1. Sei G eine Gruppe. Für je zwei Elemente a, b PG heißt das

Aufgaben Algebra I, Wintersemester 2013/2014
8. Serie (13-12-02)
1.
Sei G eine Gruppe. Für je zwei Elemente a, b P G heißt das Element
[a,b] := aba-1b-1
Kommutator von a und b. Die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe heißt
Kommutator von G und wird mit
[G, G]
bezeichnet. Beweisen sie die folgenden Aussagen.
(a) [G, G] ist ein Normalteiler.
(b) Das Bild des natürlichen Homomorphismus l: G H G/[G, G] ist abelsch.
(c) Ein Gruppen-Homomorphismus f: G H G’’ faktorisiert sich genau dann über
den natürlichen Homomorphismus l: G H G/[G, G], wenn die Untergruppe
Im(f) von G’’ abelsch ist. Die Faktorisierung ist, falls sie existiert eindeutig.
.
Anmerkung. Die Faktorgruppe G/[G, G] heißt Faktorkommutatorgruppe.
(d) Ein Normalteiler N é G besitzt genau dann eine kommutative Faktorgruppe,
wenn [G, G] é N gilt.
(e) Für zwei Untergruppen U, V von G mit U é V gilt auch [U, U] é [V, V]
2.
Sei G eine endliche Gruppe und {G }
die Folge der iterierten
i i=0,1,...
Kommutatoren von G, d.h.
G = G und G
:= [G , G ] für i = 1,2,...
0
i+1
i i
Zeigen Sie, die folgenden Aussagen sind äquivalent.
(a) G ist auflösbar.
(b) Es gibt ein i mit G = {e}
i
(c) Für jedes nicht-triviale G ist der Kommutator G
echt enthalten in G .
i
i+1
i
3
.
Bestimmen Sie für n * 5 den Kommutator von A und verwenden Sie dieses
n
Ergebnis für einen alternativen Beweis dafür, daß A nicht auflösbar ist.
n
Zu 1(a)
Für jedes x P G ist m ein Automorphismus. Das Bild eines Erzeugendensystems von
x
[G, G] bei m ist somit ein Erzeugendensystem von
x
m ([G, G]) = x[G, G]x-1.
(1)
x
Insbesondere wird (1) von den Elementen der Gestalt,
m ([a, b]) mit a, b P G
x
erzeugt. Es reicht zu zeigen, diese Elemente liegen in [G, G]. Es gilt aber, weil m ein
x
Gruppen-Homomorphismus ist,
m ([a, b]) = m (aba-1b-1) = m (a) m (b) m (a)-1 m (b)-1 = [ m (a), m (b)] P [G, G].
x
x
x
x
x
x
x
x
Zu 1(c)
Sei f: G H G’’ ein Homomorphismus mit Im(f) abelsch. Für beliebige a, b P G gilt
dann
f([a, b])
= [f(a), f(b)]
(weil f ein Homomorphismus ist)
-1
-1
= f(a)f(b)f(a) f(b) (nach Definition des Kommutators)
= f(b)f(a)f(a)-1f(b)-1 (weil Im(f) abelsch ist)
= f(b)f(b)-1
=e
Alle Kommutatoren liegen somit im Kern von f. Weil die Kommutatoren [G, G]
erzeugen, gilt auch
[G, G] é Ker(f).
Nach dem Homomorphiesatz faktoriesiert sich f damit eindeutig über den natürlichen
Homomorphismus l:G H G/[G, G].
+
Nehmen wir jetzt umgekehrt an, f faktorisiert sich über l, sagen wir f = f 9l. Für je
zwei Elemente a, b P G gilt dann
f(a)f(b)f(a)-1f(b)-1
= [f(a), f(b)]
= f([a, b])
(weil f ein Homomorphismus ist)
+
+
= f (l([a,b])) (nach Wahl von f )
+
= f (e)
(wegen [a,b]P[G, G] = Ker(l))
+
=e
(weil f ein Homomorphismus ist)
Wir multiplizieren von rechts mit f(b) und danach mit f(a), und erhalten so
f(a)f(b) = f(b)f(a) für beliebige a, b P G.
Mit anderen Worten, f(G) = Im(f) ist eine abelsche Gruppe.
Zu 1(b)
+
+
Die Aussage folgt aus 1(c), weil sich l über sich selbst faktorisiert, l = l 9l mit l :=
Id die identische Abbildung.
Zu 1(d)
Seien l: G H G/[G, G] und f: G H G/N die beiden natürlichen Homomorphismen.
Dann bestehen die folgenden Implikationen.
G/N ist kommutativ $ Im(f) ist abelsch
$ f faktorisiert sich über l (nach 1(c))
$ [G, G] é Ker(f)
Zu 1(e)
Nach Definition von [V, V] gilt
[u, u] P [V, V]
(nach dem Homomorphiesatz)
für jedes u P U.
Nun ist aber [U, U] definiert als der Durchschnitt aller Untergruppen, die die Elemente
der Gestalt [u, u] mit u P U enthalten, d.h. [U, U] ist Durchschnitt von [V, V] mit
eventuellen weiteren Untergruppen. Insbesondere gilt
[U, U] é [V, V].
Zu 2 (a) e (b)
Nach Voraussetzung gibt es eine Normalreihe
G = H Ñ H Ñ ... Ñ H Ñ H
Ñ ... á H = {e}
0
1
i
i+1
n
mit abelschen Faktoren H /H . Es reicht zu zeigen, für jedes i gilt
i i+1
G éH ,
i
i
denn mit H = {e} gilt dann auch G = {e}.
n
n
Wir führen den Beweis durch Induktion nach i. Für i = 1 besteht, weil
G/H = H /H
1
0 1
abelsch ist, nach Aufgabe 1d die Inklusion
G = [G , G ] = [G, G] é H .
1
0 0
1
Die Aussage ist für i = 1 also richtig.
Sei jetzt i > 1. Nach Induktionsvoraussetzung gilt
G éH .
i-1
i-1
Nach Aufgabe 1e ergibt sicn
G = [G , G ] é [H , H ]
i
i-1 i-1
i-1 i-1
Zum Beweis der Behauptung reicht es zu zeigen,
[H , H ] é H .
i-1 i-1
i
Zum Beweis der letzteren Inklusion reicht es nach Aufgabe 1d zu zeigen, daß H /H
i i-1
abelsch ist. Das ist aber nach Voraussetzung der Fall.
Zu 2 (b) e (c)
Angenommen, für ein i mit G 0 {e} wäre
i
[G , G ] = G
i i
i
Dann wäre G
= G und dieselbe Bedingung wäre auch für G , G
,... erfüllt.
i+1
i
i+1
i+2
Insbesondere wäre keine dieser Gruppe trivial, was im Widerspruch zur Voraussetzung
(b) steht.
Zu 2 (c) e (a).
Nach Voraussetzung bilden die G , solange sie nicht-trivial sind, eine echt absteigende
i
Folge von Untergruppen.
G = G Ñ G Ñ ... Ñ G
0
1
i
Weil G endlich ist, kann diese Folge nicht beliebig lang sein. Es gibt also einen Index,
sagen wir n, mit G = {e}. Dann ist
n
G = G Ñ G Ñ ... Ñ G = {e}
0
1
n
eine absteigende Kette von Untergruppen mit den folgenden Eigenschaften.
1. G
ist Normalteiler in G für jedes i
(nach Aufgabe 1a).
i+1
i
2. G /G
ist abelsch
(nach Aufgabe 1b)
i i+1
also eine Normalreihe mit abelschen Faktoren, welche trivial endet. Mit anderen
Worten, G ist auflösbar.
Zu (3)
Es reicht zu zeigen,
[A , A ] = A ,
(1)
n n
n
denn dann ist A nach Aufgabe 2c nicht auflösbar. Zum Beweis von (1) reicht es zu
n
zeigen, für k = 3, 4, ... , n gilt
(1 2 k) P [A , A ],
n n
denn die Zyklen der Gestalt (1 2 k) bilden ein Erzeugendensystem von A . Für
n
5)k)n
gilt (1 2 k) P A und (12)(34) P A , also
n
n
[(12k), (12)(34)] P [A , A ]
n n
||
(12k)(12)(34)(k21)(12)(34) = (1k2)
also liegt auch
(1k2)2 = (12k)
im Kommutator der A . Damit ist der Beweis der Behauptung (1) reduziert auf den
n
Beweis der Aussagen
(123) P A
(2)
n
(124) P A
(3)
n
Das ist aber aus Symmetriegründen der Fall (die Zahlen 3 und 4 spielen gegenüber den
anderen von 1 und 2 verschiedenen Zahlen keine Sonderrolle). Durch explizites
Rechnen sieht man das, indem man in der obigen Rechnung anstelle des
Doppelzweierzyklus (12)(34) einen Doppelzweierzyklus verwendet, in welchem die
Zahl 3 bzw. die Zahl 4 nicht vorkommt. Zum Beispiel ist
[(123), (12)(45)]
d.h.
(132)2 = (123) liegt im Kommutator.
Analog gilt
[(124), (12)(35)]
d.h.
= (123)(12)(45)(321)(12)(45)
= (132)
= (124)(12)(35)(421)(12)(35)
= (142)
(142)2 = (124) liegt im Kommutator.