2.7

25.05.2011
2.7 Äquivalenzen und Folgerungen
Jede Gleichungs - und Ungleichungsumformung kann als Anwendung einer
Funktion aufgefasst werden:
3x + 5 = 8
-5
f ( ... ) mit
f ( x) = x - 5
:3
f ( ... ) mit
f ( x) =
( 3x + 5 ) - 5 = 8 - 5
3x = 3
3x
3
=
3
3
x
3
x = 1
Bei welchen Funktionen f gilt
f( a) = f ( b) ?
a = b
Antwort: Dies ist genau die Eigenschaft injektiver Funktionen.
Bei welchen Funktionen f gilt
f( a) < f ( b) ?
a < b
Antwort: Dies ist genau die Eigenschaft streng monoton wachsender Funktionen.
Bei welchen Funktionen f gilt
f( a) > f ( b) ?
a < b
Antwort: Dies ist genau die Eigenschaft streng monoton fallender Funktionen.
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 2.7
Folie 1
Daher gilt für das Umformen von Gleichungen :
•
Die Anwendung einer injektiven Funktion auf eine Gleichung ist eine
Äquivalenz ( ohne Änderung der Lösungsmenge) .
•
Die Anwendung einer nicht - injektiven Funktionen ( sin, cos, tan, cot, cosh,
| x | , x 2 , x 4 , ... ) auf eine Gleichung ist eine Folgerung ( es können Lösungen
zur Lösungsmenge hinzukommen; daher ist eine Probe notwendig) .
•
Not - Umkehrfunktionen werden ausschließlich mit den entsprechenden
Formeln auf Gleichungen angewendet, da sonst Lösungen verloren gehen.
Beispiele
ex = a
arcsin ( x ) = a
tan ( x ) = a
x = ln ( a )
( da
f ( x ) = ln ( x ) injektiv ist )
x = sin ( a )
( da
f ( x ) = sin ( x ) nicht injektiv ist )
x = arctan ( a ) + k . π
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( da f ( x) = arctan ( x )
eine Not - Umkehrfunktion ist )
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Analysis 2.7
Folie 2
1
25.05.2011
Übersicht
über alle Formeln zum Umformen einer Gleichung mit Not - Umkehrfunktionen
cosh ( x ) = a
x =
+
arcosh ( a )
x = arcsin ( a ) + k . 2π
sin ( x ) = a
x =
π - arcsin ( a ) + k . 2π
cos ( x ) = a
x =
+
tan ( x ) = a
x = arctan ( a ) + k . π
cot ( x ) = a
x = arccot ( a ) + k . π
|x| = a
x =
+
x2 = a
x =
+
x4 = a
x =
+
arccos ( a ) + k . 2π
a
a
4
a
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Analysis 2.7
Folie 3
Für das Umformen von Ungleichungen gilt:
•
Die Anwendung einer monoton wachsenden Funktion auf eine Ungleichung
ist eine Äquivalenz ; das Relationszeichen bleibt unverändert.
Beispiel:
- 3x + 5 > 8
-5
Anwendung der streng monoton
- 3x > 3
•
wachsenden Funktion f ( x ) = x - 5
Die Anwendung einer monoton fallenden Funktion auf eine Ungleichung ist
ebenfalls eine Äquivalenz ; das Relationszeichen wird umgedreht.
Beispiel:
- 3x > 3
: (- 3)
x < -1
•
Anwendung der streng monoton
x
fallenden Funktion f ( x ) =
-3
Nicht monotone Funktionen dürfen nicht auf Ungleichungen angewandt werden !
Beispiel:
5 >
-3
x
Kehrwertbildung ist verboten, da die
1
Funktion f ( x) = x
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nicht monoton ist.
Analysis 2.7
Folie 4
2
25.05.2011
Bemerkung
Ob eine Funktion injektiv bzw. monoton ist, hängt ggf. vom Definitionsbereich ab.
So ist z.B. f ( x ) = x 2
•
nicht injektiv und nicht monoton über R
•
injektiv und streng monoton fallend für x < 0
•
injektiv und streng monoton wachsend für x > 0
Daher gilt:
( ... ) 2
1.)
|x - 1| >
x
2.)
- |x - 1|
>
> x
R+
>0
>0
(| x - 1 |) 2
( ... ) 2
x -
x+1
R-
<0
<0
(- | x - 1 |) 2
<
(
x -
x+1
)
2
( ... ) 2
3.)
x- 2 <
?
x
Diese Ungleichung darf allgemein nicht quadriert werden !
Um sie zu lösen, ist daher eine Fallunterscheidung notwendig.
< 0 oder > 0 ?
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x- 2 <
1. Fall:
D = R
x
x < 2 , also D1 =
x- 2 <
<0
x
>0
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Analysis 2.7
Folie 5
>0
0;2
wegen D = R
>0
Die linke Seite der Ungleichung ist also negativ und die
rechte Seite ist positiv (
Quadrieren verboten ! ) .
Die Ungleichung ist daher für alle x ε D1 erfüllt :
L1 = D1 =
2. Fall:
x >2
x- 2 <
>0
, also D2 = R
x
0;2
.
>2
R+
N.R.:
(x - 2)2 < x
x=1
x2 - 5x + 4 < 0
>0
Ergebnis:
L =
>2
x=4
y
f ( x ) = x2 - 5x + 4
1<x<4
Wegen D2 = R
x2- 5x + 4 = 0
1
gilt daher L2 =
2;4
1
0;4
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.
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Analysis 2.7
4 x
Folie 6
3