Mathematik I

Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
PD Dr. J. Knobloch
WS 2009/10
FZT, MB, MTR, OTR, LA
Mathematik I
Übungsserie 12 (11.1. - 15.1.2010)
Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen
1. Man zeige, dass für die Funktion f mit f (x) = xn (Df = R, n ∈ N) gilt
f ′ (x) = nxn−1 ,
(x + h)n − xn
a) durch Berechnung von f (x) =lim
unter Verwendung der binoh→0
h
mischen Formel,
′
b) mittels vollständiger Induktion.
2. Als Ergänzung zum Nachweis von
d
dx
sin x = cos x in der Vorlesung beweise man
d
dx
cos x = − sin x.
Auf dieser Grundlage berechne man (tan x)′ und (cot x)′ .
3. Mithilfe der Differentiationsregel der Umkehrfunktion bilde man die Ableitung
a) der arccos-Funktion,
b) der arctan-Funktion.
4. Man bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen:
√
x · sin x − cos x
f(x) = sin x · e2x ,
g(x) =
1 + sin2 x .
,
h(x) = ln
x · cos x − sin x
√
x−4
5. Gegeben sei die Funktion f mit f (x) = √
, Df = [0, ∞). Man berechne, ohne
x+1
′
f −1 explizit zu bestimmen, (f −1 ) (0) unter Verwendung der Differentiationsregel der
Umkehrfunktion.
6.
Aufgaben aus der gymnasialen Oberstufe:
a) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x2 + 2x + 2 und Df = R.
(i) Man bestimme eine Gleichung der Tangente im Punkt P(0, f (0)) an den Graphen
von f .
(ii) Man bestimme Gleichungen für die Tangenten vom Punkt P(−1, −3) an den
Graphen von f .
b) Man bestimme alle Geraden durch den Punkt P(4, 7) , welche den Graphen der
Parabel y = x2 tangieren.
c) Man gebe eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f mit
f (x) = 1 + x ln (2x) im Punkt P(x0 , 1) an.
d) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = e−2x − 2e−x . Man zeige, dass der Punkt
3
P(ln 2, − ) ein Punkt des Graphen von f ist und ermittle eine Gleichung der Tangente
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durch P an den Graphen von f.
e) Wie muss a ∈ R \ {0} gewählt werden, damit der Graph der Funktion f mit f (x) =
ax
die x-Achse unter dem Winkel von 45◦ schneidet?
1 + bx2
7. Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
Unter Anwendung des Mittelwertsatzes der Differntialrechnung beweise man:
a) Für alle natürlichen Zahlen n mit n ≥ 2 und für alle reellen Zahlen x, y mit x > y > 0
xn − y n
n−1
gilt (Ü1, 9.7. d):
ny
≤
≤ nxn−1 .
x−y
x
b) Für x > 0 gilt:
≤ arctan (x) ≤ x .
1 + x2
8. Extremwertaufgaben
y2
x2
a) Der Ellipse 2 + 2 = 1 ist ein Rechteck mit achsenparallelen Seiten so einzubea
b
schreiben, dass sein Flächeninhalt maximal wird.
b) Welche Punkte (x, y) der Hyperbel y 2 − x2 = 1 haben vom Punkt (1, 0) die kleinste
Entfernung?
Man skizziere zu a) mit selbst gewählten Größen a und b die Ellipse sowie zu b) die
Hyperbel (Ü1, 10.5.cd).
Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen
9. a) Man stelle sich mithilfe der Vorlesungsmitschrift, einer Formelsammlung bzw. eines
Lehrbuches (z.B. Meyberg/ Vachenauer, Bd.1) die Definition und Eigenschaften der
Hyperbelfunktionen sinh und cosh zusammen. Dazu gehören vor allem, dass cosh eine
gerade Funktion ist, sinh eine ungerade und dass
cosh2 x − sinh2 x = 1
gilt. Diese Gleichung zeigt, dass ein Punkt mit den kartesischen Koordinaten
x = x (t) = cosh t und y = y (t) = sinh t, t ∈ R, auf der Hyperbel x2 − y 2 = 1 liegt.
1
Weiterhin bestätige man, dass h (x) = ex eine Asymptote der cosh-Funktion für
2
1 −x
x → ∞ sowie k (x) = e eine Asymptote von cosh für x → −∞ ist.
2
b) Man leite die folgende Funktionsgleichung der Umkehrfunktion von f mit
f (x) = sinh x, Df = R, her:
√
f −1 | R → R mit f −1 (x) = arsinh x = ln x + x2 + 1 .
c) Man bestimme die Ableitungen der beiden hyperbolischen Funktionen sinh und
cosh.
d) Man bestimme die Ableitung der Areafunktion arsinh.
2