Lehrplan Mathematik Gymnasium Klasse 5

Achtjähriges Gymnasium
Lehrplan Mathematik
für die Klassenstufe 5
Februar 2003
Stand August 2011
LEHRPLAN MATHEMATIK FÜR DIE KLASSENSTUFE 5
Vorbemerkung
Nach dem Übergang aus der Grundschule ins Gymnasium geht es in der Klassenstufe 5 zunächst
darum, Arbeitstechniken der Grundschule aufzugreifen, daraus gemeinsame Arbeits- und Lernformen zu entwickeln und ein einheitliches Niveau in Bezug auf inhaltliche Anforderungen, auf das
Arbeitstempo und auf den Gebrauch der mathematischen Fachsprache anzustreben.
Gleichzeitig gilt es, für ein gutes Arbeitsklima zu sorgen, in dem sich soziale Kompetenzen wie z.B.
Kommunikationsfähigkeit und Kooperationsbereitschaft im neuen schulischen Umfeld einspielen
und weiter entwickeln können.
Neben den kognitiven, affektiven und sozialen Lernzielen kommt der Ausbildung manueller Fertigkeiten (z.B. Umgang mit den Zeichengeräten, Basteln von Modellen) grundlegende Bedeutung zu.
In jeder Phase des Unterrichts sollten nach Möglichkeit Bezüge zur Alltagswelt und zum Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler hergestellt werden. Nicht zuletzt dadurch ist schon
frühzeitig eine sowohl prognostizierende als auch kritisch reflektierende Haltung gegenüber Ergebnissen zu wecken. Der Unterricht muss geeignete Kontrollverfahren bereitstellen.
Hinweis
Die Reihenfolge der Lernbereiche ist nur insoweit verbindlich, wie es sachlogisch geboten erscheint. Darüber hinaus nimmt sie aber die methodisch-didaktischen Entscheidungen der Lehrkraft
nicht vorweg.
Stand
August
Februar
2003 2011
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Mathematik, Klassenstufe 5
1.
Natürliche Zahlen
50 Stunden
Bei den Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen ist Sicherheit im Kopfrechnen und in der
Anwendung schriftlicher Verfahren zu erreichen. Durch Betrachtungen zum Aufbau und zur
Struktur des Zahlbereichs der natürlichen Zahlen wird das Zahlverständnis gefördert; die
Kenntnisse werden systematisiert und vertieft. Die Schülerinnen und Schüler werden mit
Zählverfahren und deren Darstellungsmöglichkeiten vertraut gemacht.
Mit der Behandlung der Rechengesetze rücken allgemeine Eigenschaften von Summe, Differenz, Produkt und Quotient in den Vordergrund; sie dienen als Erklärungsmuster für Kalküle
und bieten Vorteile beim Umformen von Rechenausdrücken. Die Schülerinnen und Schüler
erkennen im Variablenbegriff das entscheidende Hilfsmittel, Sachverhalte und Problemstellungen allgemein zu beschreiben und mathematisch zu bearbeiten. In diesem Sinne wird,
ausgehend von anwendungsbezogenen und auf den Erfahrungsbereich der Schülerinnen
und Schüler bezogenen Aufgabenstellungen, in die Gleichungslehre eingeführt. Begriffe und
Symbole der Mengensprache werden im notwendigen Umfang angemessen verwendet.
Verbindliche Inhalte
Vorschläge und Hinweise
1.1 Eigenschaften der natürlichen Zahlen
Grundrechenarten
•
Kopfrechnen
•
schriftliche Verfahren
•
Runden und Überschlagen
•
lateinische Bezeichnungsweisen
Zusammenführen der Grundschulkenntnisse
@ Rechentrainer
Beschränkung auf zweistellige Divisoren
Aufgabe und Umkehraufgabe, Probe
Zahlenfolgen
Entdecken und Erfinden von Bildungsgesetzen
Potenzbegriff
•
Basis und Exponent
•
Quadratzahlen, Kubikzahlen
•
Zweier- und Dreierpotenzen
•
Zehnerpotenzen
auch als Unbekannte
Î geometrische Worterklärung
exponentielle Wachstumsprozesse
historische Zahlensysteme
Zahlennamen in den Fremdsprachen
Î Lernbereich 1.4: Zählverfahren
Dezimalsystem
•
Stufenzahlen bis 1 Billiarde
•
Lesen und Schreiben großer Zahlen
fakultativ:
Dualsystem, Hexadezimalsystem, andere
Stellenwertsysteme
elektronische Datenverarbeitung
römische Zahlzeichen, Nachteile gegenüber
Stellenwertsystemen
Menge der natürlichen Zahlen
•
IN = {0; 1; 2; 3; ... } , IN * = {1; 2; 3; ... }
Unendlichkeit von IN
Symbol IN
nicht nur Zahlenmengen betrachten
Mengen und Elemente
•
aufzählende und beschreibende Darstellung
•
Symbole ∈ und ∉
Anordnung
•
Symbole < , > , = , ≤ , ≥
Internationalität mathematischer Symbolik
Zahlenstrahl
Stand August 2011
mit verschiedenen Einheiten
fakultativ:
historische Bezüge, z.B. Geschichte der Zahlen;
Adam Ries (1492-1559);
@ Internet-Recherche
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Mathematik, Klassenstufe 5
1.
Natürliche Zahlen
50 Stunden
Verbindliche Inhalte
Vorschläge und Hinweise
1.2 Rechnen mit natürlichen Zahlen
verbal und formal
Rechenvorteile nutzen
Nichtkommutativität und Nichtassoziativität des
Subtrahierens, Dividierens und Potenzierens
auch ikonisch
Rechengesetze
•
•
•
Kommutativität
Assoziativität
Distributivität
Rechnen mit 0 und 1
neutrale Elemente
Vorrangregeln
Rechenbäume
Rechenterme
•
Analysieren
•
Verbalisieren
•
Auswerten
•
Aufstellen
Termerstellung in Kontexten
Einsetzen in Terme mit Variablen
Rechenvorteile nutzen
Î Klassenstufe 8: Terme
im Zahlenbereich bis 100.000
Schätzen
Einbinden in den Alltag, z.B. Sport
amtliche Statistiken, z.B.
@ www.statistik.saarland.de
fakultativ:
Division mit Rest
Î Lernbereich 4: euklidischer Algorithmus
•
•
Minus- und Plusklammerregeln
1.3 Grundbegriffe der Gleichungslehre
Aussagen
auch nichtmathematischer Art
Variablen und ihre Grundmengen
Lückentexte
Gleichungen
•
Lösung
•
Lösungsmenge
kontextgebunden; Zahlenrätsel
Lösen durch Probieren
auch Allgemeingültigkeit, Unerfüllbarkeit
Lösen von Gleichungen a · x ± b = c
durch Äquivalenzumformungen
Anschauung: Waagebalken
Beschränkung auf Gleichungen dieser Form
Î Klassenstufe 6: Gleichungen
Probe in Text und Gleichung
Sachaufgaben
Stand August 2011
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Mathematik, Klassenstufe 5
1.
Natürliche Zahlen
50 Stunden
Verbindliche Inhalte
Vorschläge und Hinweise
1.4 Zählen und Darstellen
Geographie, Biologie, Sport, Wirtschaft
Î Vergleichen großer Anzahlen
Stab- und Streifendiagramme
Bilddiagramme
Verteilungen
•
Tabellen
•
Diagramme
Notenverteilung, Altersverteilung
Î Wertetabellen bei Funktionen
Tabellen mit zwei Eingängen
als Zählhilfe, z.B. Bundesligaspielpläne
Baumdiagramme
als Zählhilfe, z.B. Menüzusammenstellung,
Kleiderkombination
fakultativ:
•
Anzahl der Teilmengen einer n-Menge
•
Galton-Brett
@ Erstellen von Graphiken
Projekt:
Erheben, Auswerten und Präsentieren von Daten
aus dem schulischen Umfeld
Stand August 2011
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Mathematik, Klassenstufe 5
2.
Größen
30 Stunden
Das aus der Grundschule und dem Alltag vorhandene Wissen der Schülerinnen und Schüler
wird systematisiert und erweitert. Sie erkennen in Größen das Hilfsmittel, reale Gegebenheiten mathematisch zu beschreiben. Dabei erfahren sie die Notwendigkeit, eine Grundeinheit
festzulegen und unterscheiden die Begriffe Maßzahl und Maßeinheit.
Mit Hilfe von Größen und Figuren werden adäquate Grundvorstellungen von Bruchteilen
entwickelt. Als Sonderfall ergibt sich der Prozentbegriff. Eine systematische Behandlung von
Bruchzahlen ist hier nicht vorgesehen.
Der Zuordnungsbegriff erlaubt es, die im Alltag auftretenden vielfältigen Beziehungen zwischen Objekten oder Größen von einem übergeordneten Standpunkt aus zu betrachten. Zugleich wird dieser für die Mathematik zentrale Begriff propädeutisch eingeführt.
Die Schülerinnen und Schüler ermitteln aus tabellarischen oder graphischen Darstellungen
Informationen, die sie analysieren, formalisieren oder interpretieren. Umgekehrt können sie
Zusammenhänge inhaltlich angemessen, verständlich und ästhetisch ansprechend wiedergeben.
Verbindliche Inhalte
Vorschläge und Hinweise
2.1 Größen im Alltag
Zusammenführen der Grundschulkenntnisse
Maßstäbe von Landkarten
Größen
•
Länge
•
Masse
•
Währung
•
Zeit
Euro; ausländische Währungen
Zeitpunkte und Zeitspannen
Lesen und Auswerten von Fahrplänen
@ Routenplaner
historische, aber noch gebräuchliche Einheiten
wie z.B. Elle, Fuß, Meile, Pfund, Zentner,
Unze, Heller, Batzen, Taler
Vorstellen verschiedener Messgeräte
Î Lernbereich 3: Geometrische Grundbegriffe
Messen von Größen
•
•
•
Maßzahl und Maßeinheit
Grundeinheit
Festlegungen von 1 m , 1 kg , 1 s
Physikalisch-technische Bundesanstalt als
Hüterin der Einheiten
@ www.ptb.de
Ober- und Untereinheiten
•
Bedeutung der Vorsilben
kilo-, hekto-, deka- , dezi-, zenti-, millisowie mega- und mikroDarstellungen
•
gemischte Schreibweise
•
Dezimalschreibweise
Stellentafel
Î Stellenwertsysteme
Umrechnungen
•
Ordnen
•
Addieren
auch Größenumwandlungen durch
Kommaverschiebung
Sachaufgaben aus verschiedenen Bereichen
@ Internet-Recherchen zu Weltrekorden,
Wirtschaftsdaten, Fahrplänen, Börsenkursen
Stand August 2011
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Mathematik, Klassenstufe 5
2.
Größen
30 Stunden
Verbindliche Inhalte
Vorschläge und Hinweise
2.2 Bruchteile
Bruchteile von Größen
•
Einführung der Bruchschreibweise für den
n-ten Teil eines Ganzen
•
Verwendung echter Brüche bei Größen
•
Bezeichnungen: Zähler und Nenner
•
Umrechnen von Bruchteilen in ganzzahlige
Untereinheiten
Entwickeln inhaltlicher Vorstellungen,
z.B. an Strecken, Figuren, Körpern
Bruch als Teil eines Ganzen
Bruch als Teil mehrerer ganzer Objekte
Darstellung von Bruchteilen in Kreis-,
Balken- und Rechteckdiagrammen
Einsatz von Zirkel und Geodreieck
Dreiteilung des gestreckten Winkels
@ Einsatz von Software zur Visualisierung
Erweitern und Kürzen mit einfachen Zahlen
Veranschaulichung des Erweiterns und Kürzens
mit Hilfe von Diagrammen
Darstellen desselben Bruchteils
•
zeichnerisch
•
durch verschiedene gewöhnliche Brüche
•
als Dezimalbruch
•
als Prozentanteil
Schwerpunkt auf einfachen Bruchteilen
Î Lernbereich 2.1: Bruchteile bei Zeiteinheiten
Bruchteile von Größen, insbesondere bei gleichen Zählern bzw. bei gleichen Nennern
Vergleichen und Ordnen
fakultativ:
erstes Addieren von Bruchteilen von Größen
2.3 Zuordnungen
Zuordnungen im Alltag
•
Tabellen
•
Diagramme
•
Pfeilbilder
Gebührentabellen, Linienfahrpläne,
Warenauszeichnung
Klimadiagramme, Höhenprofile,
Fieberkurve, EKG
Beschriftung von Bildern
Zuordnungen zwischen Zahlenmengen
•
Begriffe: Ausgangsmenge, Zielmenge
•
Symbole → und a
Zuordnungsvorschriften
•
verbale Formulierung
•
graphische Darstellung
Î Lernbereich 3.1: Koordinatensystem
Projekt:
Untersuchung, Beschreibung und Interpretation
der zeitlichen Abhängigkeit einer Größe,
z.B. Anzahl der jeweils im Schulgebäude anwesenden Personen
Stand August 2011
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Mathematik, Klassenstufe 5
3.
Geometrische Grundbegriffe
25 Stunden
Durch das Betrachten konkreter Gegenstände aus ihrem Erfahrungsbereich lernen die Schülerinnen und Schüler die geometrischen Begriffe Punkt, Strecke, Strahl und Gerade sowie
die Beziehungen "senkrecht" und "parallel" als Idealisierungen der Wirklichkeit kennen.
Gleichzeitig wird ihnen die Bedeutung dieser Begriffe als Grundbausteine und Grundbeziehungen geometrischer Objekte bewusst. Der allgemein gebräuchliche Abstandsbegriff wird
im Rahmen eines Extremalprinzips mathematisch gefasst. Mit Hilfe der neuen Begriffe können die Schülerinnen und Schüler ebene Figuren erkennen, voneinander unterscheiden und
exakt beschreiben.
Die zeichnerischen und konstruktiven Fertigkeiten bei der Handhabung von Lineal, Geodreieck und Zirkel werden weiter entwickelt und gefestigt. Auf sauberes und genaues Arbeiten ist
zu achten. Formale Schreibweisen sollten sparsam eingesetzt werden.
Die Kenntnisse von Größen werden um Flächen- und Winkelmaße erweitert. Diese erschließen wichtige Anwendungsbereiche der Mathematik.
Verbindliche Inhalte
Vorschläge und Hinweise
3.1 Grundbausteine
Punkt
•
Bezeichnungen mit lat. Großbuchstaben
•
Punkte im Koordinatensystem: P(x|y)
Gradnetz auf Globus und auf Landkarten
Strecke
•
Zeichnen
•
Bezeichnungen mit lat. Kleinbuchstaben
oder mit Hilfe der Endpunkte
•
Strecke als Punktmenge
•
Messen
•
Kennzeichnung der Streckenlänge mittels
Betragssymbolik
Entdecken im Alltag; z.B. als Stäbe, Seiten,
Kanten
Î Lernbereich 3.2: Umfang von Figuren
Gerade und Strahl
•
Abgrenzen der Begriffe
•
Bezeichnungen der Geraden mit lat. Kleinbuchstaben, auch zusätzlich durch Indizierung mit zwei Punkten
Lichtstrahlen, Schattenbildung
Lagebeziehungen
•
senkrecht
•
parallel
•
Symbole ⊥ , | |
•
Konstruktionen mit dem Geodreieck
Faltlinien, Kanten von Körpern
Handhabung des Geodreiecks zum Zeichnen
paralleler und senkrechter Linien
Gebrauch der Mengensprache
Î Lernbereich 2.1: Größen im Alltag
Parallele oder Senkrechte zu einer Geraden
durch einen Punkt
Schnittpunkte von Geraden
Messen von Abständen im Alltag
Handhabung des Geodreiecks zur Streckenmessung
Abstandsbegriffe
•
Abstand zweier Punkte:
Strecke als kürzeste Verbindung
•
Abstand eines Punktes von einer Geraden:
Lot als kürzeste Verbindung
•
Abstand zweier paralleler Geraden
Stand August 2011
Abstände auf Landkarten
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Mathematik, Klassenstufe 5
3.
Geometrische Grundbegriffe
25 Stunden
Verbindliche Inhalte
Vorschläge und Hinweise
3.1 Grundbausteine (Fortsetzung)
Zeichnen von Kreisornamenten
Kreis
•
als Menge abstandsgleicher Punkte
•
Kreissektor
Ornamente in Kunst und Architektur
Hinführung zum Winkelbegriff
Î Lernbereich 2.2: Kreisdiagramm
Winkel
•
Winkelbegriff, Schenkel, Scheitel
•
Winkelarten spitz, recht, stumpf, gestreckt,
überstumpf, voll
Kreisskala des Geodreiecks
•
Gradmaß
Handhabung des Geodreiecks zur Winkel•
Winkel messen und zeichnen
messung
•
Bezeichnungen mit griech. Buchstaben
3.2 Betrachtungen am Rechteck
Entdecken im Alltag, z.B. als begrenzende
Flächen bei Quadern
Rechteck
•
•
•
•
Viereck mit rechten Innenwinkeln
Eigenschaften
parallele und gleich lange Gegenseiten
gleich lange Diagonalen
einander halbierende Diagonalen
Umkreis
Punkt- und Achsensymmetrie
Î Lernbereich 4: euklidisches Parkettieren
Î Klassenstufe 6: Netze von Quadern
Quadrat als besonderes Rechteck
Zeichnen von Rechtecken vorgegebener
Seitenlängen mit Hilfe des Geodreiecks
fakultativ:
regelmäßiges Sechseck und Achteck:
Bienenwabe, Muttern, Stoppschild
Umfang des Rechtecks
•
Berechnen des Umfangs
•
Formeln für den Umfang bei Rechteck und
Quadrat U = 2a + 2b bzw. U = 4a
Î Lernbereich 1.3: Gleichungen
Flächeninhalt des Rechtecks
•
Fläche und Flächeninhalt
•
•
•
•
•
Auslegen von Rechteckflächen mit Einheitsquadraten
Î Lernbereich 4: ggT, kgV
Grundeinheit
Festlegung der Einheiten
auch Ar und Hektar, zweigebündelte Stellentafel
Ober- und Untereinheiten
gemischte und dezimale Schreibweise
Formeln für den Flächeninhalt bei Rechteck
und Quadrat A = a·b bzw. A = a2
isoperimetrische Aufgaben
Sachaufgaben zu Umfang und Flächeninhalt
beim Rechteck
Maße bei Spielfeldern von Sportarten
fakultativ:
Umfang und Flächeninhalt des Kreises
– näherungsweises Auslegen mit Einheitsquadraten, "Kuchenmethode" ( A = ½ U·r )
– Messen von Umfang und Durchmesser mit
Maßband und Schiebelehre
Stand August 2011
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Mathematik, Klassenstufe 5
4.
Teilbarkeit der natürlichen Zahlen
15 Stunden
Teilbarkeits- bzw. Passprobleme treten in vielen Bereichen der Alltagswelt auf. Sie sind Ausgangspunkt der mathematischen Untersuchungen zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen, was das
Verständnis über die Struktur dieses Zahlbereichs festigt und erweitert. Gleichzeitig werden
wichtige Grundlagen für das spätere Rechnen mit Brüchen geschaffen.
Den Schülerinnen und Schülern wird die zentrale Rolle der Primzahlen beim Aufbau der natürlichen Zahlen bewusst. Diese bestimmen die Teilerstruktur und alle davon abhängigen
Größen wie ggT und kgV. Zu ihrer praktischen Bestimmung ist jedoch der euklidische Algorithmus das überlegene Verfahren.
Bei der Behandlung der Teilbarkeitskriterien gewinnen die Schülerinnen und Schüler Einblick
in die logische Struktur des Begründens und Beweisens.
Verbindliche Inhalte
Vorschläge und Hinweise
Teiler und Vielfache
•
Begriff des Teilers
•
Sprech- und Schreibweisen
„teilt“, „ist Teiler von“, „ist Vielfaches von“
•
Teilermengen
•
Primzahl
Verpackungsprobleme
Teilen ohne Rest
•
Primteiler, Primfaktorzerlegung
Rechtecke gleichen Flächeninhalts
als Zahl mit genau zwei Teilern
@ Internet-Recherche zu Primzahlen
Existenz und Eindeutigkeit, Potenzschreibweise
fakultativ
•
Sieb des Eratosthenes
Erathosthenes (um 276 – um 197 v. Chr.)
•
Satz von Euklid mit Beweis
Euklid (um 360 – um 300 v. Chr.)
Teilbarkeit von Summe und Differenz
•
Teilbarkeitskriterium als Wenn-dann-Satz
•
•
geeignetes Zerlegen großer Zahlen
Begründen an Beispielen
Widerlegung der Kehraussage durch ein
Gegenbeispiel
Kriterium für Nichtteilbarkeit
Anwenden der Kriterien
Endstellen- und Quersummenregeln
•
Regeln zur Teilbarkeit und Nichtteilbarkeit
durch 2, 3, 5, 10 als Wenn-dann-Sätze
Begründen der Regeln an Hand von Beispielen
fakultativ:
Teilbarkeitsregeln für 4, 8, 9
Schaltjahre und Schalttage im julianischen
und gregorianischen Kalender
Gemeinsame Teiler und Vielfache
•
ggT und kgV zweier Zahlen
•
Probieren, Primfaktorbetrachtung
euklidischer Algorithmus
euklidisches Parkettieren
Sachaufgaben
Stand August 2011
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ALLGEMEINE ZIELE DER INFORMATIONSTECHNISCHEN GRUNDBILDUNG
IN DER KLASSENSTUFE 5
Informationstechnische Grundbildung (ITG)
Die informationstechnische Grundbildung in Klassenstufe 5 vermittelt einen Einblick in den universellen Werkzeugcharakter des Computers. Ziel ist, dass die Schülerinnen und Schüler am
Ende der Klassenstufe 5 im Umgang mit dem Computer und mit der grundlegenden Handhabung von Standardsoftware vertraut sind.
Die Fähigkeit, mit Standardsoftware umzugehen, eröffnet in den nachfolgenden Klassenstufen
weitgehende Anwendungsmöglichkeiten, sowohl bei der nachhaltigen Integration des Computers als Unterrichtsmedium im Fachunterricht als auch bei der eigenständigen Bearbeitung
von Hausaufgaben und Referaten.
Die Vermittlung der unten genannten Fertigkeiten und Qualifikationen erfolgt durch eine Integration der Zielsetzungen der ITG in die einzelnen Fächer, insbesondere die sechsstündigen
schriftlichen Fächer.
Die Entscheidung darüber, wie diese Ziele konkret umgesetzt werden, liegt bei der
Schule.
Um dieser Zielsetzung zu entsprechen, werden zusätzliche Handreichungen zur Integration der
informationstechnischen Grundbildung in den Unterricht der einzelnen Fächer in elektronischer
Form im Internet (www.bildungsserver.saarland.de “Medien \ Neue Medien \ Neue Medien in
der Bildung \ Weiterführende Schulen \ Informationstechnische Grundbildung“) vorgehalten.
Diese Handreichungen enthalten Hinweise und Materialien (Arbeitsblätter, Informationen,
Dateien etc.), mit denen einzelne Inhalte und Themenbereiche der Lehrpläne für die Klassenstufe 5 unter Einsatz des Computers behandelt werden können.
verbindliche Inhalte für die Klassenstufe 5
Umgang mit dem
Computer
•
Textverarbeitung
•
•
•
•
•
•
Internet
•
•
•
Präsentationssoftware
•
•
Stand August 2011
Bedienung des Computers und seiner Peripherie
Handhabung eines grafikorientierten Betriebssystems
Arbeiten mit einem Textverarbeitungsprogramm
Grundlagen der Textverarbeitung
Arbeiten mit Textbausteinen
Tabellen
Rechtschreibprüfung und Silbentrennung
Internet-Einführung
Das Internet als Informations- und Kommunikationsmedium
Übernahme von Webinhalten in eigene Dokumente
Erstellung einer Präsentation
Vortrag und Präsentation
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