Über Grundzûge einer Theorie des Tetraeders.

Über Grundzûge einer Theorie des Tetraeders.
Von
F. MEYER aus Königsberg i. P.
Die „neuere Dreiecksgeometrie" ist in den letzten Jahrzehnten eine
umfangreiche Disziplin geworden. Bei zunehmender Fülle der Einzelergebnisse macht sich aber auch das Bedürfnis geltend, das Gebiet nach
sachgemäßen Klassifikationsprinzipien zu ordnen und so zu einer Wissenschaft zu gestalten.
Als zwei hervorragende Prinzipien dieser Art seien hier genannt
einmal die systematische Einführung der beiden imaginären Kreispunkte (bezw. eines absoluten Kegelschnitts), andererseits die der quadratischen Verwandtschaft, insbesondere der eineindeutigen, der sich
wiederum als Spezialfall die Inversion unterordnet.*)
Für eine entsprechende Geometrie des Tetraeders sind zwar jene
beiden Prinzipien unmittelbar verallgemeinerungsfällig, vermöge Einführung des Kugelkreises sowie einer gewissen eineindeutigen
kubischen Verwandtschaft, dagegen ist bisher, wenn man von
speziellen Tetraedern oder mehreren Tetraedern in spezieller Lage absieht, noch wenig Material vorhanden.**)
Der Verfasser hält es daher für nützlich, seine bislang in dieser
*) Auf Grund dieser Prinzipien hat Herr Stud. G. Berkhan eine neue und
überdies vielfach erweiterte Darstellung der neueren Dreiecksgeometrie geliefert,
in einer am 20. Juli 1904 von der Königsberger philosophischen Fakultät gekrönten
Freisarbeit (ein Auszug wird voraussichtlich bald als Dissertation erscheinen).
Ein weiteres, theoretisch sich darbietendes Prinzip, die Sätze nach der Natur der
Funktionen zu ordnen, die für sie einen extremen Wert annehmen, scheint praktisch schwer durchführbar. Endlich erweist sich die Einführung der komplexen
Größen nur für gewisse Teilgebiete der Dreiecksgeometrie als zweckmäßig.
**) Eingehend untersucht sind die Komplexe der Geraden, die die Ebenen
eines Tetraeders in konstantem Doppelverhältnis treffen, ferner die sogenannten
Tetraedralflächen u. a.
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
323
Richtung angestellten Untersuchungen*) hier in den Hauptzügen zusammenzufassen und in einigen Punkten zu ergänzen.
Wenn auch das Tetraeder, besonders in metrischer Hinsicht, eine
vielfach verwickeitere Konfiguration darbietet, als das Dreieck, so erfreut
es sich doch andererseits eines gewissen Vorzuges. Von der verwirrenden Mannigfaltigkeit der „merkwürdigen" Punkte (resp. Geraden)
des Dreiecks bleibt bei der Ausdehnung auf das Tetraeder, wie es
scheint, nur eine verhältnismäßig kleine Anzahl bestehen; die Mehrzahl
geht über in gewisse ausgezeichnete Flächen zweiter Ordnung resp.
Klasse.
Damit ordnet sich von vornherein die Theorie des Tetraeders der
Theorie der allgemeinen quadratischen Formen in höherem Maße
unter, als die Theorie des Dreiecks. Auch der Umstand, daß die Anzahl der Dimensionen des Raumes ungerade ist, erweist sich als vorteilhaft.
Wir betrachten das Tetraeder zuvörderst als eine, in sich dualistische ausgeartete Fläche vierter Ordnung resp. Klasse und setzen
diese in Beziehung (d. h. Schnitt resp. Berührung) zu andern Flächen
gewisser Ordnung resp. Klasse, insonderheit zum Kugelkreise.
Eine erste Gruppe von Sätzen stellt Ausdehnungen des Pascalschen
Satzes über Kegelschnitte und verwandte Erscheinungen dar. Man faßt
zweckmäßig Sätze dieser Art als Spezialfälle einer umfassenderen Klasse
von Erscheinungen auf, was analytisch darin seinen Ausdruck findet,
daß man sie gewissen Identitäten unterordnet.
Das vorgelegte Tetraeder mit den Ecken Ai und den Gegenebenen
Af (i = 1, 2, 3, 4) diene als Koordinatentetraeder, wobei der Mittelpunkt
der ihm einbeschriebenen Inkugel als Einheitspunkt (mit den Koordinaten 1 , 1 , 1 , 1 ) benutzt werde. Die Kante AlAm (x{ = 0, xk = 0) sei
mit JeXm bezeichnet, die inneren Flächenwinkel**) (A„ Am) mit yXm9 deren
Kosinus mit cXm.
*) Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, IX 1 (1900) p. 91;
XH (1903) p. 137; Archiv für Math. u. Physik (3) 1 (1901), p. 372; (3) 5 (1903),
p. 168, 282; (3) 8 (1904), p. 135.
**) Diese sechs Flächenwinkel sind an eine bestimmte Relation gebunden, die
ihren einfachsten Ausdruck darin findet, daß die Determinante \cik\ der Gleichung
(IV) des Kugelkreises verschwindet. Auch die Unterdeterminanten dieser „Kugelkreisdeterminante" \cik> stehen in einfacher Beziehung zu den Bestimmungsstücken
des Tetraeders. Ist rik die erste Unterdeterminante von cik, und bedeuten
z f ^ ^ , ^ , A± die Inhalte der Seitenflächen des Tetraeders, so lehrt einmalige Ränderung von lcfk\ mit Punktkoordinaten x, daß rfll proportional wird mit^;zfA..
Der Proportionalitätsfaktor bestimmt sich aus der Formel für die Entfernung zweier
21*
1
324
H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
Ein Punkt ,jcik" auf der Kante Jeik ist durch seine Koordinate
Xi
x
/
Xj\
ik ^ ~~
( °der auch durch xki = —
) bestimmt, dualistisch eine Ebene
x
x
k \
u
99uik
iJ
u.
durch die Gegenkante Jem vermöge ihrer Koordinate uik = —
U
k
( oder auch durch u
UJL\
ki
= — j.
Ein Punkt xik hegt dann und nur dann
auf einer Ebene uki9 wenn x{u. + xkuk = 0 i L
x
(!)
wenn:
uki.
ik
Um z y k l i s c h e Anordnungen zu erzielen, zerlege man das Tetraeder in windschiefe Vierecke, was offenbar auf drei Arten möglich ist:
A±A^A$A±, A^A^A^A^, A1AitA2A%, und greife etwa das erste Viereck
AtA^A^A^ heraus.
Es liege ferner eine Fläche n. Ordnung Fn vor:
(2) Fn = ( a Ä " + akxk« + a%x? + amx«) + • • • = 0 , (i, h, l, m = 1,2,3,4),
die durch keine Tetraederecke gehe. Das Produkt Pik der Koordinaten
a> x?k> • "> tfk ^ e r n Schnittpunkte von Fn mit der Kante Jcik bestimmt sich durch:
x
Punkte, angewandt auf eine Höhe des Tetraeders. Sind ^ , ^ , / i j , &4 die Längen
der vier Höhen, T das Volumen des Tetraeders, so kommt:
x
y
a
**i jg ji* '
und — rik ist das Produkt der beiden, zu den Ecken Ai und Ak gehörigen
Eckensinus.
Ist andererseits TJ2 J2 {ii+s\i
*8 =H^a) diejenige zweite Unterdeterminante von
| c{ k |, die durch Streichung der *1ton, Jcx**n Horizontalreihe und der *sten,ft2tenVertikalreihe entsteht, bedeuten ferner s, , s, m die Sinus der Flächenwinkel yx , y, ,
und werden die Indizes t, ft, Z, m in zyklischer Folge genommen, so lehrt die
Formel für den Winkel zweier Geraden, daß:
*%% - »Jkmt sh^cos
(hm, i \ m j i
wo die Richtung der Kanten in dem angegebenen Sinne zu erfolgen hat. Im besondern ist hier die Formel:
*ik
=
c
kl +
C
km Clm s=
S
km Slm C0S (fkmi
k
lm)
nichts anderes als die Grundformel der sphärischen Trigonometrie, angewandt
auf das Dreikant A{, während:
*lr =
C
il ckm -
C
im Ckl -
den Winkel zweier Gegenkanten liefert.
\k Slm C0S (kik .
k
lm)
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
(3)
325
PU-(-VT<*;
„Mithin gilt für das Produkt X der zyklisch angeordneten Koordinaten xW, x{$, x^2, x$ (r = 1, 2, • • -, n) aller 4n Schnittpunkte einer
Fläche n. Ordnung Fn mit den Kanten des Vierecks A^A^A^A^:
(la)
X - l ,
und dualistisch für das Produkt U der zyklisch geordneten Koordinaten
aller 4v Berührungsebenen, die durch die Kanten des Vierecks an eine
Fläche v. Klasse Ov gehen:
(Ib)
17-1."
Aber auch umgekehrt*) hegen viermal n Punkte auf den Kanten
des Vierecks A1A2A%A4c (von denen keiner in eine Ecke fällt) auf
einer Fn, wenn die Bedingung (Ia) erfüllt ist, und dualistisch für (Ib).
Besonders häufig wird von dem Spezialfall n resp. v = 1 Gebrauch
gemacht.
Die Identitäten (Ia), (Ib) seien zum Andenken an Carnot, der sie
im Falle des Dreiecks und für n = 2 zuerst (in geometrischer Gestalt)
aufgestellt und verwendet hat, die Oarnotschen Identitäten genannt.
Diese Identitäten werden in Verknüpfung gesetzt mit einer gewissen zyklisch fortschreitenden Verbindung je dreier Punkte (resp.
Punkte-w-tupel) auf drei verschiedenen Kanten des Vierecks durch
Ebenen (resp. Fn). Da diese Art von Verbindung, wiederum im Falle
des Dreiecks und für n = 2 zuerst von Pascal bei Aufstellung seines
bekannten Kegelschnittsatzes ausgeübt wurde, sei sie als Pas cal s che s
Verbindungsprinzip bezeichnet.
Der einfachste Typus dieser Verbindung tritt für 3 . 4 Punkte ein.
Dann liegt auf jeder Kante kik des Vierecks ein Tripel von Punkten
xik, x\k, x'ik. Diese 12 Punkte verbinde man durch 4 Ebenen nach
dem Schema:
X
\2l
i
n
2S>
X
X
i
n
U*> ^23» ^34? ^41?
r
X
U9
it
i
n
^41? ^125 ^41* ^12* ^23?
*) Der Beweis beruht auf der evidenten Tatsache, daß sich n (von Null verschiedene) Größen, deren Produkt den Wert Eins besitzt, in die Gestalt —,
,
- , . . . , — setzen lassen. Im Falle der Ebene (eines Dreiecks) tritt die Modifikation ein, daß (laj und (Ib) zu ersetzen sind durch X={— l) n , U={— 1)*. Für
ein ungerades n lassen sich n Größen mit dem Produktwert — 1 in die Gestalt
-* bringen.
V—
326
n. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
so schneiden diese Ebenen auf der jeweiligen Restkante die Restpunkte
%> 0i2> %> % a u s - Bedeutet jetzt X das Produkt aller 12 x, Z dasjenige aller 4 z, so führt die Multiplikation der vier korrespondierenden
Formeln (Ia) (n = 1) zu der Identität:
(H)
XZ-1.
Erhält also im besondern X den Wert Eins, so auch Z, und umgekehrt. Dies sagt aus:
„Liegt auf jeder Kante eines windschiefen Vierecks ein Tripel von
Punkten (je mit Ausschluß der Ecken), und verbindet man diese
12 Punkte nach dem Pascalschen Prinzip durch 4 Ebenen, die dann
noch 4 Restpunkte ausschneiden, so hegen die 12 Punkte dann und
nur dann auf einer FS9 wenn die 4 Restpunkte auf einer Ebene („der
Pascalschen Ebene") liegen." („Pascalscher Satz für Flächen 3. Ordnung.")
Es hat keine Schwierigkeit, diesen Satz auf eine Fhn und ihre
Pascalsche Fn zu übertragen*), resp. auf eine <&3v und ihre Pascalsche <&v.
Andererseits führt die gleichzeitige Verwendung der Identitäten
(Ia) und (Ib) in Verbindung mit (1) zu einem in sich dualistischen
Satze. Auf jeder Kante des Vierecks befinde sich wieder ein Punktew-tupel, das von der Gegenkante je durch ein Ebenen-w-tupel projiziert werde. Bezeichnet wiederum X das Produkt der zyklisch angeordneten Koordinaten aller 4n Punkte, U das entsprechende für
die An Ebenen, so folgt aus der Identität:
(HI)
XU=1
für X - l , tf=l**) der Satz:
„Gehören 4 Punkte-w-tupel auf den Kanten eines windschiefen
Vierecks einer Fn an, so sind auch die 4w von den Gegenkanten aus
projizierenden Ebenen Berührungsebenen einer On, und umgekehrt."
*) Andererseits geht aus dem Pascalschen Satze für Fz ein solcher für Raumkurven 3. Ordnung hervor, indem man die Kurve von jeder Ecke At auf die Gegenebene A; durch einen Kegel 3. Ordnung projiziert.
Das Pascalsche Verbindungsprinzip läßt sich auch auf F2 anwenden, indem
man immer nur je 2 der 8 Punkte xik, xkl durch eine beliebige Ebene verbindet
und die beiden Restpunkte in Betracht zieht. Entsprechend bei einer Fi/r
**) Auch der Fall X = — 1, U= — 1 hat eine einfache Bedeutung. Z. B. für
n = 1 ergibt sich : Sind die 4 Kanten eines windschiefen Vierecks Tangenten
einer Ft, so sind die 4, die Berülirungspunkte je von der Gegenkantft aus projizierenden Ebenen die bez. Tangentialebenen der Ft.
Im Falle der Ebene tritt an die Stelle von (III): X * 7 = ( — 1)", so daß der
Satz des Textes nur für ein gerades n gilt.
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
327
Ist etwa für n = 2 die Gleichung der F2: Eaikx{xk = 0, so lautet
die der zugehörigen 02:
(4)
^-Ef-EEu^^-O.
a a
u kk
Wählt man im besondern als &2 den Kugelkreis K:
(IV)
K = EE uik cik = 0
(cu = - 1, cik = cos yik),
so wird die Gleichung der zugehörigen F2:
(5)
-
z* + x22 + x32 + x2 + EE x,xkcik - 0,
d. i. wegen der Symmetrie in den x:
„Die 6 Punktinvolutionen, die auf den Kanten eines Tetraeders
ausgeschnitten werden durch die 6 rechtwinkligen Ebeneninvolutionen,
deren Achsen die jeweiligen Gegenkanten sind, sind konjugiert in bezug
auf eine (einzige) bestimmte F2 (5)."
Nunmehr fasse man alle drei Vierecke des Tetraeders gleichzeitig
ins Auge, andererseits dessen vier Dreiecke.
Man gehe zunächst wieder von einer F2 aus: EEa^x^
= 0.
Die F2 schneidet aus der Kante Jeik das Punktepaar xik9 xik aus:
x2aH + 2xixkaik + x2akk - 0.
(6)
Für xikxik=pik
(7)
= -£- ergibt sich:
Ax = PnPuPa « 1, A2 =P4sP31pu - 1,
A = P12JP24-P41 = ! ; A =PizP%2P2i = !^
(8)
M12 =P12PMPUPA1
- 1, M13 ^ j P w ^ ^ Ä i - ! ?
Bildet man andererseits die linken Seiten der Relationen (7), (8)
für 6 ganz beliebig gewählte Wertepaare xik, xik, so gelten ersichtlich
die Identitäten:
(V)
A1A2A3Aà = 1; M12 = AXA2, M13 = AtA3, Mu = AXAV
Sind also im besondern drei der A = 1, so auch das vierte, und
damit auch jedes M; sind drei der A = — 1, so auch das vierte, jedes
M ist aber wieder = + 1. Umgekehrt, sind alle M= 1, so sind entweder alle sl = 1, oder aber alle = — 1. Das ist der Inhalt des
Satzes:
„Wenn von 6 Punktepaaren auf den Kanten eines Tetraeders dreimal die 3 Punktepaare je in einer Tetraederebene einem Kegelschnitt
C2 angehören, so auch das vierte, und die 4 C2 gehören einer F2 an.
Weiß man aber nur, daß die 4 Punktepaare auf jedem der 3 Vierecke
des Tetraeders einer F2 angehören, so sind zwei Fälle möghch. Ent-
328
II* Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
weder hegen wieder alle 6 Punktepaare xik, xik auf einer F2, oder
aber die 6 Punktepaare yik, yik, wo je (xikyik)(AiAk),
und
(x^y^
(A.Ak) harmonische Paare sind."
Ersetzt man wiederum die 6 Punktepaare durch 6 Punkte-w-tupel,
so treten an die Stelle der F2, C2 entsprechend Flächen resp. Kurven
n. Ordnung Fn, Cn.
Zugleich gilt, auf Grund von (1), der oben für ein Viereck ausgesprochene Satz für das ganze Tetraeder:.
„Gehören 6 Punkte-w-tupel auf den Kanten eines Tetraeders einer
Fn an, so auch die G von den Gegenkanten aus projizierenden Ebenenw-tupel einer <DW, und umgekehrt."*)
Eine weitere Gruppe hierhergehöriger Sätze erhält man, wenn man
den Ebenen des Tetraeders die Dreikante der Gegenecken zuordnet.
Auf Grund wiederholter Anwendung von (Ia) und des bisher befolgten
Multiplikationsprinzips ergibt sich so:
„Schneidet man jedes der 4 Dreikante eines Tetraeders mit einer
Fn, so gehören die so erzeugten 3 • 4 • n = 6 • 2 • n Schnittpunkte dann
und nur dann einer F2n an, wenn die von den 4 Fn auf den Gegenebenen des Tetraeders ausgeschnittenen 4 Gn einer F2n angehören**)
(u. entspr. dualistisch)."
Die Ausdehnung der bisherigen Sätze, die sich kurz als PascalCarnotsche Geometrie des Tetraeders charakterisieren lassen, auf
den Raum von d Dimensionen bietet keine prinzipiellen Schwierigkeiten.
Durch geeignete Projektion solcher Konfigurationen auf niedere Räume
findet man neue Sätze.
Hieraus folgt u. a. sofort der Satz: „Berührt jede von 2 F2 sämtliche
Kanten eines Tetraeders, so hegen die 2 • 6 Berührungspunkte wiederum
auf einer F2" Dagegen ist der analog von Gergonne formuherte
Satz: „Die 3 • 4 Berührungspunkte dreier, einem Tetraeder einbeschriebenen <P2 gehören einer F2 an", nicht richtig, wie Herr Sturm (Arch.
f. Math. Phys. (3) 5 p. 9 [1903]) gezeigt hat.
*) Im Falle n = 2 fallen die Fs und # 2 dann und nur dann zusammen, wenn
das Tetraeder ein Poltetraeder der F% resp, $ 8 ist.
**) Für n = 1 kommt man auf einen bekannten Satz von Chasles zurück. Aus
ihm läßt sich ein interessanter Grenzfall ableiten. Die 2 • 6 Punktepaare seien
reell, und je drei einer Ecke A^ zunächst gelegene Punkte mögen der Ecke bel i e b i g nahe rücken. Dann kommt: „Vier Ebenen durch die Ecken eines
Tetraeders sind dann und nur dann die Berührungsebenen einer dem Tetraeder
umbeschriebenen Fläche 2. Grades, wenn die Spuren jener Ebenen in den Gegenebenen des Tetraeders einer Regelschar 2. Grades angehören, und umgekehrt."
Wir werden diesem Satze weiter unten in einem ganz andern Zusammenhange
begegnen.
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
329
War bisher ausdrücklich festgesetzt, daß die das Tetraeder bezw.
gewisse Kanten desselben schneidenden Flächen durch keine Ecke gehen
ollten, so gibt es auch Sätze, wo diese Beschränkung wegfällt. „Markiert man z. B. auf jeder Kante Jeik einen bestimmten (in keine Ecke
allenden) Punkt BXm9 und legt jeweils durch eine Ecke A. und die
\ Punkte Bkx, Bkm, BXm diejenige Fläche 2. Ordnung F2^\ die noch
lurch einen beliebig, aber fest gewählten (keine Kante treffenden)
Kegelschnitt K geht, so schneiden sich diese vier Flächen in einem
ind demselben Punkte."
Auch dieser Satz (der entsprechend im Räume von d Dimensionen
rilt) läßt sich einer einfachen Identität unterordnen.
Der Kegelschnitt K werde aus der Ebene ux = 0 durch die ihn
nit den Ecken A{ verbindende Fläche 2. Ordnung A:
9)
A = axx = a12x1 x2 +
f- a3±x3xà = 0
4
Lusgeschnitten. Durch K geht eine oo -Schar von Flächen 2. Grades F:
10)
F=
u.vm-amm-0.
Soll F durch A{ gehen — F sei alsdann mit F® bezeichnet —,
io lautet die Gleichung von F®:
;n)
m =
umvt-a„~.a,
no zur Abkürzung gesetzt ist:
12)
V, = xkvki + xxvxi + xmvmi
(i, Je, l, m - 1, 2, 3, 4).
F® schneidet aus Jeim noch einen Punkt Bkf aus, analog F^ aus
cim noch einen Punkt B^K
Sollen beide Punkte in einen einzigen
Bkx zusammenfallen, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß:
Multipliziert man diese 6 Relationen je mit xixm und addiert, so
resultiert die fragliche Identität:
VI) •
a„ = £xt«,rt.
Hieraus geht der genannte Satz hervor, denn die 4 Flächen F®
schneiden sich in dem durch die Gleichungen:
;u)
Vi-Vi-r^r,,
bestimmten Punkte. Dies gilt auch dann noch, wenn der gemeinsame
Wert der 4 Vi gleich Null ist.
Ist im besondern K der Kugelkreis, so schneiden sich die 4 Kugeln
lurch Ai9 Bkx, Bkm, Blm in einem Punkte.*)
*) Der Satz ist von Herrn W. Haskeil (Archiv f. Math. u. Phys. (3) 5,
p. 278 (1903) aufgestellt und bewiesen worden. Den obigen Beweis der projektiven
330
H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
Der entsprechende Satz in der Ebene weist eine spezifische Eigenart auf. Ist hier der gemeinsame Wert der drei in Frage kommenden
Größen Vi gleich Null, so sagt das aus, daß die 3 Punkte B auf den
Seiten des Grunddreiecks in einer Geraden liegen, und umgekehrt.
Somit schneiden sich die 4 den 4 Dreiseiten eines Vierseits umbeschriebenen, zugleich noch durch zwei feste Punkte K1} K2 gehenden Kegelschnitte in einem Punkte.
Sind wiederum im besondern K19 K2 die beiden imaginären Kreispunkte, so hat man den Steinerschen Satz, daß die 4 Umkreise der
4 Dreiseite eines Vierseits durch einen Punkt gehen.
Gerade hieraus läßt sich aber sofort folgern, daß der entsprechende
Satz in einem Räume von mehr als 2 Dimensionen nicht richtig ist.
Also schneiden sich z. B. die 5 Umkugeln der 5 Tetraeder eines
Fünfflachs nicht in einem Punkte. Ferner schneiden sich zwar je 4
der Umkugeln auf der fünften Ebene des Fünfflachs, aber diese neuen
5 Punkte hegen ebensowenig auf einer Kugel.
Bisher war das Tetraeder als ein allgemeines vorausgesetzt. Auf
die vielfach aufgestellten Sätze über spezielle Tetraeder (z. B. solche,
in denen sich die 4 Höhen in einem Punkte schneiden), sowie über
zwei Tetraeder in besonderer (hyperboloidischer, perspektivischer) Lage
sei hier nur hingewiesen.
Nur ein Satz dieser Gattung sei hervorgehoben, da er zeigt, welche
Vorsicht bei der Übertragung von Sätzen der Ebene auf den Raum
obwalten muß.
Es seien drei Tetraeder mit den Ecken Aiy Bi9 C{ (i = 1, 2, 3, 4)
gegeben, die nur der einzigen Bedingung unterliegen sollen, daß die
vier Ebenen (A^C-) sich in einem Punkte schneiden. Nach Analogie
mit dem Satze des D e s a r g u e s für zwei Perspektive Dreiecke in der
Ebene wäre zu vermuten, daß dann auch die vier Schnittpunkte der
entsprechenden Gegenebenen A;, Bi9 f. in einer Ebene hegen, und umgekehrt. Das ist indessen im allgemeinen nicht*) der Fall, wie man
leicht erkennt, wenn man z. B. die drei Tetraeder so wählt, daß zwei
von ihnen eine zugeordnete Ecke gemein haben.
Die bisher besprochenen Gruppen von Sätzen bilden gewissermaßen
eine Einleitung in die Theorie des Tetraeders, da nur von den elementarsten Hilfsmitteln Gebrauch gemacht wird.
Verallgemeinerung des Satzes, nebst einer Reihe weiterer Folgerungen, hat der
Vortragende ib. p. 282 abgeleitet.
*) Folglich ist auch die dem Falle der Ebene versuchsweise entsprechend
gebildete Determinantenidentität im allgemeinen nicht gültig.
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
331
Nunmehr werde sowohl der Kugelkreis, wie die eingangs ervähnte Transformation systematisch herangezogen.
Die Erweiterungen, die eintreten, wenn der Kugelkreis K (IV)
lurch eine mehr oder weniger allgemeine Fläche 2. Klasse ersetzt wird,
nögen an der jeweiligen Stelle hervorgehoben werden.
Es gibt acht dem Tetraeder einbeschriebene Kugeln. Deren (reelle)
Mittelpunkte sind die „Einheitspunkte" Mt*) (i = 1, 2, • • -, 8), d. i. die
3
unkte, deren Koordinaten, bis auf das Vorzeichen, der Einheit pro>ortional sind. Diese H Einheitspunkte M sind die Grundpunkte eines
Netzes N von Flächen 2. Ordnung:
15)
JV= %(x2 - x22) + X(x2 - x32) + [ifa2 - x2) - 0.
Eine Fläche 2. Klasse <&2 = EEa^u^ = 0 ist dann und nur dann
tonjugiert (apolar) zu allen Flächen des Netzes N, wenn:
16)
an — ^ = «33 — au.
Im besondern ist also ein Punktepaar P = ( # ) , Q = (y) mit der
jleichung &2 == uxuy = 0 dann und nur dann konjugiert in bezug auf
die Flächen von N, wenn die xi den y{ umgekehrt proportional sind:
vn)
P ^ = I.
Die Punkte (x)9 (y) sind dann entsprechende Punkte der eineinleutigen kubischen Verwandtschaft T (Vn).
In der Schar von Flächen 2 Klasse:
17)
VUxuy — K = 0
jibt es eine und nur eine Fläche &9 in deren Gleichung wegen (VH)
lie Quadrate der u herausfallen, die also dem Tetraeder einbeschrieben
st. Ist umgekehrt 0 eine solche dem Tetraeder einbeschriebene Fläche
}. Klasse, daß sich in der Schar coCP + K = 0 ein Punktepaar (x)9 (y)
>efindet, so sind (x)9 (y) konjugiert in bezug auf das Netz N.
Nun bedeutet die Schar (17) eine Schar konfokaler Rotationslächen 2. Ordnung mit P , Q als den beiden festen Brennpunkten, und
imgekehrt läßt sich jede Rotationsfläche 2. Ordnung auffassen als Individuum einer Schar von Flächen 2. Klasse, der K und das Paar ihrer
>eiden festen Brennpunkte angehört.
*) Wie leicht zu sehen, geht irgend eine Verbindungsgerade zweier Einheitsmnkte entweder durch eine Ecke oder sie trifft zugleich zwei Gegenkanten.
Jmgekehrt gehen durch jede Ecke vier Gerade, die je zwei der Einheitspunkte
ragen. Markiert man andererseits auf jeder Kante kik die beiden Punkte Hik,
B[-k, in denen sie von den Halbierungsebenen des gegenüberliegenden Flächenwinkels
getroffen wird, so trägt jede der vier Geraden Hlk.HXm, HikH{m, H-kHXm, HlkHXm
in Paar der Einheitspunkte. Damit sind gerade die 28 Verbindungsgeraden der
I Einheitspunkte erschöpft.
332
H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
Rückt im besondern der eine der beiden Punkte P, Q in bestimmter
Richtung ins Unendliche, so tritt der Grenzfall einer Schar konfokaler
Rotationsparaboloide ein, und umgekehrt läßt sich wiederum ein Rotationsparaboloid auffassen als Individuum einer Schar von Flächen
2. Klasse, der außer K das aus dem festen Brennpunkte der Fläche
und dem unendlich fernen Punkte ihrer Achse bestehende Punktepaar
angehört.
Somit gilt der Satz:*)
„Zwei korrespondierende Punkte der Transformation T (VII) sind
die Brennpunkte einer dem Tetraeder einbeschriebenen Rotationsfläche
2. Ordnung, und umgekehrt."
Zwei solche Punkte heißen, wie bei der analogen Erscheinung im
Dreieck, „Gegenpunkte" des Tetraeders. Die sich selbst entsprechenden
Punkte, die „Einheitspunkte" der Transformation T, sind die Mittelpunkte der dem Tetraeder einbeschriebenen Kugeln, fallen also mit den
obigen acht Einheitspunkten M{ zusammen.
Beschreibt**) ein Punkt P eine Gerade g, so durchläuft sein Gegenpunkt Q eine durch die Ecken A. gehende Raumkurve 3. Ordnung C3,
das „Bild" der Geraden g. Das Bild einer Ebene ist eine Fläche 3. Ordnung F3, die in den Ecken At Knotenpunkte besitzt. Ist im besondern
die Ebene die unendlich ferne Ew:
(Vm)
Ew = x1A + x242 + x343 + x±A - 0,***)
wo die jâi die Inhalte der 4 Tetraederdreiecke bedeuten, so wird die
entsprechende Fläche 3. Ordnung F£°h
(18)
*.,«_£ + £ + £ + £ _o.
1
8
8
4
Diese Fläche F3^f) ist demnach der Ort der Brennpunkte der
dem Tetraeder einbeschriebenen Rotationsparaboloide. Andererseits ist
sie, wie leicht zu zeigen, der Ort eines Punktes mit der Eigenschaft,
*) Dieser zuerst vom Vortragenden aufgestellte und bewiesene Satz (Arch. f.
Math. u. Phys. (3) 5, p. 168 [1903]) ist in der Straßburger Dissertation (1903) von
H. Berg er, „Über Rotationsflächen zweiten Grades, die einem gegebenen Tetraeder eingeschrieben sind" mit rein synthetischen Mitteln untersucht worden.
**) Vgl. F. Geiser, Journ. f. Math. 69 (1868), p. 179.
***) Die Gleichung (VH1) der unendlich fernen Ebene ist eine unmittelbare
Folge des „Projektionssatzes": d{ —4kcik+dxcix
+4tucim.
Die drei Produkte
rechterhand sind die Inhalte der Projektionen der Dreiecke dk, JXi dm auf das
Dreieck 4t.
f) Die Fsif») geht u. a. durch die 28 Mittelpunkte der 28 Strecken JM^M*.
Allgemein geht durch die 28 Mittelpunkte der 28 Strecken, die je zwei der 8 Grundpunkte eines Flächennetzes 2. Ordnung verbinden, eine Fläche 3. Ordnung.
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
333
aß die 4 Fußpunkte der von ihm auf die Tetraederebenen gefällten
ote in einer Ebene hegen.
Für diese Fläche F3^ lassen sich die bekannten Sätze über die
af einer behebigen Fläche 3. Ordnung gelegenen Kurven spezialisieren.
o gibt es auf ihr, abgesehen von den (vierfach zählenden) Tetraederanten, noch drei Gerade g19g2,g3, die in der Ebene:
L9)
'
E -£+£+£+£-0
^1
^8
4l
^4
egen. Projiziert man die F3^ von einer Tetraederecke A{ aus auf die
Ibene E, so hat man die einfachste Abbildung der Fläche auf die
Ibene.
„Auf Grund dieser Abbildung hat man ein Ubertragungsprinzip,
m die Geometrie des Dreiecks (der Geraden g19 g2 ,g3) auf die Fläche
y w ) und damit auf das Tetraeder selbst zu übertragen."
Die Theorie der Gegenpunkte beim Dreieck führt zu einer Reihe
on Sätzen über Kegelschnitte, die, durch gewisse Punkte bestimmt,
och durch gewisse weitere Punkte gehen.
Die entsprechende Theorie im Räume gestaltet sich ungleich mannigiltiger; es seien zwei Sätze dieser Art hervorgehoben.
In der Transformation T (VH) entspricht einer Ebene Et, die durch
Lne (und nur eine) Ecke A{ geht, ein Kegel 2. Ordnung Kt, der die
rei von Ai auslaufenden Tetraederkanten enthält. Die Spuren von E^
nd K{ in der Tetraederebene At- entsprechen sich in einer quadratischen
r
erwandtschaft Ti} deren Fundamentalpunkte die Ecken Ak, Ax, Am und
eren Einheitspunkte die Spuren G^\ GW, GP\ 6r/4) der vier Geraden
ind, die die 2 • 4 Punkte M. von Ai aus projizieren. Sucht man insesondere denjenigen Kegel K!, der das Bild der durch A{ zur Ebene Af
arallel gelegten Ebene E/ ist, so ergibt sich der Satz:
„Die durch eine Tetraederecke A{ zur Gegenebene \ parallel geigte Ebene Et trifft jede der 24 Geraden M{Mk, die nicht durch A{
eht, in einem Punkte Pik, zu dem man den bez. Mi} Mk vierten harìonischen Punkt Qik bestimme. Die 24 Spurpunkte der Geraden A^ Qik
i der Ebene Af hegen auf einem ,^eunpunkte-Kegelschnitte", der sowohl durch Ak, At, Am wie durch die 6 Mittelpunkte der 6 Strecken
lf\ <?/'> (r, s = 1, 2, 3 , 4) geht."
Ein entsprechender Satz gilt für jeden der Kegel Kv
Zweitens geht eine Ebene durch eine Tetraederkante Jeik vermöge
er Transformation T (VII) wieder in eine solche über. Diese Ebenen>aare durch Jeik bilden eine Involution, deren Doppelelemente die
lalbierungsebenen HU9 Hjk des Flächenwinkels yik sind. Jede dieser
334
U- Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
beiden Ebenen trägt 4 der 8 Punkte M. Seien etwa Ml9 M29 M39 Jf4
die 4 auf Hik gelegenen Punkte üf; die Gegenkante JcXm werde von Hik
in Hik getroffen. Die Ebene HiÄ. entspricht sich selbst vermöge (VII),
und zwar entsprechen sich die Punkte von Wik vermöge einer quadratischen Verwandschaft Tik mit den Fundamentalpunkten Ai9 Ak9 Hik und
den Einheitspunkten M19 M2, M39 M±. Insbesondere ist das Bild der
unendlich fernen Geraden (oik von Hik ein „Neunpunkte-Kegelschnitt" Cik,
der außer durch die 3 Punkte Ai9 Ak9 Hik noch durch die 6 Mittelpunkte
der 6 Strecken MrM9 (r9 s =1,2,
3, 4) geht.
Nun ist in der Transformation T das Bild irgend einer unendlichfernen Geraden ga des Raumes eine gewisse durch die 4 Ecken A
laufende Raumkurve 3. Ordnung.*) Da aber jede unendlichferne Gerade
gu die 12 Geraden &ik treffen muß, und umgekehrt eine Gerade, die
zwei solche Gerade œik trifft, eine Gerade gm sein muß, so hat man
das Ergebnis:
„In jeder der 12, die Flächenwinkel des Tetraeders halbierenden
Ebenen existiert vermöge der 4 auf ihr gegebenen Einheitspunkte M
ein bestimmter Neunpunkte-Kegelschnitt. Jede durch die Ecken des
Tetraeders gelegte Raumkurve 3. Ordnung, die zweien dieser 12 Kegelschnitte begegnet, trifft auch die 10 übrigen."
Die dualistischen Eigenschaften treten bei der Ebenenverwandtschaft
(VH')
tu*,«,-1
auf. Die beiden Verwandtschaften (VH) und (VH') sind aber noch in
einer besonderen Art miteinander verknüpft. Die Verwandtschaft (VH')
besitzt 8 Einheitsebenen M£. Diese lassen sich auf eine und nur eine
Art in zwei vierfach perspektiv **) hegende Tetraeder Tl9 T2 anordnen,
deren Ecken dann gerade die 8 Einheitspunkte Mi der Verwandtschaft
(VH) sind. Versteht man unter 1\, T2 zugleich die Produkte der
*) Die 16 Geraden, die je eine Ecke von Tx mit einer Ecke von 1\ verbinden,
sind gerade die 16, p. 331, Anm. *) erwähnten, durch die Ecken A{ laufenden
Geraden Jf,MÄ, während die zwölf übrigen, je zwei Gegenkanten treffenden, sich
aus den 2 • 6 Kanten der beiden Tetraeder T1? T9 zusammensetzen.
**) Diese oo 4 dem Tetraeder umbeschriebenen C9 stehen zu den oo 5 dem Tetraeder einbeschriebenen Flächen 2. Klasse $ 2 in der Beziehung, daß es, im allgemeinen, außer dem vorhandenen Tetraeder kein zweites gibt, das einer der C8
ein- und einer der $ 2 umbeschrieben wäre (und entsprechend dualistisch). Dagegen
gehören zu jeder der Os noch oo 3 (apolare) der $ 2 , und zu jeder der $ g noch oo 2
(apolare) der C8, so daß außer dem in Rede stehenden Tetraeder noch eine oo 2
lineare Schar solcher existiert (cf. W. Fr. Meyer, Apolarität und rationale Kurven,
Tübingen 1883, p. 279).
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
335
bezüglichen Ebenenformen, so herrscht (bei passender Wahl von Proortionalitätsfaktoren) die Identität:
20)
Tt — T2 = — 48# 1 #2#8#4.
\ und T2 bilden daher mit dem ursprünglichen Tetraeder ein Tripel
esmischer Tetraeder; dieselben zeigen auch insofern ein symmetrisches
erhalten', als immer die Ecken je zweier derselben die Grundpunkte
ines Flächennetzes 2. Ordnung bilden, und. die bez. des Netzes kontierten Raumpunkte eine Transformation von der Natur (VII) bilden,
eren 4 Fundamentalpunkte eben die Ecken des dritten Tetraeders sind
ind entsprechend dualistisch).
Aber auch umgekehrt, wie sich durch einfache Rechnung zeigen
ißt, sind drei vierfach Perspektive Tetraeder auch drei desmische, d. h. sie
ehören einem Büschel von Flächen 4. Ordnung an, oder, was dasselbe
it, es besteht für sie eine Identität von der Form (20), wenn man von
.usartungen absieht, also allgemein festsetzt, daß keine Ecke resp.
Ibene irgend eines der drei Tetraeder mit einer Ebene resp. Ecke eines
er beiden andern inzident sein soll. Dabei ist eines der drei Tetraeder,
as man wieder als Koordinatentetraeder wählen mag, willkürlich, desleichen eine Ecke M eines zweiten Tetraeders, dann aber sind die
ieben übrigen Ecken eindeutig bestimmt.*)
Das Netz Nt von Flächen 2. Ordnung durch die acht Ecken der
eiden letzteren Tetraeder tritt jetzt allgemeiner an die Stelle des
•üheren Netzes N, in das es speziell übergeht, wenn der Punkt M
er „Einheitspunkt", d. i. der Schnittpunkt der Halbierungsebenen der
ineren Flächenwinkel des ersten Tetraeders wird.
Andererseits verallgemeinert sich der Kugelkreis K jetzt in einen
äderen imaginären Kegelschnitt Kf (i = 1, 2, « • •, 8) vermöge einer
erjenigen acht Kollineationen, die das erste Tetraeder unverändert läßt
nd dessen Einheitspunkt in den beliebig gewählten Punkt M, d. h.
i irgend eine der acht Ecken der beiden anderen Tetraeder überfuhrt.
Es werde nunmehr eine andere wichtige Konfiguration in Betracht
ezogen, die unmittelbar durch Beziehung des Kugelkreises K (IV) zum
'etraeder erzeugt wird, nämlich die der Höhen des Tetraeders. Es sei
*) Aus dieser Umkehrung folgt u. a., bei metrischer Spezialisiernng, eine beLerkenswerte Ausdehnung des bekannten Satzes der Ebene „Die Mittelpunkte der
trecken der 3 Paare von Gegenpunkten eines vollständigen Vierseits liegen auf
iner Geraden" auf den Raum.
Greift man nämlich von 3 desmischen Tetraedern irgend 2 heraus, so gehen
eren 8 Ebenen auf 6 Arten zu je 4 durch 2 „Gegenpunkte". „Die Mittelpunkte
er 6 Strecken dieser 6 Paare von Gegenpunkten liegen alsdann auf einer Ebene."
336
H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
jedoch gleich betont, daß gerade die wesentlichsten Eigenschaften dieser
Konfiguration erst hervortreten, wenn man den Kugelkreis durch eine
beliebige Fläche 2. Klasse ersetzt. Die Fußpunkte H{ der Höhen h{
des Tetraeders haben die Koordinaten*):
(21)
*,-(),
xk=*cik,
xx=cix,
xm=cim
(t, *, ï, m -
1, 2, 3, 4).
Man erhält sie direkt aus der Definition der Höhen als derjenigen
Ecktransversalen, die zu den bez. Gegenebenen in Beziehung zum
Kugelkreis K konjugiert sind. Die Höhen ht sind alsdann (zu den
Gegenebenen) gleichzeitig konjugiert in Beziehung zu der ganzen oo 4 Schar von Flächen 2. Klasse <P2:
(22)
*iV+ W
+ X3u2+
A4ti4»+ AK = 0,
die sich linear zusammensetzt aus dem Kugelkreise K und der oo 3 Schar der &2, für die das Tetraeder Poltetraeder ist („Polarflächen").
Es gibt eine und nur eine Fläche 2. Klasse H, die die Ebenen A{
des Tetraeders in den Höhenfußpunkten Ht berührt:**)
(IX)
H = u1u2c12 + • . . + u3u±cu = 0.
Der Mittelpunkt L dieser Fläche H besitzt die Koordinaten
dv
*) Hieraus folgt sofort, da die Koordinaten der rechtwinkligen Projektion
eines Raumpunktes (y) auf die Tetraederebene kt die Werte # i = o, xk= yk
+ Vicik-> xi= 1ßi+ y%ciii xm= ym+Vicim besitzen, daß sich die Höhen eines
Tetraeders dann und nur dann in einem Punkte (rj) schneiden, wenn die zwei
Bedingungen c 1 8 c S 4 = clsc^=^= cléc28 erfüllt sind. Die Größen 77 sind alsdann bestimmt durch * = ik = —i^. In der Tat wird dann, wie es sein muß, die
Vk
Ckl
Ckm
linke Seite der Höhenfläche P(X') proportional] zum Quadrate von ul7\1 + w27fe
+ u&Vs + W4*Î4> indem die ^ 8 den Größen ai proportional werden. Ist nur eine
der beiden obigen Bedingungen erfüllt, so sagt deren Form den bekannten Satz
aus, daß, wenn sich zwei Höhen des Tetraeders treffen, dies auch fur die beiden
anderen gilt. Andererseits folgt aus der Theorie des Kugelkreises, daß die Bedingung c ls c g4 = clécM damit äquivalent ist, daß die beiden Gegenkantenfclg,JcS4c
aufeinander senkrecht stehen. Findet dies Ereignis also zweimal statt, so auch
das dritte Mal (und dies bleibt auch gültig, wenn der Kugelkreis durch eine
beliebige Fläche 2. Klasse ersetzt wird), und dann und nur dann treffen sich die
vier Höhen in einem Punkte. Und dieser Satz ist wiederum nur ein Spezialfall
des folgenden, der ebenso für ein ebenes Viereck gilt und übrigens auch elementar
leicht beweisbar ist. Nimmt man die Richtungen der Kanten in der zyklischen
Folge 1234, während die kik jetzt die absoluten Längen der Kanten bedeuten mögen,
so ist die Summe der drei Produkte („der skalaren Produkte der GegenkantenVektoren") kikklm cos (kik, kXm) gleich Null.
**) Die Fläche H gehört also der durch die ausgezeichnete, zum Flächennetze N apolare Polarüäche u^ + w 2 a + ws2 + w48 = 0 erzeugten konfokalen
Schar an.
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
337
)a andererseits der Schwerpunkt 5*) des Tetraeders die Koordinaten •îat, so sind beide Punkte Gegenpuukte des Tetraeders, also nach dem
Satz auf p. 332 die festen Brennpunkte einer dem Tetraeder einbeschrie>enen Rotationsfläche 2. Ordnung:
23)
Ml%
(^ + ^
+ 2 c«) + • - • +
MSM4 (-J
+ 4 + 2G,4) = 0.
3er Punkt L ist das Analogon zum L e m o in e sehen P u n k t beim
Dreieck.
Die Höhen hi gehören **) der einen Regelschar einer Fläche 2. Ordìung an, der „ H ö h e n f l ä c h e " R:
X) R = (it3 - jt4) (x±x2cu + x3x^c12) + (JC4 — %2) (xtx3cu
+ (^2
— x2xAc13)
X X
^ 3 / \ 1 A^ÌS ~i *^2 ^8 ^14/
==
^;
*ro:
J4)
3]C ===
2
^12 C 34?
^3==C13C24;
^ é "
C
14 C 23'
Als Klassenfläche P aufgefaßt, hat die Höhenfläche zur Gleichung:
X')
P=Ul2Ö1 + U2262 + U3263+U264:+ (7C3+tf4)(c84%M4 + q 2 % 0
+ 6&2 + tfj (C24W2%+ C13%W3) + 0*2+ %) (C23W2W3+ ^ u ^ O = 0>
vo:
25)
o-, = cikcixcim
(i, Je,l,rn=
1, 2, 3, 4).
Es zeigt sich nun, daß die d r e i erwähnten Haupteigenschaften der
*) Der Schwerpunkt S ist seinerseits Mittelpunkt zweier ausgezeichneter
Tlächen 2. Ordnung (Ellipsoide); einmal der Fläche, die die Kanten des Tetraeders
n ihren Mittelpunkten berührt (oder, was dasselbe ist, aus den Dreiecken des
Tetraeders die Steinerschen Ellipsen ausschneidet), andererseits der Fläche,
lie die Ebenen der Dreiecke in deren Schwerpunkten berührt. Der bekannte Satz
iber den Schwerpunkt des Dreiecks als Mittelpunkt der Steinerschen Ellipse läßt
iaher eine doppelte Ausdehnung auf das Tetraeder zu.
**) Ein ähnlicher Satz gilt in Beziehung auf eine beliebig, aber fest gewählte
îbene: Fällt man von den Ecken At des Tetraeders Lote auf eine feste Ebene
ind von deren Fnßpunkten wiederum die Lote auf die bez. Ebenen k{ des Teiraeders, so gehören die letzteren vier Lote einer Regelschar 2. Grades an." Auch
lieser Satz bleibt erhalten bei Ersetzung des Kugelkreises durch eine beliebige
Fläche 2. Klasse. Das ist eine Erweiterung des Satzes über den „Lotpunktu beim
[)reieck (s. K. Cwojdzinski im Archiv f. Math. u. Phys. (3) 1 [1001], p. 175). Zu der
Konfiguration der Höhen sei noch bemerkt, daß sich bekannte Sätze des Dreiecks
îur teilweise auf das Tetrader übertragen lassen. Fällt man z. B. von jedem
Söhenfußpunkt JEi auf die drei Kanten der Ebene K. Lote, so liegen die 3 • 4 Fußpunkte dieser Lote auf einer Fläche 2. Ordnung. Fällt man dagegen von H. die
Lote auf die drei von A} auslaufenden Kanten oder auch auf die drei anderen
Tetraederebenen AA, A p A w , so gehören beidemal die 3 • 4 Fußpunkte der gefällten Lote keiner Fläche 2. Ordnung an.
Verh. d. LH. Internat. Mathem- Jvongr. Heidelberg 1904.
22
338
U. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
Höhen, sobald man den Kugelkreis durch eine beliebige Fläche 2. Klasse
ersetzt, sobald also die 6 Größen cik ganz behebig gewählt sind, einander
ä q u i v a l e n t werden.
Seien t. irgend vier Ecktransversalen des Tetraeders, T. ihre Spuren
in den Gegenebenen Af. Stellt man dann jeweils die drei notwendigen
und hinreichenden Bedingungen dafür auf, daß:
(A) die Geraden t{ zu den Ebenen \ konjugiert sind in bezug auf
irgend eine Fläche 2. Klasse <&2 (und damit von selbst für eine
ganze oo 4 -Schar*) solcher);
(B) daß eine Fläche 2. Klasse H existiert, die die Ebenen Af in den
Punkten T. berührt;
(C) daß die vier Geraden t{ der einen Regelschar einer Fläche 2. Ordnung resp. Klasse R = P angehören,
so sind diese 3 Bedingungen jedesmal die nämlichen.
Dieser Satz werde kurz als „ T r a n s v e r s a l e n t h e o r e m " des Tetraeders zitiert.
Der algebraische Ausdruck**) dieser drei Bedingungen ist einfach
*) Dies stimmt überein mit einem bekannten Abzählungsprinzip. Für vier
beliebig gewählte t- und eine unbekannte # g repräsentiert die Forderung (A) acht
Bedingungen, so daß es zunächst scheint, als ob stets eine oo 1 -Schar von zugehörigen $ 2 existiert. In Wahrheit gibt es eine solche $ â erst nach Erfülltsein
dreier Bedingungen für die tn dann aber muß auch die Schar der $ 2 eine
o o 1 + 3 sein.
**) Die Äquivalenz der Bedingungen (26) und (C) findet sich schon bei
0. Hermes, J. f. Math. 56 (1859), p. 218. Hieran schließen sich Sätze über vierfach
Perspektive Tetraeder beiKDoehlemann, Arch. f. Math. u. Phys. (2) 17 (1899), p. 160;
s. auch L. Klug, ib. (^ 8 (1904), p. 157). Sind die Koordinaten der 4 Punkte T- zunächst als 3 • 4 beliebige Größen ßik, ßn, ßim gegeben, so erhält man die 3 Bedingungen des Textes in der einfachsten Form, wenn man noch zur Abkürzung
ft*_
_
*
setzt:
- ^ l ^ f t l A i A s ™ 1 ! ^2—^18^84^41
= 1
i
A
t =
#21 #14 #42 = *1 AA = #12#23#81 = *•
Denn diese 4 Bedingungen, die vollkommen von der Gestalt (7) sind, reduzieren
sich vermöge der Identität Ax A^ ASA± = 1 auf drei. Sind sie erfüllt, so lassen
a
i
sich sofort 4 (Größen ax, a 2 , a s , a4 angeben, so daß pki = — wird. Dann aber
a
k
ergeben sich für a$ik=
ccik, akßki = ockf gerade die symmetrischen Größen (26).
Analoge Erscheinungen treten auf für solche Punktquadrupel Tn deren Koordinaten
sich in die Form ßfk bringen lassen, wo ßik= — ßkr
Diese Bedingungen sind
äquivalent mit jeder der beiden Forderungen:
(A) Die Ecktransversalen t. sind zu den Ebenen A?. konjugiert in bezug auf irgend
ein Nullsystem (und damit von selbst für eine ganze oo4-Schar solcher);
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
339
1er, daß die Koordinaten der Punkte T. solchen Größen aik, aix, ccim
[i, /•', l, m = 1, 2, 3, 4) proportional gesetzt werden können, daß stets:
"f* 8 "*«
£6)
wvrd, oder kürzer gesagt, daß die aus den Koordinaten der Punkte Ti
gebildete Determinante in eine s y m m e t r i s c h e Gestalt Aa gebracht
werden kann. Diese <) Größen aik (26) sind dann zugleich die Koeffizienten der Fläche H (IX) (mit der Determinante z/ a ) und treten im
übrigen an die "Stelle der früheren speziellen cik.
Neben das obige Theorem tritt das dualistische.
Die Bedingungen (26) mögen noch weiter verfolgt werden. Sie
sind z. B. stets erfüllt für vier durch einen Raumpunkt (y) laufende
Ecktransversalen t.. Denn die Koordinaten von T{ lassen sich offenbar
in die Form setzen:
27)
«<* - ViVk, "il = ViVv «im - ViVm,
and umgekehrt, wenn stets ccik = y{yk, so entstehen die T. durch Projektion des Punktes (//) von den Ecken Ai aus.
Man gehe ferner von zwei behebig gewählten Wertsystemen (26):
[ccik), (an) aus, die also zwei Quadrupel von Punkten Tiy T[ darstellen.
Dann ist für jeden Wert von k auch (ccik+ luik) ein solches, das den
Punkten Tfî entsprechen möge.
Durch den gleichen Wert von l sind dann die 4 Geraden
f{= (Ti9 T!) p r o j e k t i v aufeinander bezogen. Auf irgend zwei der
B) Es existiert ein Nullsystem (mit den Koeffizienten ßfk) derart, daß in bezug
auf dasselbe die Punkte T. die Pole der Ebenen Af sind.
Nur zu der Eigenschaft >C) des Textes existiert kein unmittelbares Analogon.
Zu diesen Punktquadrupeln Ti (ßik= — ßkl) gehören u. a. die Schnittpunkte
iiner Geraden mit den Tetraederebenen, ferner die Spuren der in den Ecken A.
m eine dem Tetraeder umbeschriebene Raumkurve 3. Ordnung gelegten Tangenten,
mdlich die Schmiegungspunkte einer dem Tetraeder einbeschriebenen Raumkurve
i. Ordnung. Die weitere Bedingung, die diese drei speziellen Punktquadrupel
charakterisiert, lautet der Reihe nach:
012 084 +
1
.
012 084 +
018 042 +
1
014 028 =
,
°1
1
0
*
à'*
018-3-+
042
014 02! = '
^012 084 +^018 042 + ^ 0 2 8 = 0 .
/Luch die Sätze des Textes über zwei und drei Punktquadrupel T. lassen sich auf
len Fall ßik = — ßki unmittelbar übertragen. Es sei noch bemerkt, daß aus den
Bedingungen (26) auch leicht ein einfacher algebraischer Beweis des bekannten
Satzes folgt, daß die Figur zweier vierfach-perspektiver Tetraeder eine in sich
iualistische ist.
22*
340
H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
Geraden gi9 gk erhält man unmittelbar ein drittes Paar zugeordneter
Punkte durch die Schnittpunkte mit der Kante £ ïw (#*==0,
xk=0).
Je vier auf diese Weise korrespondierende Punkte TW sind daher die
Berührungspunkte einer dem Tetraeder einbeschriebenen Fläche 2. Klasse
<1>2W, und diese Flächen bilden eine lineare Schar <&2 + k <&2 usw.
Die aus den beiden Systemen (ccik), (a'ik) zu bildenden zweireihigen
Determinanten repräsentieren, wie man aus der Theorie der Kegelschnitte weiß, acht unabhängige Konstanten.
In der Tat kann man durch Umkehrung obiger Figur von vier
willkürlichen Geraden gi in den Tetraederebenen \ ausgehen.
„Diese vier Geraden gi sind alsdann durch die Forderung, daß je
vier zugeordnete Punkte derselben ein Punktsystem (IV) bilden sollen,
in eindeutig bestimmter Weise aufeinander projektiv bezogen."
Im besondern*) seien T., T! in Af die Spuren von 2 - 4 Ecktransversalen ti9 tf9 die den beiden Regelscharen ein- und derselben
Fläche 2. Grades angehören. Dann sind die 4 Ebenen (ti9 tf) die
4 Tangentialebenen dieser dem Tetraeder umbeschriebenen Fläche
2. Grades in den Ecken des Tetraeders, mithin gehören nach dem zum
Transversalentheorem dualistischen Satze die 4 Spuren gi= (Ti9 Tf) der
Ebenen (ti9 tf) in Af wiederum einer Regelschar einer dem Tetraeder
einbeschriebenen Fläche 2. Klasse an.**)
Auf diese Figur kommen wir noch genauer zurück.
Entsprechend sind vermöge dreier Wertsysteme (26): (ocik)9 (&ik),
(affk) die vier Tetraederebenen kollinear aufeinander bezogen, so daß
*) Seien andererseits T., Tf die Projektionen zweier Raumpunkte (y), (y') von
den Ecken A{ auf die Gegenebenen Ae-, so bilden die 3 • 4 = 2 • 6"Treffpunkte
der Geraden (Tt, Tf) mit den Kanten der Ebenen Af ein Beispiel zur zweiten Hälfte
des Satzes auf p. 327. Denn das zyklisch geordnete Produkt der Koordinaten der
6 auf einer Ebene A; befindlichen Kantenpunkte erhält stets den Wert der negativen
Einheit.
**) Die Koordinaten der Berührungspunkte dieser Fläche 2. Klasse in den Ebenen
A/: lassen sich übersichtlich darstellen. Denn die Gleichung der Fläche als Ordnungs- wie als Klassenfläche geht aus den Gleichungen für die Flächen B = P
(X) resp. (X') hervor, wenn man dort die x. mit den u. vertauscht und statt der
cik die Koordinaten dik der Geraden T.Tf einsetzt. Dabei haben die 8ik1 in symmetrische Gestalt gebracht, die Werte:
^12 _
^84 _
^84
»li
—
—
_,
_,
^18 _
^42
°42
°18
«8 — «4 1 —
— 7~ =
Ä_,
4 —
„_,
W
^14 _ _
^28 _
2 1 TV - ^ T C/
2i
14
-,
— *i — ** 1
und die damaligen Größen jr8, TT8, TT4 sind zu ersetzen durch:
^12^84 =
* i ( * S — *4-)*i
*1S^42 =
Ä
8(Ä4 "
««O*!
^14^28 =
W
4 (Ä2 ~
Ä
s)*-
Denn die jetzige Aufgabe ist gerade die zur Aufstellung der Gleichung der Fläche
B = P dualistische.
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
341
stets die Kanten sich selber entsprechen, die zugehörigen Berührungsflächen 02 bilden eine Scharschar usw.
Wir kehren zurück zur Höhenfläche R = P resp. ihrer projektiven Verallgemeinerung, so daß die cik (21) ganz beliebige Größen
bedeuten können.
Die durch die Kanten JcXm des Tetraeders an die Fläche R gehenien Tangentialebenen schneiden auf den Gegenkanten Jeik sechs Punktepaare Tfk, Tfk aus, die nach dem Satze auf p. 328 einer Fläche 2. Ordaung G angehören. Die Gleichung von G lautet:
[XT)
G = V e i + X2Q2 + X32Q3 + X2Qi - (7C3 + 3T4) (c12#3#4 + CUX±X2)
- (TC2 + rt4) (c13x2xti + cux±x3) - (%2 + x3) (cux2x3 + c23xtx^) = 0,
wo:
a
[28)
Qi= J^±.
Sei die Polarfläche xt2cx + X22Q2 + X32Q3 + #42(>4 = 0 mit P bezeichnet, die drei Flächen c12x3x± + c3/Lxxx2 = 0 usw. mit C29 C39 (74, die
nämlichen vier Flächen, als Klassenflächen, mit 77 , r 2 , F 3 , / 4 .
Dann erscheint die verallgemeinerte Höhenfläche, als Ordnungstläche R aufgefaßt, als Individuum des Netzes (C2, C3, (74), als Klassenfläche P aufgefaßt, als Individuum des Gewebes (77 , F 2 , F 3 , T4), weiter
lie Fläche G, als Ordnungsfläche aufgefaßt, als Individuum des Gebüsches (P , C2, 6 3 , T4); endlich gehört die Fläche 2. Grades, die die
vier Geraden T., Tf enthält, als Ordnungsfläche B dem Gebüsch
[P , C2, 6 3 , 6 4 ) an, als Klassenfläche B der Scharschar (r 2 , F3, T4),
Lind das Büschel (B, G) enthält eine dem Tetraeder umbeschriebene
Fläche.
Eine wichtigere Eigenschaft der projektiv verallgemeinerten Höhenkonfiguration erhält man vermöge des Doppel Verhältnisses Dik, das das
Punktepaar Tik, Tik mit den Ecken Ah Ak auf der Kante Jeik bildet.
Die sechs sich so ergebenden Doppelverhältnisse besitzen die Werte
A* ^
r
n
(*"; ^ = 2, 3, 4), wobei je zwei Gegenkanten reziproke Werte
»
zugeordnet werden mögen.*)
Andererseits bilden die vier Ecktransversalen t{ auf der Fläche Ji
ein gewisses Doppelverhältnis dik und die vier Nebentransversalen ti9
*) Verbindet man daher die hierdurch zugeordneten Punkte der beiden Quadrupel An Ak, TlM, T[w und An Afuì Tik, Tjk; so erhält man vier Gerade einer
Regelschar, die der Fläche 2. Ordnung cikxtxm = clmxixk angehört. Diese drei
Flächen sind die „Gegenflächen11 (d. i. Ort der Gegenpunkte) der drei oben erwähnten Flächen Ci9 Cs, C4.
342
n. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
d. i. die vier Ecktransversalen, die der zweiten Regelschar auf der
Fläche R angehören, ein zweites Doppelverhältnis z/;**).
Dann besteht die Relation:
*) Die sechs Werte von Aik resp. A'ik sind:
-
— resp.
— •—
1tt — 7Cr
Jtf — ltr
(r, s, t = 2, 3, 4).
7CS
Mit Hilfe dieser Bemerkung läßt sich die Fläche B = P auch übersichtlich mittels
zweier Parameter X, p darstellen. Für die Klassenfläche P ergibt sich, für
(Xa')
au. = *.(% - 1,)fa- p.),
QCik ^
h'k
x
~
'
ri m
~2
a
f
=
C
!k CHCim
*ik h ihm
P/Jfe *** jP#m
(i, k, l, m zyklisch = 1, 2, 3, 4).
Andererseits gilt für die Ordnungsfläche B:
Xp,
X, JA, 1
(Xa)
e
\h^
h< P*i 1 = (* ™ h) G* - PÙhiPik
= '
a
i
"h Pi, h> f*i» 1
— (* — xì) (fi — Pk>hkPw
x,
! ht Pm ' ht ' ^ m> 11
e<7* == "T" i r ' a / = Cik CH C!m hk hlhm Pfk Pilori
so daß also die u? den a? und damit auch die a. den ai umgekehrt proportional sind.
Hierbei entsprechen die Geraden t. den Werten ii = fi. und die Geraden tf
den Werten X — Xf. Die vier Werte X resp. p sind nur je an die eine Relation
gebunden:
hihi
__
*1S*24
%
4
^8
7T4 — 7t 8 '
^ 1 2 ^ 8 4 _ _ ?4_ ~
Ä
^18^24
Ä
» . !^2
4 — ^2
Ä
S
Mit Rücksicht auf p. 324 Anm. drücken sich die Doppelverhältnisso
^4 ~ _ w s
7C4 — 5Tg
^ 4 ~~ ^8
Ä4
5t a
Ä
2
5T8
mittels der Winkel resp. Kanten des Tetraeders aus, wie folgt:
^4
^8
*1»*84
C0S
'"18 » « B i )
21*
lt\
^2
w
S
C0S
("'"lS»"'«)
*1S*41
1S ,S 42
3
i
C0S
C0S
\*l*i_3i)
("'IS? ^42)
^4 — ^s 2_ = sin 2y12 sin 2y84 cos(Ä;12, A^j
it. — 7ti' its
sin 2y18 sin 2y42 cos~(&18, &42) '
und entsprechend die zugehörigen Doppelverhältnisse.
Noch sei bemerkt, daß die Doppelverhältnisse J, J zugleich die der Punktquadrupel sind, die die beiden Geradenscharen der Fläche B = P aus den Tetraederebenen ausschneiden.
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
(xn)
2)
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«=^'
Ferner liegen nach dem Satze der p. 338 die vier Geraden TtTf
(wo die Tf die Spuren der tf in den A{) auf einer weiteren Regelfläche
2. Grades. Deren Schnittpunkte mit den Kanten bilden mit den zugehörigen Ecken wiederum sechs Werte, die DoppelverhältnisProdukte AikAikMan kann auch umgekehrt von der Fläche R= P als einer beliebigen, dem Tetraeder umbeschriebenen Fläche 2. Grades ausgehen,
dann gibt es zwei zugehörige, dem Tetraeder einbeschriebene Flächen
H, H', deren Koeffizienten c,-k, c'!k durch übersichthche Ausdrücke in
der Art von den Koeffizienten von R abhängen, daß die cik den cim
umgekehrt proportional werden.
Die Ecktransversalen t{, tf, die den beiden Regelscharen von M
angehören, sind zu den Ebenen At- konjugiert in bezug auf die oo4Schar von Flächen 2. Klasse 0 resp. &':
(28) t® s C l l W l * +
\&=c'11u12+
*" c^u*+
h c'uu2+
2c u u
v i * + • • " + 2 c 3 4 ^ 4 = 0,
2c'12utu2 H
h 2tf'MffBtt4— 0,
wo die Cu, c'a willkürlich, und die clk, cfk die oben angegebenen Größen
sind, die Koordinaten der Spuren Ti7 Tf der tif tf in den Ebenen A{.
Unter den Flächen 0 resp. 0' gibt es eine oo1-Schar, die apolar
ist zum Flächennetze N: für sie sind die cff resp. die cfi einander gleich.
Für die in einen Kegelschnitt ausartenden Flächen 0 resp. 0'
dieser oo 1 -Schar gilt noch der auf p. 337 aufgestellte Satz über die
Gegenpunkte L, S, wenn man daselbst den Kugelkreis durch einen
beliebigen Kegelschnitt ersetzt.
Durch anderweitige metrische Spezialisierung der untersuchten
Konfiguration gelangt man zu bemerkenswerten Winkeleigenschaften
des Tetraeders.
Man gehe von der (projektiv verallgemeinerten) Höhenfläche R = P
als einer beliebigen, dem Tetraeder umbeschriebenen Fläche 2. Grades
aus und spezialisiere diese wieder zu einer Kugel. Dann sagt der Satz
über das Doppelverhältnis D aus:
„Legt man in den Ecken eines Tetraeders an die ihm umbeschriebene Kugel (Umkugel) die Tangentialebenen und schneidet jede von
ihnen mit den drei in der bez. Ecke zusammenstoßenden Tetraederebenen, so bilden die Spuren der letzteren drei Winkel, die für jede
Tetraederebene die nämliche Größe besitzen."
Denn die Geraden ti7 tf des allgemeinen Satzes werden jetzt die
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II. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
durch die Tetraederecken gehenden Minimalgeraden auf der Umkugel
1
und deren mit 2i . multiplizierten Logarithmen der drei wesentlich verschiedenen Werte von B \D, 1 — D , ^ _ \ die bezüglichen Winkel.
Der soeben ausgeführte Satz läßt sich einfacher so aussprechen:
„Beschreibt man einer Kugel ein Tetraeder ein, so schneiden sich
die von den Tetraederebenen aus der Kugel ausgeschnittenen Kreise
G1} C29 C39 t\ in drei Paaren gleicher Winkel (C-, Ck) - (Cx, CJ."
Durch stereographische Projektion der Kugel auf die Ebene ergibt sich der analoge Satz für die Ebene:
„Legt man durch je drei von vier Punkten einer Ebene einen Kreis,
so schneiden sich von diesen vier Kreisen je zwei unter demselben
Winkel wie die beiden andern."
Unterwirft man endlich diese Figur der Ebene einer geeigneten
Inversion, so kommt man auf den elementaren Satz über die Gleichheit
der Peripheriewinkel auf demselben Kreisbogen zurück.
Umgekehrt wird man von hier aus nicht nur wiederum mittels
Inversion und stereographischer Projektion zu den oben erwähnten
Eigenschaften der Kugel zurückgeführt, sondern es scheint dieser Weg
auch ein naturgemäßer zu sein, den Satz von der Gleichheit der Peripheriewinkel auf demselben Kreisbogen von der Ebene auf die Kugel
zu übertragen. Spricht man die obige Eigenschaft der Kugel dualistisch aus, so gelangt man zu dem zuerst von Bang bemerkten Satze:
„Verbindet man je einen der vier Berührungspunkte einer dem
Tetraeder einbeschriebenen Kugel mit den drei Tetraederecken der zugehörigen Berührungsebene, so bilden die Verbindungsgeraden drei
Winkel, die für jede der vier Tetraederebenen die nämlichen sind."
Kehrt man zurück zu dem allgemeinen Satz über die Doppelverhältnisse und beschränkt sich auf zwei Gegenkanten des Tetraeders,
so reduziert sich der Satz auf eine fundamentale Eigenschaft der Figur,
die aus einer beliebigen Fläche 2. Grades F und zwei beliebigen, windschiefen Geraden g, li gebildet wird. Die Geraden g, li schneiden aus
F zwei Punktepaare Gt, 6r2; H19 H2 aus; andererseits gehen durch
g, Ji je zwei Tangentialebenen an F, die Ji, g in zwei weiteren Punktepaaren Hi, H2; G±', G2 treffen.
„Dann ist das Doppelverhältnis der beiden Punktepaare (Gt, G2\
Gi, G2) auf g gleich demjenigen der beiden Punktepaare (H17 J72;
Ht', H2') auf h."
Sieht man F als die absolute Fläche der nichteuklidischen Geometrie an, so ergibt sich, daß die unendlich ferne Strecke einer Raumgeraden g von einer anderen Raumgeraden h aus unter demselben
C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Meyer.
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Vinkel projiziert wird, wie die unendlich ferne Strecke der letzteren
reraden von der ersteren aus. In dieser Fassung erscheint der in Rede
tehende Satz als ein elementarer, auch leicht direkt beweisbarer Satz
1er nichteuklidischen Geometrie.
Für den oben in projektiver Verallgemeinerung gegebenen Satz
tat der Vortragende eine Reihe voneinander unabhängiger Beweise geiefert, unter anderen auch einen solchen, der eine elementare Deerminantenidentität als Quelle erscheinen läßt. Von hier aus läßt sich
1er Satz auch ausdehnen, indem man das durch die Fläche F betimmte räumliche Polarsystem durch eine allgemeine Korrelation
irsetzt.
Es lassen sich ferner für die drei obigen Doppelverhältnisse D,
4, A algebraische Ausdrücke aufstellen, die simultane Invarianten der
lläche F sowie der beiden Geraden g, h sind.
Den eigentlichen geometrischen Grund des in Rede stehenden
Satzes erkennt man aber in der Theorie der eine Fläche 2. Grades invariant lassenden Koüineationen K.
Solcher automorpher Koüineationen K gibt es oo 6 ; jede von ihnen
st entweder „von der ersten Art", indem sie beide Geradenscharen
1er Fläche F miteinander vertauscht, oder aber „von der zweiten Art",
ndem sie jede der beiden Geradenscharen von F in sich überfuhrt.
Soll K indessen außerdem noch zwei beliebige Raumgerade g, h miteinander vertauschen, so kann sie nur von der zweiten Art sein und
vird dann zugleich zu einer räumlichen (quaternären) Involution; jeder
1er zwei Parameter der beiden Geradenscharen auf F erfährt seinerseits eine lineare Substitution, die eine binäre Involution ist. Man
erkennt dann unmittelbar, daß gerade zwei Koüineationen der zweiten
\.rt existieren, die das Verlangte leisten.
Damit ist der in Rede stehende Satz von der Gleichheit der beiden,
tuf g, h entstehenden Doppelverhältnisse nur eine andere Fassung der
grundlegenden Tatsache, daß das Doppelverhältnis eine Invariante der
£ollineation ist.
Man kann schließlich den soeben skizzierten Zusammenhang zwiichen quaternären und binären Involutionen auch von der Theorie der
•äumlichen Kollineationen aus begründen, vermöge deren sich die
Punkte je einer von zwei windschiefen Geraden g, li binär involutorisch
mtsprechen. Diese Kollineationen erweisen sich als quaternäre Involutionen. Es sind dabei die beiden Hauptfälle zu unterscheiden, daß
lie beiden Geraden g, It reell oder aber konjugiert komplex sind.
Hinterher fragt man nach allen Flächen 2. Grades F9 die vermöge
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IL Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
einer solchen Rauminvolution in sich übergehen, und gelangt so zu
unserem Hauptsatz wieder zurück.
Die Rechnung läßt sich so führen, daß sie auch bei verschwindender Diskriminante von F gültig bleibt.
Nimmt man dann insbesondere wiederum F als Kugelkreis, so
resultiert der Satz der Kinematik:
„Es gibt zwei und nur zwei Bewegungen, nämlich Umwendungen,
die zwei beliebig gegebene windschiefe Raumgerade ineinander überführen."