b - Homburgisches Gymnasium

Klasse 10c: Zusammenfassung Mathematik aus 2 Jahren (Bu/Sif)
1. Bruchrechnung
1. Brüche addieren
Man addiert zwei Brüche, indem man sie auf den gleichen Nenner bringt und dann
die Zähler addiert.
2 3

3 5
=>
10 9

15 15
=>
19
15
a a

3 5
=>
5a 3a

15 15
=>
8a
15
2. Brüche subtrahieren
Man subtrahiert zwei Brüche, indem man sie auf den gleichen Nenner bringt und
dann die Zähler subtrahiert.
3 6
−
2 7
=>
21 12
−
14 14
a a
−
4 2
=>
a 2a
−
4 4
=>
9
14
=> −
a
4
3. Brüche multiplizieren
Man multipliziert zwei Brüche, indem man Zähler und Nenner multipliziert, danach
wenn möglich kürzen
3 8
⋅ . =>
5 7
3 15
⋅
5 21
a c
⋅
b d
=>
=>
24
35
1 3
⋅
1 7
=>
3
7
ac
bd
4. Brüche dividieren
Man dividiert zwei Brüche, indem man den Kehrwert multipliziert, danach wenn
möglich kürzen.
3 5
÷
7 7
=>
3 7
⋅
7 5
a c
÷
b d
=>
a d
⋅
b c
=>
=>
3 1
⋅
1 5
ad
bc
=>
3
5
Rechnen mit Termen
Multiplikation einer Summe mit einer Zahl
a·(b+c-d)=a·b+a·c–a·d
Eine Summe wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jeden Summenden mit der Zahl
multiplizieren.
4·(5 +7–3 )=4·5+4·7–4·3
Subtraktion einer eingeklammerten Summe:
a - ( b + c -d ) = a- b- c + d
Jeder Summend wird subtrahiert bzw. es wird die entgegengesetzte Zahl addiert.
4 - (5 + 7 – 3) = 4 – 5 – 7 + 3
Multiplikation von Summen
(a+b)*(c+d)=a*c+a*d+b*c+b*d
Man multipliziert zwei Summen indem man, jeden Summanden der ersten Summe mit jedem
Summanden der zweiten Summe multipliziert und die Produkte addiert
Folgende Formel nennt man die binomischen Formeln
( a + b ) ² = a ² + 2ab + b ²
( a – b ) ² = a ² – 2ab + b ²
( a + b) * ( a – b) = a ² – b ²
Beispiele
Umformen einer Summe in ein Produkt durch Ausklammern.
Der Term 21xy – 7xyz + 14xy²z soll in ein Produkt umgewandelt werden.
Man sucht in jedem Summanden nach einem oder mehreren gemeinsamen Faktoren.
Diese können nach dem Distributivgesetz ab + ac = a ( b + c)
ausgeklammert werden
21xy – 7xyz + 14xy²z = 7 * 3 xy- 7 xyz + 7 * 2 xyyz
= 7 xy ( 3 – z + 2yz)
Parabeln 1
1.
Die Standard Gleichung einer Parabel lautet y=ax 2 bxc
2.
Das a in der Gleichung zeigt die Streckung der Parabel an
3.
Das c zeigt an wo der Scheitelpunkt der Parabel auf der y-Achse liegt
4.
Das b zeigt die Verschiebung auf der x-Achse an
b.
1.
Man kann die Normaldarstellung immer in eine Scheitelpunktdarstellung umformen.
2.
y=ax 2 bxc
x 2 ¿
y=a ¿
Parabeln II
Bestimmung einer Parabel y=a⋅x 2b⋅xc durch 3 Punkte oder Scheitelpunkt
und weiteren Punkt.
1. Mit 3 Punkten: P(1|4) , Q(2|5) , R(3|8)
I 4=a⋅12 b⋅1c
II 5=a⋅22 b⋅2c
1.Einsetzen
2
III 8= a⋅3 b⋅3c
I 4=abc
II 5=4a2bc
III 8=9a3bc
4=abc
I
1=3ab
II-I
4=8a2b
III -I
I
II*2
III
4=abc
2=6a2b
4=8a2b
4=abc
I
2=6a2b
II
III-II 2=2a
4=abc
I
2=6a2b
II
1=a
III:2
I
a in II
III
4=abc
2=6⋅12⋅b
1=a
I 4=abc
II b=−2
III 1=a
b&a in I
II b=−2
III 1=a
5=c
2.Zusammenfassen
2. Scheitelpunkt & weiteren Punkt S(2|3) , P(1|5)
y=a⋅x 2b⋅xc
I
II
3=a⋅22 b⋅2c
5=a⋅1 2b⋅1c
I 3=4a2bc
II 5=abc
Proportional/ Antiproportional
Proportional ist etwas , wenn eine Zahl abhängig von einer anderen Zahl immer mit dem gleichen
Faktor wie bei der anderen Zahl multipliziert. Als Beispiel nehmen wir das Preisverhältnis von
Äpfeln. 1 Apfel kostet Euro. 2 Äpfel kosten dann 2 Euro. 5 Äpfel kosten dann 5 Euro. So werden
beiden Zahlen mit dem gleichen Faktor multipliziert.
Anti proportional ist etwas, wenn eine Zuordnung besteht, bei der bei der gilt: Je mehr ein Wert
wächst, desto mehr schrumpft ein anderer. Wenn zum Beispiel 6 Bagger 12 Stunden brauchen, um
ein Loch zu graben, dann brauchen 3 Bagger 24 Stunden.
Anti Proportional ist das Gegenteil von Proportional.
Prozente
–
–
–
Die Prozentrechnung besteht aus 3 wesentlichen Faktoren :
W = Prozentwert
G = Grundwert
P% = Prozentsatz
Um alle 3 Werte auszubrechen stehen folgende Formeln zur Verfügung:
Prozentzahl zum Wachstumsfaktor umrechnen:
q= p/100+1
z.B.:
q=5
5%= 5/100+1
5%=1,05
Strahlensätze
der erste Strahlensatz: ZA' / ZA = ZB' / ZB.
und der zweite Strahlensatz: A'B' / AB = ZA' / ZA
bzw. A'B' / AB = ZB' / ZB.
Werden 2 Strahlen von 2 Parallelen geschnitten, verhalten sich
die beiden Strahlenabschnitte des einen Strahls und die beiden
Abschnitte der Parallelen im Verhältnis gleich.
Strahlensätze generell
Wird das Original Dreick (ABC) bei einer zentrischen Streckung
mit dem
Streckungszentrum Z und dem Streckungsfaktor k ( k nicht
gleich 0) auf das
Bild Dreieck (A'B'C') abgebildet, dann sind beide Dreiecke
zueinander ähnlich.
Das bedeutet:
----> Die Winkelgrößen bleiben erhalten und somit kann man die
Größen berechnen
KÖRPER UND KREISFLÄCHEN
1.1) Formel für Kreisfläche: A=∏∗r² =∏∗
Anwendung: A=∏∗2cm²=∏∗
d²

4
4cm²
=12,56 cm²
4cm
1.2) Formel für Kreisring: A=∏∗ra²−∏∗ri²
Anwendung: A=∏∗5cm² −∏∗3cm²=50,27 cm²
1.3) Formel für Kreissektorfläche :
Anwendung : A=
A=
∏∗r²∗α
360 ° 
∏∗11cm²∗67 ° 
=70,75 cm
360 ° 
1.4) Formel für Kreisumfang: U =2∗∏∗r
Anwendung: U =2∗∏∗4cm=8 ∏ =25,13 cm
∏∗r∗α
180
∏∗4cm∗20 ° 
=1,4 cm
Anwendung: b=
180
1.5)Formel für Kreisbogen:
b=
2.1)Formel für Oberfläche von Prisma : O=2∗gm
Anwendung: O=2∗4cm7cm=15cm
2.2)Formel für Volumen von Prisma: V =G∗h
Anwendung: V =6cm∗3cm =18cm 3
3.1)Formel für Oberfläche von Zylinder: O=2∗∏∗r 22∗∏∗r∗h
Anwendung: O=2∗∏∗3 22∗∏∗3∗4=131.95
3.2)Formel für Volumen von Zylinder: V =∏∗r 2∗h
Anwendung: V =∏∗22∗4=50.27
4.1)Formel für Oberfläche von Pyramide: O= a 22∗a∗hs
Anwendung: O=5 22∗5∗3=38
4.2)Formel für Volumen von Pyramide : V =
Anwendung:
V=
82∗4
=85.3
3
a 2∗h
3
Trigonometrie
Die Hypotenuse und die Katheten im rechtwinkligen Dreieck:
Die längste Seite im rechwinkligen Dreieck liegt dem
rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
Die beiden übrigen Seiten werden Katheten genannt.
Gegeben ist das folgende Dreieck :
Dann ist die Seite c die Hypotenuse, weil sie dem rechten
Winkel gegenüberliegt. Die beiden übrigen Seiten nennt man
Katheten. Im Beispiel sind dies die Seiten a und b.
Gegenkathete und Ankathete
Die Katheten werden nochmals unterschieden:
Die Kathete, die dem Winkel
die Gegenkathete von .
Die Kathete, die am Winkel
Ankathete von .
sin
cos
tan
=
=
=
gegenüber liegt, nennt man
anliegt, nennt man die
G
H
A
H
G
A
Sinussatz für beliebige Dreiecke:
Kosinussatz für beliebige Dreiecke:
Exponentialfunktionen:
a) Funktionsgraph:
b) Kennzeichnen einer Exponentialfunktion: konstanter Wachstumsfaktor
f  x =2000⋅1,05 x
1.Jahr = 2000
2.Jahr = 2100
3.Jahr = 2205
4.Jahr = 2315,25
2.Jahr:1.Jahr
2100: 2000=1,05
3.Jahr:2.Jahr
2205:2100=1,05
4.Jahr:3.Jahr=1,05
Wachstumsfaktor gleich = Exponentialfunktion
c) Bestimmung einer Exponentialfunktion aus 2 Punkten
A(3|5), B(2|7)
f  x =a⋅b x
I 5= a⋅b3
II 7=a⋅b2
I
II
a=5 :b3
a=7 : b 2
5 7
= 2
3
b b
5
=7
b
5
=b
7
53
a=5 :
7
a=13,72
5x
f  x =13,72⋅
7
d)
Formel:
K =K o⋅q x
Zeitdauer
12000=8000⋅1,05x
12000
=1,05x
8000
1,5=1,05 x
x=
log 1,5
log 1,05
x=8,31
Zinssatz
12000=8000⋅q 7
12000
=q 7
8000
1,5=q7 / 7. Wurzel von 1,5
1,06=q
p =1
q
100
p =1,0106
Anfangskapital
12000= K o⋅1,057
K o=
12000
1,057
K o=8528,18
Wahrscheinlichkeitsrechnungen
a) Pfadregeln mit einem Anwendungsbeisspiel
1. Pfadregel ( Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt sich aus dem Produkt
der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
P(E) = p1· p2
Bsp: P(E) = 50 %· 60% /100 =30%
1. Pfadregel ( Summenregel )
Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses ist gleich der
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
P(E) = P(E1) + (P(E2) = p1 · p2 + q1 · q2
BsP: P(E) =(50% · 60% /100) + (40% · 70 % /100 )= 58%
1
b) Umkehren eines Baumdiagramms (Beispiel)
Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für
a. dreimal "Zahl"
b. mindestens zweimal "Zahl"
c. dreimal das gleiche Ergebnis?
a) 1/8
b) 1/2
c)1/4