Mathematik

Kaufmännische Berufsmatura 2016
Kanton Zürich
Mathematik
Serie A: Lösungen
Mathematik (RLP 2012)
Serie A - Lösungen
Prüfungsdauer:
120 Minuten
Max. Punktezahl:
80 Punkte
Bewertungshinweise:
Mehrfachlösungen sind nicht gestattet.
Als Resultate gelten nur eindeutig gekennzeichnete Zahlen, Mengen oder Sätze.
Die Diagramme müssen korrekt beschriftet sein.
Bei fehlenden Antwortsätzen oder Lösungsmengen werden Punkte abgezogen.
Bei den einzelnen Ausrechnungsteilschritten gilt allgemein:
1. Fehler:
Abzug von 50% der maximalen Punktzahl dieses Teilschritts
2. Fehler:
0 Punkte für diesen Teilschritt
Es gibt keine halben Punkte.
Ist bei grafischen Lösungen die zugrunde liegende Funktionsgleichung falsch, diese
falsche Funktion jedoch korrekt gezeichnet, müssen die Punkte für die grafische
Darstellung gegeben werden.
Als Grundlage gilt das Dokument „Mathematik: Hinweise zur Lösungsdarstellung“
vom 02.12.1998
Dieser Lösungs- und Bewertungsschlüssel darf nur von Mathematik-Lehrenden
kaufmännischer Berufsschulen verwendet werden. Insbesondere darf er in späteren Jahren im
Unterricht zu Übungszwecken nicht 1:1 kopiert und an Lernende abgegeben werden. Jede
weitere Verwendung der Originalprüfung wie auch dieses Schlüssels bedarf der Bewilligung
der Kommission Kaufmännische Berufsmatura, Kt. ZH. Kommerzielle Verwendung - auch nur
auszugsweise - bleibt untersagt.
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Aufgabe 1
a)
Mathematik
Serie A: Lösungen
9 Punkte
Joëlle hat Ende Lehre CHF 5'000.00 auf einem Konto angelegt. 35 Jahre später liegen auf
diesem Konto CHF 12'278.00. Wie hoch war der durchschnittliche Zinssatz während
dieser langen Zeit?
(2)
Lösungsdetails
Punkte
1
1
Der durchschnittliche Zinssatz betrug 2.6%.
Abzüge:
b)
Fehlender Antwortsatz
-1
Ein Transportunternehmen kauft einen neuen Sattelschlepper für CHF 750’000.00.
Gemäss den internen Vorgaben muss dieser die ersten 3 Jahre mit 18% degressiv
abgeschrieben werden, anschliessend weiterhin degressiv mit 12%. Nach wie vielen
ganzen Jahren fällt sein Bilanzwert unter CHF 50'000.00?
Lösungsdetails
Nach 3 Jahren:
(4)
Punkte
1
2
1
Der Sattelschlepper steht nach 20 Jahren mit unter CHF 50'000.00 in der
Buchhaltung.
Abzüge:
c)
Fehlender Antwortsatz
-1
Lars möchte nach der Lehre ein Motorrad kaufen und überlegt sich dazu einen Kleinkredit
von CHF 8'000.00 aufzunehmen. Eine Bank verlangt 12% Zins (p.a.). Die Rückzahlungen
erfolgen nachschüssig und binnen 48 Monaten in gleich grossen, monatlichen Raten.
Berechnen Sie die monatliche Zahlung.
(3)
Lösungsdetails
Punkte
1
2
Lars müsste pro Monat CHF 210.70 bezahlen.
Abzüge:
Fehlender Antwortsatz
-1
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Mathematik
Serie A: Lösungen
Aufgabe 2
16 Punkte
In einem spezialisierten Biochemiebetrieb werden unter anderem schnell verfallende
Flüssigkeiten produziert, welche in der Röntgenmedizin als Kontrastmittel eingesetzt werden.
Die Herstellungskosten für eine Ampulle dieses Kontrastmittels betragen CHF 3.00 (variable
Kosten), dazu kommen Fixkosten von CHF 300.00.
Auf der Verkaufsseite wird der Erlös der verkauften Ampullen (x) nicht linear berechnet. Da die
Kontrastmittel nicht lange gelagert werden können, gibt die Firma beim Bezug grösserer
Mengen Rabatte, so dass sich der Erlös im Intervall [0; 150] für die Ampullenzahl mit folgender
Funktion beschreiben lässt:
a)
Formulieren Sie die ostenfunktion für die Herstellungskosten der Ampullen.
Lösungsdetails
(1)
Punkte
1
b)
Zeichnen Sie die Kosten- und die Erlösfunktion in einem Koordinatensystem ein.
Lösungsdetails
(5)
Punkte
K:2
E:3
Abzüge:
Keine Beschriftungen (max. -2)
-1
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c)
Mathematik
Serie A: Lösungen
Zeichnen Sie den Bereich, in dem der Betrieb in der Gewinnzone ist, in der Grafik ein. (1)
Lösungsdetails
Punkte
Korrekt eingezeichnete Sekante / Bereich / Grenzen
d)
1
Berechnen Sie die untere und obere Grenze der Gewinnzone, d.h. den Bereich, in
welchem der Verkauf der Ampullen Gewinn bringt.
Lösungsdetails
Punkte
Berechnung Schnittpunkte A (60/480) und B (150/750)
e)
4
Bestimmen Sie die Gewinnfunktion und zeichnen Sie auch diese in der Grafik ein.
Lösungsdetails
-
-
(4)
Punkte
–
Korrekt eingezeichnet
f)
(4)
2
2
Bei welcher Ampullenzahl kann der Betrieb mit maximalem Gewinn rechnen? Bestimmen
Sie den Wert rechnerisch.
(1)
Lösungsdetails
Scheitelpunkt von yG (105/67.5)
Punkte
1
Der maximale Gewinn wird bei 105 Ampullen erreicht.
Abzüge:
Kein AS
-1
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Aufgabe 3
Mathematik
Serie A: Lösungen
6 Punkte
Eva und ihre Grossmutter Josephine sind heute zusammen 108 Jahre alt. In 6 Jahren wird
Josephine dreimal so alt sein wie Eva. Wie alt sind die beiden heute? Lösen Sie die Aufgabe
mit Hilfe einer Gleichung oder eines Gleichungssystems.
(6)
Lösungsdetails
Punkte
x: Alter Eva heute in Jahren, y: Alter Josephine heute in Jahren
2
2
x = 24, y = 84
je 1
Eva ist 24 Jahre alt, ihre Grossmutter ist 84 Jahre alt.
Abzüge:
Keine Variablendefinition
-1
Kein Antwortsatz
-1
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Serie A: Lösungen
Aufgabe 4
4 Punkte
Bei der Produktion von Design-Liegestühlen fallen fixe osten von CHF 20‘000.00 an. Werden
500 Liegestühle produziert, belaufen sich die Gesamtkosten auf CHF 95‘000.00.
a)
Bestimmen Sie die Kostenfunktion (ohne Grafik).
Lösungsdetails
Punkte
Kosten:
Abzüge:
b)
(2)
‘
2
Keine vollständige Funktionsgleichung
-1
Zu welchem Preis muss ein Liegestuhl verkauft werden, damit die Gewinnschwelle bei
800 Stück liegt? Bestimmen Sie ebenfalls die Erlösfunktion (ohne Grafik).
(2)
Lösungsdetails
Punkte
‘
·
‘
‘
m = 175
1
Ein Liegestuhl muss für CHF 175 verkauft werden.
Erlös: y = 175x
1
Abzüge:
-1
Fehlender Antwortsatz
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Aufgabe 5
Mathematik
Serie A: Lösungen
15 Punkte
Die Fluggesellschaft Eco-Air plant eine neue Flugverbindung zwischen zwei Städten. Pro
Woche sollen mindestens 1‘500 Personen und 92 Tonnen Fracht transportiert werden. Es
stehen höchstens 12 Airbus-Flüge (x) mit je 180 Sitzplätzen und je 6.5 Tonnen Frachtkapazität
und höchstens 9 Boeing-Flüge (y) mit je 125 Sitzplätzen und je 13 Tonnen Frachtkapazität zur
Verfügung.
Eco-Air rechnet pro Flug mit dem Airbus mit Kosten von CHF 38'000.00 und mit der Boeing
mit Kosten von CHF 12'500.00 pro Flug.
a)
Erstellen Sie das lineare Programm (x = Anzahl Airbus-Flüge, y = Anzahl Boeing-Flüge)
und formulieren Sie die Zielfunktion für die Kosten. Ohne Grafik!
(5)
Lösungsdetails
Punkte
(1)
≤
1
(2)
≤9
1
(3)
≥
1
(4)
≥9
1
(z)
z = 38000x + 12500y
1
Abzüge:
b)
Für eine andere Destination präsentiert sich das lineare Programm mit folgender Grafik:
Stellen Sie die Ungleichungen (1) bis (4) auf .
(5)
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Serie A: Lösungen
Lösungsdetails
(1)
≤
1
(2)
≤
1
(3)
≥ -2x + 16
2
(4)
≥ -0.5x + 7
1
Abzüge:
c)
Punkte
Fehlende oder falsche Anordnungszeichen
max. -2
Die Zielfunktion lautet z = 40’000x + 10’000y. Tragen Sie die Zielfunktion für minimale
Kosten in der Grafik von Aufgabe 5b) ein und beschriften Sie das Optimum.
(2)
Lösungsdetails
(z)
Punkte
y = -4x
zmin 1
Pmin 1
Abzüge:
d)
Keine Beschriftungen von Pmin/zmin
-1
Wie viele Flüge mit dem jeweiligen Flugzeugtyp sind zu planen, um minimale Kosten zu
erreichen?
(2)
Lösungsdetails
Punkte
Pmin (4 / 8) x = 4, y = 8
2
4 Airbus-Flüge und 8 Boeing-Flüge sind zu planen.
Abzüge:
e)
Kein Antwortsatz
-1
Berechnen Sie die minimalen Kosten.
(1)
Lösungsdetails
Punkte
z min = 40’000x + 10’ 00y
z min = 160‘
0‘
1
0‘
Die minimalen Kosten liegen bei CHF
Abzüge:
Kein Antwortsatz
‘
-1
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Serie A: Lösungen
Aufgabe 6
a)
10 Punkte
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge für die Variable x. ( = ℝ)
Lösungsdetails
(6)
Punkte
1
= ℝ\{-2; 2}
x (x + 2) – 8 (x – 2) = 2 (x + 2)
x2 – 8x + 12 = 0
2
x1 = 6 ; x2 = 2
2
1
= {6}
Abzüge:
b)
Ermitteln Sie die Definitions- und Lösungsmenge für die Variable x.
Lösungsdetails
ℝ
ℝ
(4)
Punkte
≥
1
1
1
- ist eine Scheinlösung…
1
Abzüge:
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Kanton Zürich
Aufgabe 7
a)
Mathematik
Serie A: Lösungen
8 Punkte
Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
(2)
Lösungsdetails
Punkte
2
Abzüge:
b)
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für x.
(2)
Lösungsdetails
Punkte
1
1
Abzüge:
c)
Keine Lösungsmenge
-1
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für x.
(4)
Lösungsdetails
Punkte
2
2
Abzüge:
Keine Lösungsmenge
-1
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Serie A: Lösungen
Aufgabe 8
6 Punkte
Hier sehen Sie sechs Funktionsgraphen (a) bis (f).
Ordnen Sie den abgebildeten Graphen mittels der zugehörigen Buchstaben die
entsprechende Funktionsgleichung zu.
Diese Abbildung …
(6)
…entspricht dieser Funktionsgleichung
f
d
b
c
a
e
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Serie A: Lösungen
Aufgabe 9
6 Punkte
Ein Sportlehrer führt an einer Schule einen 12-Minuten-Lauf durch. Alle Lernenden
erreichten unterschiedliche Distanzen. Die statistische Auswertung der gelaufenen
Strecken in Meter ergab folgende Werte:
Statistik 12min-Lauf
Minimum
Maximum
1. Quartil
Median
3. Quartil
Mittelwert
Varianz (n-1)
Standardabweichung (n-1)
1200
3500
1950
2200
2650
2320
321245
567
Beurteilen Sie die folgenden Aussagen. Kreuzen Sie das entsprechende Kästchen an:
Lösungsdetails
Punkte
wahr
Mindestens 50% der Distanzen lagen im Bereich
von einschliesslich 1950m bis und mit 2650m.
X
Mindestens ein Viertel der Lernenden erreichte
mindestens 2650m.
X
Der Beste rannte 3250m.
Die Spannweite betrug 2300m.
Mindestens die Hälfte der Lernenden erreichte
mehr als 2320m.
41 Lernende haben am Lauf teilgenommen.
falsch
nicht
beurteilbar
Je 1
X
X
X
X
Abzüge:
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