1.7. Brüche - Der Matheklapper

1.7. Brüche
Die Brüche sind eine Sache, wo ich weiß, dass sie fast jedem Schüler Angst bereiten. Auf der
einen Seite kann ich die Schüler verstehen, aber andererseits kann man mit lächerlichen 5
Sprüchen die gesamte Bruchrechnung verstehen und beherrschen. Ich gehe mal davon aus,
dass du weißt, dass im Bruch oben der Zähler und unten der Nenner steht. Okay, dann
können wir ja loslegen.
Spruch 1: Bei Addition und Subtraktion muss ein Hauptnenner her.
2 1 8
3 11
 


3 4 12 12 12

1 2
3 4
7
       1 16
2 3
6 6
6
Der Hauptnenner ist eine Zahl, in die beide Nenner (3 und 4) reingehen. Wir kommen auf die
Zahl 12. Jetzt müssen beide Brüche so erweitert (Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl
multiplizieren) werden, dass im Nenner die 12 auftaucht. Den ersten Bruch erweitern wir mit
4 und den zweiten Bruch mit 3. Beim Erweitern ist es wichtig, dass man Zähler und Nenner
mit der gleichen Zahl multipliziert. Das darf man nicht verwechseln mit dem multiplizieren
eines Bruches mit einer ganzen Zahl, bei der die ganze Zahl nur mit dem Zähler multipliziert
wird, aber dazu später mehr. In der Aufgabe auf der rechten Seite sind schon einige Kniffe
mit eingebaut, die aber später noch genauer erklärt werden.
Spruch 2: Bei Multiplikation ist Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner angesagt
2 1 2 1
 

3 4 12 6
Also das sollte wirklich kein Problem sein, einfach den Zähler mit dem Zähler mal nehmen
und anschließend das gleiche mit dem Nenner. Hier wurde am Schluss übrigens gekürzt, d.h.
Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl dividiert, aber zum Thema Kürzen gibt es ein
eigenes Kapitel auf der übernächsten Seite.
Spruch 3: Bei Division muss man mit dem Kehrwert multiplizieren
2 1 2 4 8
:     2 23
3 4 3 1 3
Mit dem Kehrwert multiplizieren heißt, dass man bei dem zweiten Bruch den Kehrwert bilden
soll (Zähler und Nenner vertauschen) und anschließend wird nicht mehr dividiert, sondern
multipliziert. Wie das geht, haben wir gerade gelernt, nämlich gemäß Spruch 2 mit Zähler mal
Zähler und Nenner mal Nenner. Der entstandene Bruch wurde dann noch in einen gemischten
Bruch umgewandelt, aber dazu später mehr.
Spruch 4: Ganze Zahlen und Gemischte Brüche erst in echte Brüche umwandeln
3
5 3 5 15
  
 2 71
7 1 7 7
2 13  5 56 
7 35 14 35
21



   3 36  3 12  3,5
3 6
6
6
6
Auf der linken Seite kann man sich als Alternative auch einfach nur merken, ganze Zahlen
werden nur mit dem Zähler multipliziert. Wie man auf der rechten Seite einen gemischten
Bruch in einen echten Bruch umwandelt, wird auf der nächsten Seite erklärt (3. Kasten).
Spruch 5: Doppelbrüche in eine Divisionsaufgabe umwandeln
An der einen oder anderen Stelle taucht ein Doppelbruch auf und dann schalten viele Schüler
sofort ihr Gehirn aus.
4
7
3
8

1
2
4 3 4 3 12 6
3
:   


7 8 7 8 56 28 14
3

1
1 3 1 1 1
:3 :   
2
2 1 2 3 6
Nachdem man also den Doppelbruch umgeschrieben hat, kann man mit den bereits bekannten
Sprüchen weiterrechnen. Links z.B. mit Spruch 3, denn bei einer Division wird mit dem
Kehrwert multipliziert. Rechts z.B. mit dem Spruch 4, dass man ganze Zahlen in echte Brüche
umwandeln soll und dann geht’s weiter.
Was sollte man im Zusammenhang mit Brüchen noch wissen:
Man sollte Brüche erweitern (Zähler und Nenner mit einer Zahl multiplizieren) und kürzen
(Zähler und Nenner mit einer Zahl dividieren) können. Erweitern benötigt man ja bei dem
ersten Spruch, wo es ja bei der Addition bzw. Subtraktion darum geht, einen Hauptnenner zu
finden und diesen dann durch Erweitern auch zu bilden. Kürzen ist eine Vereinfachung des
Bruches, die man meist am Ende der Aufgabe anwendet, wenn der Zähler kleiner als der
Nenner ist.
Zur Verwirrung tauchen hier und da gemischte Brüche auf, die man z.B. bei Anwendung des
vierten Spruches in einen echten Bruch umwandeln muss. Noch mal kurz den Unterschied
zwischen echtem Bruch und gemischten Bruch erklärt. 3 45 ist ein gemischter Bruch, während
nur 45 ein echter Bruch ist.
Wie wandelt man allerdings einen gemischten Bruch in einen echten Bruch um und
umgekehrt? Bei der Umwandlung eines gemischten Bruches in einen echten Bruch
multipliziert man die ganze Zahl mit dem Nenner und addiert den Zähler. So erhält man den
neuen Zähler, während der Nenner beibehalten wird (siehe Beispiel auf der linken Seite).
3 45 
3  5  4 19

5
5
19
 3 45
5
Auf der rechten Seite soll gezeigt werden, wie der Weg umgekehrt von einem echten Bruch
zu einem gemischten Bruch ist. Diese Umwandlung geht übrigens nur, wenn der Zähler
größer als der Nenner ist. Man überlegt, wie oft die 5 in die 19 geht. 3 mal mit 4 als Rest.
Deswegen 3 ganze, wobei der Rest zum Zähler wird und der Nenner bleibt.
Weiterhin sollte man den Wert von einigen Brüchen als Dezimalzahl wissen:
1
2
 0,5
1
4
 0,25 
3
4
 0,75
1
5
 0,2 
2
5
 0,4
1
3
 0, 33 
2
3
 0, 66
Umgekehrt sollte man auch Dezimalzahlen in Brüche umwandeln können:
0,8 
8
10
0,54 
54
100
2,38 
238
100
0,07 
7
100
Abschließend noch eine wichtige Anmerkung. Wenn in Aufgaben Brüche auftauchen, dann versuche doch erst mal den Bruch in
eine Dezimalzahl umzuwandeln und nur wenn das nicht glatt geht, weil vielleicht eine periodische Zahl oder eine ganz komische
Zahl auftaucht, dann kommt man eben um den Bruch nicht herum !!! Notfalls ist ja auch noch der Taschenrechner da.