Skalarprodukt und Ebenen

Orthogonale Vektoren und das Skalarprodukt
Herleitung eines Orthogonalitätskriteriums für Vektoren
a und 
a und 
Zwei Vektoren 
b spannen ein Dreieck auf. Stehen die Vektoren 
b
senkrecht aufeinander, so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt für die
Seitenlängen des Dreiecks der Satz des Pythagoras. Mit Hilfe der Betragsschreibweise für
2
2
2
2
2
2
Vektoren ergibt sich dann: ∣
a∣ ∣
b∣ =∣c∣ bzw. ∣
a∣ ∣
b∣ =∣−b
a∣ .
2
2
Daraus folgt: ∣
a∣ ∣
b∣ =a x −b x 2  a y −b y 2 a z −b z 2 .
Nach Anwenden der zweiten binomischen Formel für die rechte Seite ergibt sich:
2
2
∣a∣ ∣b∣ =a x 2 −2a x b x b x 2a y 2−2a y b y b y2 a z2−2a z b z b z 2 .
Nach Umsortieren der Summanden auf der rechten Seite ergibt sich:
2
2
∣a∣ ∣b∣ =a x 2 a y 2a z2 b x 2b y 2b z 2−2a x b x −2a y b y −2a z b z .
Mit
2
2
∣a∣ =a x 2a y 2a z 2 und ∣b∣ =b x 2b y 2b z 2 ergibt sich auf der rechten Seite
2
2
2
2
∣a∣ ∣b∣ =∣a∣ ∣b∣ −2a x b x −2a y b y −2a z b z und schließlich
0=a x b x a y b y a z b z .
Den Term auf der rechten Seite nennt man Skalarprodukt und schreibt dafür 
a∗b .
Definition: Skalarprodukt zweier Vektoren
Für zwei Vektoren
a

bx

b=
by
und
bz
kann man die Zahl
Diese Zahl heißt Skalarprodukt der beiden Vektoren
a∗b=a x b x a y b y a z b z

a x b x a y b y a z b z berechnen.
a und 

b und wird mit 
a∗b bezeichnet:
Satz: Orthogonalitätskriterium für Vektoren
Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, so gilt a
∗b=0 . Die Umkehrung gilt

ebenfalls: Wenn gilt 
a und 
a∗b=0 , so stehen die Vektoren 
b aufeinander senkrecht.


Zusammengefasst gilt: 
a ⊥ b ⇔a∗b=0
Gesetze für das Skalarprodukt
Für alle Vektoren
a , b ,c und alle reellen Zahlen r , s gelten:

(1)
a∗b=

b∗
a (Kommutativgesetz)
(2)
a∗ 

b±c =
a∗b±
a∗c (Distributivgesetz)
(3)
 r⋅a ∗ s⋅b = rs  a∗b 
Hinweis zur Schreibweise
Für
a∗ 
a schreibt man auch a 2 .

Aufgaben
    
1
1
−2

a

=
,
b=
,
c

=
2
−0,5
4
1. Untersuche die Vektoren paarweise auf Orthogonalität:
3
0
3
1
2

a

=
,
b=
0
−3 . Berechne alle Vektoren der Länge 3, die auf den
2. Gegeben:
−1
0
.
 
gegebenen Vektoren senkrecht stehen. Erläutere anhand deiner Rechnung, warum es
genau zwei gibt.
3. Gegeben:
  

5
1
a= 3 , 

b= −1
p
10
. Bestimme den Parameter p so, dass die beiden Vektoren
aufeinander senkrecht stehen.
0
o

=
0
4. Beweise: Der Nullvektor
0
steht laut Definition der Orthogonalität auf allen Vektoren
senkrecht.
Ebenen
Eine Ebene lässt sich mit Hilfe einer Funktion beschreiben, die zwei Parameter enthält:
a wird wie schon bei der Beschreibung von Geraden
x =a  bc . Der Vektor 
Anlaufvektor genannt und die Vektoren 
b und c heißen Richtungsvektoren. Im Gegensatz
zu den Geraden benötigt man bei Ebenen zwei Richtungsvektoren und damit auch zwei Parameter.
Aufgaben
1. Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(1|0|-1) und C(2|3|4). Es soll eine Ebene beschrieben
werden, die alle Punkte enthält. Erkläre, was bei der Aufstellung der folgenden Gleichung
1
1
2
schief gelaufen ist und korrigiere: x = 2  0  3 .
3
−1
4
2. Die Lage einer Ebene kann nicht durch zwei Punkte definiert werden. Begründe.
3. Drei Punkt liegen immer in einer Ebene, vier Punkte nicht unbedingt. Das macht sich
negativ bemerkbar bei einem vierbeinigen Tisch, der auf einer Ebene steht und wackelt.
Begründe!
1
n = 5 . Bestimme die Gleichung der Ebene, die die Punkte
4. Gegeben: A(-1|1|3), B(1|2|1), 
9
n senkrecht steht. [Tipps: Bestimme zunächst
A und B enthält und die auf dem Vektor 
einen möglichen Anlaufvektor und einen Richtungsvektor (leicht!). Überlege dann, welche
Bedingungen für den zweiten Richtungsvektor durch die Aufgabenstellung gegeben sind.
Fertige auch eine Skizze an. Außerdem: Wenn ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht,
steht er auch senkrecht auf den Richtungsvektoren!]
   
