14.Übung

Dienstag, 2. Juli 2002
14. Übung zu Physik 4 (SS 02)
70) Phasenraum exakt und Tritium Halbwertszeit
In dieser Aufgabe können Sie die numerische Berechnung der Integrale auf der home page
(→ β-Zerfall) durchführen. Versuchen Sie trotzdem das unbestimmte Integral mit Hilfe eines
Mathematikprogramms zu berechnen.
a) Wie groß ist der Korrekturfaktor zum Phasenraumintegral beim Neutronzerfall, wenn
man die Elektronmasse nicht vernachlässigt? Was bedeutet das für die Lebensdauer?
b) Damit ist nun auch die Lebensdauer/Halbwertszeit des Tritium berechenbar. Verwenden Sie die in Aufgabe 29 berechnete maximale Energie des Elektrons.
71) Kurie Plot und Bestimmung der Neutrino Masse (siehe Grafiken)
√(N/pE)
Zeigen Sie mit Hilfe der Formeln aus Aufgabe 61, daß man für eine Neutrinomasse mν > 0
folgendes Energiespektrum erhält:
s
m2ν
2
dEe .
dΓ ∝ pe Ee (E0 − Ee ) 1 −
(E0 − Ee )2
q
dΓ
1
Im Kurie Diagram wird K(Ee ) := dE
als Funktion der (kinetischen) Energie aufgee pe E e
tragen. In welchen Punkten schneidet diese Funktion die x-Achse? Bemerkung: so kann im
Prinzip aus dem Verlauf des Kurie-Diagramms in der Nähe des Endpunktes die Masse des
Neutrinos bestimmt werden.
mν = 0
mν > 0
0
1
Elektron-Energie
[MeV]
Li: Kurie Plot des Elektronspektrums des Tritium-β-zerfalls.
Re: Endliche Neutrino Masse im Kurie Plot (Energieskala des Neutronzerfall).
Effekt der Coulomb-Korrektur auf das Energiespektrum im β − und β + -Zerfall
72) Projekt Z-Zerfallsverhältnisse – Fortsetzung
Vorbemerkung: Ein Photon kann in ein e+ e− Paar konvertieren, falls es genügend Energie
besitzt (E > 2me , im Schwerpunktsystem?). Wenn die Energie ausreicht, kann es auch
in alle anderen geladenen Fermion-Antifermionpaare ”zerfallen”. Bei sehr hohen Energien
(wenn die Massen der Zerfallsteilchen vernachlässigbar sind) ist die Wahrscheinlichkeit für
den Zerfall eines (virtuellen) Photons in einen bestimmten Kanal proportional zu qf2 , wobei
qf die Ladung des Fermions ist (Lepton oder Quark). Auf diese Weise könnte man also die
elektrische Ladung von Fermionen bestimmen (eigentlich nur das Quadrat!).
Die Theorie der schwachen Wechselwirkung ist sehr ähnlich der elektromagnetischen (deshalb war ja eine Vereinheitlichung möglich!). Wenn man nun die ”schwachen” Ladungen von
Fermionen bestimmen möchte, muss man analog zu oben die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, mit denen das Z-Austauschteilchen in Fermion-Antifermionpaare zerfällt. Das ist Ziel
dieser Aufgabe.
Das Ergebnis ist in der folgenden Tabelle als Vergleich der elektrischen mit der schwachen
Ladung (in irgendwelchen Einheiten) angegeben. Es fällt auf, dass die schwache Ladung von
geladenen Leptonen (e, µ, τ ) am kleinsten ist.
Fermion
elektrische Ladung
(elektrische Ladung)2
(schwache Ladung)2
νe
0
0
0.70
e
-1
1
0.35
u
2/3
0.44
0.40
d
-1/3
0.11
0.52
Jeder soll nun den im zugewiesenen Teil von 100 Z-Zerfällen einem der vier möglichen
Zerfallkanäle (e, µ, τ , Quarks) zuweisen. Im Idealfall füllt man die Anwort in die ebenfalls
am Bildschirm geöffnete Excel-Tabelle ein und schickt diese dem Betreuer per email zu.
Bemerkung: wir unterscheiden nicht, in welchen Typ von Quarks das Z-Teilchen zerfällt.
Berechnen Sie aus obiger Tabelle das Verhältnis der Zerfälle in Quarks zu den Zerfällen
in µ+ µ− (Sie müssen dazu zuerst überlegen, welche Quarks beitragen). Wie gross ist dieses
Verhältnis für Ihre Daten (die 100 Ereignisse). Wer kann, soll auch den Fehler angeben.
73) Urknall
Es ist immer die Rede davon, daß man mit den Teilchenbeschleunigern lokal jene Bedingungen
(d.h. Energiedichten) herstellen kann, wie sie kurz nach dem Urknall geherrscht haben.
Versuchen Sie aus folgender Grafik (doppeltlogarithmische Achsen!) den Zusammenhang
zwischen Energie und Alter des Universums abzulesen (E = const · tn , n =?). Mit Energie ist
hier primär die Schwerpunktsenergie eines Beschleunigers gemeint. Wenn man sich vorstellt,
dass bei der Vernichtung zweier Teilchen kurzzeitig ein virtuelles Photon entsteht, das auf
einen Raumbereich proportional λ3 konzentriert ist, kann man damit eine Energiedichte ρE
berechnen. Welcher Zusammenhang zwischen Energiedichte und Energie des Photons ergibt
sich damit?
Temperatur/Energie des Universums in Abhängigkeit von der Zeit.
a) Wie gross ist diese Energiedichte bei Proton–Proton Kollisionen am LHC Beschleuniger
bei einer Energie von 14 TeV im CM-System (virtuelles 14 TeV Photon)?
b) Wie alt war das Universum als diese Energiedichte vorherrschte?
Hinweise: Überlegen Sie zuerst, wie die mittlere thermische Energie eines Photons von
der Temperatur abhängt. Welcher Schwarzkörper-Temperatur entsprechen die Proton–
Proton Kollisionen am LHC? Die elektromagnetische Energiedichte eines Hohlraums (=
Universum?) steht über das Stefan-Boltzmann Gesetz mit der Temperatur in Beziehung.
Die seit
q dem Urknall (maximal) vergangene Zeit ist näherungsweise gegeben durch
2
3c
t0 = 8πG·ρ
, wobei ρE die Energiedichte in J/m3 und G die Gravitationskonstante
E
ist. Auf diese Formel kommt man, wenn man annimmt, daß das Universum seit dem
Urknall mit der momentanen Expansionsgeschwindigkeit (∝ Hubbelkonstante H) expandiert. Damit gilt: t0 ≡ 1/H. [siehe z.B. Demtröder 4, Kapitel 12.3.3 ”Die frühe
Phase des Universums”]
c) Wen die Ableitung des Proportionalitätsfaktors c/4 zwischen S = σT 4 und ρE interessiert, der möge sich bitte melden.
74) Ereignistypen in W+ W− Zerfällen (= W-Zerfallsverhältnisse)
und Anzahl der Quark-Farbquantenzahlen
ECM=161
Nch=33
Pch=128. Efl=158. Ewi=56.2 Eha=60.6 RQ_41437
Run=41437
Evt=5974
EV1=0
EV2=0
EV3=0
ThT=0
96−07−11 13:30
Detb= E1FFFF
2 Gev EC
2
Gev EC
8 Gev HC
8
Gev HC
ALEPH
DALI_D7
ECM=161
Nch=2
Pch=82.7 Efl=96.7 Ewi=43.5 Eha=6.07 P0041514
Run=41514
Evt=9649
EV1=.907 EV2=.380 EV3=.115 ThT=.774
96−07−16 17:49
Detb= E1FFFF
3 Gev EW
3
Gev EC
3 Gev EC
3
Gev HC
3 Gev HC
600cm|
DALI_D7
500cm|
ALEPH
J3
0
ρ
J1
FISH−EYE VIEW
J3
0
µ−
|−600cm
γ
Y
J4
J2
J1
13.8 GeV
+
46.5 GeV
|−600cm
e
0
Z
600cm|
RZ
−
x x
x−o
J4
x
J4
o
J3
o−
−
o
J1 + J2 = 82.0 GeV/c2
o
o
− oo− o
oo
x
o
o
oo−
−o
o
xx
oo
x
x
J3 + J4 = 75.8 GeV/c2
x
|−20cm
|−500cm
o
xx
−
− −x
−
o
−−o
o
x
−
x
o
−
Y
o
J1 −o x−
0
J2
20cm|
36.4 GeV
YX
ALEPH
DALI_D7
ECM=161
Nch=14
Muon Energy 45.8 GeV
o
−
J2
|−20cm
|−500cm
0 X
hist.of BA.+E.C.
Pch=72.0 Efl=126. Ewi=42.1 Eha=39.5
EV1=.864 EV2=.793 EV3=.366 ThT=.990
20cm|
RQ_41472
0
Run=41472
96−07−13 16:18
X
500cm|
Evt=8408
Detb= E1FFFF
Muon−Jet Isolation 63 degrees
FISH−EYE VIEW
x
o
x
x
o
x
o
x
−
oo
x− −
o o
−
o −
oo
o
o
oooox
−o
Hadronic W+ mass 76.8 GeV
Leptonic W− mass 76.6 GeV
−
Missing Momentum 28.9 GeV
Die drei Ereignistypen (jeweils Vorderansicht, Seitenansicht und θ-ϕ-Ansicht = Weltkarte).
Ein W Boson hat eine Ruhemasse von ca. 80 GeV/c2 . In e+ e− Vernichtung bei Ecm =
160 GeV kann daher ein W+ W− Paar erzeugt werden. Die Massenunschärfe der W-Teilchen
beträgt 2 GeV/c2 . Wie groß ist daher ihre Lebensdauer?
a) Hypothese: Ein W Boson zerfällt mit gleichen Wahrscheinlichkeiten in irgendein LeptonPaar oder irgendein Quark-Paar (→ gibt Hadronen) irgendeiner der 3 Familien. Beachte: der Zerfall in das Quark-Paar (t,b) der dritten Familie ist aus energetischen
Gründen nicht möglich. Warum?
Jedes erzeugte Paar besteht immer aus einem Teilchen und einem Antiteilchen. Ereignisse mit zwei W-Teilchen kann man daher in folgende drei Kategorien einteilen:
1. zwei leptonische Zerfälle, 2. zwei hadronische Zerfälle, 3. ein leptonischer (z.B. W−
→ µ− ν̄µ ) und ein hadronischer (z.B. W+ → cs̄) Zerfall. Wie groß sind die relativen
Anteile der drei Ereignistypen in %.
Die angegebenen Grafiken stellen jeweils ein reales Ereignis einer der drei Zerfallstopologien dar. Probieren Sie die Zuordnung.
b) Alternativhypothese: jede Quark-Sorte kommt mit 3 Farbquantenzahlen (rot, grün,
blau) vor. Der Zerfall eines W-Teilchens in ein Quark-Paar einer bestimmten Farbe
sei gleichwahrscheinlich wie der Zerfall in ein Lepton-Paar. Wie groß sind nun die
Zerfallsverhältnisse in die drei Kategorien?
75) Isospin des ∆
Im Experiment beobachtet man die ∆-Resonanz bei E = 1232 MeV mit J = 3/2 (Spin).
Es treten 4 Ladungszustäde auf (++,+,0,–), daher wird dem ∆ auch I = 3/2 (Isospin)
zugeordnet. Die Grafik zeigt den experimentell beobachteten Wirkungsquerschnitt für die
Reaktionen
a) π + + p → π + + p
b) π − + p → π − + p
c) π − + p → π 0 + n
Bei den ersten beiden Reaktionen handelt es sich um elastische Streuung, die dritte Reaktion
bezeichnet man als quasi-elastische Streuung. Die Messung ergibt also
σ(π + p)
20mb
=
≈3
σ(π − p)
6.5mb
f ür E = m∆
Welche Vorhersage ergibt die Theorie unter der Annahme von Isospinerhaltung und der
Annahme, dass das ∆ ein Isospin 3/2 Zustand ist und daher bei resonanter Produktion des
∆ gilt: T3/2 T1/2 ?
Hinweis: stellen sie die Pion-Nukleon Zustände in der Isospinbasis dar, d.h. als Zustände mit
Gesamtisospin 3/2 bzw. 1/2 (siehe Vorlesung, Clebsh-Gordon-Koeffizienten).
T3/2 :=< 23 , − 12 |T| 32 , − 21 >, T1/2 :=< 21 , − 21 |T| 12 , − 12 >.