z mit

3. Wellenoptik
Licht als Welle 3.1. Ein intuitiver Zugang zu Beugungsphänomenen
Huygenssches Prinzip:
Jeder Punkt der Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen Welle
d
k d
ll f
i
k i
ll
Die Amplituden dieser Wellen können sich verstärken oder auslöschen
⇒ konstruktive oder destruktive Interferenz
p. 125
3.1.1 Fernfeldbeugung am Doppel(Mehrfach)spalt mit dünnen Öffnungen
Eine rasche Ableitung zur Lage der Maxima
Konstruktive Interferenz Gangunterschied benachbarter hi d b
hb
Teilstrahlen = ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge
p. 126
Einfache Reihenüberlegungen für die Vielstrahlinterferenz
Zahl p von ebenen Wellen, die einen je festen Phasenschub δ zu einander haben, der z.B. durch einen Gangunterschied d entstanden ist Die Intensität ist dann:
Darin Additionstheorem für Winkelfunktionen:
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
Diskussion der Vielstrahlinterferenz
p=2
I
1
0.8
06
0.6
0.4
0.2
p=3
1
0
0
5
10
15
20
5
10
15
20
5
10
15
20
5
10
15
20
0.8
0.6
0.4
0.2
p=5
10
0
0.8
0.6
0.4
Mehr Teilstrahlen p: ⇒ Hauptmaxima bei δ=2πm
0.2
p = 10
10
0
0.8
0.6
0.4
⇒p
p‐2
2 Nebenmaxima
⇒ schärfere Interferenzen 02
0.2
0
0
δ
3.1.1 Fernfeldbeugung am Spalt
Herleitung des Winkels zum Beugungsminimum :
Man kann den Einzelspalt in unendliche Man
kann den Einzelspalt in unendliche
viele Punkte eingeteilt vorstellen
Jeder Punkt ist Ausgangspunkt für eine El
Elementarwelle
t
ll
Wenn 2 Wellen einen Weglängenunterschied von λ/2 haben, interferieren sie destruktiv.
Wenn dies für die Welle im Ursprung und
die Welle in der Spaltmitte gilt, dann gilt dies für alle dazu konstant versetzten Punkte auch!
g g
g g
⇒ Bedingung für Beugungswinkel zum Minimum
Bild: nach Tipler Physik, Spektrum Verlag
Einzelspaltbeugung als Vielstrahlinterferenz
Δ/2
M lti li i
Multipliziere mit:
it
Mit: Aufteilung des Spalts in unendlich viele Teilstrahlen:
Bild: nach Tipler Physik, Spektrum Verlag
3.1.3. Fernfeldbeugung am Gitter endlicher Spaltbreite
Das reale Gitter besteht aus Spalten endlicher Breite a, im Abstand g
⇒ Das Einzelspalt‐Beugungsbild ist die Einhüllende des Gesamtbildes 0.8
0.6
0.4
0.2
0
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
-1
0
1
3.1.4 Interferenz an dünnen Schichten
'Gleiche Neigung' Aus Skizze
Snellius‘ Gesetz
Konstruktive Interferenz für: http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/interferenz2c.vlu/Page/vsc/de/ph/14/ep/
einfuehrung/wellenoptik/i2_duenne1.vscml.html
Interferenz an dünnen Schichten
'Gleiche Dicke', Newton‐Ringe, qualitativ
Beleuchtung mit parallelem, monochromatischem Licht
Beobachtung
Sowohl in Transmission als auch Reflexion:
Ri
Ringe !!
!!
http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche
p
p
g
_Ringe
g
Erklärung
Interferenz der Strahlen die am Luft Glas Übergang reflektiert werden
Interferenz der Strahlen die am Luft‐Glas‐Übergang reflektiert werden http://www.phyta.net/images/newton06.gif
http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Ringe
Newton‐Ringe, quantitativ…
Bei senkrechtem Einfall: Phasensprung 180° bei Reflex an optisch dichterem Medium
Weglängenunterschied
Bedingung für destruktive Interferenz:
g g
Verschiebung um ungeradzahlige Vielfache der halben Wellenlänge
Höhensatz
Einsetzen
Wo sonst gibt es Interferenz an dünnen Schichten ?
Dias die in Glas gerahmt sind
Dias, die in Glas gerahmt sind. Seifenblasen.
Dünner Ölfilm Flügel einiger Schmetterlingsarten.
Lepidoptera = altgriechisch Schuppenflügler
Aus Interferenzfarben erhält man Hinweise auf die Schichtdicken. Vergütung von Optiken
Auslöschung von R1 und R2
Gleiche Amplitude
Gleiche
Amplitude
Aus Fresnel‐Formeln (senkrechter Einfall)
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:ARlayer.png
Gleiches Resultat auch bei präziser Rechnung (Mehrfachreflexion…)
p
g(
)
180° Phasenverschiebung
Wähle Dicke der Schicht: d = λ/4 ⇒
ähl i k d
hi h d λ/
Bei Hin und Rücklauf: d
i i
d ü kl f deff = λ/2 λ/
Reflexion am festen Ende macht Sprung von λ/2, aber an beiden Schichten ! Typische Materialien:
Kryolith (Na3AlF6 n=1.33) oder MgF2 (n=1.38) auf Glas (n=1.5)
Dielektrische Spiegel & Interferenzfilter…
Spiegel:
Interferenz kann Auslöschung oder Verstärkung in Reflexion bewirken
Spiegel mit 99.99999 % Reflektivität auf die Art herstellbar Sehr kleine Verluste realisierbar
Sehr kleine Verluste realisierbar
Resonatoren in den die Photonen 10.000.000 mal umlaufen…
Interferenzfilter
Sehr schmalbandige Trennung von verschiedenen Wellenlängen möglich:
Δλ =0.1 nm
Durchstimmbarkeit durch Verkippen (Vergrößerung des Weges )
durch Verkippen (Vergrößerung des Weges …)
Anwendung z.B. in Fluoreszenz und Raman‐Spektroskopie
3.1.5. Typische und technische relevante Interferometer
Das Michelson‐Interferometer
Anwendung: Michelson‐Morley: Suche nach dem Äther
S kt l
Spektralanalyse
l
Messung sehr kleiner Distanzen Messung von Oberflächenqualität
g
q
Spiegel
Gravitationswellendetektoren
L1
L1
Laserstrahl
halbdurchlässiger Spiegel
L2
Verfahrbarer
Spiegel
Schirm/Kamera
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
Anwendung des Michelson Inteferometers
Twyman‐Green interferometer
Krümmung der Linse kompensiert durch Krümmung des Wölbspiegels Annahme: Annahme:
Perfekter Hohlspiegel (teurer Masterspiegel)
Brechkraft zweier dünner Optiken im Kontakt addiert sich p
Dann:
Gute Linse ⇒ homogene Bildausleuchtung
Schlechte Linse ⇒ Schlieren
Aus Schlierenmuster: Information, wo nachzuschleifen ist
wo nachzuschleifen ist
Sphärischer
Spiegel: R=2f
Laserstrahl
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
Schirm
Testlinse
Brennweite f
Jamin Interferometer
Idee: Analog zu Michelson‐Experiment
Analog zu Michelson‐Experiment
Aufbau:
Keine verfahrbaren Spiegel
Keine verfahrbaren Spiegel
Extrem hohe mechanische Stabilität
Anwendung
Untersuchung von Phasenobjekten
HR-Beschichtung
Laserstrahl
Phasenobjekt
TR-Beschichtung
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
Lloyd'scher Spiegel
Anwendung: photolithographische Herstellung von Nanostrukturen
Enorme Präzision möglich:
photolithographische Herstellung von mechanischen Gitter mit Periodengenauigkeit g
g
von Δg< 0.5 Å Das entspricht einer Abweichung Das
entspricht einer Abweichung
der mittleren Gitterkonstante um weniger als 1 Wasserstoffatom !
Das Mach‐Zehnder‐Interferometer
Aufbau: Strahlteiler ⇒ Spiegel ⇒ Phasenschieber
k bi i
hl il
⇒ Rekombination am Strahlteiler ⇒ 2 getrennte Ausgänge die zueinander komplementär sind
Anwendung: Lasergyroskope (Flugzeug Navigation)
Lasergyroskope (Flugzeug‐Navigation)
Materielwelleninterferometrie
http://de.wikipedia.org/wiki/Mach-Zehnder-Interferometer
Fabry‐Perot Interferometer 2 Spiegel:
Reflektivität: r, r‘
Transmission: t, t‘
Brechungsindex zwischen Spiegeln: nf
Phasenschub zwischen einem Roundtrip und direkter Reflexion
direkter Reflexion:
Phase bei Reflexion, hier zunächst vernachlässigt
Summer aller reflektierten Teilwellen
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
Fabry‐Perot: Nach wenig Algebra aus vorhergehender Folie …
Phasenschub:
Reflektierte Intensität
Transmittierte Intensität = Airy‐Funktion A(Ѳ)
Definition des Finesse‐Koeffizienten:
Definition des Finesse‐Koeffizienten:
Definition der Finesse
Definition der Finesse:
1
Spektroskopie am Fabry‐Perot Interferometer
0.8
0 6
0.6
0.4
1 Spiegel habe 1% Transmission
0.2
Dann haben 2 dieser Spiegel 0
0.01
100% Transmission !!
I t f
Interferenz und funktioniert nur für d f kti i t
fü
ganz wohldefinierte Spiegelabstände.
Frequenz
0.01
0.01
0.01
1
Transm
mission
Dieser ‚Zaubertrick‘ beruht auf R=0 99
R=0.99
0.8
0.6
0 4
0.4
0.2
0
0.01
R=0.8
F
Frequenz
0.01
0.01
0.01
1
0.8
Der Abstandsgenauigkeit wird umso Der Abstandsgenauigkeit wird umso
0.6
Kritischer, je höher die Reflektivität 0.4
der Einzelspiegel ist.
der Einzelspiegel ist.
0 2
0.2
0
0.01
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
R=0.3
0.01
0.01
Frequenz
0.01
Anwendungen von Fabry‐Perot‐Resonatoren
Laserresonatoren Frequenzselektive Elemente in Lasern
Frequenzstabilisierende Elemente für Laser
S kt k i h R f
Spektroskopische Referenzelemente
l
t
Vermessung von Wellenlängen
g
g
Beugung im Alltag
Strukturen in der CD sind vergleichbar mit der g
g
Wellenlänge um möglichst viel Inofmration speichern zu können
Mikrostrukturen erzeugen Beugungsfarben
1.
Federkleid der Ente d kl id d
2.
Bild: Wikipedia
Prachtkäfer
p. 148
Beugung im Alltag (2)
http://www.physik.uni-kassel.de/exp2/vorlesungen/Exp-Ph-II/Beugung.pdf
p. 149
Beugung zur Spektralanalyse: Aufbau eines Czerny‐Turner Monochromator/Spektrographen
Bild: http://de.wikipedia.org/wiki/Monochromator
Eingangsbündel, Winkel angepasst an maximale Ausleuchtung von C
Parallelisierung am Hohlspiegel C für maximale Ausleuchtung von D
am Hohlspiegel C für maximale Ausleuchtung von D
Beugung an (dreh‐ und auswechselbarem) Gitter D
Fokussierung durch Spiegel E auf Spalt F
Spalt F (Monochromator) oder CCD Array anstelle von Spalt F (Spektrograph)
Auflösungsvermögen des Gitterspektrographen
Je mehr Striche ausgeleuchtet werden, desto schärfer werden die Linien (2 Seiten zuvor)
Viele Striche pro mm (typisch 1200/mm)
Viele Striche pro mm (typisch 1200/mm)
Große Gitterflächen (bis zu 100 mm x 100 mm)
Also bis zu ca. 100.000 ausgeleuchtet Linien
Also ca. bis zu Δλ/ λ = 1 : 100.000 Also bis hinunter zu Δλ<0.01 nm Auflösung natürlich aber auch bestimmt durch V fü b
Verfügbare Lichtstärke ⇒
Li ht tä k
b ti
bestimmt Größe von Ein/Austrittsspalt
t G öß
Ei /A t itt
lt
Qualität der Fotodetektoren (Ortsauflösung und Empfindlichkeit von CCDs… )
Fizeau Interferometer zur hoch‐präzisen Wellenlängenmessung
Kalibrierte "Inteferenz am Luftkeil"
p. 152
Fizeau‐Wavemeter
Funktion
Licht wird durch Faser eingekoppelt
Kollimation mit Spiegel Festkörper
kö
Fizeau‐interferometer erzeugt
i
i
f
Interferenzmuster
f
Zylindrerlinse projiziert Interferogramm auf 2048 channel line CCD
Computer liest
Computer
liest diese aus und die software vergleicht
und die software vergleicht es mit einer
Kalibrationskurve
Keine mechanisch bewegten Teile sehr stabil und präzise
Mi t Wellenlängen
W ll lä
bi zu 8 Stellen
8 St ll genau
Misst
bis
Gut für : kontinuierliche und gepulste Lichtquellen
kontinuierliche und gepulste Lichtquellen
Mechanisch anspruchsvolle Umgebungen (Flugzeug etc.)
p. 153
3.2. Ein mathematischer Z
Zugang zur Beugung
B
p. 154
Bestimmung der Feldverteilung hinter einer Öffnung
Bestimmung der Feldverteilung E(x1,y1) hinter einer gleichförmig ausgeleuchteten Apertur A(x0,y0)
y1
y0
x0
0
Ebene
Welle
Bild: http://www.physics.gatech.edu/gcuo/lectures/
x1
P1
Annahmen: Kirchhoff Annahmen:
1) Maxwell Gleichungen bestimmen die Propagation.
2) Feld und Ableitung des Feldes in der Apertur = als ob kein Schirm vorhanden wäre.
3) Direkt hinter dem Schirm (Schatten)
3)
Direkt hinter dem Schirm (Schatten)
Das Feld und seine Ableitungen verschwinden. G
E
(
r
G ,Gt ) = 0
∇E ( r , t ) = 0
G
G
E (r , t ) ∇E (rG , t )
G
E
(
r
G ,Gt ) = 0
∇E ( r , t ) = 0
Kuriose Nebenbemerkung:
1.
Das Problem ist durch die Summe dieser Annahmen überbestimmt
2
2.
Man kann zeigen
zeigen, dass das Feld theoretisch dann überall verschwindet
Dennoch:
1.
Hervorragender Übereinstimmung der Ableitung mit Experimenten…
Die Kirchhoff‐Fresnel‐Formeln als
Konsequenz des Huygens‐Prinzips
Das Feld E(x1,y1) in der Distanz z hinter der Öffnung: E ( x1 , y1 , z ) =
∫∫
h( x1 − x0 , y1 − y0 , z ) E ( x0 , y0 ) dx0 dy0
A (x0 , y0 )
where :
mit
1 exp(ikr01 )
h( x1 − x0 , y1 − y0 , z ) =
iλ
r01
and
und::
r01 = z 2 + ( x0 − x1 ) + ( y0 − y1 )
2
2
Interpretation: h = auslaufende Kugelwelle, ‐ Die Intensität fällt quadratisch mit dem Abstand (Energieerhaltung)
‐ Die Intensität fällt quadratisch mit der Wellenlänge (größere Beugung) r = Betrag des Abstands vom Quellpunkt zum Schirmpunkt Fresnel‐Näherung: Entwicklung des Exponenten in 2. Ordnung
1. Gute Näherung im Zähler (linear): 2. Nenner: Entwicklung 2. Ordnung im Exponenten (Fresnel‐Näherung:)
r01 = z 2 + ( x0 − x1 ) + ( y0 − y1 )
2
⎛x −x ⎞ ⎛ y −y ⎞
= z 1+ ⎜ 0 1 ⎟ + ⎜ 0 1 ⎟
⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠
2
2
2
2
2
⎡ 1 ⎛ x0 − x1 ⎞2 1 ⎛ y0 − y1 ⎞2 ⎤
x0 − x1 ) ( y0 − y1 )
(
≈ z ⎢1 + ⎜
+
⎟ + ⎜
⎟ ⎥= z+
2z
2z
⎢⎣ 2 ⎝ z ⎠ 2 ⎝ z ⎠ ⎥⎦
Einsetzen der Näherungen:
E ( x1 , y1 ) =
∫∫
A ( x0 , y0 )
2
2
⎧
⎡
⎤ ⎫⎪
x
−
x
y
−
y
(
)
(
)
1
⎪
0
1
0
1
exp ⎨ik ⎢ z +
+
⎥ ⎬ E ( x0 , y0 ) dx0 dy0
2z
2z
iλ z
⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ⎢⎣
Fresnel‐Näherung : Fortsetzung… Ausmultiplizieren im Exponenten
E ( x1, y1 ) =
∫∫
⎧⎪ ⎡ (x02 − 2x0 x1 + x12 ) ( y02 − 2 y0 y1 + y12 ) ⎤⎫⎪
1
exp ⎨ik ⎢ z +
+
⎥⎬ E(x0 , y0 ) dx0 dy0
iλz
z
z
2
2
⎪⎩ ⎣
⎦⎪⎭
A( x0 , y0 )
Herausziehen der konstanten Terme vor das Integral:
⎡ x12 + y12 ⎤
exp(ikz)
exp ⎢ik
E ( x1, y1 ) =
2z ⎥⎦
iλ z
⎣
∫∫
⎧⎪ ⎡ (−2x0 x1 − 2 y0 y1) (x02 + y02 ) ⎤⎫⎪
exp ⎨ik ⎢
+
⎥⎬E ( x0 , y0 ) dx0 dy0
2z
2z ⎦⎪⎭
⎪⎩ ⎣
A(x0 , y0 )
∞ ∞
E ( x1 , y1 ) ∝
∫∫
−∞ −∞
⎧⎪ ⎡ (−2 x0 x1 − 2 y0 y1 ) ( x02 + y02 ) ⎤ ⎫⎪
exp ⎨ik ⎢
+
⎥ ⎬ A(x0 , y0 ) dx0 dy0
2z
2 z ⎦ ⎭⎪
⎩⎪ ⎣
Das ist ein Fresnel‐Integral. E k
Es kann
analytisch
l i h nicht
i h gelöst
lö werden, d
d.h. es hat keine geschlossene Form, sondern benötigt Computersimulationen.
Beugung einer ebenen Welle am Spalt:
Übergang von der Nahfeldbeugung zur Fernfeldbeugung
Nahfeld
Mehr Infos auch: http://www.physics.gatech.edu/gcuo/lectures/
Entfernung
f
g vom Spalt
p
Fernfeld
Von der Nahfeldbeugung (Fresnel‐Beugung) zur Fernfeldbeugung (Fraunhofer‐Beugung)
Erinnerung: Kirchhoff‐Fresnel in 2. Ordnung (= Fresnelbeugung)
⎡ x12 + y12 ⎤
exp(ikz)
E ( x1, y1 ) =
exp ⎢ik
iλ z
2z ⎥⎦
⎣
∫∫
⎧⎪ ⎡ (−2x0 x1 − 2 y0 y1) (x02 + y02 ) ⎤⎫⎪
+
exp ⎨ik ⎢
⎥⎬ E ( x0 , y0 ) dx0 dy0
2z
2z ⎦⎭⎪
⎩⎪ ⎣
A(x0 , y0 )
1. Bedingung: beugende Apertur D2 ≥ x02 + y02
2. Bedingung: kD
2
di
k 2/2z << 1 /2
1
⇒ quadratische Terme << 1, kleiner als lineare Terme ⇒ 1. Ordnung behalten
⎡ x12 + y12 ⎤
exp(ikz)
expp ⎢ik
E ( x1, y1 ) =
⎥
iλ z
2
z
⎣
⎦
∫∫
A( x0 , y0 )
⎧ ik
⎫
exp
p ⎨− ( x0 x1 + y0 y1 ) ⎬ E ( x0 , y0 ) dx0 dyy0
⎩ z
⎭
Wo liegt die Grenze zwischen Nah‐ und Fernfeld in der Praxis ?
Aus der obigen Näherung: z >> kD2/2 = π D2/λ
Lichtbeugung (Praktikum): D = 100 µm, λ = 500 nm z >> 6 cm
Atominterferometrie
D = 5 µm, λ = 200 pm z >> 0.4 m Molekülbeugung (QO‐Forschung)
D 100 µm, λ = 5 pm D = 100
5
z >> 6 km Beachte die nahe Verwandtschaft mit dem Talbot‐Kriterium
LT = 2D2/λ
Fraunhoferbeugung und Fouriertransformation
Vernachlässigung der Krümmung der Wellenfronten
⇒ Lineare Näherung für x, y im Exponenten …
∞ ∞
E ( x1, y1 ) ∝
∫∫
⎧ ik
⎫
exp ⎨− ( x0 x1 + y0 y1 ) ⎬ A(x0 , y0 ) E(x0 , y0 ) dx0 dy0
⎩ z
⎭
−∞ −∞
Ebene Welle:
E(x0,y0) = const Fernfeldbeugungsbild = Fouriertransformation der Aperturfunktion
E ( kx , ky ) ∝ Y
mit: kkx = kx
mit:
kx1/z
ky = ky1/z
{ A(x, y) E(x, y)}
mit: θ
mit:
θx = k
= kx/k
θy = ky/k
Beugung an einer Kreisblende
‘Airy Pattern’ & Bessel‐Funktion.
Bild : Rick Trebino, http://www.physics.gatech.edu/gcuo/lectures/
B
Beugung
an einer
i
Bl d
Blende
Bild: M. Czirkovits & P. Dangl, Univ. Wien
Fraunhoferbeugung am Doppelspalt
A(x0) = rect[(x0+a)/w] + rect[(x0‐a)/w]
w
‐a
w
0
a
x0
E ( x1 ) ∝ Y { A( x0 )}
∝ sinc[
i [w(kx
k 1 / z ) / 2]exp[
2]
[+ia
i (kx
k 1 / z )] +
sinc[w(kx1 / z ) / 2]exp[−ia (kx1 / z )]
E ( x1 ) ∝ sinc( wkx1 / 2 z ) cos(akx1 / z )
Bild : Rick Trebino, http://www.physics.gatech.edu/gcuo/lectures/
3.3 Nahfeldeffekte: 3.3.1 Beugung an der Kante
Hier nur qualitativ:
Bei der Beugung an der Kante reicht die Lichtintensität in den geometrischen Schatten hinein (s. Werte im linken grauen Feld)
Ohne Beweis: Die Position des ersten Interferenzmaximums (rechts vom Schatten) auf einem Schirm in (
)
Entfernung L hinter der Kante ist um die Distanz x von dieser Kante entfernt:
Intuitiv: Das ist die einzige sinnvolle Art eine Distanz aus d
den relevanten Beugungslängen (Wellenlänge und l
B
lä
(W ll lä
d
Entfernung ) zu konstruieren
p. 166
3.3.2 Fresnel‐Zonenplatte
Fresnel‐Zonenplatte
Idee: Abbildung durch Wellenoptik ohne Linse
Ausblenden der Zonen,
Ausblenden
der Zonen
die destruktiv zum Bild beitragen
Anwendungen:
Rö
Röntgenoptik, Atomoptik, Elektronenoptik
ik A
ik El k
ik
Aus Grafik: Wechsel zwischen konstruktiver und destruktiver Interferenz, wenn
Paraxiale Näherung: g,b >> r
Kürzen und Umformen
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
Fresnel‐Zonenplatte: 2 Grenzfälle
1. Abbildung vom Brennpunkt ins Unendliche:
2. Abbildung 2f:2f = Abbildung ohne Vergrößerung, Merke: In der Nahfeldbeugung Skalieren die Dimensionen wie
Das Fresnel‐Zonenmuster entspricht dem Hologramm eines Punktes mit ebener (Fall 1) oder sphärischer (Fall 2) Referenzwelle
3 3 3 Talbot –Effekt im Experiment
3.3.3. Talbot –Effekt im Experiment
Selbstabbildung eines Gitters
p. 170
3.3.3. Der Talbot Effekt
Selbstabbildung eines Gitters im Nahfeld
Kriterium für Selbstabbildung:
Überlappen von
0. Ordnung von Spalt m, 1. Ordnung von Spalt m+1, 2. Ordnung von Spalt m+2 …
Identisches Kriterium für alle m
Bild: M. Arndt, Univ. Wien
⇒ Talbotlänge:
Beachte:
Beachte: 1.
Diese Definition beschreibt ein um 180° verschobenes Selbstbild des Gitters. 2.
In der doppelten Distanz ist das Bild unverschoben
Mathematischer Hintergrund zum Talbot‐Effekt
Fresnel Beugung an Gitter mit Transmissionsfunktion t(x)
Gitter ist eine periodische Struktur: Fourier Ansatz
Einsetzen von t(x) in ψ ergibt :
⇒ ψL = t(x)
Selbstabbildung wenn L= Vielfaches der Talbot‐Länge
d2
⇒ for : L = 2m ⋅ ≡ 2m ⋅ LTalbot
λ
Bild: R. Gross
3.4 Der Begriff der Kohärenz … lat. „Zusammenhang“ … die Eigenschaft interferieren zu können. Zwei Lichtwellen sind z.B. kohärent, wenn sie die gleiche Frequenz und eine konstante Phasendifferenz haben. Zweistrahlinterferenz: Basierend auf einer Lichtquelle 2 Schmale Bündel ausgeblendet
über Spiegel auf Punkt P geschickt.
g
gleiche Quelle Q
⇒ feste Phasenlage g
über die Kohärenzzeit tc
Atome einer thermischen Quelle emittieren zufällig (spontan) Keine Phasenbeziehung über Zeiten länger als die Lebensdauer der
länger als die Lebensdauer der atomaren Zustände tc
Keine Phasenbeziehung zwischen Keine Phasenbeziehung zwischen
den atomaren Quellen
Bild: M. Arndt modifiziert von R. Gross
(nach : Bergmann Schaefer)
Bedingungen für Interferenz (1)
Zeitliche (spektrale) Kohärenz
Halbwertsbreite
U
Umrechnung in Frequenz: h
i F
(1)Interferenzmaximum bei λ0 :
(2) Interferenzminimum bei λ1 :
Subtraktion (2)‐(1):
Kl i W ll lä
Kleine Wellenlängen‐Differenzen:
Diff
Kohärenzlänge: Bild: M. Arndt, Univ. Wien
Kohärenzzeit: hä
i
3.5 Wellenpakete
Ein Wellenpaket ist eine Superposition von Einzelwellen verschiedener Frequenzen. Beispiel: Gauß‐Wellenpaket
= Summe über ebene Wellen mit Gauß‘scher
Summe über ebene Wellen mit Gauß‘scher Gewichtung
Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit
Gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen
Ist frequenzabhängig (Dispersion im Medium !)
q
gg
p
Ergibt sich zu Gruppengeschwindigkeit
Gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich die Einhüllende des Wellenpaketes
bewegt Ergibt sich zu E ibt i h
Ist in vielen Fällen gleich der Signalgeschwindigkeit
Ausnahme: stark verlustbehaftete Medien (z.B. Tunneln durch Wellenleiter)
Charakteristische Geschwindigkeiten
Frontgeschwindigkeit
Beschreibt die Geschwindigkeit von Flächen konstanter Amplitude
Beschreibt die Geschwindigkeit von Flächen konstanter Amplitude Signalgeschwindigkeit
Beschreibt die Geschwindigkeit eines Signals Ist gleich der Gruppengeschwindigkeit (wenn es keine Verluste gibt)
Diese wird mit beeinflusst von Form des Signals
Signalhöhe
g
Signal‐zu‐Rausch‐Verhältnis
Die Signalgeschwindigkeit ist immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit!
Ei
Ein unabgeschwächtes
b
h ä ht Signal (im Vakuum) lässt sich immer leichter Si l (i V k
) lä t i h i
l i ht
(früher) detektieren als ein abgeschwächtes (s. Tunneln) Wellenpakete mit v>c und v<0
p
http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/20/20.html
4 Polarisation des Lichts
4. Polarisation des Lichts
4.1. Nachweis der linearen Polarisation
Gitterpolarisatoren für cm‐Wellen
Eingang polarisiert
Detektor polarisiert
Foto: M. Czirkovits & P. Dangl, Uni Wien
Licht regt die Elektronen längs des Drahtes zur Schwingung an
Absorption und Dämpfung längs Gitterstäben
Reemission mit 180° Phasenschub: Destruktive Interferenz ! Demonstration in der Vorlesung mit Mikrowellen !
Linearer Dichroismus in Polaroid‐Folien
„H‐sheet“ ist ein mit Jod getränktes Polyvinyl‐Alkohol (PVA) Polymer Die Polymere werden im Produktionsprozess gestreckt ausgerichtet
Elektronen können nur längs der Molekülketten schwingen Licht mit Polarisation parallel zur Molekülachse wird Bevorzugt absorbiert per Interferenz (!) hinter der Folie ausgelöscht :
per Interferenz (!) hinter der Folie ausgelöscht :
180° Phasenschub im getriebenen Oszillator weit oberhalb der Resonanzfrequenz
Licht mit senkrechter Polarisation kann die Elektronen kaum in Bewegung versetzen und wird transmittiert.
p. 181
Parallele Polarisatoren transmittieren das Licht
Gekreuzte Polarisatoren blockieren das Licht
blockieren das Licht
Blockade kann durch „zusätzliche Blockade kann durch zusätzliche
Projektion“ teilweise aufgehoben werden
p. 182
Zerlegung linear polarisierten Lichts
y
α
Superposition zweier Wellen x
orthogonal
orthogonal gleiche Phase + Frequenz
beliebige Amplitude ⇒ neue linear polarisiert Welle
Ex ( z , t ) = Re { E0 cos(α ) exp[i (kz − ωt )]}
E y ( z , t ) = Re { E0 sin(α ) exp[i (kz − ωt )]}
p. 183
4.2 Methoden der Polarisationsselektion
Brewster‐Winkel
Dipol emittiert nicht in Schwingungsrichtung
Snellius‘ Brechungsgesetz:
Snellius
Brechungsgesetz:
Bild : H. Höller & C. Primetshofer, Uni Wien
Brewsterwinkel
Anwendung: Fotos in spiegelnden Scheiben
Polarisierendes Element in Lasern…
Bild : H. Höller& C. Primetshofer, Uni Wien
p. 184
Komplette Unterdrückung der Reflexion für Licht mit Polarisation in der Einfallsebene: Brewsterwinkel
Foto: M. Czirkovits & P. Dangl, Uni Wien
p. 185
Polarisationserzeugung 2. Streuung Wie bei Brewsterwinkel:
Dipol emittiert nicht entlang der Schwingungsachse
Dipol emittiert nicht entlang der Schwingungsachse
Himmelslicht ist teilpolarisiert
Orientierung für Tiere !
Bei komplexeren oder mehrfachen Streuprozessen kann es aber auch zur Polarisationsdrehung kommen
G
E
θ
Dipolschwingungen
p. 186