.
s
s
A
τ
s
t
τ
τ
s
D
s
B
C
t
τ
E
t
τ
t
Welches Weg-Zeit-Diagramm beschreibt diese Bewegung qualitativ richtig?
A
A
B
B
D
D
E
E
C
C
t
18
17. Vier gleiche Kugeln sind an einer dünnen Schnur in unterschiedlichen Höhen angeordnet (vgl. Skizze). Sie werden gleichzeitig losgelassen.
In welcher Anordnung treffen die Kugeln in gleichen zeitlichen Abständen auf die
Unterlage (Höhe h = 0 m)?
A
B
C
D
A
Anordnung A
B
Anordnung B
19
C
Anordnung C
12
D
Anordnung D
E
Anordnung E
E
h
27
16
8
4
2
16
9
3
1
13
9
5
1
9
4
1
7
2
19
s
18. Im Diagramm rechts ist das Weg-Zeit-Gesetz
eines Körpers für eine eindimensionale Bewegung
skizziert.
v
v
t1
A
t2
t3
t
B
t
t
v
v
v
C
D
t
E
t
t
Welches Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm gibt den Verlauf der Geschwindigkeit v des
Körpers qualitativ richtig wieder? (Gleicher Zeitmaßstab!)
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
20
19. Gegeben ist das rechts dargestellte v,t-Diagramm
für eine eindimensionale Bewegung eines Körpers.
v
Welches der skizzierten a,t-Diagramme ist richtig?
t1
(Gleicher Zeitmaßstab!)
a
a
a
A
B
t
a
t
a
D
C
t
E
t
t
A
A
B
B
D
D
E
E
C
C
t
21
20. Gegeben ist das v,t-Diagramm für eine eindimensionale Bewegung eines Körpers.
v
Welches Weg-Zeit-Diagramm ist qualitativ richtig?
t1
(Gleicher Zeitmaßstab!)
s
s
s
A
C
B
t
s
t
t
s
s
E
D
F
t
t
t
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
t
22
21. Die eindimensionale Bewegung eines Körpers wird durch das skizzierte Beschleunigungs-Zeit-Diagramm beschrieben. Der Körper ist anfangs in Ruhe.
a/m s−2
4
2
t/s
0
0
2
4
6
8
10
12
Welche Geschwindigkeit v hat der Körper zum Zeitpunkt t = 10 s?
A
v = 32 m s−1
B
v = 16 m s−1
D
v = 4 m s−1
E
v = 0 m s−1
C
v = 8 m s−1
23
22. Welche Geschwindigkeit v hat ein Körper nach t = 5 s erreicht, wenn
• er zur Zeit t = 0 s eine Geschwindigkeit von v0 = 2 m s−1 hatte und
• anschließend nach dem skizzierten a,t-Diagramm beschleunigt wurde?
a/m s−2
6
3
t/s
0
−3
1
2
3
4
5
6
A
v = 0 m s−1
B
v = 2 m s−1
D
v = 6 m s−1
E
v = 8 m s−1
7
C
v = 4 m s−1
24
23. Die Bewegung eines Körpers wird durch das skizzierte Beschleunigungs-Zeit-Gesetz
beschrieben.
Seine Anfangsgeschwindigkeit ist v0 = 25 m s−1 .
a/m s−2
5
t/s
0
5
10
15
−5
Welche Geschwindigkeit v hat der Körper nach t = 15 s?
A
v = 0 m s−1
B
v = 10 m s−1
C
v = 15 m s−1
D
v = 20 m s−1
E
v = 25 m s−1
F
v = 30 m s−1
25
24. Ein Wagen startet aus dem Stand. Er wird im Zeitintervall Δt1 = 15 s durch eine
konstante Beschleunigung a auf eine Endgeschwindigkeit vE = 20 m s−1 gebracht.
Diese Geschwindigkeit behält er für ein Zeitintervall Δt2 = 15 s bei.
Welchen Weg s hat der Wagen insgesamt zurückgelegt?
A
s = 300 m
B
s = 375 m
C
s = 450 m
D
s = 525 m
E
s = 600 m
26
25. Eine eindimensionale Bewegung eines Körpers wird durch das skizzierte Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm beschrieben.
v/m s−1
4
2
t/s
0
−2
2
4
6
8
10
12
−4
Welchen Abstand x hat der Körper zum Zeitpunkt t = 10 s von seinem Ausgangspunkt?
A
x = 10 m
B
x = 12 m
C
x = 14 m
D
x = 20 m
E
x = 24 m
F
x = 28 m
27
26. Die eindimensionale Bewegung eines Körpers wird durch das skizzierte Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm beschrieben.
v/m s−1
4
2
t/s
0
−2
2
4
6
8
10
12
−4
Welche momentane Geschwindigkeit v hat der Körper zum Zeitpunkt t = 9 s?
A
v = 4 m s−1
B
v = 2 m s−1
D
v = −2 m s−1
E
v = −4 m s−1
C
v = 0 m s−1
28
27. Die geradlinige Bewegung eines Körpers wird durch das skizzierte GeschwindigkeitsZeit-Diagramm beschrieben.
v/m s−1
10
t/s
0
1
2
3
−10
Welchen Abstand x hat der Körper drei Sekunden nach dem Start vom Ausgangspunkt?
A
x = 0m
B
x = 5m
C
x = 10 m
D
x = 15 m
E
x = 20 m
F
x = 25 m
29
28. Ein Körper wird auf dem Mond mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 senkrecht nach
unten geworfen.
Welches Diagramm beschreibt die Abhängigkeit der Geschwindigkeit v von der Zeit t
qualitativ richtig?
v
v
A
v0
v0
t
v
D
v0
C
v0
t
v
v
B
t
E
v0
t
t
A
Diagramm A
B
Diagramm B
D
Diagramm D
E
Diagramm E
C
Diagramm C
30
29. Ein Ball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 abgeworfen. Die Wurfbahn schließt
zu Beginn einen Neigungswinkel α zur Horizontalen ein.
Im Scheitelpunkt S der Bahnkurve hat der Ball die Geschwindigkeit v ∗ (Luftreibung
wird vernachlässigt).
y
v0
S v∗
•
α
x
Welchen Betrag hat die Vertikalkomponente v0y der Anfangsgeschwindigkeit v0 ?
A
v0y = 0
B
v0y = v ∗
D
v0y = v ∗ sin α
E
v0y = v ∗ tan α
C
v0y = v ∗ cos α
31
30. Bei einem schiefen Wurf (ohne Luftwiderstand) gilt die Parameterdarstellung der
Bahnkurve nahe der Oberfläche:
x(t) = vx0 t
1
y(t) = vy0 t − gt2
2
y
x
xS
Welchen Wert xS hat die x-Koordinate im Scheitelpunkt der Wurfbahn?
2
vy0
g
A
xS =
2
vx0
g
B
xS =
D
xS =
vx0 vy0
2g
E
Anderer Wert
C
xS =
vx0 vy0
g
32
31. Ein Körper wird unter einem Winkel von 40◦ gegen die Horizontale geworfen.
Im Scheitelpunkt S seiner Bahnkurve ist seine Geschwindigkeit v ∗ .
(Luftreibung soll vernachlässigt werden).
y
S
•
40◦
x
Welchen Betrag hat die Horizontalkomponente v0x der Abwurfgeschwindigkeit v0 ?
A
v0x = 0
D
v0x =
v∗
cos 40◦
v∗
sin 40◦
B
v0x = v ∗
C
v0x =
E
v0x = v ∗ sin 40◦
F
v0x = v ∗ cos 40◦
33
32. Ein Sportflugzeug fliegt horizontal mit einer Geschwindigkeit v = 30 m s−1 in h = 80 m
Höhe. Es soll einen Gegenstand auf einen vorgegebenen Zielort am Boden werfen.
In welcher Entfernung x vor dem Zielort muss man den Gegenstand abwerfen?
Rechnen Sie mit g = 10 m s−2 und vernachlässigen Sie die Luftreibung.
A
x = 30 m
B
x = 60 m
C
x = 90 m
D
x = 120 m
E
Andere Entfernung
34
33. Vergleichen Sie die Bahngeschwindigkeit der Erde vE um die Sonne mit der Bahngeschwindigkeit des Mondes vM um die Erde.
Benutzen Sie für die Bahnradien R und die Umlaufdauern T folgende Werte:
Abstand
Erde-Sonne
Mond-Erde
R in km
T in s
2 · 10
4 · 105
3 · 107
2 · 106
8
Welches Verhältnis vE : vM ist ungefähr richtig?
A
vE : vM ≈ 11 : 1
B
vE : vM ≈ 22 : 1
C
vE : vM ≈ 33 : 1
D
vE : vM ≈ 44 : 1
E
vE : vM ≈ 55 : 1
35
34. Für die Fallbeschleunigungen an der Oberfläche der Erde (E) und an der Oberfläche
des Mondes (M) gilt
gE : gM = 6 : 1.
Wie verhalten sich die Fallzeiten tE und tM für frei fallende Körper auf der Erde und
auf dem Mond zueinander, wenn die Fallhöhen H auf den beiden Himmelskörpern
gleich sind?
A
tE : tM = 1 : 36
B
t E : tM = 1 : 6
C
t E : tM = 1 :
D
t E : tM = 1 : 1
E
Anderes Verhältnis
√
6
36
35. Der Mond hat keine Luftatmosphäre.
Welche Aussage über den freien Fall eines Körpers an der Oberfläche des Mondes ist
richtig?
A
Alle Körper fallen mit zeitlich konstanter Geschwindigkeit.
B
Die Fallgeschwindigkeit hängt von der Form des Körpers ab.
C
Die Fallgeschwindigkeit hängt von der Masse des Körpers ab.
D
Die Fallgeschwindigkeit nimmt proportional zur Zeit zu.
E
Die Fallgeschwindigkeit nimmt proportional zum Quadrat der Zeit zu.
37
36. Wie verhalten sich die Fallhöhen HE und HM für zwei frei fallende Körper auf der
Erde und auf dem Mond zueinander, wenn sie mit gleicher Endgeschwindigkeit auf
dem jeweiligen Himmelskörper aufprallen sollen?
1
Hinweis: Es gilt gM = gE .
6
A
HE
1
=
HM
36
B
HE
1
=√
HM
6
C
HE
1
=
HM
6
D
√
HE
6
=
HM
1
E
HE
6
=
HM
1
F
HE
36
=
HM
1
38
37. Für die Fallbeschleunigungen an der Oberfläche der Planeten Jupiter (J) und des
Neptun (N) gilt:
gJ : gN = 2 : 1
Im Gedankenversuch lässt man zwei Körper ohne Anfangsgeschwindigkeit auf den
jeweiligen Planeten frei fallen.
Wie verhalten sich die Fallzeiten bei gleicher Fallhöhe tJ und tN zueinander?
A
tJ
1
=
tN
16
B
1
tJ
=
tN
8
C
1
tJ
= √
tN
2 2
D
tJ
1
=
tN
2
E
1
tJ
=√
tN
2
39
38. Auf dem Mond wirft ein Astronaut einen Körper aus der Hand (in positive z-Richtung)
senkrecht nach oben.
Welcher Graph gibt die Geschwindigkeit v des Körpers qualitativ richtig wieder?
v
v
A
B
t
t
v
v
v
C
D
E
t
A
A
t
B
B
C
C
t
D
D
E
E
40
39. Welche Winkelgeschwindigkeit ω hat eine alte 30 cm-Schallplatte bei 33 Umdrehungen
pro Minute?
A
ω=
11π −1
s
30
B
ω=
11π −1
s
10
C
ω=
11 −1
s
30π
D
ω=
11 −1
s
10π
E
Anderer Wert
41
40. Ein Teilchen wird auf einer Kreisbahn (Radius R = 0,2 m) im Zeitintervall Δt = 10 s
gleichmäßig von einer Anfangswinkelgeschwindigkeit ωA = 5 s−1 bis zum Stillstand
abgebremst.
Welchen Betrag a hat die Bahnbeschleunigung bei diesem Bremsvorgang?
A
a = 0,10 m s−2
B
a = 0,10π m s−2
C
a = 0,20 m s−2
D
a = 0,20π m s−2
E
a = 0,50 m s−2
F
a = 0,50π m s−2
42
41. Ein Teilchen wird auf einer Kreisbahn (Radius R = 0,2 m) im Zeitintervall Δt = 10 s
gleichmäßig von einer Anfangswinkelgeschwindigkeit ωA = 5 s−1 bis zum Stillstand
abgebremst.
Welchen Betrag α hat die Winkelbeschleunigung bei diesem Bremsvorgang?
A
α = 0,10 s−2
B
α = 0,10 π s−2
C
α = 0,20 s−2
D
α = 0,20 π s−2
E
α = 0,50 s−2
F
α = 0,50 π s−2
43
42. Ein Motorradfahrer fährt auf einer Kreisbahn mit einer konstanten Geschwindigkeit
36π
s.
von v = 50 km h−1 . Für eine Runde braucht er T =
5
Welchen Radius R hat die Bahn?
A
R = 30 m
B
R = 30π m
C
R=
D
R = 50 m
E
R = 60π m
F
R=
30
m
π
60
m
π
44
43. Für einen rotierenden Körper ist die Abhängigkeit seiner Drehfrequenz n von der Zeit
t dargestellt.
n/s−1
20
10
t/s
1
2
3
4
5
Welchen Wert hat die Winkelbeschleunigung α des Körpers?
A
α = +5π s−2
B
α = −5π s−2
C
α = +10π s−2
D
α = −10π s−2
E
α = +20π s−2
F
α = −20π s−2
Lösungen der Aufgaben
45
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 1:
Die momentane Geschwindigkeit eines Körpers ist definiert als Ableitung des Weg-ZeitGesetzes s(t) nach der Zeit t.
ds(t)
(Tangente an die s(t)-Kurve)
dt
Bei der Bestimmung der maximalen Steigung – Betrag der größten Geschwindigkeit – ist
das Vorzeichen der Tangentensteigung unerheblich.
v=
s
ta
t
tb
tc
td
te
Die größte Steigung der Weg-Zeit-Kurve liegt zum Zeitpunkt tc vor.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
46
Lösung zu Aufgabe 2:
Den zurückgelegten Weg erhält man aus der Geschwindigkeit durch Integration über die
Zeit.
tE
Δs = sE − sA = v(t) dt
tA
Der Weg, der in den einzelnen Zeitintervallen zurückgelegt wird, entspricht der jeweiligen
Fläche unter der v(t)-Kurve im Zeitintervall.
v
A
B
C
D
E
Die Flächen für die einzelnen Zeitintervalle sind farbig markiert.
t
Die beiden kleinsten Flächen gehören zu den Dreiecken in den Intervallen A und E.
?
Bei gleicher Grundlinie ist die Höhe für das Intervall A kleiner als die von Intervall E.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
47
Lösung zu Aufgabe 3:
Die momentane Beschleunigung eines Körpers ist definiert als die Ableitung des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes v(t) nach der Zeit t.
a=
dv(t)
dt
(Tangente an die v(t)-Kurve)
v
t
A
B
C
D
E
Lösungen der Aufgaben
48
Beschleunigung a (qualitativ)
D
t
A
B
C
E
Das skizzierte v(t)-Diagramm setzt sich aus fünf geraden Kurvenstücken mit positiven und
negativen Steigungen zusammen (negative Werte bedeuten Verzögerung). Für den Betrag
der größten Beschleunigung ist das Vorzeichen der Steigung der Tangente unerheblich.
?
hat die Gerade, die
Die größte Steigung (Betrag) und damit die größte Beschleunigung
zum Bereich E gehört.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
49
Lösung zu Aufgabe 4:
Die momentane Geschwindigkeit eines Körpers ist definiert als Ableitung des Weg-ZeitGesetzes s(t) nach der Zeit t.
v=
ds(t)
dt
(Tangente an die s(t)-Kurve)
Weg s
Zeit t
ta
tb
tc
td
te
Lösungen der Aufgaben
50
Geschwindigkeit v (qualitativ)
tc
ta
tb
Zeit t
td
te
Das skizzierte s(t)-Diagramm setzt sich aus fünf geraden Kurvenstücken mit positiven bzw.
negativen Steigungen zusammen (negative Werte bedeuten Verzögerung oder Bremsen).
Für den Betrag der größten Geschwindigkeit ist das Vorzeichen der Steigung der Tangente
?
unerheblich. Die größte Steigung und damit die größte Geschwindigkeit
hat die Gerade,
die zum Zeitpunkt td gehört.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
51
Lösung zu Aufgabe 5:
Umformen der Beziehung a = G
M
2 liefert für die Gravitationskonstante G
RP
2
aRP
.
M
Die Einheit einer Beschleunigung ist
G=
[a] =
[Länge]
= 1 m s−2 .
[Zeit]2
Ein Radius hat die Basiseinheit einer Länge
[RP ] = 1 m.
Eine Masse hat die Basiseinheit
[M ] = 1 kg.
Damit
[G] =
2
[a] · [RP
]
(m s−2 ) m2
= 1 m3 kg−1 s−2 .
=1
[M ]
kg
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
52
Lösung zu Aufgabe 6:
?
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist a(t) = a0 = konst.
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz erhält man durch Integration über die Zeit
v(t) = a0 t + v0 .
Dabei ist v0 die Anfangsgeschwindigkeit.
Da der Körper aus dem Stand beschleunigt wird, ist v0 = 0.
Damit ergibt sich
v(t) = a0 t.
Die nach den Zeiten t1 und t2 erreichten Geschwindigkeiten sind
v1 = v(t1 ) = a0 t1
und
v2 = v(t2 ) = a0 t2 .
Das Verhältnis dieser Geschwindigkeiten ist
v1
a0 t1
v(t1 )
t1
=
=
= .
v2
v(t2 )
a0 t2
t2
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
53
Lösung zu Aufgabe 7:
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für die Beschleunigung: |a| = konst.
Integration liefert
• das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v = a0 t + v0 und
• das Weg-Zeit-Gesetz s = 21 a0 t2 + v0 t + s0 .
?
Am einfachsten bestätigt man dies durch Ableiten.
Beginn der Bewegung, zum Zeitpunkt t = 0 ist
• die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 (aus dem Stand, aus der Ruhe) und
• die Anfangskoordinate s0 = 0 (zweckmäßigerweise).
Der zurückgelegte Weg nimmt quadratisch mit der Zeit zu.
?
Grundlagen gleichmäßig beschleunigte Bewegung 
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
54
Lösung zu Aufgabe 8:
?
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt a(t) = a0 = konst.
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz erhält man aus der Beschleunigung durch Integration
über die Zeit
v(t) = a0 t + v0 .
Wählt man spezielle Anfangsbedingungen:
Anfangsgeschwindigkeit
und Anfangskoordinate
v0 = 0
s0 = 0
so ergibt sich
1
s(t) = a0 t2 .
2
Die nach den Zeiten t1 und t2 zurückgelegten Wege sind
1
1
s1 = s(t1 ) = a0 t21
und
s2 = s(t2 ) = a0 t22 .
2
2
Das Verhältnis dieser Wegstrecken ist
s1
s(t1 )
=
=
s2
s(t2 )
1
2
2 a0 t1
1
2
2 a0 t2
=
t21
.
t22
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
55
Lösung zu Aufgabe 9:
Die Stahlkugel erfährt auf der schiefen Ebene eine konstante Beschleunigung, die von der
Komponente der Fallbeschleunigung in Richtung der schiefen Ebene bestimmt wird. Es
gelten die Beziehungen für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Weg-Zeit-Gesetz:
1
s = at2 + v0 t + s0
2
Dabei ist v0 die Anfangsgeschwindigkeit und s0 die Anfangskoordinate.
Die Bedingung aufgesetzt und losgelassen bedeutet
die Anfangsgeschwindigkeit ist null v0 = 0,
die Anfangskoordinate ist null s0 = 0 (zweckmäßige Setzung).
Damit wird der Zusammenhang zwischen Weg und Zeit
1
s = at2 .
2
Dies ist die Gleichung einer Parabel, die durch den Ursprung geht.
Lösungen der Aufgaben
56
Hinweis: Für das Abrollen der Kugel ist der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und der Zeit
v = at + v0 .
Da die Anfangsgeschwindigkeit v0 null ist, ist dies eine Ursprungsgerade.
v
t
?
Grundlagen gleichmäßig beschleunigte Bewegung 
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 10:
Die Aufgabenstellung enthält die Aussage konstante Beschleunigung a0 .
Das bedeutet: Die Beschleunigung ändert sich nicht mit der Zeit.
?
Es gilt also a(t) = a0 = konst.
Dieses Diagramm kommt als Skizze im Angebot der Alternativen nicht vor.
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung a(t) = a0 = konst.
Allgemein
Spezialfall
s0 = 0 und v0 = 0
Geschwindigkeit
v(t) = v0 + a0 t
1
Weg
s(t) = a0 t2 + v0 t + s0
2
Weg als Funktion der Geschwindigkeit
v(t) = a0 t
1
s(t) = a0 t2
2
1 v(t)2
s(t) =
2 a0
57
Lösungen der Aufgaben
58
Diskussion der Diagramme
?
Diagramm A Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung (lineare Zunahme)
ohne Anfangsbeschleunigung.
?
Diagramm B Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung (lineare Zunahme).
mit Anfangsbeschleunigung
?
Diagramm C Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung (nicht lineare Zunahme).
(Die Tangentensteigung der a(t)-Kurve nimmt stetig zu.)
?
gleichförmige Bewegung mit konstanter
Diagramm D Keine Beschleunigung (a = 0);
Geschwindigkeit v.
Ohne Beschleunigung kann ein Körper nicht aus dem Stand auf eine Endgeschwindigkeit gebracht werden.
?
Diagramm E Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung (nicht lineare Zunahme).
(Die Tangentensteigung der a(t)-Kurve nimmt stetig ab.)
Lösungen der Aufgaben
59
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung a(t) = a0 = konst.
?
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant.
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit
dv
.
a=
dt
?
Die erreichte Geschwindigkeit ergibt sich durch Integration.
v(t) = a(t) dt
v(t) = a0
dt
v(t) = a0 t + v0
v0 ist die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers zur Zeit t = 0 s.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
60
Lösung zu Aufgabe 11:
Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz erhält man aus dem Weg-Zeit-Gesetz durch zweimaliges
Ableiten nach der Zeit.
Die erste Ableitung ergibt das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
ds(t)
?
= 3bt2  .
dt
Die zweite Ableitung ergibt das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz
v(t) =
dv(t)
= 6bt.
dt
Die Beschleunigung ist nicht konstant, sie nimmt linear mit der Zeit zu.
a(t) =
Überprüfen der Einheiten
Die Einheit der Beschleunigung ergibt sich zu
[a] = [b][t] = 1 m s−3 s = 1 m s−2 .
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
61
Lösung zu Aufgabe 12:
Die momentane Geschwindigkeit eines Körpers ist definiert als Ableitung seines Weg-ZeitGesetzes x(t) nach der Zeit
dx(t)
= ẋ(t).
dt
Das gegebene Weg-Zeit-Gesetz
v(t) =
x(t) = α0 + α1 t + α2 t2 + α3 t3
liefert für die Geschwindigkeit
dx(t)
= α1 + 2α2 t + 3α3 t2 .
dt
Damit war die Anfangsgeschwindigkeit zum Startzeitpunkt (t = 0)
v(t) =
v(t = 0) = α1 .
?
Hinweis: Die Einheiten der Koeffizienten αi sind verschieden.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
62
Lösung zu Aufgabe 13:
Die momentane Beschleunigung eines Körpers ist definiert als die zweite Ableitung seines
Weg-Zeit-Gesetzes s(t) nach der Zeit
dv(t)
d2 s(t)
.
=
dt
dt2
Das gegebene Weg-Zeit-Gesetz für eine eindimensionale Bewegung lautet
a(t) =
s(t) = k0 + k1 t + k2 t2 + k3 t3 .
Die erste Ableitung ergibt die Geschwindigkeit
ds(t)
= k1 + 2k2 t + 3k3 t2 .
dt
Die zweite Ableitung ergibt das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz
v(t) =
dv(t)
d2 s(t)
= 2k2 + 6k3 t.
=
dt
dt2
Damit war die Anfangsbeschleunigung zum Startzeitpunkt (t = 0)
a(t) =
a(t = 0) = 2k2 .
?
Hinweis: Die Einheiten der Koeffizienten ki sind verschieden.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
63
Lösung zu Aufgabe 14:
?
?
ist a(t) = a0 = konst.
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung 
?
Die Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu
v(t) = a0 t + v0 .
Eine Beschleunigung eines Fahrzeugs aus dem Stand (oder aus der Ruhe) bedeutet, dass
die Anfangsgeschwindigkeit null ist (v0 = 0).
?
.
Damit ist die Geschwindigkeits-Zeit-Kurve eine Ursprungsgerade
v(t) = a0 t
Diskussion der Diagramme
?
Diagramm A Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
?
Diagramm C Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
mit zeitlicher Zunahme der Beschleunigung. (Tangente an die v(t)-Kurve wird steiler.)
Die Kurvenform ähnelt einem Weg-Zeit-Diagramm s(t) einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
?
Diagramm D Gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
?
Diagramm E Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
mit zeitlicher Abnahme der Beschleunigung. (Tangente an die v(t)-Kurve wird flacher.)
Lösungen der Aufgaben
64
Graphische Ableitung (Tangente an die Kurve)
v
a
t
t
Schrittweise
Reset
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
65
Lösung zu Aufgabe 15:
Die Geschwindigkeitsänderung im Zeitintervall tA ≤ t ≤ tE erhält man aus der Beschleunigung durch Integration über die Zeit.
tE
Δv = vE − vA =
a(t) dt
tA
Der Wert des Integrals entspricht der Fläche unter der a(t)-Kurve im Zeitintervall
0 s ≤ t ≤ 2 s.
Die Fläche des Dreiecks ist
1
Δv = · (2 s) · (5 m s−2 ) = 5 m s−1 .
2
Damit wird die Endgeschwindigkeit vE zum Zeitpunkt t = 2 s
vE = vA + Δv = 3 m s−1 + 5 m s−1 = 8 m s−1 .
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
66
Lösung zu Aufgabe 16:
Die Aufgabenstellung enthält folgende Kriterien/Aussagen
• t=0
Die Geschwindigkeit des Wagens ist v0 , d. h. die Tangente an die Weg-Zeit-Kurve
hat eine positive Steigung m > 0.
• 0<t<τ
Der Wagen wird abgebremst, d. h. die Geschwindigkeit des Wagens und damit die
Steigung m der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve nimmt monoton ab.
• t=τ
Der Wagen steht, d. h. die Geschwindigkeit des Wagens ist null und die Weg-ZeitKurve hat eine horizontale Tangente m = 0.
Überprüfen der Kriterien
t=0
0<t<τ
t=τ
m>0
m nimmt monoton ab
m=0
A
B
C
D
E
×
×
×
×
×
×
×
×
Lösungen der Aufgaben
67
?
Diagramm A
• t=0
Der Wagen befindet sich am Koordinatenursprung. Die Steigung der Tangente ist
positiv, d. h. die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens ist v0 > 0.
• 0<t<τ
Der zurückgelegte Weg nimmt linear mit der Zeit zu. Das ist eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v (repräsentiert durch die konstante positive
Steigung der Weg-Zeit-Kurve).
• t=τ
Der Wagen bewegt sich mit unveränderter konstanter Geschwindigkeit weiter.
?
Diagramm B
• t=0
Der Wagen befindet sich an einem Ort mit der Koordinate s0 . Die Steigung der
Tangente ist positiv, d. h. der Wagen hat eine Anfangsgeschwindigkeit v0 .
• 0<t<τ
Die Steigung der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve nimmt monoton ab (Bremsvorgang).
• t=τ
Die Steigung der Tangente ist null.
Der Wagen hat nach dem Bremsen die Geschwindigkeit null erreicht, er steht.
Lösungen der Aufgaben
68
?
Diagramm C
• t=0
Der Wagen befindet sich am Koordinatenursprung s0 = 0. Die Steigung der Tangente
ist positiv, d. h. der Wagen hat eine Anfangsgeschwindigkeit v0 .
• 0<t<τ
Die Steigung der Tangente nimmt für 0 ≤ t < τ /2 stetig bis auf null ab (Bremsvorgang). Der Wagen ist für t = τ /2 momentan in Ruhe. Im Zeitintervall τ /2 < t ≤ τ
ist die Steigung der Tangente negativ, der Wagen fährt rückwärts.
• t=τ
Der Wagen ist wieder am Startort angekommen.
?
Diagramm D
• t=0
Der Wagen befindet sich an einem Ort mit der Koordinate s0 . Die Steigung der
Tangente ist negativ, d. h. der Wagen hat eine Anfangsgeschwindigkeit −v0
(Rückwärtsfahrt).
• 0<t<τ
Der Wagen bewegt sich gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit rückwärts.
• t=τ
Der Wagen ist am Koordinatenursprung s = 0 angekommen und bewegt sich dann
mit unveränderter Geschwindigkeit weiter rückwärts.
Lösungen der Aufgaben
69
?
Diagramm E
• t=0
Der Wagen befindet sich an einem Ort mit der Koordinate s0 . Die Steigung der
Tangente ist negativ, d. h. der Wagen fährt rückwärts (Anfangsgeschwindigkeit
−v0 ). Er befindet sich an einem Ort mit der Koordinate s0 .
• 0<t<τ
Der Betrag der negativen Steigung nimmt stetig bis auf null ab (Abnahme der Geschwindigkeit in Rückwärtsfahrt – Bremsvorgang).
• t=τ
Der Wagen ist bei s = 0 angekommen. Die Steigung der Tangente ist nach dem
Abbremsen null geworden, der Wagen hat die Geschwindigkeit null erreicht, er steht.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
70
Lösung zu Aufgabe 17:
Die Kugeln der fünf Anordnungen werden im (konstanten) Schwerefeld der Erde mit der
Fallbeschleunigung g beschleunigt.
Für eine gleichmäßig beschleunigte Fallbewegung gilt allgemein das Weg-Zeit-Gesetz
1
s = gt2 + v0 t + s0 .
2
Speziell für
Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 (aus der Ruhe, ohne Anfangsgeschwindigkeit)
Anfangskoordinate s0 = 0 (Startkoordinate jeder einzelnen Kugel)
wird der Zusammenhang zwischen Weg und Zeit
1
s = gt2 .
2
Die von den einzelnen Kugeln zurückgelegten Wege, gemessen vom jeweiligen Startpunkt,
nehmen also mit dem Quadrat der Fallzeit zu.
Für zeitlich gleichmäßige Aufschläge in der Abfolge t = 1, 2, 3, 4 (in willkürlichen Zeiteinheiten) verhalten sich die jeweils zurückgelegten Wege also wie
12 : 22 : 32 : 42 = 1 : 4 : 9 : 16.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
71
Lösung zu Aufgabe 18:
Die Weg-Zeit-Kurve liefert folgende Kriterien:
• t=0
Der Körper befindet sich am Koordinatenursprung s0 = 0.
Die Steigung der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve ist positiv, d. h. der Körper hat
eine Anfangsgeschwindigkeit v0 > 0.
• 0 ≤ t ≤ t1
Die Steigung der Tangente (Geschwindigkeit) nimmt bis auf null ab.
• t1 ≤ t ≤ t2 die Ortskoordinate ändert sich nicht, d. h. der Körper steht.
Die Steigung der Tangente (Geschwindigkeit) ist null.
• t2 ≤ t ≤ t3
Die Steigung der Tangente ist negativ, d. h. der Körper bewegt sich rückwärts.
• t = t3 die Steigung der Tangente ist null, d. h. der Körper steht.
Überprüfen der Kriterien
t=0
0 ≤ t ≤ t1
t 1 ≤ t ≤ t2
t 2 ≤ t ≤ t3
t = t3
v0 > 0
v nimmt ab
v=0
v<0
v=0
A
B
C
D
E
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Lösungen der Aufgaben
72
Diskussion der Diagramme
?
Diagramm A
• 0 ≤ t ≤ t1
Bewegung in Vorwärtsrichtung (v > 0) mit abnehmender Geschwindigkeit (Bremsvorgang) bis zum Stillstand (v = 0).
• t 1 ≤ t ≤ t2
Rückwärtsbewegung (v < 0), der betragsmäßig größte Wert der Geschwindigkeit
liegt etwa in der Mitte des Intervalls. Danach nimmt der Betrag wieder bis auf null
ab
• t2 ≤ t ≤ t 3
Vorwärtsbewegung mit zunehmender Geschwindigkeit (Beschleunigung).
?
Diagramm B
• 0 ≤ t ≤ t1
Bewegung aus dem Stand in Vorwärtsrichtung (v > 0), die Geschwindigkeit steigt
an (Beschleunigung).
• t 1 ≤ t ≤ t2
Die Geschwindigkeit bleibt konstant (der zurückgelegte Weg nimmt linear mit der
Zeit zu).
• t 2 ≤ t ≤ t3
Die Geschwindigkeit nimmt monoton auf null ab. Der Körper kommt zum Stillstand.
Lösungen der Aufgaben
73
?
Diagramm C
• 0 ≤ t ≤ t1
Rückwärtsbewegung (v < 0).
Die Geschwindigkeit nimmt monoton ab (Bremsen).
• t 1 ≤ t ≤ t2
Der Körper steht (v = 0).
• t 2 ≤ t ≤ t3
Vorwärtsbewegung (v > 0).
Die Geschwindigkeit nimmt von null an monoton zu (Beschleunigung).
?
Diagramm D
• 0 ≤ t ≤ t1
Vorwärtsbewegung (v > 0).
Die Geschwindigkeit nimmt monoton ab (Bremsen).
• t 1 ≤ t ≤ t2
Der Körper steht (v = 0).
• t 2 ≤ t ≤ t3
Rückwärtsbewegung (v < 0).
Der betragsmäßig größte Wert der Rückwärtsgeschwindigkeit liegt etwa in der Mitte
des Intervalls. Er fällt dann wieder auf null ab (Bremsen bis zum Stillstand).
Lösungen der Aufgaben
74
?
Diagramm E
• 0 ≤ t < t1
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts (v > 0).
• t = t1
(Nicht realistische) Vollbremsung.
• t1 < t < t2
Der Körper steht (v = 0).
• t = t2
(Nicht realistische) Beschleunigung in Rückwärtsbewegung.
• t2 < t < t3
Die Rückwärtsbewegung (v < 0) mit konstanter Geschwindigkeit.
• t = t3
(Nicht realistische) Vollbremsung.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
75
Lösung zu Aufgabe 19:
Das v,t-Diagramm liefert folgende Beurteilungskriterien für die Beschleunigung:
• t=0
Die Steigung der Tangente an die Geschwindigkeits-Zeit-Kurve ist positiv, d. h. der
Körper hat eine Anfangsbeschleunigung a0 > 0.
• 0 < t ≤ t1
Die Steigung der Tangente (Beschleunigung) ist positiv und nimmt bis auf null ab.
• t = t1
Die Steigung der Tangente (Beschleunigung) ist null.
• t1 < t ≤ t2
Die Steigung der Tangente (Beschleunigung) ist negativ (Bremsen).
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
76
Lösung zu Aufgabe 20:
Den Weg erhält man durch Integration über die Zeit aus der Geschwindigkeit.
Das heißt der Weg entspricht der Fläche unter der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve.
Aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm folgen als Bedingungen für das Weg-Zeit-Diagramm:
• Die Geschwindigkeit ist stets positiv (> 0), damit ist der zurückgelegte Weg eine
monoton steigende Funktion.
• Zu den Zeiten t = 0 und t1 ist die Geschwindigkeit null. Zu diesen Zeitpunkten muss
die Weg-Zeit-Kurve eine horizontale Tangente haben.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
77
Lösung zu Aufgabe 21:
Die Geschwindigkeitsänderung im Zeitintervall tA ≤ t ≤ tE erhält man aus der Beschleunigung a(t) durch Integration über die Zeit t.
tE
Δv = vE − vA =
a(t) dt
tA
Der Wert des Integrals entspricht der Fläche unter der a(t)-Kurve. Diese Fläche setzt sich
aus den drei Teilbeträgen Δv1 , Δv2 und Δv3 zusammen.
0s ≤ t ≤ 2s
2s ≤ t ≤ 8s
8 s ≤ t ≤ 10 s
[Fläche Dreieck]
[Fläche Rechteck]
[Fläche Dreieck]
?
Δv1 = 0,5 · (2 s) · (4 m s−2 ) = 4 m s−1 
?
Δv2 = (6 s) · (4 m s−2 ) = 24 m s−1 
?
Δv3 = 0,5 · (2 s) · (4 m s−2 ) = 4 m s−1 
Geschwindigkeitsänderung insgesamt im Zeitintervall 0 s ≤ t ≤ 10 s:
Δv = Δv1 + Δv2 + Δv3 = 4 m s−1 + 24 m s−1 + 4 m s−1 = 32 m s−1
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
78
Lösung zu Aufgabe 22:
Die Geschwindigkeitsänderung im Zeitintervall tA ≤ t ≤ tE erhält man aus der Beschleunigung durch Integration über die Zeit
tE
Δv = vE − vA =
a(t) dt
tA
Der Wert des Integrals entspricht der Fläche unter der a(t)-Kurve. Diese Fläche setzt sich
aus den drei Teilbeträgen Δv1 , Δv2 und Δv3 zusammen.
0s ≤ t ≤ 2s
2s < t < 3s
3s ≤ t ≤ 5s
?
Δv1 = (2 s) · (6 m s−2 ) = 12 m s−1 
−1
Δv2 = 0 m s
?
Δv3 = (2 s) · (−3 m s−2 ) = −6 m s−1 
Geschwindigkeitsänderung insgesamt im Zeitintervall 0 s ≤ t ≤ 7 s:
Δv = Δv1 + Δv2 + Δv3 = 12 m s−1 + 0 m s−1 − 6 m s−1 = 6 m s−1
Da die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 2 m s−1 beträgt, ist die Endgeschwindigkeit
v = Δv + v0 = 6 m s−1 + 2 m s−1 = 8 m s−1 .
?
Lösungsvariante – Formale Integration
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
79
Lösung zu Aufgabe 23:
Die Geschwindigkeitsänderung im Zeitintervall tA ≤ t ≤ tE erhält man aus der Beschleunigung a(t) durch Integration über die Zeit t.
tE
Δv = vE − vA =
a(t) dt
tA
Der Wert des Integrals entspricht der Fläche unter der a(t)-Kurve. Diese Fläche setzt sich
aus den drei Teilbeträgen Δv1 und Δv2 zusammen.
0s ≤ t < 5s
5 s < t ≤ 15 s
?
Δv1 = (5 s) · (−5 m s−2 ) = −25 m s−1 
?
Δv2 = 0,5 · (10 s) · (5 m s−2 ) = 25 m s−1 
(Rechteck)
(Dreieck)
Geschwindigkeitsänderung insgesamt im Zeitintervall 0 s ≤ t ≤ 15 s:
Δv = Δv1 + Δv2 = −25 m s−1 + 25 m s−1 = 0 m s−1
Lösungsvariante – Formale Integration
tE
Δv = vE − vA =
a(t) dt
tA
kann auch analytisch bestimmt werden.
zurück zur Aufgabe ?
Dies ist aber wesentlich aufwändiger.
Lösungen der Aufgaben
80
Lösung zu Aufgabe 24:
Bei der Bewegung des Wagens sind zwei Zeitintervalle zu berücksichtigen:
• Δt1 : gleichmäßig beschleunigte Bewegung,
• Δt2 : gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Zeitintervall Δt1 :
Die konstante Beschleunigung ist
20 m s−1
4
Δv
=
= m s−2 .
Δt
15 s
3
Der zurückgelegte Weg ist
1
1 4
s1 = a0 (Δt1 )2 = · m s−2 · (15 s)2 = 150 m.
2
2 3
Zeitintervall Δt2 :
a0 =
Der in Δt2 zurückgelegte Weg ist
s2 = vE Δt2 = 20 m s−1 · 15 s = 300 m.
Der insgesamt zurückgelegte Weg wird
s = s1 + s2 = 150 m + 300 m = 450 m.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
81
Lösung zu Aufgabe 25:
Den zurückgelegten Weg erhält man aus der Geschwindigkeit durch Integration über die
Zeit.
tE
Δs = sE − sA = v(t) dt
tA
Der Wert des Integrals entspricht der Fläche unter der v(t)-Kurve. Diese Fläche setzt sich
aus den zwei Teilbeträgen Δs1 , Δs2 , Δs3 und Δs4 zusammen.
• 0 s ≤ t ≤ 2 s:
Δs1 =
1
· 2 s · 4 m s−1 = 4 m
2
• 2 s ≤ t ≤ 6 s:
Δs2 = 4 s · 4 m s−1 = 16 m
• 6 s ≤ t ≤ 8 s:
1
· 2 s · 4 m s−1 = 4 m
2
• 8 s ≤ t ≤ 10 s:
1
Δs4 = · 2 s · (−4 m s−1 ) = −4 m
2
Δs3 =
Lösungen der Aufgaben
82
Der Abstand vom Startort nach der Zeit t = 10 s ist somit
10 s
x = Δs =
v(t) dt = 4 m + 16 m + 4 m − 4 m = 20 m.
0s
Hinweis:
Die Dreiecksflächen in den Zeitintervallen
6s ≤ t ≤ 8s
und
8 s ≤ t ≤ 10 s
?
kompensieren sich.
Man braucht sie also nicht explizit zu berechnen.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
83
Lösung zu Aufgabe 26:
Aus dem Diagramm liest man für den Zeitpunkt t = 9 s für die Geschwindigkeit ab:
v(t = 9 s) = −2 m s−1
v/m s−1
4
2
t/s
0
−2
2
4
6
8
•
10 12
−4
Das bedeutet, der Körper bewegt sich in negative Koordinatenrichtung, also rückwärts.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
84
Lösung zu Aufgabe 27:
Den zurückgelegten Weg erhält man aus der Geschwindigkeit durch Integration über die
Zeit.
tE
Δs = sE − sA = v(t) dt
tA
Der Wert des Integrals entspricht der Fläche unter der v(t)-Kurve. Diese Fläche setzt sich
aus den zwei Teilbeträgen Δs1 und Δs2 zusammen.
• 0 s ≤ t ≤ 2 s:
Δs1 =
1
· 2 s · 10 m s−1 = 10 m
2
• 2 s ≤ t ≤ 3 s:
1
Δs2 = − · 1 s · 10 m s−1 = −5 m
2
Der Abstand vom Startort nach der Zeit t = 3 s ist somit
3 s
x = Δs = v(t) dt = 10 m − 5 m = 5 m.
0s
Lösungen der Aufgaben
85
Hinweis:
Die Dreiecksflächen in den Zeitintervallen
1s ≤ t ≤ 2s
und
2s ≤ t ≤ 3s
?
kompensieren sich.
Es verbleibt die Dreiecksfläche im Zeitintervall 0 s ≤ t ≤ 1 s.
1
Δs = · 1 s · 10 m s−1 = 5 m
2
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
86
Lösung zu Aufgabe 28:
Der Mond hat im Gegensatz zur Erde keine Lufthülle, die auf einen fallenden Körper
einen Luftwiderstand ausübt. Deshalb hat man ideale Bedingungen für den freien Fall
eines Körpers unter der (nahe der Mondoberfläche) konstanten Schwerebeschleunigung
gM .
Bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung gM nimmt die Geschwindigkeit linear
mit der Zeit zu, es ist v = gM t + v0 .
Dabei ist v0 die Anfangsgeschwindigkeit (zum Zeitpunkt t = 0).
Beim freien Fall nimmt die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zu.
In graphischer Darstellung ist dies eine Gerade mit positiver Steigung und dem Ordinatenabschnitt v0 für den Zeitpunkt t = 0.
v
v = gM t + v0
v0
t
Zweckmäßige Wahl des Koordinatensystems: Positive Richtung in Fallrichtung nach unten.
Dies ist in Diagramm C dargestellt.
Lösungen der Aufgaben
87
Kommentare
Diagramm A: Die Geschwindigkeit nimmt ab und nähert sich einem konstanten Wert
?
(Reibung
). Eine konstante Sinkgeschwindigkeit stellt sich ein – als Endzustand –
beim Fallen in einer zähen Flüssigkeit.
Diagramm B: Dies entspricht dem Anfangsverlauf bei einem senkrechten Wurf nach
oben. Die Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit ab; im nicht gezeichneten
Umkehrpunkt wäre sie null geworden.
Diagramm D: Das Diagramm entspricht einer gleichförmigen Bewegung.
Diagramm E: Bei einer zunehmenden Beschleunigung nimmt die Geschwindigkeit
überproportional zu (Hinweis: die Steigung der Tangente an die v(t)-Kurve ist ein
Maß für die Beschleunigung).
Ein parabelförmiger Kurvenverlauf gilt für den zurückgelegten Weg bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
?
Grundlagen gleichmäßig beschleunigte Bewegung 
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
88
Lösung zu Aufgabe 29:
Der schiefe Wurf des Körpers im Schwerefeld der Erde setzt sich zusammen aus
• einer Horizontalbewegung und
• einer Vertikalbewegung.
Die Anfangsgeschwindigkeit v0 des schiefen Wurfs hat die Komponenten v0x und v0y . Ihr
Zusammenhang ist
v0y
.
tan α =
v0x
Horizontalbewegung (→)
Die Horizontalbewegung ist eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Horizontalgeschwindigkeit v0x
x(t) = v0x t
Vertikalbewegung (↑)
Die Geschwindigkeit im Schwerefeld der Erde mit gE = konst. nimmt bis zum Scheitelpunkt
auf null ab.
1
y(t) = v0y t − gt2
2
Im Scheitelpunkt bewegt sich der Körper nur in x-Richtung. Damit ist die Geschwindigkeit
im Scheitelpunkt notwendig gleich der Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung
v ∗ = v0x
Lösungen der Aufgaben
89
Mit
v0y = v0x tan α
wird
v0y = v ∗ tan α.
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90
Lösung zu Aufgabe 30:
Im Scheitelpunkt des schiefen Wurfs wird die maximale Wurfhöhe erreicht. Dort kehrt die
Geschwindigkeit in y-Richtung ihr Vorzeichen um. Für die Bewegung in y-Richtung gilt
das Weg-Zeit-Gesetz
1
y(t) = vy0 t − gt2 .
2
Die Geschwindigkeit in y-Richtung ist
ẏ(t) = vy0 − gt.
Im Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit in y-Richtung null. Daraus erhält man den
Umkehrzeitpunkt
vy0
.
tS =
g
Zu diesem Zeitpunkt gehört die x-Koordinate
vx0 vy0
vy0
xS = x(tS ) = vx0 tS = vx0
=
.
g
g
Lösungen der Aufgaben
91
Alternative Lösung 1
Aus Symmetriegründen ist die Flugzeit bis zum Scheitelpunkt gleich der halben Flugzeit
tF bis zum Wiederauftreffen auf dem Boden bei y = 0 m.
Die Flugzeit tF ergibt sich aus:
1
0 = vy0 · tF − gt2F
2
oder umgeschrieben
1
tF vy0 − gtF = 0
2
mit den Lösungen
tF1 = 0 (Startzeitpunkt)
2vy0
tF2 =
(Auftreffpunkt)
g
Damit ergibt sich für die x-Koordinate des Scheitelpunkts
1
1
1 2vy0
vx0 vy0
xS = x( tF2 ) = vx0 · tF2 = vx0 · ·
=
.
2
2
2
g
g
Lösungen der Aufgaben
92
Alternative Lösung 2
Die Parameterdarstellung der Bahnkurve ist
1
x(t) = vx0 t
y(t) = vy0 t − gt2
2
Die Gleichung für x löst man nach t auf t =
y = vy0
x(t)
und setzt t in die Gleichung für y ein
vx0
x
1 x2
vy0
g
− g 2 =
x − 2 x2 .
vx0
2 vx0
vx0
2vx0
Die Ableitung von y nach x ist
vy0
g
− 2 x.
y =
vx0
vx0
Im Scheitelpunkt ist die Ableitung null, also
x=
2
vx0 vy0
vy0 vx0
·
=
.
vx0 g
g
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93
Lösung zu Aufgabe 31:
Der schiefe Wurf des Körpers im Schwerefeld der Erde setzt sich zusammen aus
• einer Horizontalbewegung und
• einer Vertikalbewegung.
Horizontalbewegung (→)
Dies ist eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Horizontalgeschwindigkeit v0x .
x(t) = v0x t
Vertikalbewegung (↑)
Die Geschwindigkeit im Schwerefeld der Erde mit der Fallbeschleunigung g nimmt bis zum
Scheitelpunkt auf null ab.
1
y(t) = v0y t − gt2
2
Im Scheitelpunkt bewegt sich der Körper nur in x-Richtung. Damit ist die Geschwindigkeit
im Scheitelpunkt notwendig gleich der Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung
v ∗ = v0x
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94
Lösung zu Aufgabe 32:
Für den Abwurf eines Gegenstandes gilt:
• Die Geschwindigkeit des Gegenstandes in horizontaler Richtung (x-Richtung) ist
gleich der Geschwindigkeit des Flugzeugs, also vx = 30 m s−1 .
• In vertikaler Richtung (z-Richtung nach unten) liegt eine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung vor, mit
1
z(t) = gt2 .
2
Daraus ergibt sich die Fallzeit für eine Höhe h = 80 m
√
2h
2 · 80 m
=
= 16 s2 = 4 s.
tFall =
−2
g
10 m s
In dieser Zeit muss der Gegenstand die horizontale Wegstrecke von der Abwurfstelle bis
zum Zielort zurücklegen. Für diese Wegstrecke gilt
x = vx tFall = 30 m s−1 · 4 s = 120 m.
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95
Lösung zu Aufgabe 33:
Für eine Abschätzung nähert man die Bahnen der beiden Himmelskörper durch Kreise an.
Die Bahngeschwindigkeit vBahn eines Körpers auf einer Kreisbahn (Radius R) ergibt sich
aus dem Kreisumfang (Bahnlänge s = 2πR) und der Umlaufzeit T zu
2πR
.
T
Für die beiden Himmelskörper folgt:
vBahn =
2πRE
,
TE
2πRM
=
.
TM
Bahngeschwindigkeit der Erde
Erde
vBahn
=
Bahngeschwindigkeit des Mondes
Mond
vBahn
Das Verhältnis der Bahngeschwindigkeiten ist
Erde
vBahn
1
RE T M
2 · 108 km 2 · 106 s
·
= · 102 = 33,33 ≈ 33.
=
·
=
Mond
TE RM
3 · 107 s 4 · 105 km
3
vBahn
Anmerkung:
Es lohnt sich nicht, die beiden Bahngeschwindigkeiten explizit auszurechnen. Beim Bilden
des Verhältnisses kürzen sich der Faktor 2π und die Einheiten heraus. Es bleiben einfache
Zahlen und Zehnerpotenzen für die Abschätzung übrig.
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96
Lösung zu Aufgabe 34:
?
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt das Weg-Zeit-Gesetz
1
s(t) = a0 t2 + v0 t + s0 .
2
Für die Anfangsbedingungen
• Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 und
• Anfangskoordinate s0 = 0
1 2
a0 t .
2
Die zugehörigen Fallhöhen auf Erde und Mond sind
1
1
hE = gE t2E
und
hM = gM t2M .
2
2
Für gleiche Fallhöhen hE = hM = H erhält man
1
1
gE t2E = gM t2M
2
2
und
t2E
1
gM
gM
1
tE
1
=
=
=
=
oder
=√ .
t2M
gE
6gM
6
tM
6
6
ergibt sich s(t) =
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97
Lösung zu Aufgabe 35:
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz erhält man aus der Beschleunigung durch Integration
?
über die Zeit, graphisch repräsentiert durch die Fläche unter der Beschleunigungskurve.
Zweckmäßige Wahl der Wurfkoordinate: positiv nach unten.
Nahe der Mondoberfläche wirkt eine konstante Fallbeschleunigung gM . Da der Mond keine
Luftatmosphäre hat, gibt es keinen Luftwiderstand.
Für die Fallgeschwindigkeit gilt damit
v(t) = gM t + v0
mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 .
Die Fallgeschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu.
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Lösung zu Aufgabe 36:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
?
Konstante Beschleunigung:
a = a0 = konst.
Erreichte Geschwindigkeit:
v = a0 t + vA
speziell mit vA = 0 (keine Anfangsgeschwindigkeit)
v = a0 t
Zurückgelegter Weg:
1
s = a0 t2 + vA t + sA speziell mit sA = 0 (Start vom Nullpunkt aus)
2
1
1
1 v2
1
1 v
=
s = a0 t2 = (a0 t)t = vt = v
2
2
2
2 a0
2 a0
Für die Quadrate der Geschwindigkeiten auf Erde bzw. Mond erhält man
2
vE
= 2gE HE
und
2
vM
= 2gM HM .
Gleiche Endgeschwindigkeiten ergeben gleiche Geschwindigkeitsquadrate; also gilt
HE
gM
gM
1
2gE HE = 2gM HM und
=
=
= .
HM
gE
6 · gM
6
98
Lösungen der Aufgaben
99
Alternativ:
Für die Fallhöhen auf Erde und Mond gilt (mit vA = 0 und sA = 0):
1
HE = gE t2E
2
1
HM = gM t2M
2
Damit gilt für das Verhältnis
HE
gE t2E
=
·
.
HM
gM t2M
Das Verhältnis der Fallzeiten erhält man aus der Forderung gleicher Endgeschwindigkeiten
aus
vEnd = gM · tM = gE · tE
zu
gM
tE
=
.
tM
gE
Einsetzen liefert
2
HE
gE gM
gM
1
=
· 2 =
=
HM
gM gE
gE
6
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100
Lösung zu Aufgabe 37:
Gleichmäßig beschleunigte Fallbewegung auf den beiden Planeten
?
Konstante Beschleunigung:
a = a0 = konst(t).
Erreichte Geschwindigkeit:
v = a0 t + vA
speziell mit vA = 0 (keine Anfangsgeschwindigkeit)
v = a0 t
Zurückgelegter Weg:
1
s = a0 t2 + vA t + sA speziell mit sA = 0 (Start vom Loslasspunkt aus)
2
1
s = a0 t2
2
Damit wird mit der Forderung HJ = HN
1 2
1
gJ t = gN t2N .
2 J
2
Das Verhältnis der Fallzeiten ist
t2J
gN
1
1
tJ
=
=
=√ .
und somit folgt
t2N
gJ
2
tN
2
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101
Lösung zu Aufgabe 38:
Der beschriebene Wurf an der Mondoberfläche ist ein senkrechter Wurf nach oben.
Die Anfangsgeschwindigkeit vz0 ist nach oben gerichtet (positive Koordinatenrichtung).
Ihr entgegen wirkt die Fallbeschleunigung aM .
Damit ist der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit
vz (t) = vz0 − aM t.
Dieser Zeitverlauf ist in Diagramm D dargestellt.
Die Mondbeschleunigung wirkt zunächst verzögernd auf die Geschwindigkeit.
Diese nimmt von der Anfangsgeschwindigkeit vz0 linear ab, bis sie den Wert null erreicht.
Dies ist der höchste Punkt der Wurfbahn, der Umkehrpunkt.
Danach bewegt sich der Körper mit wieder zunehmender Geschwindigkeit nach unten.
Anmerkung:
Auf einen Körper im Gravitationsfeld des Mondes wirkt nahe der Oberfläche des Mondes
?
eine konstante Fallbeschleunigung
(Mondbeschleunigung aM ).
Lösungen der Aufgaben
102
Diskussion der Diagramme
Diagramm A
?
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
in positive Koordinatenrichtung.
Die Tangentensteigung an die v(t)-Gerade ist positiv (konstante Beschleunigung).
Diagramm B
?
Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
in positive Koordinatenrichtung gefolgt von einer
Abbremsung (negative Beschleunigung).
Der Kurvenverlauf ähnelt einer Wurfparabel in einem x,y-Koordinatensystem!
Diagramm C
?
Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
in positive Koordinatenrichtung.
Die Tangentensteigung an die v(t)-Kurve nimmt stetig zu.
Diagramm E
?
Ungleichmäßig verzögerte Bewegung
in positive Koordinatenrichtung.
Die Tangentensteigung an die v(t)-Kurve ist negativ.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
103
Lösung zu Aufgabe 39:
?
zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und der Umdrehungszahl
Der Zusammenhang
(Drehzahl) n ist
ω = 2πn.
Zahlenwerte:
33 −1
11π −1
s =
s
60
10
Die Winkelgeschwindigkeit hängt nicht vom Durchmesser D der Platte ab.
ω = 2πn = 2π · 33 min−1 = 2π
Sie ist für alle Punkte auf der Langspielplatte gleich.
Bahngeschwindigkeit
Im Gegensatz zur Winkelgeschwindigkeit hängt die Bahngeschwindigkeit eines Punkte auf
der Langspielplatte vom Abstand des Punktes von der Drehachse ab.
?
Der zurückgelegte Weg
auf der Kreisbahn ist s = rϕ.
Die Bahngeschwindigkeit erhält man durch Ableiten des Weges nach der Zeit
dϕ
ds
=r
vBahn =
dt
dt
dϕ
Mit ω = dt wird vBahn = ωr
Der Betrag der Bahngeschwindigkeit am äußeren Rand der Langspielplatte wird damit
33π −1
33π
vBahn =
s · 15 cm =
cm s−1 .
zurück zur Aufgabe 30
2
Lösungen der Aufgaben
104
Lösung zu Aufgabe 40:
Für die Bewegung eines Teilchens auf einer Kreisbahn (Radius R) gilt für
• den zurückgelegten Weg s(t) = Rϕ (Drehwinkel ϕ),
• die Bahngeschwindigkeit v(t) = Rω (Winkelgeschwindigkeit ω),
• die Bahnbeschleunigung a(t) = Rα (Winkelbeschleunigung α).
Gleichförmiges Abbremsen von einer Anfangswinkelgeschwindigkeit ωA auf eine Endwinkelgeschwindigkeit ωE bedeutet eine konstante (negative) Winkelbeschleunigung α. Sie ergibt
sich aus der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten bezogen auf das Zeitintervall
α=
ωE − ωA
1
(0 − 5) s−1
Δω
=
= − s−2 .
=
Δt
tE − tA
(10 − 0) s
2
Hieraus ergibt sich der Betrag der Bahnbeschleunigung zu
a(t) = Rα = 0,2 m · | − 0,5 s−2 | = 0,1 m s−2 .
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
105
Lösung zu Aufgabe 41:
Gleichmäßiges Abbremsen von einer Anfangswinkelgeschwindigkeit ωA auf eine Endwinkelgeschwindigkeit ωE bedeutet eine konstante (negative) Winkelbeschleunigung α. Sie ergibt
sich aus der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten bezogen auf das zugehörige Zeitintervall.
1
Δω
(0 − 5) s−1
ωE − ωA
= − s−2
α=
=
=
Δt
tE − tA
(10 − 0) s
2
Hinweis: Für die Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung α ist der Radius
R der Kreisbahn unerheblich. Bahngeschwindigkeit vbahn und Bahnbeschleunigung abahn
hängen dagegen vom Abstand R von der Drehachse ab.
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
106
Lösung zu Aufgabe 42:
Bei konstanter Bahngeschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg proportional zur Zeit.
s = vBahn t
Der in einer Runde zurückgelegte Weg entspricht dem Kreisumfang
s = 2πR.
Damit wird der Zusammenhang zwischen der Rundenzeit t = T und dem Bahnradius R
2πR = vBahn T.
Man erhält
R=
1
1 50 · 103 m 36π
vBahn T =
·
·
s = 50 m.
2π
2π
3600 s
5
Alternativer Lösungsweg
Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit, Bahngeschwindigkeit und Radius ist
vBahn
vBahn = ωR oder R =
.
ω
Mit ω = 2π
T ergibt sich wieder
R=
T
vBahn .
2π
zurück zur Aufgabe Lösungen der Aufgaben
107
Lösung zu Aufgabe 43:
Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehfrequenz n ist
ω = 2πn.
Die Winkelbeschleunigung erhält man aus der Winkelgeschwindigkeit durch Ableiten nach
der Zeit.
dω
α=
dt
Damit wird
dn(t)
α = 2π
.
dt
Die Drehzahl-Zeit-Kurve verläuft im Zeitintervall 0 s ≤ t ≤ 4 s linear.
Aus dem Diagramm liest man für die Steigung der Drehzahl-Zeit-Gerade ab:
−20 s−1
= −5 s−2
4s
Damit wird die Winkelbeschleunigung
m=
α = 2π
dn(t)
= 2πm = 2π(−5 s−2 ) = −10π s−2 .
dt
zurück zur Aufgabe