Blatt 7 - Fachrichtung Mathematik

Fachrichtung 6.1 – Mathematik
Universität des Saarlandes
Prof. Dr. Michael Bildhauer
M.Sc. Christian Tietz
Höhere Mathematik für Ingenieure III, Blatt 7
Wintersemester 2014/15
Aufgabe 1. (1+1+1.5+1.5 Punkte) Betrachten Sie die parametrisierte Kurve α: R → R3 ,

s 
a cos

c 

s 


α(s) =  a sin
 ,
c 



s
b
c
wobei die positiven reellen Zahlen a, b, c fixiert seien mit c2 = a2 + b2 .
i) Berechnen Sie t(s) = α0 (s) und zeigen Sie: kα0 (s)k = 1 für alle s ∈ R (man nennt α
nach Bogenlänge parametrisiert).
ii) Berechnen Sie α00 (s), kα00 (s)k (für eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist
kα00 (s)k die Krümmung der Kurve) sowie n(s) := α00 (s)/kα00 (s)k (n(s) heißt Normalenvektor).
iii) Berechnen Sie b(s) = t(s) × n(s) (b(s) heißt Binormalenvektor) sowie die Größe
τ (s) mit
b0 (s) = τ (s)n(s)
(τ (s) heißt die Torsion und legt zusammen mit κ(s) die Kurve bis auf sogenannte
eigentliche Bewegungen fest).
iv) Skizzieren Sie die Kurve und tragen Sie in einem Punkt die Vektoren t(s), n(s) und
b(s) ein (das sogenannte Frenetsche Dreibein).
Aufgabe 2. (2+2+2+1 Punkte) Betrachten Sie die Kurve im R2 (Zykloide)
t − sin(t)
α(t) =
, 0 < t < 2π .
1 − cos(t)
i) Skizzieren Sie die Kurve. Tragen Sie in die Skizze für ein 0 < t0 < π auch die
Tangente an die Kurve und deren Schnittwinkel ϕ mit der x-Achse ein.
ii) Berechnen Sie die Länge der Kurve.
Bitte wenden.
1
iii) Es sei 0 < t0 < π. Berechnen Sie den Winkel ϕ ∈ (0, π/2), den die Tangente in α(t0 )
an die Kurve mit der x-Achse einschließt.
iv) Nun sei α wie oben für t ∈ (0, 4π) definiert. Handelt es sich um eine reguläre Kurve?
Aufgabe 3. (1.5+1.5 Punkte) Betrachten Sie für fixiertes a > 0 die ebene Kurve (die
Klothoide) α: R → R2 mit
 Z t
πξ 2 
dξ 
cos
2
√ 
x(t)
 0

α(t) =
= a π Z
für alle t ∈ R.
πξ 2 
y(t)
 t

sin
dξ
2
0
i) Handelt es sich um eine reguläre Kurve? Berechnen Sie zu gegebenem t ∈ R die
Bogenlänge
Z t
s(t) :=
kα0 (ξ)kdξ
0
der Kurve.
ii) Zeigen Sie, dass die (orientierte) Krümmung
κ(t) := x0 y 00 − x00 y 0
3/2
(x0 )2 + (y 0 )2
der Kurve proportional zur Länge s(t) des Bogens ist und skizzieren Sie eine Kurve
mit dieser Eigenschaft (also z.B. die Klothoide).
Aufgabe 4. (1+2+2 Punkte) Es sei f : Rm → R, m ≥ 2, definiert durch

x 1 x 2 . . . xm

für x 6= 0 ,
2
(x1 + x22 + · · · + x2m )m
f (x) =

0
für x = 0 .
i) Zeigen Sie, dass f partiell differenzierbar auf Rm − {0} ist, und bestimmen Sie die
partiellen Ableitungen.
ii) Zeigen Sie, dass f partiell differenzierbar im Punkt x = 0 ist, und bestimmen Sie
die partiellen Ableitungen in 0.
iii) Zeigen Sie, dass f in 0 nicht stetig ist.
Abgabe. Bis Donnerstag, 18.12.2014, 08.30 Uhr, Übungsbriefkästen Geb. E2 5.
Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter
http://www.math.uni-sb.de/ag/bildhauer/HMI3 14/hmi3.html
2