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Mathe Leuchtturm-Übungen-3.&UE-Kl.-Nr.009-Rechnen in Q-Brüche -C by Joh Zerbs
Mathe Leuchtturm
Übungsleuchtturm
009
=Übungskapitel
Die Menge der rationalen Zahlen Q
Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der
UE-und 3.Kl.)
Die Menge der Rationalen Zahlen Q.(Eigenschaften, Zahlengeradendarstellung)
Regeln der Vorzeichen für Addition,Subtraktion,Multiplikation und Division.
Rechnen mit Brüchen (in den rationalen Zahlen) für Addition,Subtraktion,Multiplikation und
Division.Rechenregeln für die einzelnen Operationen.
Anwenden der Vorkenntnisse: Kürzen, Erweitern, Auf einen gemeinsamen Nenner bringen,
Umschreiben einer gemischten Zahl auf einen unechten Bruch und umgekehrt
Auflösen von Doppelbrüchen; Regel für Kürzen in Doppelbrüchen
Brüche und Dezimalzahlen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen und umgekehrt,
Darstellung und Umwandlung
Ziel dieses Kapitels (dieses Übungsleuchtturms) ist:
Training des Bruchrechnens in der Menge Q- „Vorzeichenkenntnisse“
Alle Formeln, Erklärungen und Musterbeispiele zu diesem Übungsleuchtturm findest du wie
gewohnt im Lösungsteil-siehe Verweise auf der nächsten Seite
Lösungen findest du ab Seite 8
Beachte den Theorieteil (Wissen) ab Seite 12!
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Mathe Leuchtturm-Übungen-3.&UE-Kl.-Nr.009-Rechnen in Q-Brüche -C by Joh Zerbs
Dies ist eine Aufgabensammlung zu den Grundrechenoperationen in den rationalen Zahlen
Q.
Das Vorwissen zur Bruchrechnung (Umwandeln von gemischten Zahlen, Kürzen und
Erweitern mit Zahlen und Variablen) findest du im Übungsleuchtturm Nr.009-1. Dort sind
direkt im Text viele Erklärungen und Musterbeispiele notiert.
Alle Formeln, Erklärungen und Musterbeispiele (ab Seite 12) zu dieser Übungschili findest
du wie gewohnt im Lösungsteil (ab Seite 8).
Eine gesamte detaillierte Übersicht als know-how ist natürlich auch in der Wissenschili der
3.und UE-Klasse notiert.
Hinweis:
es gelten wie in Z:
„Crash-Regeln“
trifft ein Rechenzeichen auf ein Vorzeichen:
+ (+ ) → +
+ (− ) → −
− (+ ) → −
− (− ) → +
Rz Vz
Rz Vz
Rz Vz
Rz Vz
Rz
Rz
Rz
Rz
Ich habe bei all unseren Bruchrechnungsbeispielen bewusst auch solche Brüche gewählt, deren
Nenner höhere Zahlen aufweisen (also nicht nur Drittel, Viertel , Fünftel,..), um die
Rechenfertigkeit der Zahlenzerlegung beim Kürzen oder Erweitern zu trainieren!
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Mathe Leuchtturm-Übungen-3.&UE-Kl.-Nr.009-Rechnen in Q-Brüche -C by Joh Zerbs
Überprüfe, ob das Peach-Apple-Bruchrechenprogramm für Q richtig gerechnet hat!
Kürze- wenn möglich- so früh als möglich und vereinfache!!
Bedenke dass es stets mehrere Rechengänge (verschieden kürzen etc. …..) gibt!!
Schreibe unechte Brüche stets im Ergebnis als gemischte Zahl um!
 6   7  13
=1
 + +  =
 13   13  13
Ü1  +
 15   11  181
 − +  =
 19   26  494
Ü2  +
Ü3
4
 4   5
−  − +  = −
18
 24   18 


Ü4  − 7
Ü5
272
38
3   10 
= −6
 + +  = −
39
39
13   39 
4
 4   18 
−  − −  = −
13
 13   26 


164
8
1   11 
= −12
=−
39
13
3   39 
Ü6  − 12  −  +
Ü7
(− 11) +  − 2 8  = − 125 = −13 8
Ü8
61
 3  7 
−  − −  − 2 = −
30
 5   30 
Ü9
3   10 

 − 37  +  − 4  = = −44
8   16 

9

9
 7   2
 − −  =
 20   5 
Ü10 (− 0.9 ) −  +
Ü11
9
−
85
17
=−
100
20
18  10  13
+ −  =
19  38  19
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Tip: im Allgemeinen ist es besser, besonders bei schwierigeren Bruchadditionen oder subtraktionen ,gemischte Zahlen als unechten Bruch umzuschreiben!!
Nicht nötig ist dies in „einfachen“ Rechnungen z.B.:
13
3 
10 
13
 3 + 10 
 3 10 
+  + 32  = (13 + 32 )
 = (13 + 32 ) +  = 35
11 
11 
11
 11 
 11 11 
6 
4
2
6−4
6 4
3 +  − 2  = (3 − 2 )
 = (3 − 2 ) −  = 1
7 
7
7
 7 
7 7
->> einfach Ganze und Zähler extra addieren/subtrahieren
Zur Bruchstrichschreibweise:
3 2 7
3+ 2−7
2
1
+ − → kürzere"T int enpatronen − spar − schreibwei se" =
=− =−
8 8 8
8
8
4
Der Nenner wird nur einmal angeschrieben und nur ein Bruchstrich gesetzt.
Dies funktioniert bei der Addition und Subtraktion natürlich nur bei gleichnamigen Brüchen.
Beachte:
−
Bsp1:
3
−3 −3 +3
3
=
=
=
=
13 + 13 13 − 13 − 13
+
Bsp2:
3
3
+3
−3
=
=
=
13 13 + 13 − 13
Wir können den Bruch auch jeweils so schreiben, da wir die Vorzeichenregeln für die Division
bereits kennen.
Der Bruchstrich ist ja ein „Dividiert-zeichen“, wie wir bereits wissen.
+:+ →+
Vz Vz Vz
−:+ → −
Vz Vz Vz
+ :− → −
Vz Vz Vz
−:− → +
Vz Vz Vz
Division
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„Normale Berechnungsaufgaben“
Berechne! Kürze - wenn möglich- so früh als möglich –gleich in der Angabe und
vereinfache!!
Kürze „kreuzweise“!
Ü12
 8  6
+ ⋅+  =
 9  7
Ü13
 7  6
− ⋅−  =
 8  9
Ü14
 11   3 
− 3 ⋅+  =
 15   8 
Gib das Ergebnis auch als Dezimalzahl an!!!
Ü15
(+ 13) ⋅  − 11  =
Gib das Ergebnis auch als Dezimalzahl an!!!
Ü16
6 
6

+ 7 ⋅− 9  =
7 
4

Gib das Ergebnis auch als Dezimalzahl an!!!
Ü17
(− 3,9) ⋅  +
Rechne nur mit Brüchen!!!
Ü18
 11   1597 
−
⋅+
=
 1597   2222 
Ü19
1   12 

 + 44  ⋅  −  =
6   13 

Ü20
4  0

+ 4 ⋅−  =
 15   13 
Ü21
18   20 

− 9
 ⋅  −  ⋅ (− 4,355) =
200   36 

 26 
5 
=
 20 
(schaue genau und kürze gleich!!)
Rechne nur mit Brüchen!!! Kürze gleich in der Angabe!!!!!!
(lasse das Ergebnis als unechten Bruch stehen)
Beachte: Für jedes Beispiel gibt es- je nach Art des Kürzens, Umwandelns, GemeinsamenNenner-Bringens verschiedenste Lösungswege!!!
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Überprüfe, ob das Peach-Apple-Bruchrechenprogramm für Q richtig gerechnet hat!
Kürze wenn möglich so früh als möglich-gleich in der Angabe !!- und vereinfache soweit als
possible!
Kürze „kreuzweise“! Versuche bereits in der Angabe, innerhalb des Bruches soweit als
möglich zu kürzen, damit du nicht so hohe Zahlen hast! Kürze „kreuzweise“(Krwkü)
Vergiss nicht: kreuzweises Kürzen erst nach Bilden des Kehrwertes in der Multiplikation!
Ü22
14
5
 7  9 
 +  :  −  = − = −1
9
9
 19   38 
Ü23
4
5

 − 3  : (− 12 ) = −
6
72

Ü24
32
11
4 
8

= −1
− 5  : + 3  = −
21
21
 12   16 
Ü25
 15   45  15
−  :−  =
 44   46  46
Ü26
7  31 
3 :  −  = −8
8  64 
Ü27
2
 5   15 
+  :−  = −
3
 15   30 
Ü28
1
7  6
: −  = −
22  33 
22
Ü29
(+ 0,8) :  − 40  =

41 
−
41
= −0.82
50
Rechne nur mit Brüchen!!! Ergebnis auch als Dezimalzahl!
Ü30
145
67
 16 
= −1 = −1,85897
 − 5  : 3,12 = −
78
78
20 

Rechne nur mit Brüchen!!! Ergebnis auch als Dezimalzahl!
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Welche der 3 angegebenen Lösungsmöglichkeiten ist die richtige????
Berechne und kreuze an!
Berechne! Löse den Doppelbruch auf und vereinfache soweit als möglich!!!
Kürze gleich in der Angabe wenn möglich!! (Kürzen innerhalb des jeweiligen oberen und
unteren Bruchs ist gemeint)!!
Schreibe die Rechnung auch als „normale“ Bruchdivision an und berechne mit dem Kehrwert
als Kontrolle für dein Ergebnis!
33
35 =
Ü31
66
−
70
A -6
4
7 =
Ü32
16
+
18
A−
351
15
= −6
56
56
A
776
99
+
−5
Ü33
−7
=
8
− 11
9
4 11
12 −
7 14 =
Ü34
 5  3 
− ⋅− 
 7   10 
B −
A 55
1
70
B
B
C -1
B
63
107
12
70
−
331
70
C
31
35
C -77
C -7
Zusatzübung:
Schreibe die Aufgaben der Bruchdivision von Ü22 bis Ü30 als Doppelbrüche an, löse diese
auf und kontrolliere die Gleichheit des Ergebnisses!
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Mathe Leuchtturm
Übungsleuchtturm
009
Addition und Subtraktion von Brüchen
Richtige Ergebnisse unverändert. Falsche eingerahmt und richtig korrigiert.
 6   7  13
=1
 + +  =
 13   13  13
Ü1  +
 15   11  181
 − +  =
 19   26  494
Ü2  +
Ü3
4
 4   5
−  − +  = −
9
 24   18 


Ü4  − 7
Ü5
272
38
3   10 
= −6
 + +  = −
39
39
13   39 
5
 4   18 
−  − −  =
 13   26  13


164
8
1   11 
= −12
= −
13
13
3   39 
Ü6  − 12  −  +
Ü7
(− 11) +  − 2 8  = − 125 = −13 8
Ü8
71
11
 3  7 
= −2
−  − −  − 2 = −
30
30
 5   30 
Ü9
336
3   10 

= −42
 − 37  +  − 4  = −
8
8   16 

9

9
 7   2
 − −  =
 20   5 
Ü10 (− 0.9 ) −  +
Ü11
9
Rechne nur mit Brüchen!!! −
85
17
=−
100
20
18  10  13
+ −  =
19  38  19
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Multiplikation von Brüchen
Ü12
Ü13
Ü14
Ü15
Ü16
Ü17
16
21
7
12
−
−
11
1
= −5 = alsDezimalzahl →= −5,5
2
2
−
39
40
−
1
202
−
530
10
= −40
13
13
Ü19
Ü21
165
1
= −82 → alsDezimalzahl → −82,5
2
2
−
Ü18
Ü20
7
2
14
4
= −1 = alsDezimalzahl → − = −1 = −1,4
5
5
10
10
0 weil −
−
0
= 0!!!!!
13
87971
3971
= −21
= −21,9928
4000
4000
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Division von Brüchen
Richtige Ergebnisse unverändert.Falsche eingerahmt und richtig korrigiert.
Ü22
14
5
 7  9 
 +  :  −  = − = −1
9
9
 19   38 
Ü23
23
5

 − 3  : (− 12 ) =
6
72

Ü24
32
11
4 
8

= −1
− 5  : + 3  = −
21
21
 12   16 
Ü25
 15   45  23
−  :−  =
 44   46  66
Ü26
7  31 
3 :  −  = −8
8  64 
Ü27
2
 5   15 
+  :−  = −
3
 15   30 
Ü28
7
3
7  6
:  −  = − = −1
22  33 
4
4
Ü29
(+ 0,8) :  − 40  =

41 
−
41
= −0.82
50
Rechne nur mit Brüchen!!! Ergebnis auch als Dezimalzahl!
Ü30
145
67
 16 
= −1 = −1,85897
 − 5  : 3,12 = −
20 
78
78

Rechne nur mit Brüchen!!! Ergebnis auch als Dezimalzahl!
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Doppelbrüche
33
35 =
Ü31
66
−
70
A -6
4
7 =
Ü32
16
+
18
A −
+
−5
Ü33
−7
=
8
− 11
9
A
4 11
12 −
7 14 =
Ü34
 5  3 
− ⋅− 
 7   10 
B −
1
70
C -1
351
15
= −6
56
56
776
99
A 55
B
B
63
107
B
−
331
70
C
31
35
C -77
12
70
C -7
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Erklärungen und Musterbeispiele
a
a⋅c
⋅c =
b
b
Die Formel bedeutet:
Der Zähler wird mit der ganzen Zahl multipliziert,der Nenner bleibt
Bsp1:
4
4 ⋅ 11 44
8
⋅ 11 =
=
=4
9
9
9
9
Bsp2:
8
8 ⋅ 22
⋅ 22 =
− > kürzen = 16
11
11
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
Kurzformel:
!!!
Zähler mal Zähler
Nenner mal Nenner
Ein Bruch wird mit einem anderen multipliziert, indem die beiden Zähler und die beiden
Nenner extra multipliziert werden.
Gilt auch für mehr als 2 Brüche!!!-(siehe Bsp.2) -mehrere Brüche werden multipliziert, indem
alle Zähler und alle Nenner multipliziert werden.
Bsp1:
3 5 3 ⋅ 5 15 5
⋅ =
=
=
7 6 7 ⋅ 6 42 14
Bsp2:
3 2  4  3 ⋅ 2 ⋅ (− 4 )
4
2
⋅ ⋅−  =
− > kürzen = −
=−
4 9  5
4⋅9⋅5
30
15
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Mathe Leuchtturm-Übungen-3.&UE-Kl.-Nr.009-Rechnen in Q-Brüche -C by Joh Zerbs
Es gelten wie in Z die Vorzeichen-Multiplikationsregeln:
+ ∗+ → +
− ∗+ → −
+ ∗− → −
− ∗− → +
Vz Vz Vz
Vz Vz Vz
Vz Vz Vz
Vz Vz Vz
Multiplikation
Beachten wir:
0 ⋅ jeder Zahl = 0
jede Zahl ⋅ 0 = 0 !!!!
In vielen Beispielen ist es ratsam, damit du nicht so hohe Zahlen beim Multiplizieren hast,
noch vor dem Ausmultiplizieren „kreuzweise“ ,also im „X“ zu kürzen
Kürzen: in der Angabe: kreuzweise
z.B.
χ
3 16 1 2
⋅ = ⋅
8 9 1 3
Unterscheid e das „normale Kürzen“ innerhalb des Bruches
z.B.
4 7 1 1 1
⋅ = ⋅ =
8 14 2 2 4
beachte: hier könnten wir auch 4 gegen 14 „kreuzweise“ kürzen
Achtung!!!!
Gemischte Zahlen vor dem Ausmultiplizieren immer als unechten Bruch umschreiben!!!
4 5
44 5
22 5 110
⋅ → Krwkü 44 gegen14 =
⋅ =
5 ⋅ → kein Krwkü 4 gegen 14 möglich!!!!=
8 14
8 14
8 7 56
Zur Bruchstrichschreibweise:
3 2 7
3⋅ 2⋅7
3⋅7
21
⋅ ⋅
→=
=
=
8 5 38
8 ⋅ 5 ⋅ 38 4 ⋅ 5 ⋅ 38 760
Es wird nur ein Bruchstrich gesetzt.
Dies funktioniert im Gegensatz zur Addition und Subtraktion bei der Multiplikation auch bei
ungleichnamigen Brüchen.
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14
Mathe Leuchtturm-Übungen-3.&UE-Kl.-Nr.009-Rechnen in Q-Brüche -C by Joh Zerbs
a
a 1
a
:c = • =
b
b c b⋅c
c ≠ 0 Beachte: c darf nicht Null sein!
Die Formel bedeutet:
Der Nenner des Bruchs wird mit der ganzen Zahl multipliziert, der Zähler bleibt
unverändert!!!!
Bsp:
12
12 1 12
3
− > durch 4 kürzen =
:4 = ⋅ =
13
13 4 52
13
a c a d a ⋅ d ad
=
: = • =
b d b c b ⋅ c bc
Der Dividend (= 1.Bruch) wird mit dem Kehrwert des Divisors (2.Bruch)
Kehrwert…kommt von „umkehren“
also: der 2.Bruch wird umgedreht, das heißt ,der Zähler und der Nenner werden vertauscht,
der 1. Bruch aber nicht umgedreht!!!! und es wird multipliziert
Natürlich gelten dann wieder die Regeln für die Multiplikation von Brüchen!
Bsp1:
3 2 3 5 3 ⋅ 5 15
7
: = • =
=
=1
4 5 4 2 4⋅2 8
8
Bsp 2:
4 5 4 8 32
: = • =
7 8 7 5 35
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Nach der obigen Regel gilt daher für die Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl:
ganze Zahlen beim Dividieren immer als „Eintel“ schreiben und beim Multiplizieren als 1
dividiert durch die ganze Zahl
a
a c
a 1
a
:c = : = • =
b
b 1
b c b⋅c
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Es gelten wie in Z die Vorzeichen-Divisionsregeln:
+:+ →+
−:+ → −
+ :− → −
−:− → +
Vz Vz Vz
Vz Vz Vz
Vz Vz Vz
Sonderfall Null: 0 : jede Zahl = 0
Division
Vz Vz Vz
jede Zahl : 0 =" verboten " !!!!
Kürzen bei der Bruchdivsion
Es gibt verschiedene Möglichkeiten:
1.) gleich in der Angabe innerhalb des Bruches ,dann erst Kehrwert bilden!
4 4 1 1 1 2 2 1
: = : = • = =
Bsp: 16 8 4 2 4 1 4 2
oder
2.) kreuzweise aber erst nach Bilden des Kehrwertes in der Multiplikation!!!!
Unser voriges Bsp:
4 4 4 8
1 2 2 1
: = • = KRWKÜ = • = =
16 8 16 4
4 1 4 2
Wir haben „kreuzweise“ im Sinne der Bruchmultiplikations-Kürzregeln gekürzt
4 gegen 4, 16 gegen 8!!!
Wir merken uns:
In einer Bruchdivision dürfen wir niemals gleich in der Angabe „kreuzweise“ kürzen!!!
Achtung!!!!
Gemischte Zahlen vor dem Dividieren immer als unechten Bruch umschreiben!!!
Bsp1:
63 4
7 4
: → Kein Krwkü 4 gegen 8!!=
7 : → kein Krwkü 4 gegen 8 möglich!!!!=
8 13
8 13
63 13 819
19
• =
= 25
8 4
32
32
Bsp2:
5
6
95 24
: 2 → kein Krwkü 6 gegen 15 möglich!!!!=
:
→ Kein Krwkü 24 gegen 15!!=
15 9
15 9
19 8 19 3
19 1
3
57
9
3
innerhalb desBruchs kürzen : = • = krwkü ⋅ = 2 → oder :
=2
=2
3 3 3 8
1 8
8
24
24
8
6
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Ein Doppelbruch ist einfach nur eine andere Schreibweise „in einem“ für die Division zweier
Brüche.
Wir wissen ja ,dass das Dividiert-zeichen der Bruchstrich ist.
Das Ergebnis eines Doppelbruchs ist immer schließlich ein „normaler“ Bruch.
Auflösen eines Doppelbruchs:
Aussenglied
Innenglied
mal
mal
Aussenglied
Innenglied
Kürze im aufgelösten einfachen Bruch dann wie in der „normalen“ Multiplikation zweier
Brüche!!!- „kreuzweise“ oder gleich innerhalb des Bruchs jeweils (siehe Kapitel:
Multiplikation-Kürzen)
8
1
8 ⋅ 5 10
=
=1
Bsp1: 9 =
4 9⋅4 9
9
5
Gemischte Zahlen vor dem Auflösen des Doppelbruchs in einen unechten Bruch
umwandeln!!
5
41
9 = 9 = 41 ⋅ 11 = 451 = 1 199
Bsp2:
6
28 9 ⋅ 28 252
252
2
11 11
4
Statt dem Auflösen nach der Formel hättest du auch eine „normale“ Bruchdivision
ausführen können!
In Bsp1:
8
9 ↔ 8:4
4
9 5
5
=
1
8 5
2 5 10
• = kreuzweisesKürzen → ⋅ =
=1
9
9 4
9 1 9
5
9 ↔ 4 5 : 2 6 = 41 : 28 = 41 ⋅ 11 = 451 = 1 199
6
252
9 11 9 ⋅ 28 252
9 11
2
11
4
In Bsp2:
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Kürzen im Doppelbruch selbst
Z1
N1 →
Z2
N2
Z1 gegen Z2
Zähler des 1.(=oberen) Bruchs gegen Zähler des 2.(unteren) Bruchs
N1 gegen N2
Nenner des 1.(=oberen) Bruchs gegen Nenner des 2.(unteren) Bruchs
5:5
7 :7 → gekürzt − > 5 gegen 15 und 7 gegen 21 =
15:5
:7
Bsp: 21
1
3→
3
3
Auflösen > ( Außen mal Außen) durch ( Innen mal Innen) =
1⋅ 3
1
→ kürzen =
3⋅3
3
Achtung! Verwechsle nicht die Regeln für das Kürzen im Doppelbruch und das Auflösen!!!!
Merke:
Auflösen des Doppelbruchs:
( A mal A
) durch ( I mal I )
A…. Außenglied
I….Innenglied
Zusatzübung:
Versuche in den Aufgaben Ü22 bis Ü34 im Sinne der Doppelbruch-kürzregel wie oben zu
kürzen!
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