Mengen und Abbildungen - Philipps

Mengen und Abbildungen, S. 2
Mengendarstellungen
Mengen und Abbildungen
• Explizit:
Eine Menge kann durch explizites Auflisten ihrer Elemente dargestellt werden:
A = {x, y, z, ...}
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ist die Menge A, die aus den Elementen x, y, z usw. besteht.
20. Oktober 2010
• Charakterisierend:
Alternativ kann eine Menge durch Beschreibung der charakterisierenden Eigenschaften
ihrer Elemente dargestellt werden. Der Ausdruck
A = {x | x hat die Eigenschaft E}
liest sich: A ist die Menge aller Elemente x, die die Eigenschaft E besitzen.“
”
B EISPIEL :
Sei Ω = {1, 2, . . . , 10}. Die Menge A der natürlichen Zahlen von 3 bis 8 kann in beschreibender
(charakterisierender) und in auflistender (expliziter) Form dargestellt werden:
A = {x ∈ Ω | 3 ≤ x ≤ 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
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Mengen und Abbildungen, S. 1
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Mengen und Abbildungen, S. 3
Mengenbegriff
Leere Menge, Mächtigkeit von Mengen
Um Objekte klassifizieren zu können, braucht man Behälter. In der Mathematik werden die
Objekte Elemente und die Behälter Mengen genannt. Die C ANTOR’sche Definition:
Es erweist sich als sinnvoll eine Menge einzuführen, die keine Elemente enthält.
Definition 2.1.
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente der Menge genannt
werden, zu einem Ganzen.
Definition 2.2.
Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Sie wird mit 0/ oder {} bezeichnet.
Anmerkung:
Mächtigkeit von Mengen
• wohlbestimmt“: Es kann für jedes Objekt entschieden werden, ob es zur Menge gehört.
”
• wohlunterschieden“: Die Elemente der Menge unterscheiden sich voneinander.
Definition 2.3. Die Anzahl der Elemente einer Menge A heißt Mächtigkeit der Menge A.
Enthält A genau n Elemente, so schreibt man |A| = n.
Wir verwenden folgende Bezeichnungen:
Beispiele:
(1) Es sei A = {Montag, Dienstag, Mittwoch}. Dann gilt |A| = 3.
/ = 0.
(2) Für die leere Menge 0/ setzen wir natürlich |0|
”
–
–
–
–
A, B,C (große lateinische Buchstaben): Mengen
a, b, c, . . . , x, y, z (kleine lateinische Buchstaben): Elemente
x ∈ A“: x ist ein Element von A
”
x∈
/ A“: x ist kein Element von A
”
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Mengen und Abbildungen, S. 4
Mengen und Abbildungen, S. 6
Einschub: Zahlenmengen (N, Z, Q, R)
Noch ein Einschub: Quantoren
• ∀ a bedeutet Für alle Elemente a gilt ...“ und heißt All-Quantor.
Die wichtigsten Mengen in der Mathematik sind natürlich Zahlenmengen.
Wir verwenden dafür folgende Symbole:
”
Aussagen, in denen der All-Quantor vorkommt, lassen sich durch ein Gegenbeispiel
widerlegen.
• N bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, 4, ...}.
• ∃ a bedeutet Es existiert mindestens ein Element a, für das gilt ...“ und heißt Existenzquantor.
• N0 bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen, inkl. der Zahl 0: {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
”
• ∃ ! a bedeutet Es gibt genau ein Element a, für das gilt ...“.
”
• Z bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen {0, −1, +1, −2, +2, ...}.
B EISPIEL :
• Q bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen {x | x = nz mit z ∈ Z, n ∈ N}.
∀ n ∈ N gilt
p:
1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
2
• R bezeichnet die Menge der reellen Zahlen.
Dies ist eine All-Aussage.
• R+ bezeichnet die Menge der positiven reellen Zahlen {x | x ∈ R ∧ x > 0}.
Die Verneinung einer All-Aussage ist die Existenz eines Gegenbeispiels, d.h. die Existenz eines Elements,
das die Ausssage hinter dem All-Quantor nicht erfüllt. Die Verneinung der Aussage p lautet also:
¬p :
• R− bezeichnet die Menge der negativen reellen Zahlen {x | x ∈ R ∧ x < 0}.
∃ n0 ∈ N mit
1 + 2 + 3 + ... + n0 =
n0(n0 + 1)
.
2
Anmerkung: Die All-Aussage p ist hier wahr, ihre Verneinung ¬p folglich falsch.
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Mengen und Abbildungen, S. 5
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Mengen und Abbildungen, S. 7
Zahlengerade
Teilmengen
Definition 2.4. A und B seien Mengen. A heißt Teilmenge von B, geschrieben A ⊂ B, wenn
jedes Element x von A auch Element von B ist, d.h.
• Wir führen keine der Zahlenmengen hier genauer (d.h. axiomatisch) ein.
A⊂B
Sämtliche Zahlenmengen fallen für uns vom Himmel.
⇐⇒
∀x ∈ A : x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Man schreibt A ⊂ B, wenn A nicht Teilmenge von B ist.
• Die Menge der reellen Zahlen R ist das Zahlen-Kontinuum
(die reellen Zahlen liegen beliebig dicht“)
”
Darstellung im Venn-Diagramm:
Die Zahlenmengen kann man sich durch die Zahlengerade veranschaulichen:
1
2
-3
-2
-1
0
ř2
1
A
e Ƌ
2
3
B
A⊂B
4
A
B
A⊄B
Anmerkung:
Für jede Menge B sind die leere Menge 0/ und die Menge B selbst Teilmengen, d.h. 0/ ⊂ B und
B ⊂ B.
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Mengen und Abbildungen, S. 8
Mengen und Abbildungen, S. 10
Unendliche Intervalle
Gleichheit von Mengen
Definition 2.5. Zwei Mengen A und B heißen gleich, geschrieben A = B, wenn sie dieselben
Elemente enthalten, d.h.
A = B : ⇐⇒ (∀ x ∈ A : x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B).
Bei einem offenen Intervall (a, b) lassen wir auch die Möglichkeit
a = −∞
oder
b = +∞
zu (das +“-Zeichen wird oft weggelassen).
”
Für zwei nicht gleiche Mengen schreibt man A = B.
Damit wird ein sog. unendliches Intervall definiert.
Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn A Teilmenge von B und B Teilmenge von A
ist:
Zum Beispiel ist R selbst ein Intervall, nämlich
R = (−∞, +∞) .
Satz 2.6. Es gilt:
A = B ⇐⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A.
Genauso ist
Beispiele:
(1) Für die Mengen A = {a, b, c, 0, 1} und B = {b, c, 1} gilt B ⊂ A, aber A ⊂ B.
(2) Für die Zahlenmengen N, Z und R gilt N ⊂ Z ⊂ R.
R+ = (0, ∞)
R− = (−∞, 0) .
Soll die 0 eingeschlossen sein, ergibt sich das halboffene unendliche Intervall
R+
0 = [0, ∞) .
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Mengen und Abbildungen, S. 9
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Mengen und Abbildungen, S. 11
Wieder ein Einschub: Intervalle als Teilmengen von R
Potenzmenge (Menge aller Teilmengen)
Es existieren zwei verschiedene Schreibweisen für Intervalle mit ausgeschlossenem Randpunkt:
Auch Mengen selbst lassen sich als Objekte auffassen und wieder zu Mengen zusammenfassen.
Man spricht dann von einem Mengensystem. Die Mengen sind die Elemente eines Mengensystems. Ein spezielles Mengensystem ist die Potenzmenge.
– eine runde Klammer oder
– eine gespiegelte eckige Klammer.
Definition 2.7. A sei eine Menge. Die Menge aller Teilmengen von A, geschrieben
Wir geben hier beide Notationen an (verwenden im Folgenden aber die runden Klammern).
P(A) := {B | B ⊂ A},
1. [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
heißt abgeschlossenes Intervall oder auch kompaktes Intervall;
heißt die Potenzmenge von A.
2. (a, b) := ]a, b[ := {x ∈ R | a < x < b}
heißt offenes Intervall;
Bemerkungen:
1. Die leere Menge 0/ und die Menge A sind (als Teilmengen von A) immer Elemente der Potenzmenge P(A).
3. [a, b) := [a, b[ := {x ∈ R | a ≤ x < b}
heißt (rechts-) halboffenes Intervall;
2. Besitzt die Menge A genau n Elemente, so enthält die Potenzmenge P(A) 2n Elemente; d.h.
4. (a, b] := ]a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
heißt (links-) halboffenes Intervall.
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∀ n ∈ N : (|A| = n ⇒ |P(A)| = 2n).
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Mengen und Abbildungen, S. 12
Mengen und Abbildungen, S. 14
Durchschnittsmenge
Vereinigungsmengen
Mit Mengen lassen sich Operationen, wie Bildung des Durchschnitts oder Vereinigung zweier
Mengen durchführen.
Definition 2.10. A und B seien Mengen. Die Menge aller Elemente, die in A oder B enthalten
sind, heißt Vereinigungsmenge von A und B. Man schreibt:
Definition 2.8. A und B seien Mengen. Die Menge aller Elemente, die in A und B enthalten
sind, heißt Durchschnittsmenge von A und B. Man schreibt:
A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Darstellung im Venn-Diagramm:
Definition 2.9. Zwei Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen, für die also
A ∩ B = 0/ gilt, heißen elementfremd oder disjunkt.
A
B
A
A∪B
Darstellung im Venn-Diagramm:
B
A∪B
(A, B disjunkt)
Beispiel: Gegeben seien die Mengen A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4} und C = {a, b, 1}. Dann ist
A
B
A
B
A∩B
A ∪ B = {1, 2, 3, 4} = A,
A ∪C = {1, 2, 3, 4, a, b},
A ∩ B = ∅=
B ∪C = {1, 2, 3, 4, a, b}.
(A, B disjunkt)
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Mengen und Abbildungen, S. 13
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Mengen und Abbildungen, S. 15
Beispiele für den Mengendurchschnitt
Differenzmenge
Definition 2.11. A und B seien Mengen. Die Menge aller Elemente von B, die nicht in A enthalten sind, heißt Differenzmenge von B und A. Man schreibt:
Gegeben seien die Mengen
A = {1, 2, 3, 4},
B \ A := {x | x ∈ B ∧ x ∈
/ A}.
B = {2, 3, 4},
Darstellung im Venn-Diagramm:
C = {a, b, 1}.
Dann ist
A
A ∩ B = {2, 3, 4} = B,
A ∩C = {1},
B\A
B ∩C = 0/
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B
Beispiel:
Ist A = {a, b, c, d} und B = {c, d, e, f }, dann ist die Differenzmenge von B und A gegeben durch
B \ A = {e, f }.
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Mengen und Abbildungen, S. 16
Mengen und Abbildungen, S. 18
Komplementärmenge
Formale Definition des kartesischen Produkts
Für den Fall, dass die Menge A eine Teilmenge von B ist, nutzt man für die Differenzmenge eine
besondere Bezeichnung:
Definition 2.13. [Kartesisches Produkt] A1, A2, ..., An seien Mengen.
Die Menge aller geordneten n-Tupel (a1, a2, ..., an) mit ai ∈ Ai für i = 1, 2, ..., n heißt Produktmenge oder kartesisches Produkt von A1, A2, ..., An. Man schreibt dafür:
Definition 2.12. A und B seien Mengen mit A ⊂ B. Die Menge aller Elemente von B, die nicht
in A enthalten sind, heißt Komplementärmenge oder Komplement von A bezüglich B. Man
schreibt:
A1 × A2 × . . . An := {(a1, a2, ..., an) | ai ∈ Ai (i = 1, 2, ..., n)}.
AB := {x | x ∈ B ∧ x ∈
/ A}.
Im Falle A1 = A2 = ... = An = A schreibt man abkürzend A1 × A2 × ...An = An .
Darstellung im Venn-Diagramm:
Beispiel: Kartesisches Produkt der Menge A = {K, Z} mit sich selbst:
B
A
A2 = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}
2. Wurf
AB
Beispiel:
Ist A = {b, d} und B = {a, b, c, d, e}, dann ist das Komplement von A bezüglich B gegeben durch
K
(K,K)
(Z,K)
Z
(K,Z)
(Z,Z)
K
Z
AB = {a, c, e}.
1. Wurf
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Mengen und Abbildungen, S. 17
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Mengen und Abbildungen, S. 19
Das kartesische Produkt Rn
Kartesisches Produkt
Hat man n Mengen A1, . . . , An gegeben, kann man eine
Zusammenfassung von Elementen ai der einzelnen Mengen Ai zu einem n-Tupel“
”
der Form
Das wichtigste kartesische Produkt in der Mathematik ist
Rn = R × R ×
. . . × R = {(x1, x2, , . . . , xn) | xi ∈ R (i = 1, 2, ..., n)}.
n-mal
(a1, a2, . . . , an)
Geometrisch:
betrachten, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt:
– An der ersten Stelle soll stets ein Element a1 von A1 stehen,
– an der zweiten Stelle ein Element a2 von A2
– usw.
• R1 = R ist die Zahlengerade.
• R2 kann man sich eine mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem ausgestatte Ebene vorstellen (→ kartesisches Koordinatensystem); Elemente von R2 sind dann Punkte (x, y) in der
Ebene mit den Koordinaten (reellen Zahlen) x und y.
Anstatt Stelle“ sagt man auch Koordinate“
”
”
(oder auch Komponente“, Eintrag“, manchmal auch Element“, obwohl das sehr missverständlich ist).
”
”
”
Die Menge all dieser Tupel wird als das kartesische Produkt von A1, . . . , An bezeichnet,
geschrieben A1 × . . . × An.
• R3 kann man sich als den Raum versehen mit einem dreidimensionalen Koordinatensystem
vorstellen. Elemente: (x, y, z) mit x, y, z ∈ R. Oder (x1, x2, x3) mit x1, x2, x3 ∈ R.
n=1
y
n=2
y
y
0
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y
z
(x,y)
Beim kartesischen Produkt durchläuft die i-te Koordinate ai – völlig unabhängig von den
anderen Koordinaten – alle Elemente der Menge Ai.
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(x,y,z)
n=3
z
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x
x
x
x
. ..
x
x
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Mengen und Abbildungen, S. 20
Mengen und Abbildungen, S. 22
Beispiele zur Abbildungsdefinition
Abbildungen
Der Begriff Abbildung“ ist in der Mathematik genauso grundlegend wie der der Menge.
”
Eine Abbildung ist nicht irgendeine Relation zwischen zwei Mengen, sondern:
f
x1
y1
x2
y3
y2
x3
Gegeben zwei Mengen A und B, so ist eine Abbildung von A nach B eine Vorschrift, die
B
A
• jedem x ∈ A
Dies ist eine Abbildung f : A → B
– Jedem Element der Menge A
– wird genau ein Element von B zugeordnet.
• genau ein y in B zuordnet.
Es muss also
• jedes x ∈ A abgebildet werden,
Dass y1 zweimal erreicht wird und y3 gar nicht, ändert nichts daran, dass f eine Abbildung ist.
• und zwar auf (nur) ein y ∈ B.
x1
f
y1
x2
Es muss aber nicht
y3
y2
x3
A
• jedes y ∈ B erreicht werden
Dies wäre keine Abbildung f : A → B, es gibt sogar zwei Verletzungen der Abbildungsdefinition:
1.) x3 wird nicht abgebildet (obwohl es im Def.Bereich A liegt)
2.) x1 wird zweimal abgebildet.
• jedes x ∈ A auf ein anderes y ∈ B abgebildet werden
d.h. es können unterschiedliche x ∈ A auf das gleiche y ∈ B abgebildet werden.
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B
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Mengen und Abbildungen, S. 23
Definition einer Abbildung
Ergänzungen zur Abbildungsdefinition
Also formal:
Definition 2.14. A und B seien Mengen. Eine Vorschrift f , die jedem x ∈ A genau ein y ∈ B
zuordnet, heißt Abbildung der Menge A in die Menge B. Man schreibt
Ergänzungen zu Definition 2.14:
(1) Eine Abbildung f mit D f ⊂ R und W f ⊂ R wird auch als Funktion bezeichnet
(mehr dazu gleich, sowie im ganzen Rest der Veranstaltung).
f : A → B, x → y = f (x).
(2) Ist f : A → B eine Abbildung, so wird die Menge A als Definitionsbereich (D f ) von f
bezeichnet, ihre Elemente heißen Urbilder von f .
Die Menge B nennt man den Wertebereich (W f ) von f .
(3) Eine Abbildung muss ihren Wertebereich nicht voll ausschöpfen. Die Menge
B f = { f (x) | x ∈ D f }
heißt Bildbereich von f , ihre Elemente sind die Bilder unter f
(→ weitere Diskussion dieses Punktes auf nächster Folie)
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Mengen und Abbildungen, S. 24
Mengen und Abbildungen, S. 26
Bildbereich einer Abbildung
Injektivität
Definition 2.16. Eine Abbildung f : A → B heißt injektiv, wenn unterschiedliche Urbilder auf
unterschiedliche Bilder abgebildet werden, d.h. wenn:
Nochmal: Der Wertebereich W f einer Abbildung f : A → B ist die Menge B,
der Bildbereich dagegen ist die Menge B f = { f (x) | x ∈ D f }
∀ x1, x2 ∈ A gilt:
Es gilt stets B f ⊂ W f , aber nicht immer W f = B f .
x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2).
B EISPIEL :
B EISPIEL :
x1
f
A = Df
y3
y2
x3
A=Df
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y3
y4
B = Wf
f ist eine injektive Abb.: Verschiedene Urbilder werden auf verschiedene Bilder abgebildet. B=Wf
Der Bildbereich der Abbildung f ist die Menge B f = {y1, y3}.
/ Bf.
Das Element y2 ∈ W f ist kein Bild eines Elementes von D f , d.h. y2 ∈
y1
y2
x3
y1
x2
y5
x2
Bf
x1
f
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Mengen und Abbildungen, S. 25
A NMERKUNG :
Wegen des Kontrapositionsprinzips (p ⇒ q) ⇐⇒ (¬q ⇒ ¬p)“ ist die Injektivität äquivalent
”
zu:
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2, ∀ x1, x2 ∈ A.
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Mengen und Abbildungen, S. 27
Surjektivität
Bijektivität
Definition 2.15. Eine Abbildung f : A → B heißt surjektiv, wenn jedes Element von B das
Bild eines Elementes von A ist, d.h. wenn W f = B f .
Vergleiche:
y ∈ B zugeordnet.
Def. einer Abbildung: Jedem x ∈ A wird genau ein
Bijektivität:
Jedes y ∈ B wird von genau einem x ∈ A erreicht.
B EISPIEL :
x1
f
y1
B EISPIEL :
x2
y2
x3
A = Df
Definition 2.17. [Bijektivität]
Eine Abbildung f : A → B heißt bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.
x1
B = Wf
f
y1
x2
Die skizzierte Abbildung f ist surjektiv: Der Wertebereich W f wird voll ausgeschöpft, d.h. W f =
Bf.
y3
y2
x3
A = Df
B = Wf
f ist eine bijektive Abbildung:
1.) Verschiedenen Urbildern werden verschiedene Bilder zugeordnet (d.h. f ist injektiv)
2.) der Wertebereich wird voll ausgeschöpft (d.h. f ist surjektiv).
(Vergleiche mit den beiden Eingangsbeispielen, ein f war nicht injektiv, ein f nicht surjektiv) Philipps-Universität Marburg
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Mengen und Abbildungen, S. 28
Mengen und Abbildungen, S. 30
Surjektivität, Injektivität, Bijektivität und die Lösbarkeit der Gl. f (x) = y
Kompliziertere Abbildungstypen
• Wie schon gesagt: Eine Abbildung
Die oben definierten drei Eigenschaften lassen sich durch die Lösbarkeit der Gleichung f (x) = y
innerhalb des Definitions- und Wertebereichs von f charakterisieren:
f : Df ⊂ R → R
Satz 2.18. Gegeben eine Abbildung f : A → B. Dann gilt:
nennt man eine Funktion.
Man kann solche Funktionen durch ihren Graphen anschaulich machen.
(1) f surjektiv ⇐⇒ Die Gl. f (x) = y hat für alle y ∈ B (mindestens) eine Lösung x ∈ A.
• Allgemeiner nennt man auch eine Abbildung
f : D f ⊂ Rn → R
(2) f injektiv ⇐⇒ Die Gl. f (x) = y hat für alle y ∈ B höchstens eine Lösung x ∈ A.
(Oder noch allgemeiner: f : D f ⊂ Rn → Rm)
eine Funktion (mehrerer Variablen).
(3) f bijektiv
⇐⇒ Die Gl. f (x) = y hat für alle y ∈ B genau eine Lösung x ∈ A.
• Eine Abbildung
Mit diesem Satz lassen sich die drei Eigenschaften rechnerisch gut überprüfen:
f : Df ⊂ N → R
Man gibt sich ein (beliebiges) y ∈ B vor und bestimmt alle Lösungen x ∈ A der Gl. f (x) = y.
nennt man eine Folge (reeller Zahlen) (Man schreibt nicht f (1) sondern f1 usw.)
• Eine Abbildung
A NMERKUNG :
Die Frage nach der Lösbarkeit ist die Frage nach Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung (in
Abhängigkeit vom Parameter“ y)
”
f : D f ⊂ N → R2
könnte man eine Punktfolge in der Ebene nennen.
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Mengen und Abbildungen, S. 29
f : Df -> Wf injektiv, nicht surjektiv
y=f(x)
Wf= (-’,’)
y
Beispiel
Wir betrachten die Funktion
f : Df -> Wf surjektiv, nicht injektiv
f : [1, ∞) → [−1, ∞),
2
f(x) = x2 – 2 x
x0
x
Df= [x0,’)
= x2 − 2x + 1 − 1 = (x − 1)2 − 1
y
y0
x0
f (x) = x2 − 2x
y=f(x)
Wf= (y0,’)
y0
y
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Mengen und Abbildungen, S. 31
Surjektivität, Injektivität, Bijektivität bei Funktionen
y
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x
1
Df= (-’,’)
f : Df -> Wf nicht surjektiv, nicht injektiv
y
-1
f : Df -> Wf bijektiv:
0
1
2
x
-1
y=f(x)
Wf= (-’,’)
y0
y0
x0
Df= (-’,’)
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y=f(x)
Wf= [y0,’)
x
x0
x
Df= [x0,’)
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Die Graphik zeigt:
Die Funktion wäre nicht surjektiv, wenn man (z.B.) ganz R als Wertebereich W f gewählt hätte,
da kein y < −1 als Wert erreicht wird.
Genauso wäre die Funktion nicht injektiv, wenn man (z.B.) ganz R als Definitionsbereich D f
gewählt hätte, da dann jedes y > 1 gleich von zwei Urbildern x erreicht wird.
→ Definitions- und Wertebereich wurden hier so gewählt wurden, dass die Funktion bijektiv ist.
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Mengen und Abbildungen, S. 32
Mengen und Abbildungen, S. 34
Umkehrabbildung (inverse Abbildung)
Beispiel: Rechnerische Überprüfung der Bijektivität
Wir betrachten die Gleichung f (x) = y zunächst ohne die Einschränkungen, die Definitionsund Wertebereich an x und y stellen.
Zur Lösung der Gl. f (x) = y verwenden wir die p-q-Formel“:
”
f (x) = y
⇐⇒
x2 − 2x = y
⇐⇒
x2 − 2x − y = 0
x = 1± 1+y
⇐⇒
← Normalform“ mit p = −2, q = −y
”
Man sieht, dass die Gleichung f (x) = y sowohl in Bezug auf Existenz als auch in Bezug auf
Eindeutigkeit problematisch ist:
• Probleme bei der Existenz
√ einer Lösung:
Wenn y < −1 ist, existiert 1 + y nicht und damit gibt es keine Lösung der Gleichung.
• Probleme bei der Eindeutigkeit der Lösung:
√
√
Wenn y > −1 ist, gibt es die beiden verschiedenen Lösungen 1 + 1 + y und 1 − 1 + y.
→ Die Probleme bzgl. Existenz und Eindeutigkeit auf der rechnerischen Ebene entsprechen
genau den Problemen bzgl. Surjektivität und Injektivität, die sich oben graphisch zeigten.
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Mengen und Abbildungen, S. 33
Wiederholung:
Def. einer Abbildung: Jedem x ∈ A wird genau ein y ∈ B zugeordnet.
Bijektivität:
Jedes y ∈ B wird von genau einem x ∈ A erreicht.
Bei einer bijektiven Abbildung f lässt sich also die umgekehrte Zuordnung y → x vornehmen.
Man erhält so eine neue Abbildung g : B → A, y → x, die jedem y ∈ B sein (eindeutig bestimmtes)
Urbild x mit f (x) = y zuordnet.
Diese Abbildung g wird als die Umkehrabbildung von f bezeichnet.
Definition 2.19. [Umkehrabbildung] Gegeben eine Abbildung f : A → B.
(1) Eine Abbildung g : B → A heißt Umkehrabbildung von (oder: inverse Abbildung zu) f ,
wenn g( f (x)) = x für alle x ∈ A.
(2) Besitzt f eine Umkehrabbildung, so heißt die Abbildung f umkehrbar.
(3) Ist f umkehrbar, so schreibt man für die Umkehrabbildung g : B → A auch g =: f −1.
Im Fall einer Funktion f spricht man natürlich von der Umkehr- oder inversen Funktion f −1
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Mengen und Abbildungen, S. 35
Beispiel: Nachweis der Bijektivität
Umkehrbarkeit = Bijektivität
Nach der obigen Überlegung ist Bijektivität genau das Gleiche wie Umkehrbarkeit:
Wir hatten ermittelt (ohne die Einschränkungen an Def.- und Wertebereich):
√
x = 1± 1+y
f (x) = y ⇐⇒
x ∈ 0/
Satz 2.20. [Umkehrbarkeit = Bijektivität]
Eine Abbildung f : A → B ist genau dann umkehrbar, wenn f bijektiv ist.
für y > −1
für y < −1
Zusammengefasst:
Durch die Einschränkungen an den Definitionsbereich (x ≥ 1) wird die Funktion injektiv.
Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung f : A → B ist diejenige Abbildung
f −1 : B → A, die jedem y ∈ B sein (eindeutig bestimmtes) Urbild x mit f (x) = y
zuordnet. Es gelten die Beziehungen:
Durch die Einschränkungen an den Wertebereich (y ≥ −1) wird die Funktion surjektiv.
f −1 f (x) = x ∀ x ∈ A,
An dem Beispiel sieht man gut:
• Wenn eine Abbildung nicht surjektiv ist, ist der Wertebereich ’zu groß’.
Anders gesagt:
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Wf -1
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f f −1(y) = y ∀ y ∈ B.
Wf
y = f(x)
x = f -1(y)
Durch ’geeignete Wahl’ (Verkleinerung) des Definitions- und/oder Wertebereichs kann
man jede Abbildung bijektiv machen.
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f
Df
• Wenn eine Abbildung nicht injektiv ist, ist der Definitionsbereich ’zu groß’.
und
f -1
Df -1
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Mengen und Abbildungen, S. 36
Beispiel zur Umkehrfunktion
Wir hatten schon festgestellt, dass die Abbildung (Funktion)
f : [1, ∞) → [−1, ∞),
f (x) = x2 − 2x
bijektiv ist. Ihre Umkehrfunktion erhält man durch Auflösen der Gleichung y = f (x) nach x innerhalb des gegebenen Definitions- und Wertebereichs.
Aber das haben wir schon beim Nachweis der Bijektivität erledigt:
Für gegebenes y ∈ W f ist x = f −1(y) das eindeutig bestimmte x ∈ D f , das die Gl. y = f (x)
löst.
Die Umkehrfunktion der vorliegenden Funktion f ergibt sich also ohne Weiteres als:
f −1 : [−1, ∞) → [1, ∞), y → f −1(y) = 1 +
1 + y.
Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild
Mengen und Abbildungen, S. 37
Graphische Bestimmung der Umkehrfunktion
Graphisch erhält man die Umkehrabbildung (hier: Umkehrfunktion), indem man die Ausgangsfunktion an der Winkelhalbierenden y = x spiegelt:
y
#1
f Ŧ y ŧ1Őř 1Ő y
2
y=x
1
f(x) = x2 – 2 x
-1
0
1
2
x
-1
Philipps-Universität Marburg
K.-H. Schild