Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. R. Lauterbach
Dr. K. Rothe
SoSe 2014
Komplexe Funktionen für Studierende der
Ingenieurwissenschaften
Lösungen zu Präsenzblatt 0
Aufgabe A:
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 3 + 2i und z2 = 5 − 4i . Man berechne
die kartesische Darstellung von
a) z1 + z2 ,
b) z1 · z2 ,
c)
z1
,
z2
|z1 + z2 | ,
z̄1 · z̄2 ,
4z1 − 7iz2 ,
z13 · z22 ,
4z̄1 − 7iz̄2 ,
Re(z13 ) · Im(z22 ) ,
Im(z1 )
.
Re(z2 )
Lösung:
a) z1 + z2 = 3 + 2i + 5 − 4i = 8 − 2i
|z1 + z2 | = |8 − 2i| =
p
√
82 + (−2)2 = 2 17
4z1 − 7iz2 = 4(3 + 2i) − 7i(5 − 4i) = 12 + 8i − 35i − 28 = −16 − 27i
4z̄1 − 7iz̄2 = 4(3 − 2i) − 7i(5 + 4i) = 12 − 8i − 35i + 28 = 40 − 43i
b) z1 · z2 = (3 + 2i)(5 − 4i) = 15 − 12i + 10i + 8 = 23 − 2i
z̄1 · z̄2 = z1 · z2 = 23 + 2i
z13 · z22 = (3 + 2i)3 (5 − 4i)2 = (−9 + 46i)(9 − 40i)
= −81 + 360i + 414i + 1840 = 1759 + 774i ,
Re(z13 ) · Im(z22 ) = −9 · (−40) = 360 ,
c)
3 + 2i
(3 + 2i)(5 + 4i)
15 + 12i + 10i − 8
7
22
z1
=
=
=
=
+ i
z2
5 − 4i
(5 − 4i)(5 + 4i)
25 + 16
41 41
Im(z1 )
2
=
Re(z2 )
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Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Präsenzblatt 0
Aufgabe B:
Gegeben seien die komplexen Zahlen
z1 = 1, z2 = i, z3 = −1, z4 = −i.
a) Man gebe z1 + z2 , z2 + z3 , z1 + z4 in Polarkoordinaten an.
b) Man berechne in kartesischen und Polarkoordinaten
(z1 + z2 )7 ,
z2 + z3
,
z̄1 + z̄2
z1 + z4
.
z2
Lösung:
a) z1 + z2 = 1 + i :
√
√
π
r = |1 + i| = 2 , ϕ = arctan(1) =
⇒ z1 + z2 = 2eπi/4
4
z2 + z3 = −1 + i :
√
r = | − 1 + i| = 2 ,
√
3π
π
⇒ z2 + z3 = 2e3πi/4
ϕ = π + arctan(−1) = π − =
4
4
z1 + z4 = 1 − i :
√
π
7π
r = |1 − i| = 2 , ϕ = 2π + arctan(−1) = 2π − =
4
4
√ 7πi/4
⇒ z1 + z4 = 2e
b) (z1 + z2 )7 =
√
2eπi/4
7
√
= 8 2e7πi/4 = 8(1 − i) = 8 − 8i
√ 3πi/4
z2 + z3
2e
= e3πi/4+πi/4 = eπi = −1 .
=√
−πi/4
z̄1 + z̄2
2e
z1 + z4
1−i
=
= −1 − i
z2
i
√
r = | − 1 − i| = 2 ,
ϕ = π + arctan(1) = π +
π
5π
=
4
4
⇒
z1 + z4 √ 5πi/4
= 2e
z2
2
Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Präsenzblatt 0
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Aufgabe C:
Man berechne alle Lösungen von
z6 = 1
in Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten.
Lösung: Es gibt genau 6 verschiedene Einheitswurzeln. Sie werden berechnet durch
zk = ei2πk/6 ,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .
z0 = ei2π·0/6 = 1 ,
i2π/6
z1 = e
= cos
z2 = ei4π/6 = cos
π 3
2π
3
+ i sin
π 3
+ i sin
√
1
3
= +i
,
2
2
2π
3
√
1
3
=− +i
,
2
2
z3 = ei6π/6 = cos (π) + i sin (π) = −1 ,
z4 = ei8π/6 = cos
i10π/6
z5 = e
4π
3
= cos
5π
3
+ i sin
4π
3
+ i sin
5π
3
√
1
3
=− −i
,
2
2
√
1
3
= −i
.
2
2
Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 2014, Präsenzblatt 0
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Aufgabe D:
a) Für z ∈ C sei das Polynom p(z) := an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 mit
reellen Koeffizienten a0 , . . . an gegeben.
Man zeige:
Wenn z0 ∈ C Nullstelle von p ist, dann ist auch z̄0 Nullstelle von p .
b) Man zeige, dass der Kreis |z − z0 | = r in der komplexen Ebene auch die
folgende Darstellung besitzt
z z̄ − z z̄0 − z0 z̄ + z0 z̄0 = r2
mit z, z0 ∈ C.
c) Man bestimme die Kurve, die durch
zz = (4 − 3i)z + (4 + 3i)z + 144
beschrieben wird.
Lösung:
a) p(z̄0 ) = an (z̄0 )n + an−1 (z̄0 )n−1 + · · · + a1 z̄0 + a0
= an z0n + an−1 z0n−1 + · · · + a1 z0 + a0
= an z0n + an−1 z0n−1 + · · · + a1 z0 + ā0 = p(z0 ) = 0 = 0
≥0
b) |z − z0 | = r ⇔ r2 = |z − z0 |2 = (z − z0 )(z̄ − z̄0 ) = z z̄ − z z̄0 − z̄z0 + z̄0 z0
c) Ein Vergleich mit der Kreisdarstellung ergibt
z0 = (4 − 3i)
⇒
r2 − z0 z̄0 = 144
und
z0 z̄0 = 25
⇒
r2 = z0 z̄0 + 144 = 25 + 144 = 169
Die Kurve beschreibt also einen Kreis um z0 = (4 − 3i) mit Radius r = 13 .
Bearbeitungstermin:
1.4.- 4.4.2014