Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Geometrie’ WiSe 2014/2015 Aufgabe 23 (Thalessatz und Umkehrung des Satzes von Thales) (u.a. Skript-Aufg. 64 ) 1. Beweisen Sie den Satz von Thales: In der euklidischen Ebene ist jeder Umfangswinkel im Halbkreis ein rechter Winkel. Lösungshinweis: Zerlegen Sie das zugehörige Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke und wenden Sie den Winkelsummensatz an (s. Figur (a))! 2. Beweisen Sie die Umkehrung des Satzes von Thales: Ist in einem Dreieck △ABC der euklidischen Ebene der Winkel bei C ein rechter Winkel, so liegt C auf dem Kreis mit AB als Durchmesser. Lösungshinweis: Siehe Figur (b)! Zum Nachweis der Existenz des Schnittpunktes S dürfen Sie hier benutzen, dass jede Tangente, also eine den Kreis in genau einem Punkt schneidende Gerade, auf dem zugehörigen Durchmesser senkrecht steht. C (a) C S (b) Lösungsskizze: 1. Sei M der Mittelpunkt des Durchmessers AB des gegebenen Halbkreises. Die Dreiecke △AM C und △BM C sind gleichschenklig. Daher gilt g(∢M AC) = g(∢M CA) =: α und g(∢M BC) = g(∢M CB) =: β. Wegen M ∈ [A, B] addieren sich die Winkel ∢ACM und ∢M CB zu einem Winkel der Größe α + β. Aus dem Winkelsummensatz, angewandt auf das Dreieck △ABC, folgt (α + β) + α + β = 2R und daraus ∢ACB = R. 2. 1. Möglichkeit: Würden beide Geraden AC und BC des gegebenen rechtwinkligen Dreiecks ∆ := △ABS den Kreis über AB nicht in einem Punkt ungleich A bzw. B schneiden, so stünden sie (gemäß der Lösungshilfe) auf AB senkrecht und könnten nicht Träger der Seiten von ∆ sein. Also exisiert der Schnittpunkt S mindestens einer beiden Geraden mit dem Kreis. Das Dreieck △ABS ist nach dem Thalessatz rechtwinklig; damit besäße das Dreieck △ACS zwei rechte Innenwinkel, ein Widerspruch zum Winkelsummensatz für Dreiecke. □ 2. Möglichkeit: Aus dem gegebenen rechtwinkligen Dreieck konstruiere man durch Antragen rechter Winkel an AC in A und an BC in B ein Rechteck. Dessen Diagonalen halbieren sich in M und sind kongruent. Da die Strecken AM und CM also gleich lang sind, liegt C auf einem Halbkreis um M mit Radius |AM |. 2