Aufgaben

Mathe I für Naturwissenschaften
27.10.16
Dr. Christine Zehrt
Uni Basel
Übung 6
Besprechung der Lösungen: 31. Oktober/1. November 2016 in den Übungsstunden
Aufgabe 1
Bestimmen Sie mit Hilfe der Regeln von Bernoulli-de l’Hôpital die folgenden Grenzwerte.
1
ln(x)
1
ax − 1
(b) lim
(c) lim
−
(a) lim
x→∞ x
x→0 ex − 1
x→0
x
x
Aufgabe 2
√
Geben Sie ohne Taschenrechner eine Näherung von 15, 95 an (durch lineare Approximation).
Vergleichen Sie Ihre Näherung mit dem Wert, den der Taschenrechner angibt.
Aufgabe 3
(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p1 (x) vom Grad 1 von
f (x) = x4 + 2x2 − x +
1
x−2
um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Wie lautet die Gleichung der Tangente an f in
x0 = 0 ?
(b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p2 (x) vom Grad 2 der Funktion f (x) =
Entwicklungspunkt x0 = 1.
√1
x
um den
(c) Bestimmen Sie das Taylorpolynom p4 (x) vom Grad 4 der Funktion f (x) = e2x um den
Entwicklungspunkt x0 = 0.
Aufgabe 4
Sei f (x) = x3 − x2 − 8x + 5.
(a) Die Funktionsgleichung von f sagt Ihnen direkt, dass f mindestens n und höchstens m
Nullstellen hat. Was sind n und m ?
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f auf 6 Nachkommastellen genau.
(c) Warum ist x0 = 2 kein geeigneter Startwert?
Aufgabe 5
Bestimmen Sie mit Hilfe der Fixpunktiteration einen (oder mehrere, falls es hat) Fixpunkte
der Funktion
1
f (x) = ex .
8
Das heisst, finden Sie x mit f (x) = x.
Zusatzaufgaben
Aufgabe 6
Geben Sie ohne Taschenrechner eine Näherung von sin(46◦ ) an (durch lineare Approximation). Benutzen Sie, dass sin(45◦ ) = cos(45◦ ) =
gerechnet werden muss.
√
2
2
und beachten Sie, dass im Bogenmass
Aufgabe 7
Bestimmen Sie die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x0 = 0 der hyperbolischen Cosinusfunktion
ex + e−x
cosh(x) =
.
2
Für welche reellen Zahlen x konvergiert sie?
Aufgabe 8
Führen Sie das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion
f (x) = √
x
1 + x2
mit den Startwerten x0 = 21 , x0 = 1 und x0 = 2 durch. Mit welchen Startwerten erhalten
Sie eine gute Näherung für die Nullstelle? Bestimmen Sie alle Startwerte x0 , für welche die
Folge (xn ) des Newton-Verfahrens konvergiert.
Aufgabe 9
Beweisen Sie, dass die Funktion f aus Aufgabe 5 kontrahierend auf D = [0, 2] ist und dass
gilt f (D) ⊂ D.