Mathematik der Oberstufe (0.6.2)

Mathematik der Oberstufe (0.6.2)
Michael ’ScriptKiller’ Arndt
12.12.2002 - 23.01.2005
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
1.1 Gewährleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Copyright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Changelog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Einleitung/Wiederholung
2.1 Analysis . . . . . . . . . . .
2.2 Der Funktionsbegriff . . . .
2.2.1 Definition . . . . . .
2.2.2 Beispiel . . . . . . .
2.2.3 Veranschaulichung .
2.3 Die Lineare Funktion . . . .
2.4 Orthogonale Geraden . . . .
2.5 Potenzfunktionen . . . . . .
2.6 Exponentialfunktionen . . .
2.7 Wurzelfunktionen . . . . . .
2.8 Der Weg von einer Funktion
7
7
7
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zur Umkehrfunktion
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3 Zahlenfolgen
3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Differenzkriterium der Monotonie . . . . . . . . .
3.5 Vorübung zur ε-Umgebung . . . . . . . . . . . .
3.6 Der Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Definition Grenzwert . . . . . . . . . . . .
3.7 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Sammlung einfacher konvergenter Folgen
3.7.2 Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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24
1
3.8
3.9
Die Ulam-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
4 Funktionen
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4.1 Grenzwerte bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.1 Folgen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.2 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.3 Einfache Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.4 Schiefe Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0 . . . . . . . . 30
4.2.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 Definition Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.3 Sprungstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Pole mit und ohne Vorzeichenwechseln . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert . . . . . . . . . . . 35
4.5.1 Behauptung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5.3 Voraussetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5.4 Behauptung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5.5 Beweis (indirekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6 Schnittpunkte des Graphen einer Funktion mit den Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.1 1. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.2 2. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 Vorübung zum Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7.1 Gleichförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7.2 Beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.8 Verallgemeinerung des Tangentenproblems . . . . . . . . . . . 38
4.8.1 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.8.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.9 Berechnung einer Ableitung nach der h-Methode . . . . . . . 38
4.9.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.9.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.10 Die Tangente t an dem Graph einer Funktion f . . . . . . . . 39
4.10.1 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.10.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.11 Gleichung der Normalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.11.1 1. Gleichung der Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.11.2 2. Gleichung der Normalen . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.12 Die Differenzierbarkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . 40
4.12.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.12.2 Ist f an der Stelle x0 = 1 stetig? . . . . . . . . . . . . . 41
2
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.12.3 Welche Ableitung hat f an der Stelle x0 = 1? . . . . .
4.12.4 Weiteres Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.7 Analytische Begründung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.1 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.2 Ableitung f 0 (x0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.3 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Potenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.2 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.2 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.3 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16.1 Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16.2 Kurzbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der Trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . .
4.17.1 Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17.2 Cosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispielanalyse einer Funktionenschar . . . . . . . . . . . . .
4.18.1 Nullstellen von ft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18.2 Der Scheitel st . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18.3 Ortskurve der Scheitelpunkte . . . . . . . . . . . . . .
4.18.4 Gemeinsame Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18.5 Ortskurve der Punkte mit der Steigung 2 . . . . . . .
4.18.6 Die Stelle x0 , an der alle Graphen von ft die gleiche
Steigung haben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extremstellen und Extremwerte einer Funktion . . . . . . . .
4.19.1 Anschaulich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19.2 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analytische Erfassung von Maxima und Minima einer Funktion
4.20.1 Definition des relativen Maximums . . . . . . . . . . .
4.20.2 Definition des relativen Minimums . . . . . . . . . . .
4.20.3 Eigenschafen von f an einer Extremstelle xe . . . . . .
4.20.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20.5 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20.6 Kann man diesen Satz auch umkehren? . . . . . . . .
4.20.7 Notwendig / Hinreichend . . . . . . . . . . . . . . . .
Hinreichendes Kriterium für eine Extremstelle . . . . . . . . .
3
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54
54
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4.21.1 Satz: Vorzeichenwechselkriterium . . . . . . . . . . . .
4.22 Vereinfachung des hinreichenden Vorzeichwechsel Kriteriums .
4.22.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.22.2 Beweis für relatives Maximum . . . . . . . . . . . . .
4.23 Verschiedene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.23.1 Die Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.23.2 Die Signumfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.23.3 Die Ganzteilfunktion (Gauß’sche Klammerfunktion) .
4.24 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24.5 Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24.6 Eigenschaften von f (x) = bx . . . . . . . . . . . . . . .
4.24.7 Die e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.25 Wiederholung Logarithmusbegriff . . . . . . . . . . . . . . . .
4.25.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.25.2 Logarithmusregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.25.3 Umkehrbarkeit einer Funktion f . . . . . . . . . . . .
4.25.4 Umkehrung der Exponentialfunktion . . . . . . . . . .
4.25.5 Spezialfall: Umkehrung von f (x) = ex . . . . . . . . .
4.26 Die ln-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.26.1 Definition, Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.26.2 Bekannt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.26.3 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.27 Weitere Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.27.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.27.2 Partielle Integration oder Produktintegration . . . . .
4.27.3 Integration durch Substitution (1) . . . . . . . . . . .
4.27.4 Integration durch Substitution (2) . . . . . . . . . . .
4.28 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.28.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.28.2 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.28.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Stochastik
5.1 Zufallsexperimente . . . . . . .
5.1.1 Kennzeichen . . . . . .
5.1.2 Beschreibung . . . . . .
5.1.3 Beispiele . . . . . . . . .
5.2 Mehrstufige Zufallsexperimente
5.2.1 Einleitung . . . . . . . .
5.2.2 Beispiele . . . . . . . . .
4
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71
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5.3
Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Besondere Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Vierfelder Tafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6 Beschreibung von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Veranschaulichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 eines Ergebnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 eines Ereignisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen (Ergebnissen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Über theoretische Annahmen . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Über die relative Häufigkeit bei einer hinreichend großen
Anzahl von Durchführungen eines Zufallsexperiments
5.7 Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten .
5.7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 1. Pfadregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5 2. Pfadregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Exkurs: Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Ziehen mit Wiederholung, mit Beachtung der Reihenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Ziehen ohne Wiederholung, mit Beachtung der Reihenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3 Ziehen ohne Wiederholung, ohne Beachtung der Reihenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Definition: Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . .
5.9 Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.4 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.5 Definition Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . .
5.9.6 Definition Summierte Binomialverteilung . . . . . . .
5.10 Erwartungswert einer Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.1 Beispiel: Glücksspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.2 Wann ist ein Spiel fair . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.3 Satz zum Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . .
5
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88
89
89
5.11 Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.1 Wiederholung: Erwartungswert . . . . . . . . . . . . .
5.11.2 Maß für “mittlere Abweichung” . . . . . . . . . . . . .
5.11.3 Definition Varianz und Standardabweichung . . . . . .
5.11.4 Satz zur Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Bedeutung der Standardabweichung für binomialverteilte Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.1 rσ - Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.2 σ - Regeln (für σ > 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13 Beurteilende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.1 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.2 Zweiseitiger Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . .
5.14 Diverse Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.2 Lotterie “6 aus 49” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 “Essentials”
6.1 Was ist das? . . . . . . . . .
6.2 Mittelstufenalgebra . . . . .
6.3 Grenzwerte einfacher Folgen
6.4 Wichtige Ableitungen . . .
.
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6
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89
89
90
90
90
90
90
90
91
91
91
92
92
92
93
93
93
94
94
Kapitel 1
Vorwort
1.1
Gewährleistung
Alle Angaben, Rechnungen, Beweise und jeglicher Text sind ohne Gewähr!
Ich habe mich bemüht, möglichst keine Fehler zu machen, aber man kann
ja nie wissen!
1.2
Copyright
Die Rechte an diesem Dokument liegen bei Michael “ScriptKiller” Arndt,
[email protected]
Das Dokument darf nicht beliebig vervielfältigt werden, Herunterladen
und Ausdrucken ist erlaubt, jedoch darf das Dokument dabei nicht verändert
werden! Dieser Hinweis muss deutlich sichtbar sein.
Das Dokument darf nicht im Internet verfügbar gemacht werden, des
weiteren ist ein Verkauf in ausgedruckter Form nicht zulässig!
Aktuelle Versionen sind zu beziehen auf http://scriptkiller.de/
1.3
Changelog
Version 0.1
15.12.2002, 21 Seiten, Erste Veröffentlichung
Version 0.2 30.12.2002, 34 Seiten, Neu: Eine Folge hat höchstens einen
Grenzwert bis Zusammenhänge Stetigkeit / Differenzierbarkeit, Essentials
Version 0.3
Postscript)
08.01.2003, 42 Seiten, Neu: Einige Graphen (Encapsulated
Version 0.4 18.02.2003, 51 Seiten, Neu: Die Ableitungsfunktion, Potenregeln, Summenregel, Faktorregel, Ableitung von Sinus und Cosinus, Analyse
einer Funktionenschar
7
Version 0.4.1 19.02.2003, 61 Seiten, Neu: Hinreichendes Kriterium für
eine Extremstelle, Vereinfachung des Kriteriums.
Version 0.5 25.05.2004, 69 Seiten, Neu: Exponentialfunktion, e-Funktion,
Logarithmusfunktion, Integrationsmethoden
Version 0.6 18.10.2004, 85 Seiten, Neu: Stochastik: Zufallsexperimente,
mehrstufige Zufallsexperimente, Ereignisse, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeiten
Version 0.6.1 19.10.2004, 91 Seiten, Neu: Kombinatorik, Bernoulli-Experiment,
Bernoulli-Kette, Erwartungswert, diverse Beispiele, Differentialgleichungen,
Bookmarks in PDF-Version
Version 0.6.2 23.01.2005, 95 Seiten, Neu: Standardabweichung, Beurteilende Statistik
8
Kapitel 2
Einleitung/Wiederholung
2.1
Analysis
Untersuchung (Analyse) von Funktionen und mathematische Beschreibung
ihrer Eigenschaften.
2.2
2.2.1
Der Funktionsbegriff
Definition
Eine Zuordnung, die jedem x ∈ Df genau ein y ∈ Wf zuordnet, heißt
Funktion.
2.2.2
Beispiel
Df = N; Wf = G+
f : x 7→ y = 2x
eindeutige Relation/Zuordnung
D = N0 ; W = G
x 7→ y = ±2x
nicht eindeutige Zuordnung
Df = Z; W = {Quadratzahlen}
f : x 7→ y = x2
eindeutige Relation
9
2.2.3
Veranschaulichung
Funktionen können veranschaulicht werden in
1. einem Mengendiagramm
2. einer Wertetabelle
3. als Graph (Schaubild) im xy-Koordinatensystem
2.3
Die Lineare Funktion
f : x 7→ mx + b; Df = R; Wf = R}F unktion
y = mx + b}F unktionsgleichung
10
x
5
0
-5
-10
-10
-5
0
m heißt Steigung der Geraden
b heißt y-Achensabschnitt der Geraden
m > 0: f ist streng monoton steigend
m < 0: f ist streng monoton fallend
Es gilt:
tan(x) = m =
∆a
y2 − y1
=
∆b
x2 − y2
10
5
10
Beispiel:
Gerade durch A(2|3) und B(−3|7)
m=
4
7−3
=−
−3 − 2
5
oder:
y − y1
x − x1
y − y1 = m(x − x1 )
m=
y = m(x − x1 ) + y1
(Punktsteigungsform der Geradengleichung)
y = mx + y1 − mx1
y = mx + b
(Normalform)
2.4
Orthogonale Geraden
10
x
-x
5
0
-5
-10
-10
-5
0
11
5
10
Höhensatz:
h2 = pq
1 = |mg | × |mh |
1. mg > 0; mh < 0 ⇒ mg mn = −1
2. mg < 0; mh > 0 ⇒ mg mn = −1
⇒ mg mh = −1
Allgemein:
mn = −
2.5
a
mg
Potenzfunktionen
a)
f : x 7→ xn ; Df = R, n ∈ N
n gerade: Wf = R+
0
5
x**2
4
3
2
1
0
-4
-2
0
n ungerade: Wf = R
12
2
4
x**3
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
f hat eine Parabel der n-ten Ordnung als Graph.
b)
f : x 7→ x−n ; Df = R \ {0}, n ∈ N
y = x−n
oder:
y=
1
xn
n gerade: Wf = R+
13
2
4
x**(-2)
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
n ungerade: Wf = R \ {0}
x**(-3)
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
f hat eine Hyperbel n-ter Ordnung als Graph.
14
2
4
2.6
Exponentialfunktionen
a)
f : x 7→ ax ; Df = R; a ∈ R+ ; Wf = R+
5
2**x
4
3
2
1
0
-4
-2
0
2
b)
f : x 7→ a−x ; Df = R; a ∈ R+ ; Wf = R+
15
4
5
2**(-x)
4
3
2
1
0
-4
2.7
-2
0
2
4
Wurzelfunktionen
f : x 7→
√
n
+
x; Df = R+
0 ; Wf = R0 ; n ∈ N \ {1}
5
sqrt(x)
4
3
2
1
0
0
1
2
3
16
4
5
Umkehrfunktion von:
f −1 : x 7→ xn
2.8
Der Weg von einer Funktion zur Umkehrfunktion
1. Beispiel:
+
f (x) = xn ; Df = R+
0 ; Wf = R0 ; n ∈ {geradeZahlen}
1. Auflösen nach x
y = xn
√
x= ny
2. Vertauschen der Variablen
√
+
f −1 (x) = n x; Df − = R+
0 ; Wf − = R 0 ;
Wertebereich der Funktion wird Definitionsbereich der Umkehrfunktion,
Wertebereich der Umkehrfunktion neuer Definitionsbereich der Funktion.
Satz: Wenn eine Funktion streng monoton fallend (steigend) ist, dann ist
sie umkehrbar.
2. Beispiel:
f : x 7→ ax ; a ∈ R+ ; x ∈ R; Df = R; Wf = R+ ;
Nach x auflösen
y = ax
loga y = loga (ax )
loga y = x loga (a)
loga y = x
Vertauschen der Variablen
y = loga (x)
f −1 : x 7→ loga (x); Df − = R+ ; Wf − = R;
17
Kapitel 3
Zahlenfolgen
3.1
Einführung
Vereinfachung
Df = N
Beispiel
f : x 7→ 2x; Df = R
⇒ f : n 7→ 2n; Df = N
Wertetabelle
n
1
2
3
4
2n
2
4
6
8
Bei der Beschränkung auf Wf = N lassen sich die Funktionswerte übersichtlich und lückenlos in der Reihenfolge der natürlichen Zahlen anordnen
und beobachten.
Deshalb gibt man diesen Funktionen mit Df = N die Bezeichnung Zahlenfolge oder kurz: Folge.
3.2
Folge
Man schreibt f (n) = an
a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ...an−1 ; an ; an+1 ; ... sind die Glieder der Folge.
Eine Folge ist eine unendliche, geordnete Menge.
Man schreibt:
(an ) = {a1 ; a2 ; a3 ; ...}
18
3.3
Beispiele
1. (an ) = {1; 3; 5; 7; 9; ...}
d.h. a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; ...
a) Allgemeines Bildungsgesetz der Folgenglieder: an = 2n − 1; n ∈ N
Explizite Form des Bildungsgesetzes.
b) Rekursive Form des Bildungsgesetzes: a1 = 1; an+1 = an +2; n ∈
N
Vorsicht: Die rekursive Form benötigt stest ein Startglied a1 !
2. (bn ) = { 12 ; 32 ; 34 ; 45 ; ...}
n
n+1
b1 = 12 ;
explizit: bn =
rekursiv:
n+1
n
−
n+2 n+1
1
= bn +
(n + 1)(n + 2)
bn+1 = bn +
3. (cn ) = {2; 32 ; 34 ; 54 ; ...}
explizit: cn = n+1
n
rekursiv: c1 = 2;
cn+1 = cn +
n+2 n+1
−
n+1
n
1
= cn − 2
n +n
4. (dn ) = {4; 1; 0; 1; 4; 9; ...}
explizit: dn = (n − 3)2
Die Folge (an ) und die Folge (bn ) sind streng monoton steigend.
3.4
Differenzkriterium der Monotonie
(an )
an+1 − an = (2n + 1) − (2n − 1)
= 2n + 1 − 2n + 1
=2
2 > 0 ⇒ (an ) ist streng monoton steigend.
19
(bn )
n+1
n
−
n+2 n+1
(n + 1)2 − n(n + 2)
=
(n + 2)(n + 1)
2
n + 2n + 1 − n2 − 2n
=
(n + 2)(n + 1)
1
=
(n + 2)(n + 1)
bn+1 − bn =
1
(n+2)(n+1)
> 0 für alle n ∈ N.
⇒ (bn ) ist streng monoton steigend.
(cn )
cn+1 − cn =
1
n2 +n
n+2 n+1
−
n+1
n
1
=− 2
n +n
< 0 für alle n ∈ N.
⇒ (cn ) ist streng monoton fallend.
3.5
Folge:
Vorübung zur ε-Umgebung
(dn ) = (n − 3)2
Monotonieuntersuchung
Differenzkriterium
dn − dn+1 = (n − 2)2 − (n − 3)2
= n2 − 4n + 4 − n2 + 6n − 9
= 2n − 5
Fallunterscheidung
1.
2n − 5 > 0
5
n>
2
20
⇒ für n > 2.5 ist (dn ) streng monoton steigend.
2.
2n − 5 < 0
5
n<
2
⇒ für n < 2.5 (n = 1; n = 2) ist (dn ) streng monoton fallend.
(dn ) steigt unbegrenzt an, ab welcher Platzziffer n0 sind die Folgenglieder
größer als 10000?
dn > 10000
(n − 3)2 > 10000
√
n > 10000 + 3
|n − 3| > 100
1. Fall n > 3
n − 3 > 100
n > 103
2. Fall n < 3
−(n − 3) > 100
n − 3 < −100
n < −97
2. Fall unlösbar für n ∈ N!
⇒ dn > 10000 für alle n ≥ 104.
Wenn (an ) unbeschränkt, dann (an ) streng monoton.
(an ) unb. =⇒ (an ) mon.
Folge:
(bn ) =
n
n+1
Die Folge (bn ) steigt streng monoton und trotzdem steigt sie nicht unbegrenzt an. Sie scheint sich der Zahl 1 “anzunähern”.
Man sagt: Die Folge (bn ) hat den Grenzwert 1.
Dieser Wert wird von den Folgendgliedern beliebig angenähert, d.h.
der Abstand der Folgendglieder zum Grenzwert 1 unterschreitet jede
21
noch so kleine positive Zahl.
Ab welcher Platzziffer n0 ist der Abstand der Folgenglieder kleiner als
= 10−4 ?
1
10000
|bn − 1| < 10−4
n
|
− 1| < 10−4
n+1
n−n−1
| < 10−4
|
n+1
1
|−
| < 10−4
n+1
1
bei n ∈ N ist − n+1
immer negativ!
1
< 10−4
n+1
1 < (n + 1)10−4
1 − 10−4
<n
10−4
n > 0.9999 × 104
n > 9999
⇒ n0 = 10000
Für alle n ≥ n0 = 10000 ist der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert 1 kleiner als 10−4 !
Verallgemeinerung (cn ) =
n+1
n
und ε > 0 seien vorgegeben
|cn − 1| < ε
n+1
|
− 1| < ε
n
1
<ε
n
1
<n
ε
n > ε−1
⇒ Für alle n > n0 ≥
1
ε
gilt: |cn − 1| < ε.
22
3.6
3.6.1
Der Grenzwert einer Folge
Beispiel
an = 20 × (−0.8)n−1 ; n ∈ N
In jeder ε-Umgebung der Zahl 0 liegen “fast alle” Folgenglieder d.h.
aller außer endlich vielen Gliedern.
3.6.2
Definition
Unter der ε-Umgebung einer Zahl g versteht man ein nach beiden Seiten
offenes Intervall mit dem Mittelpunkt g und der Länge 2ε.
Uε (g) =]g − ε; g + ε[
Uε (g) = {x|g − ε < x < g + ε}
3.6.3
Beispiele
U 1 (3) =]2.9; 3.1[= {x|2.9 < x < 3.1}
10
U
3.6.4
1
100
(−2) =] − 2.01; −1.99[= {x| − 2.01 < x < 1.99}
Anwendung
(−1)n+1
n
Die Folge scheint den Grenzwert g = 2 zu haben.
an = 2 +
Nachweis ε > 0 sei vorgegeben; liegen in der Umgebung Uε (2) fast
alle Folgenglieder?
|2 +
|an
n+1
(−1)
− g| < ε
− 2| < ε
n
(−1)n+1
|
|<ε
n
1
<ε
n
1
<n
ε
⇒ Zu jedem ε > 0 gibt es eine Platzziffer n0 , so dass |an − 2| < ε für
alle n > n0 ≥ 1ε d.h. alle Folgenglieder an für n > n0 liegen in Uε (2).
23
3.6.5
Definition Grenzwert
Eine Folge (an ) hat den Grenzwert g, wenn es zu jedem ε > 0 ein n0 gibt,
so dass |an − g| < ε für alle n > n0 .
Eine Folge mit Grenzwert heißt konvergente Folge. Eine Folge ohne
Grenzwert heißt divergente Folge.
Hat eine konvergente Folge den Grenzwert g, dann schreibt man symbolhaft:
lim (an ) = g
n→∞
Man liest: “Limes an für n gegen ∞ gleich g”
3.7
3.7.1
Grenzwertsätze
Sammlung einfacher konvergenter Folgen
1.
1
lim ( ) = 0
n
n→∞
2.
lim (
n→∞
3.
1
)=0
n2
1
lim ( √ ) = 0
n
n→∞
4.
lim (q n ) = 0; |q| < 1
n→∞
5.
√
lim ( n a) = 1; a > 0
n→∞
6.
√
lim ( n n) = 1
n→∞
7.
lim (a +
n→∞
3.7.2
1
)=a
n
Sätze
Die Folge (an ) konvergiere gegen a und (bn ) konvergiere gegen b. Dann gilt:
24
a)
(an ± bn ) konvergiert gegen a ± b
lim (an ± bn ) = lim (an ) ± lim (bn )
n→∞
n→∞
n→∞
b)
lim (an × bn ) = lim (an ) × lim (bn )
n→∞
n→∞
lim (
n→∞
3.8
an
limn→∞ (an )
)=
bn
limn→∞ (bn )
Die Ulam-Folge
a1 = m; m, n ∈ N
an+1 = { a2n ; an gerade
an+1 = {3an + 1; an ungerade
3.9
Geometrische Folge
explizit
rekursiv
n→∞
an = aq n−1 ; a 6= 0; q 6= 0; n ∈ N
a1 = a; an+1 = an q; aq 6= 0; n ∈ N
25
Kapitel 4
Funktionen
4.1
4.1.1
Grenzwerte bei Funktionen
Folgen und Funktionen
Folgen sind Funktionen mit Df = N.
n
;n ∈ N
z.B. (an ) = n+1
n
d.h. f : h 7→ n+1 ; Df = N
Wir wissen bereits: limn→∞ (an ) = 1
Erweitern des Definitionsbereiches in einem ersten Schritt auf Df =
R+
0:
x
; Df = R+
0
x+1
x kann hier in einer beliebigen Art u. Weise unbegrenzt enwachsen.
⇒ f : x 7→
lim (
x→∞
x
)=1
x+1
26
1
x/(x+1)
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
2
4
6
8
10
Erneutes Erweitern des Definitionsbereiches in einem zweiten Schritt
auf Df = R.
x
; Df = R \ {−1}
x+1
f hat an der Stelle x0 = −1 eine Definitionslücke.
f : x 7→
27
1
x/(x+1)
6
4
2
0
-2
-4
-6
-10
-5
0
5
Was geschieht für x → −∞?
Vorsichtshalber beschränken wir uns auf die Betrachtung für alle x < −1!
Anschaulich:
lim (
x→−∞
x
)=1
x+1
Rechnerisch:
lim (
x→−∞
4.1.2
−x
x
) = lim (
)
x→∞ −x + 1
x+1
1
= lim (
)=1
x→∞ 1 − 1
x
Asymptoten
Anschaulich: Nähert sich der Graph einer Funktion f für x → +∞ bzw.
für x → −∞ einer Geraden, so heißt diese Gerade Asymptote des Graphen von f .
Analytisch: Nähern sich die Werte einer Funktion f für x → +∞ bzw.
für x → −∞ beliebig einer Zahl a, so heißt diese Zahl Grenzwert der
Funktion f für x → ∞ bzw. für x → −∞.
28
10
4.1.3
Einfache Grenzwerte
1.
c
lim ( ) = 0; c ∈ R
x
x→±∞
2.
lim (
x→±∞
3.
lim (
x→±∞
c
) = 0; c ∈ R
x2
c
) = 0; c, k ∈ R
x+k
In all diesen Fällen ist die x-Achse waagrechte Asymptote der Funktionsgraphen.
1.
lim (c) = c; c ∈ R
x→±∞
4.1.4
Schiefe Asymptoten
Beispiel
f (x) =
x2 + 2
x−1
limx→±∞ f (x) ex. nicht
Polynomdivision
(x2 + 2) : (x − 1) = x + 1 +
29
3
x−1
20
x+1
(x**2+2)/(x-1)
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-10
-5
0
5
Für sehr große x gilt:
f (x) ≈ x + 1
d.h. für x → ∞ nähert sich der Graph von f der Geraden y = x + 1
beliebig an.
⇒ y = x + 1 ist die Funktionsgleichung einer sogenannten schiefen
Asymptote.
4.2
Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
x0
4.2.1
Stetigkeit
1.
sin(x)
x
sin(x)
; x ∈ R \ {0}
⇒ f : x 7→
x
f hat an der Stelle x0 = 0 eine Definitionslücke. Hat Graph f fort eine
senkrechte Asymptote?
f (x) =
Wertetabelle
x
±π
sin(x)
x
0
30
10
±2.5
±2
±1
±0.5
±0.25
±0.1
0.239
0.455
0.841
0.960
0.990
0.998
1
sin(x)/x
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-10
-5
0
5
Ergebnis
lim (
sin(x)
)=1
x
lim (
sin(x)
)=1
x
x→0;x>0
rechtsseitiger Grenzwert
x→0;x<0
linksseitiger Grenzwert
Mit Hilfe diser beiden Eigenschaften kann man ganz bequem und elegant
eine neue, lückenlose Funktion basteln, deren Graph an der Stelle x0 = 0
nicht unterbrochen ist, sondern durchgezeichnet werden kann.
sin(x)
; x 6= 0
x
g(x) = {1; x = 0
g(x) = {
31
10
Anschaulich: Man kann den Graphen von g ohne Absetzen durchzeichnen.
Man sagt: Wir haben f (x) an der Stelle x0 stetig fortgesetzt.
g(x) ist eine abschnittsweise definierte Funktion.
4.2.2
Definition Stetigkeit
Wann ist eine Funktion an der Stelle x0 stetig?
Anschaulich f (x) ist an der Stelle x0 stetig, wenn der Graph von f über
die Stelle x0 hinweg ohne Absetzen gezeichnet werden kann.
Analytisch Eine Funktion f mit f : x 7→ f (x); x ∈ Df heißt stetig an
einer Stelle xo , wenn gilt:
lim
x→x0 ;x>x0
4.2.3
f (x) =
lim
x→x0 ;x<x0
f (x) = f (x0 )
Sprungstellen
Beispiel
1
f (x) = { x; x < 2
2
f (x) = {−x + 4; x > 2
lim
f (x) = 1
lim
f (x) = 2
x→2;x<2
x→2;x>2
lim
x→2;x<2
f (x) 6=
lim
x→2;x>2
f (x)
⇒ f (x) ist an der Stelle x0 = 2 nicht stetig fortsetzbar!
f (x) ist an der Stelle x0 = 2 fortsetzbar, kann aber damit nie stetig
werde an der dieser Stelle.
z.B.
1
g(x) = { x; x < 2
2
g(x) = {1; x = 2
g(x) = {−x + 4; x > 2
g(x) hat an der Stelle x0 = 2 eine endliche Sprungstelle.
32
Beispiel
1
f (x) = { x; x < 2
2
1
f (x) = {
;x > 2
x−2
limx→2;x<2 f (x) = 1
limx→2;x>2 f (x) existiert nicht
⇒ f (x) nicht stetig fortsetzbar an der Stelle xo = 2.
f (x) ist aber fortsetzbar z.B.
1
g(x) = { x; x < 2
2
g(x) = {1; x = 2
1
g(x) = {
;x > 2
x−2
g(x) hat an der Stelle x0 = 2 eine unendliche Sprungstelle.
4.3
Pole mit und ohne Vorzeichenwechseln
1/(x-1)
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
Die Stelle x0 = 1 ist ein Pol mit Vorzeichenwechsel.
33
4
1/(x-1)**2
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
Die Stelle x0 = 1 ist ein Pol ohne Vorzeichenwechsel.
4.4
Funktionenscharen
Funktion
f (x) = {x + 1; x < 0
f (x) = {x2 + t; x ≥ 0
s(x) = x2 +t ist die Gleichung einer Funktionenschar s, t heißt Scharparameter.
Stetigkeitsuntersuchung
lim
f (x) = 1
lim
f (x) = t
x→0;x<0
x→0;x>0
f (x) = t
Damit f an der Stelle xo = 0 stetig ist, muss gelten:
1=t=t
⇒t=1
34
4.5
4.5.1
Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert
Behauptung
Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert.
4.5.2
Beispiel
1
); n ∈ N
n
n gerade: a2 = 32 ; a4 = 54 ; ... → 1 für n → ∞ n ungerade: a! = −2; a3 =
− 43 ; a5 = − 65 ; ... → −1 für n → ∞
an = (−1)n ∗ (1 +
4.5.3
Voraussetzung
Definition des Grenzwertes
4.5.4
Behauptung
Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert
4.5.5
Beweis (indirekt)
Annahme Eine Folge hat zwei oder mehr Grenzwerte g1 und g2 , ... sei
richtig!
⇒ In jeder ε-Umgebung U1 von g1 liegen unendlich viele Glieder der
Folge und außerhalb endlich viele.
⇒ In jeder ε-Umgebung U2 von g2 liegen ebenfalls unendlich viele und
außerhalb endlich viele.
⇒ Für 0 < ε < |g2 − g1 | liegen außerhalb von U1 (und auch von U2 )
unendlich viele Glieder!
⇒ Widerspruch zur Vorraussetzung!
⇒ Annahme ist falsch
⇒ Behauptung ist richtig
4.6
4.6.1
Schnittpunkte des Graphen einer Funktion mit
den Koordinatenachsen
1. Beispiel
Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Funktionsgleichung f (x) =
5x − 2 mit den Koordinatenachsen.
1. Für den Schnittpunkt mit Y-Achse gilt:
xS = 0 :yS = 5 ∗ 0 − 2 = −2
35
2. Für den Schnittpunkt mit X-Achse gilt:
f (xN ) = 0 :5 ∗ xN − 2 = 0 ⇒ xN =
4.6.2
2
5
2. Beispiel
f : x 7→ x2 +
√
2 ∗ x − 4; Df = R
1. Schnittpunkt S mit der Y-Achse
dinung:
xS = 0 : 02 +
2. Nullstellen
√
Notwendige und hinreichende Be-
2 ∗ 0 − 4 = YS ⇒ yS = −4 ⇒ S(0| − 4)
Notwendig und hinreichend:
f (xN ) = 0 : x2N +
√
2 ∗ xN − 4 = 0
√
√
− 2 ± 2 + 16
xN1,2 =
√2
√
− 2±3 2
=
2 √
xN1 = 2
√
xN2 = −2 2
√
√
⇒ N1 ( 2|0); N2 (−2 2|0)
4.7
4.7.1
Vorübung zum Tangentenproblem
Gleichförmige Bewegung
Der Körper legt in gleichen Zeitabschnitten stets gleiche Wegabschnitte
zurück.
Zurückgelegter Weg: s(t) (von t abhängige Variable)
Benötigte Zeit: t (unabhängige Variable)
Wir untersuchen:
f : t 7→ s(t); t ∈ R+
0
v=
s(t) − s(t1 )
t − t1
“Differenzenquotient”
36
s(t) = v ∗ t + s0
4.7.2
Beschleunigte Bewegung
Beim Vorgang einer Bremsung ändert sich die Geschwindigkeit. Da v nun
nicht mehr const. ist kann man zu jedem Augenblick nur noch von einer
Momantangeschwindigkeit reden, die nun aber nicht mehr als Differenzenquotient darstellbar ist.
Es gelte:
s(t) = k ∗ t2 ; k > 0
v=
s(t1 ) − s(t0 )
t1 − t0
ist eine “mittlere Geschwindigkeit” zwischen den Zeitpunkten t0 und t1 .
v ist die Steigung der Sekanten P0 P1 .
v(t1 ) =
kt21 − kt20
; t1 6= t0
t1 − t0
⇒
vm = lim v(t1 )
t1 →t0
k(t1 − t0 )(t1 + t0 )
= lim
t1 →t0
t1 − t0
= lim k(t1 + t0 ) = 2kt0
t1 →t0
vm = 2kt0 ist die gesuchte Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 .
vm = lim v(t)
t→t0
Die Momentangeschwindigkeit vm ist die Steigung der Tangente im Graph
im Punkt P0 .
4.7.3
Definition
Unter der Steigung einer Kurve im Kurvenpunkt P0 versteht man die
Steigung der Tangente im Punkt P0 .
37
4.8
4.8.1
Verallgemeinerung des Tangentenproblems
Geschwindigkeiten
s : t 7→ s(t); t ∈ [a; b]
⇒ Mittlere Geschwindigkeit zwischen t und t0 :
v(t) =
s(t) − s(t0 )
t − t0
⇒ Momentangeschwindigkeit an der Stelle t0 :
s(t) − s(t0 )
t − t0
vm (t0 ) = lim
t→t0
Steigung der Tangente in P0 (t0 |s(t0 )) oder Steigung der Kurve in
P0
4.8.2
Verallgemeinerung
f : x 7→ f (x); x ∈ [a; b]
⇒ Mittlere Steigung zwischen x und x0 (Sekantensteigung):
ms =
f (x) − f (x0 )
t − t0
Differenzenquotient
⇒ Steigung der Tangente in P0 (x0 |f (x0 )):
mt (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Differentialquotient
Man sagt: mt (x0 ) ist die sog. Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 .
Man schreibt: mt (x0 ) = f 0 (x0 ) “f -Strich von x0 ”.
4.9
4.9.1
Berechnung einer Ableitung nach der h-Methode
Methode
gr = lim
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
h→0
x − x0
h
gl = lim
f (x) − f (x0 )
f (x0 − h) − f (x0 )
= lim
h→0
x − x0
−h
x→x0
x→x0
Falls gr = gl , gilt: limh→0
f (x0 ±h)−f (x0 )
±h
38
4.9.2
Beispiel
f (x) = 3x2
1. Rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten:
3(x0 + h)2 − 3x20
h→0
+h
= lim 6x0 + 3h
gr = lim
h→0
= 6x0
2. Linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten:
−6x0 h + 3h2
h→0
−h
= lim 6x0 − 3h
gl = lim
h→0
= 6x0
4.10
Die Tangente t an dem Graph einer Funktion
f
4.10.1
Ableitung
1. Wir bestimmen die Tangente im Punkt P0 (x0 |f (x0 )):
mt = f 0 (x0 )
Damit kennen wir einen Punkt P0 und die “Richtung” (Steigung)
der gesuchten Tangente.
2. Wie bestimmen wir die Funktionsvorschrift für t?
t(x) − f (x0 )
f 0 (x0 ) =
x − x0
0
f (x0 )(x − x0 ) = t(x) − f (x0 )
f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) = t(x)
t(x) = f 0 (x0 ) ∗ x − f 0 (x0 ) ∗ x0 + f (x0 )
⇒ Funktionsgleichung der Tangente im Punkt P0 :
t(x) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
39
4.10.2
Beispiel
f : x 7→ 3x2 + 1; Df = R
Bestimme die Tangentengleichung im Punkt P0 ( 12 |?)
3
1 3
1.f (x0 ) = 1 ⇒ P0 ( |1 )
4
2 4
−1 43 + 3x2 + 1
1
2.f ( ) = lim
2
x − 12
x→ 12
3
= lim 3x +
2
x→ 12
=3
1
1
3
1
t(x) = f 0 ( ) ∗ x − f 0 ( ) ∗ + 1
2
2
2
4
1
t(x) = 3x +
4
4.11
Gleichung der Normalen
4.11.1
1. Gleichung der Tangente
t : y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
4.11.2
2. Gleichung der Normalen
mn = −
n:y=−
1
1
=− 0
mt
f (x0 )
1
f 0 (x0 )
(x − x0 ) + f (x0 )
4.12
Die Differenzierbarkeit einer Funktion
4.12.1
Aufgabe
f : x 7→ {x2 ; x ≤ 1
√
f : x 7→ { x; x > 1
40
4.12.2
Ist f an der Stelle x0 = 1 stetig?
lim
x2 = 1
√
x=1
x→1;x<1
lim
x→1;x>1
f (1) = 1
⇒ f ist an der Stelle x0 = 1 stetig
4.12.3
Welche Ableitung hat f an der Stelle x0 = 1?
f (x0 − h) − f (x0 )
h→0
−h
(1 − h)2 − 1
= lim
h→0
−h
−h2 − 2h
= lim
h→0
−h
=2
gl = lim
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
√
√
1+h− 1
= lim
h→0
h
h
= lim √
h→0 h( 1 + h + 1)
1
=
2
gr = lim
gl 6= gr ⇒ f 0 (1) existiert nicht!
⇒ f ist an der Stelle x0 = 1 nicht differenzierbar.
Anschaulich bedeutet das: Graph f hat an der Stelle x0 = 1 einen Knick.
4.12.4
Weiteres Beispiel
1
f : x 7→ { x2 ; x ≤ 2
4
1 2
f : x 7→ { x + 1; x > 2
4
41
1. Stetigkeit
f ist unstetig an der Stelle x0 = 2, da
lim
x→2;x<2
f (x) = 1;
lim
x→2;x>2
f (x) = 2; f (x) = 1
2. Ableitung
gl = lim
1
4 (2
h→0
− h)2 −
−h
1
4
∗ 22
=1
gr = lim
h→0
1
4 (2
+ h)2 + 1 − 41 ∗ 22
h
1
1
= lim ( + 1 + h)
h→0 h
4
existiert nicht, da f1 → ∞
gl 6= gr ⇒ f ist an der Stelle x0 = 2 nicht differenzierbar.
4.12.5
Definition
Eine Funktion f sei in Df = [a; b] definiert. f heißt differenzierbar an der
Stelle x0 ∈]a; b[, wenn
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 − h) − f (x0 )
= lim
h→0
h→0
h
−h
lim
4.12.6
Zusammenfassung
1. Sprungstelle x0 (unstetig an der Stelle x0 ⇒ f nicht differenzierbar an
der Stelle x0
2. f stetig an der Stelle x0 , jedoch mit “Knick” ⇒ f nicht differenzierbar
an der Stelle x0
3. f stetig an der Stelle x0 und “glatt” ⇒ f ist differenzierbar an der Stelle
x0
1. Ergebnis Ist f an der Stelle x0 stetig, dann ist nicht sicher, ob f dort
auch differenzierbar ist.
Stetigkeit 6⇒ Differenzierbarkeit
42
2. Ergebnis f nicht differenzierbar an der Stelle x0 ⇒ f ist stetig oder
unstetig an der Stelle x0
f differenzierbar an der Stelle x0 ⇒ f stetig an der Stelle x0
Stetigkeit ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung
für Differenzierbarkeit.
Differenzierbarkeit ist eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung für die Stetigkeit.
4.12.7
Analytische Begründung
Analytische Begründung für die Aussage Differenzierbarkeit ⇒ Stetigkeit:
Voraussetzung
f 0 (x0 ) =
lim
x→x0 ;x>x0 ;x<x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
existiert
Behauptung
lim
x→x0 ;x>x0 ;x<x0
f (x) = f (x0 )
Beweis x − x0 → 0 für x → x0
⇒ f (x) − f (x0 ) → 0 für x → x0 , da f 0 (x0 ) existiert.
⇒ f (x) → f (x0 ) für x → x0
d.h. limx→x0 f (x) = f (x0 ) (q.e.d)
43
4.13
Die Ableitungsfunktion
4.13.1
Graph
100
x**2
2*x
2
80
60
40
20
0
-20
-10
-5
0
f : x 7→ x2 ; Df = R
4.13.2
Ableitung f 0 (x0 )
f 0 (x0 ) = 2x0
f 0 (x0 ) verhällt sich wie eine Funktionsvorschrift.
f 0 : x 7→ 2x; Df 0 = R
f 00 : x 7→ 2; Df 00 = R
f 000 : x 7→ 0; Df 000 = R
f (4) : x 7→ 0; Df (4) = R
4.13.3
Allgemein
Funktion f : x 7→ f (x); x ∈ Df
Ableitungsfunktion: f 0 : x 7→ f 0 (x); x ∈ Df 0
44
5
10
Df 0 = Df oder Df 0 ⊂ Df bzw. Df 0 ⊆ Df
4.13.4
Beispiel
f : x 7→
√
x; Df = R+
0
1
⇒ f 0 : x 7→ √ ; Df 0 = R+
0
2 2
f ist also an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar
2.5
x**0.5
1/(2*x**0.5)
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
4.14
Die Potenzregel
4.14.1
Beispiele
3
f (x) = x2 ⇒ f 0 (x) = 2x
f (x) = x3 ⇒ f 0 (x) = 3x2
f (x) = x1 00 ⇒ f 0 (x) = 100x9 9
f (x) = xn ⇒ f 0 (x) = nxn−1
4.14.2
Beweis
Vorraussetzung
f (x) = xn ; n ∈ N; Df = R
45
4
5
Behauptung
f 0 (x) = nxn−1 ; n ∈ N; Df 0 = R
Beweis
Rechtsseitiger Grenzwert
(xo + h)n − x0 n )
h→0
h
n−1
n
2
+ h T (x0 ; h) − x0 n
x0 + nhx0
= lim
h→0
h
= nx0 n−1
gr = lim
Wir betrachten (x0 + h)n
x0 + h)n = (x0 + h)(x0 + h)...(x0 + h)
n Faktoren (x0 + h)
= x0 n + nhx0 n−1 + h2 T (x0 ; h)
T (x0 ; h) ist ein ganzrationaler Term
Linksseitiger Grenzwert Analog zum rechtsseitigen Grenzwert
Was zu beweisen war:
f 0 (x0 ) = nx0 n−1
Die Potenzregel gilt auch für rationale Exponenten (ohne Beweis!).
4.14.3
Satz
f (x) = xr ; r ∈ R ⇒ f 0 (x) = rxr−1
4.15
Die Summenregel
4.15.1
Beispiel
f (x) = x3 + x2 ; Df = [−7; 12]
⇒ f 0 (x) = 3x2 + 2x; Df 0 =] − 7; 12[
46
4.15.2
Allgemein
f (x) = u(x) + v(x); Df = [a; b]
f 0 (x) = u0 (x) + v 0 (x); Df 0 =]a; b[
4.15.3
Beweis
Voraussetzung u und v seien auf einem Intervall [a; b] definiert und an
der Stelle x0 ∈]a; b[ differenzierbar.
Behauptung f (x) = u(x) + v(x) ist an der Stelle x0 ∈]a; b[ differenzierbar
und es gilt: f 0 (x0 ) = u0 (x0 ) + v 0 (x0 ).
Beweis u0 und v 0 existieren ⇒ u0 (x0 ) + v 0 (x0 ) existiert.
u(x) − u(x0 ) v(x) − v(x0 )
+
x→x0
x − x0
x − x0
u(x) − u(x0 ) + v(x) − v(x0 )
= lim
x→x0
x − x0
u(x) + v(x) − u(x0 ) − v(x0 )
= lim
x→x0
x − x0
0
f (x0 ) = u0 (x0 ) + v 0 (x0 )
u0 (x0 ) + v 0 (x0 ) = lim
q.e.d.
4.16
Faktorregel
4.16.1
Regel
f (x) = cu(x) ⇒ f 0 (x) = cu0 (x); c ∈ R\{0} falls u(x) differenzierbar ist!
4.16.2
Kurzbeweis
f (x) = cu(x)
cu(x) − cu(x0 )
⇒ f 0 (x0 ) = limx→x0
x − x0
u(x) − u(x0 )
= lim c
x→x0
x − x0
u(x) − u(x0 )
= limx→x0 c lim
x→x0
x − x0
= cu0 (x0 )
q.e.d.
47
4.17
Ableitung der Trigonometrischen Funktionen
4.17.1
Sinusfunktion
1
sin(x)
cos(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
s : x 7→ sin(x); Ds = R
Voraussetzung s(x) = sin(x) ist differenzierbar an der Stelle x0
Behauptung
s0 (x) = cos(x)
x−y
Beweis Aus Formelsammlung: sin(x) − sin(y) = 2cos( x+y
2 )sin( 2 )
sin(x0 + h) − sin(x0 )
h→0
h
2cos(x0 + h2 )sin( h2 )
= lim
h→0
h
sin( h2 )
h
= lim (2cos(xo + )) lim
h→0
2 h→0 h
sin( h2 )
h 1
= 2 lim (cos(x0 + )) lim
h→0
2 2 h2 →0 h2
lim
48
4
1
∗1
2
= cos(x0 )
= 2cos(x0 ) ∗
q.e.d.
4.17.2
Cosinusfunktion
c : x 7→ cos(x); Dc = R
Voraussetzung c(x) = cos(x) ist differenzierbar an der Stelle x0
Behauptung
c0 (x) = −sin(x)
Beweis
cos(x0 + h) − cos(x0 )
h→0
h
h
1 sin( h2 )
= lim (−2sin(xo + )) lim
h→0
2 h→0 2 h2
lim
= −sin(x0 )
q.e.d.
4.18
Beispielanalyse einer Funktionenschar
2
ft : x 7→ tx2 + x − ; Df = R; t ∈ R\{0}
t
4.18.1
Nullstellen von ft
notwendig und hinreichend: ft (xn ) = 0
2
=0
t
xn1,2 = −1 ± 3
1
1
xn1 = ⇒ N1 ( |0)
t
t
2
2
xn1 = − ⇒ N2 (− |0)
t
t
tx2 + x −
49
4.18.2
Der Scheitel st
0
notwendig: ft (x) = 2tx + 1
2tx + 1 = 0
1
1
9
xs = − ⇒ S(− | − )
2t
2t
4t
4.18.3
Ortskurve der Scheitelpunkte
1
2t
9
ys = −
4t
xs = −
wir eliminieren t:
xs = −
4.18.4
1
1
⇒t=−
2t
2xs
9
ys = −
4(− 2x1 s
9
=− 2
− xs
9
= xs
2
9
⇒K:y= x
2
Gemeinsame Punkte
Es sei t1 6= t2
Schnitt von Graph ft1 mit dem Graph ft2 :
2
2
= t2 x2s + xs −
t1
t2
2
2
x2s (t1 − t2 ) + −
=0
t2 t1
2
2
(t1 − t2 )x2s =
−
t1 t2
2
2
x2s =
−
t1 (t1 − t2 ) t2 (t1 − t2 )
t1 x2s + xs −
50
2t2 − 2t1
t1 t2 (t1 − t2 )
−2(t1 − t2 )
=
t1 t2 (t1 − t2 )
2
=−
t1 t2
=
Da xs von t1 und t2 abhängig ist, gibt es keine gemeinsamen Punkte!
4.18.5
Ortskurve der Punkte mit der Steigung 2
0
ft (x0 ) = 2
2tx0 + 1 = 2 ⇒ x0 =
1
5
⇒ y0 = −
2t
4t
Ortskurve: t eliminieren
1
t2
1
⇒t=
2x0
5
5
y0 = − 1 = − x0
2
4 2x
x0 =
0
5
⇒ K : y = − x0
2
4.18.6
Die Stelle x0 , an der alle Graphen von ft die gleiche
Steigung haben
0
ft (x) = 2tx + 1
Es sei t1 6= t2 :
2t1 x0 + 1 = 2t2 x0 + 1
t1 x0 = t2 x0
(t1 − t2 )x0 = 0
Da t1 −t2 = 0 nach Voraussetzung ⇒ x0 = 0. An der Stelle x0 = 0 haben
alle Grapehn ft die Steigung 1.
51
4.19
Extremstellen und Extremwerte einer Funktion
4.19.1
Anschaulich
TODO: hier fehlt noch die kurve ...
Hochpunkte des Graphen sind P1 und P3
P3 ist ein absoluter Hochpunkt
ein absolutes Maximum f (x3 ).
Man sagt: f hat an der Stelle x3
P1 ist ein relativer Hochpunkt Man sagt: f hat an der Stelle x1 ein
relatives Maximum f (x1 ).
Relativer Tiefpunkt
Minimum.
ist P2 . f hat an der Extremstelle x2 ein relatives
Betrachtung der Randstellen x0 und x4
P0 ist ein relativer Tiefpunkt
P4 ist ein absoluter Tiefpunkt
4.19.2
Zusammenfassung
Extremstellen
x0 , x4 : Randstellen
x1 , x2 , x3 : innere Stellen
Extremwerte
f (x0 ):
f (x1 ):
f (x2 ):
f (x3 ):
f (x4 ):
relatives Minimum
relatives Maximum
relatives Minimum
absolutes Maximum
absolutes Minimum
52
Hochpunkte
P1 (x1 |f (x1 ))
P3 (x3 |f (x3 ))
Tiefpunkte
P0 (x0 |f (x0 ))
P2 (x2 |f (x2 ))
P4 (x4 |f (x4 ))
4.20
Analytische Erfassung von Maxima und Minima einer Funktion
4.20.1
Definition des relativen Maximums
f sei auf einem Intervall Df = I definiert. f (xe ) heißt relatives Maximum der
Funktion, wenn es eine Umgebung U (xe ) gibt, so dass für alle x ∈ U (xe )∩Df
gilt:
f (xe ) ≥ f (x)
Gilt diese Bedingung für alle x ∈ Df , so ist f (xe ) sogar absolutes Maximum.
4.20.2
Definition des relativen Minimums
S.o. ..., so dass gilt:
f (xe ) ≤ f (x)
4.20.3
Eigenschafen von f an einer Extremstelle xe
Anschaulich: Wenn eine Funktion f eine Extremstelle xe hat, dann hat
der Graph an dieser Stelle
eine waagerechte Tangente
(f ist dort also differenzierbar) oder
eine Knickstelle (f ist dort also nicht differenzierbar) oder
eine Sprungstelle (f ist dort also nicht differenzierbar) oder
53
eine Randstelle
(f ist dort also nicht differenzierbar)
Zur Vereinfachung beschränken wir uns ab sofort auf Funktionen,
die an der Stelle xe differenzierbar sind.
4.20.4
Satz
Eine Funktion f sei an einer Stelle xe ∈]a; b[ differenzierbar. Wenn xe eine
Extremstelle ist, dann gilt f 0 (xe ) = 0.
4.20.5
Beweis
Voraussetzung f ist an der Stelle xe ∈]a; b[ differenzierbar und xe sei
Extremstelle.
Behauptung f 0 (xe ) = 0
Beweis x ∈ U (xe )
x > xe ⇒ f (x) − f (xe ) ≤ 0 nach Definition des Maximums; ⇒ Sekan(xe )
tensteigung: msr = f (x)−f
≤0
x−xe
x < xe ⇒ f (x) − f (xe ) ≤ 0 nach Definition des Maximums; ⇒ Sekan(xe )
tensteigung: msl = f (x)−f
≥0
x−xe
⇒
⇒
lim
msr ≤ 0
lim
ms l ≥ 0
x→xe ;x>xe
x→xe ;x<xe
Diese beiden Grenzwerte müssen gleich sein! Da f 0 (xe ) existient (nach
Voraussetzung) gilt: f 0 (xe ) = 0 q.e.d.
4.20.6
Kann man diesen Satz auch umkehren?
Wenn f 0 (xe ) = 0 dann ist xe eine Extremstelle?
Gegenbeispiel
f (x) = x3 ⇒ f 0 (x) = 3x2
3x2 = 0 ⇒ x = 0
54
1000
x**3
500
0
-500
-1000
-10
-5
0
5
P (0|0) ist ein Sattelpunkt, 0 ist Sattelstelle.
4.20.7
Notwendig / Hinreichend
f 0 (xe ) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend für das Vorhandensein
einer Extremstelle!
55
10
4.21
Hinreichendes Kriterium für eine Extremstelle
2
sin(x)
(x-3)**3
-(x-4)**3
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xe1 ≈ 1, 5; xe2 ≈ 4, 7; xs1 ≈ 3; xs2 ≈ 4
Wie kann man eine Extremstelle xe von einer Sattelstelle xs analytisch
unterscheiden?
Extremstelle xe1 : x < xe1 : f streng monoton steigend ⇒ f 0 (x) > 0
x > xe1 : f streng monoton fallend ⇒ f 0 (x) < 0
f 0 (x) hat an der Stelle xe1 also einen Vorzeichenwechsel von + nach -.
Extremstelle xe2 :
- nach +.
f 0 (x) hat an der Stelle xe2 einen Vorzeichenwechsel von
Sattelstelle xs1 (analog für xs2 ):
Vorzeichenwechsel.
4.21.1
f 0 (x) hat an der Stelle xs1 keinen
Satz: Vorzeichenwechselkriterium
f sei in einer Umgebung von x0 differenzierbar und es gelte f 0 (x0 ) = 0.
Wenn f 0 an der Stelle x0 einen (+/-) Vorzeichenwechsel hat, dann liegt
an der Stelle x0 ein relativer Hochpunkt des Graphen von f vor.
56
Wenn f 0 an der Stelle x0 einen (-/+) Vorzeichenwechsel hat, dann liegt
an der Stelle x0 ein relativer Tiefpunkt des Graphen von f vor.
4.22
Vereinfachung des hinreichenden Vorzeichwechsel Kriteriums
2
-(x**2)+1
-2*x
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-10
-5
0
f 0 (xe ) = 0; f 00 (xe ) ≤ 0
57
5
10
2
x**2
2*x
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-10
-5
0
5
10
f 0 (xe ) = 0; f 00 (xe ) ≥ 0
2
x**3
3*(x**2)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-10
-5
0
f 0 (xs ) = 0; f 00 (xs ) = 0
58
5
10
2
-x**3
3*(x**2)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-10
-5
0
5
f 0 (xs ) = 0; f 00 (xs ) = 0
4.22.1
Satz
f sei an einer Stelle x0 2 mal differenzierbar. Wenn f 0 (x0 ) = 0 und. f 00 (x0 ) 6=
0 dann hat f an der Stelle x0 ein relatives Extremum.
f 00 (x) < 0 ⇒ relatives Maximum f (x0 )
f 00 (x) > 0 ⇒ relatives Minumum f (x0 )
4.22.2
Beweis für relatives Maximum
Voraussetzung:
f ist zweimal differenzierbar, f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) < 0
Behauptung f (x0 ) ist ein relatives Maximum.
Beweis
f 00 (x0 ) = lim
x→x0
⇒
f 0 (x0 ) 0
f (x)x − x0 < 0
−
f 0 (x) − f 0 (x0 )
<0
x − x0
in einer geeigneten Umgebung U (x0 ).
59
10
f 0 (x) − f 0 (x0 )
f 0 (x)
=
x − x0
x − x0
⇒ f 0 hat an der Stelle x0 einen +/- Vorzeichenwechsel
⇒ f (x0 ) ist ein relatives Maximum (q.e.d.)
4.23
Verschiedene Funktionen
4.23.1
Die Betragsfunktion
f : x 7→ |x|; Df = R
⇒
f (x) = {x; x > 0
f (x) = {0; x = 0
f (x) = {−x; x < 0
5
abs(x)
4
3
2
1
0
4.23.2
-4
-2
0
Die Signumfunktion
f : x 7→ sgn(x)
60
2
4
⇒
f (x) = {1; x > 0
f (x) = {0; x = 0
f (x) = {−1; x < 0
sgn(x)
4
2
0
-2
-4
-4
4.23.3
-2
0
2
4
Die Ganzteilfunktion (Gauß’sche Klammerfunktion)
f : x 7→ [x]; x ∈ R
f (x) = {x; x ganzzahlig
f (x) = { nächstkleinere ganze Zahl; x nicht ganzzahlig
4.24
Exponentialfunktionen
4.24.1
Beispiel 1
Ein Anfangskapital soll n Jahre zu einem Zinssatz von p% angelegt werden.
Die Zinsen werden jährlich dem vorhandenen Kapital hinzugefügt. Bestimme
die Wachstumsfunktion K(n)
K(0) = K0
61
p
K(1) = K0 + K0 ∗
= K0 (1 +
100
p
K(2) = K(1) + K(1) ∗
= K(1)(1 +
100
p
= K0 (1 +
)(1 +
100
p
)
100
p
)
100
p
)
100
..
.
K(n) = K0 ∗ (1 +
q =1+
p n
)
100
p
> 1 ⇒ “W achstumsf aktor00
100
⇒ K(n) = K0 ∗ q n
4.24.2
Beispiel 2
Eine Bakterienkultur, die auf einem genügend großem Nährmedium angelegt
wird wächst nach einem ganz bestimmten Gesetz: Das Zeitintervall, in der
sich die kulzurbedeckte Fläche A verdoppelt (verdreifacht, ...) ist immer
gleich, egal wieviele Bakterien momentan vorhanden sind. Bestimme die
Wachstumsfunktion A(t)
t2 : Verdopplungszeit
A(0) = A0
A(t2 ) = 2A0
A(2 ∗ t2 ) = 4A0
..
.
A(nt2 ) = A0 ∗ 2n
nt2 = t ⇒ n =
4.24.3
t
t
⇒ A(t) = A0 ∗ 2 t2
t2
Beispiel 3
Ein radioaktives Element x besitzt eine Halbwertszeit von tH , d.h. jedes
Zeitintervall tH zerfällt die Hälfte der im Moment vorhandenen x-Kerne
(Anzahl N ). Zerfallsfunktion:
1 t
N (t) = N0 ∗ ( ) tH
2
62
4.24.4
Definition
f : x 7→ a ∗ bx ; (a ∈ R\{0}; b ∈ R+ \{1})
heißt Exponentialfunktion zur Basis b. D = R
4.24.5
Spezialfall
a = 1 ⇒ f (x) = bx
0 < b < 1 ⇒ Zerfallsfunktion
b > 1 ⇒ Wachstumsfunktion
4.24.6
Eigenschaften von f (x) = bx
1. 0 < b < 1 ⇒ Graph f ist streng monoton fallend
b > 1 ⇒ Graph f ist streng monoton steigend
2. Sy (0|1) für alle b ∈ R+ \{1}
3. 0 < b < 1 ⇒ x-Achse ist Asymptote für x → +∞
b > 1 ⇒ x-Achse ist Asymptote für x → −∞
4. W = R+ für alle b ∈ R+ \{1}
5. x0 ∈ D, h > 0
f (x0 + h) = bx0 +h = bx0 ∗ bh = f (x0 ) ∗ f (h)
“Funktionalgleichung einer Exponentialfunktion”
6. f1 : x → bx und f2 : x → ( 1b )x
Behauptung: Graph f1 ← Spiegelung an der Y-Achse → Graph f2
1
Beweis: f1 (x) = bx = b−x
= ( 1b )−1 = f2 (−x)
4.24.7
Die e-Funktion
f : x → ex mit f 0 (x) = f (x)
Satz: h : x → a ∗ ex ; (a ∈ R\{0}) sind die einzigen Funktionen mit
= h(x)
h0 (x)
4.25
Wiederholung Logarithmusbegriff
4.25.1
Definition
loga x ist die Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten.
aloga x = x
loga (ax ) = x
63
4.25.2
Logarithmusregeln
1. loga ( cb ) = loga (b) − loga (c)
2. loga (b ∗ c) = loga (b) + loga (c)
3. loga (bc ) = c ∗ loga (b)
4.25.3
Umkehrbarkeit einer Funktion f
Definition: Eine Funktion f ist umkehrbar auf dem Intervall [a; b] ⊂ D, wenn
für alle x1 , x2 ∈ [a; b] gilt:
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
Satz: f : x 7→ f (x) ist streng monoton wachsend (fallend) für alle
x ∈ [a; b] ⇒ f ist umkehrbar auf [a; b].
Bekannt: f : x 7→ bx ; b ∈ R+ \{1} ist für b < 1 streng monoton fallend
und für b > 1 streng monoton wachsend.
⇓
Es existiert eine Umkehrfunktion f − von f !
4.25.4
Umkehrung der Exponentialfunktion
f (x) = bx
y = bx
x = logb y
Vertauschen von x und y:
y = logb x
−
f (x) = logb x
“Logarithmusfunktion”
Df − = Wf = R+
Wf − = D f = R
64
2**x
x
log(x)/log(2)
4
2
0
-2
-4
-4
4.25.5
-2
0
Spezialfall: Umkehrung von f (x) = ex
f (x) = ex ⇒ f − (x) = loge x = lnx
Es gilt:
elnx = x
ln(ex ) = x
4.26
Die ln-Funktion
4.26.1
Definition, Graph
f : x 7→ lnx; D = R+ , W = R
65
2
4
2.718**x
x
log(x)/log(2.718)
4
2
0
-2
-4
-4
4.26.2
-2
0
2
4
Bekannt
f − (x) = ex ist die Umkehrfunktion von f (x) = ln(x)
4.26.3
Ableitung
(lnx)0 =?
Annahme: f : x 7→ f (x) ist im Intervall I umkehrbar und in x0 ∈ I
differenzierbar mit f 0 (x0 ) 6= 0.
f − (f (x0 )) = x0
⇒ [f − (f (x0 ))]0 = 1
0
⇒ f − f (x0 ) ∗ f 0 (x0 ) = 1
1
⇒ f − (x0 ) = −0
f (f (x0 ))
hier: f (x) = lnx; f − (x) = ex ⇒ ln0 (x0 ) =
1
elnx0
Verallgemeinerung: f (x) = ln(x) ⇒ f 0 (x) =
66
1
x
=
1
x0
für alle x ∈ R+ .
4.27
Weitere Integrationsmethoden
4.27.1
Wiederholung
f : x 7→ f (x)
1. f ist differenzierbar ⇒ f ist stetig
2. f ist stetig ⇒ f ist integrierbar, d.h. f besitzt eine Stammfunktion F ∗
3. F ∗ ist Stammfunktion von f ⇒ {F |F (x) = F ∗ (x) + c ∧ c ∈ R} ist die
Menge aller Stammfunktionen
4. f ist stetig ⇒ Ia (x) =
Rx
f (t)dt ist eine Integralfunktion von f mit
a
Ia0 (x) = f (x)
5. Ia ist eine Integralfunktion von f ⇒ Ia ist eine Stammfunktion
4.27.2
Partielle Integration oder Produktintegration
f (x) = u(x) ∗ v(x) ⇒
f 0 (x) = (u(x) ∗ v(x))0 = u0 (x) ∗ v(x) + u(x) ∗ v 0 (x)
Zb
⇒
(u(x) ∗ v(x))0 dx =
a
Zb
u0 (x) ∗ v(x)dx +
a
Zb
u(x) ∗ v 0 (x)dx = [u(x) ∗ v(x)]ba
a
Umgeformt:
Zb
0
u(x) ∗ v (x)dx = [u(x) ∗
v(x)]ba
Zb
−
a
u0 (x) ∗ v(x)dx
a
Beispiel:
Z1
x ∗ ex dx
0
u(x) = x; u0 (x) = 1
v(x) = ex ; v 0 (x) = ex
Z1
⇒
x
x ∗ e dx = [x ∗
0
ex ]10
Z1
−
0
67
1 ∗ ex dx
4.27.3
Integration durch Substitution (1)
g
f
I0 → I → R
u → x → f (x)
x = g(u)
Substitutionsregel:
Zg(b)
f (g(u)) ∗ g 0 (u)du
Zb
f (x)dx
=
|{z}
x=g(u); dx =g 0 (u)→dx=g 0 (u)du;g(a)
du
a
u=g(x)
Beispiel:
Z1
x
e
√
Ze
ex + 1dx
=
|{z}
e
1;
x=g(u)=ln(u);g 0 (u)= u
u=g(x)=ex
0
4.27.4
e
ln(u)
Z
p
√
1
eln(u) + 1 ∗ =
u + 1du
u
1
1
Integration durch Substitution (2)
Substitutionsregel:
Zb
0
f (g(x)) ∗ g (x)dx
=
|{z}
Zg(b)
f (u)du
u=g(x);g 0 (x)= du
dx g(a)
a
Beispiel:
Z2
x2
e
1
Z4
∗ 2x dx
=
|{z}
eu du
u=g(x)=x2 ;g 0 (x)=2x 1
4.28
Differentialgleichungen
4.28.1
Definition
Eine Gleichung, in welcher die erste oder eine höhere Ableitung einer Funktion vorkommt heißt Differentialgleichung.
68
4.28.2
Anmerkungen
1. In einer Differentialgleichung kann auch die Funktion selbst oder die
Funktionsvariable (meist x) vorkommen.
2. Die Lösungsmenge einer Differentialgleichung enthällt alle Funktionen,
welche die Differentialgleichung erfüllen.
4.28.3
Beispiele
1. f 00 (x) = k ∗ f (x) (Differentialgleichung für Schwingungsvorgänge)
Lösungen: f (x) = a ∗ sin(bx + c)
2. f 0 (x) = k ∗ f (x) (Differentialgleichung für exponentielle Wachstumsund Zerfallvorgänge)
Lösungen: f (x) = a ∗ ebx
69
Kapitel 5
Stochastik
5.1
5.1.1
Zufallsexperimente
Kennzeichen
1. Die Ergebnisse können nicht vorausgesagt werden
2. Es sind mindestens zwei Ergebnisse möglich, die in der Ergebnismenge festgelegt werden
3. Die Ergebnismenge muss so festgelegt werden, dass bei der Durchführung
des Experiments genau eines der Ergebnisse eintreten muss
4. Die Art der möglichen Ergebnisse wird (meistens) durch ein Merkmal
festgelegt
5. Das Experiment kann unter gleichen Bedingungen wiederholt werden
5.1.2
Beschreibung
Ergebnismenge:
S = {e1 , e2 , ..., en }
Ergebnisse:
ei ∈ S
Anzahl der Ergebnisse:
|S| = n
5.1.3
Beispiele
1. 1 Würfel, 1 Wurf
Merkmal: Augenzahl
S = {1, ..., 6}; |S| = 6
70
2. 1 Würfel, 1 Wurf
Merkmal: Treffer = 6 oder Niete = Nicht 6
S = {T, N }; |S| = 2
3. 1 Münze, 1 Wurf
Merkmal: Seite
S = {K, Z}; |S| = 2
4. 2 Würfel, 1 Wurf
Merkmal: Augensumme
S = {2, ..., 12}; |S| = 11
5. 2 Würfel, 1 Wurf
Merkmal: kleinere 2-stellige Zahl, die mit den Augenzahlen als Einerund Zehnerziffer gebildet werden kann
S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 22, 23, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66}; |S| = 21
6. 2 Würfel, 1 Wurf
Merkmal: geordnetes Zahlenpaar (z1 ; z2 ); z1 erster Würfel, z2 zweiter
Würfel
S={
(1; 1), (1; 2), ..., (1; 6),
...
(6; 1), (6; 2), ..., (6; 6)
}; |S| = 36
5.2
5.2.1
Mehrstufige Zufallsexperimente
Einleitung
Die Ergebnisse eines n-stufigen Zufallsexperiments sind n-Tupel (e1 ; e2 ; ...; en ),
wobei ei das Ergebnis des i-ten Teilexperiments ist.
71
5.2.2
Beispiele
1. Urne: 3 rote, 1 weiße Kugel, 3x Ziehen mit Zurücklegen
Merkmal: Farbfolge
Baumdiagramm:
W
W
R
W
W
Beispielpfad
R
R
W
W
R
R
W
R
R
Jedes Ergebnis entspricht einem Pfad im Baumdiagramm
S = {W W W, W W R, ..., RRW, RRR}; |S| = 8
2. Urne: 3 rote, 1 weiße Kugel, 3x Ziehen ohne Zurücklegen
Merkmal: Farbfolge
Baumdiagramm:
W
R
R
W
R
R
W
R
72
R
S = {W RR, RW R, RRW, RRR}; |S| = 4
3. Mithilfe der Buchstaben A und T werden “Wörter” aus 3 Buchstaben
gebildet.
S = {AAA, AAT, AT A, AT T, T AA, T AT, T T A, T T T }; |S| = 8
4. Fritz und Emil spielen gegeneinander. Sieger ist, wer 2 Spiele hintereinander bzw. 3 Spiele gewonnen hat.
S = {F F, F EF F, F EF EF, F EF EE, F EE, EF F, EF EF F, EF EF E, EF EE, EE}; |S| = 10
5. Ein Glücksrad mit den Feldern A, B, C wird 2 mal gedreht
S = {AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC}; |S| = 9
6. Ein Würfel wird solange geworfen, bis eine 6 erscheint.
Merkmal: Anzahl der Versuche
S = {1, ..., ∞};
5.3
Ereignisse
5.3.1
Definition
S = {e1 , ..., en }
1. Jede Teilmenge A von S beschreibt ein Ereignis des Zufallsexperiments
(A ≤ S oder A ⊂ S)
2. Die Menge P (S) aller Ereignisse ist der Ereignisraum des Zufallsexperiements
3. Ein Ereignis A ist eingetreten, wenn für ein Ergebnis e1 ∈ S auch
e1 ∈ A gilt
5.3.2
Anmerkungen
P (S) Potenzmenge S, z.B.: S = {a, b, c}
⇒ P (S) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
|P (S)| = 2|S|
73
5.3.3
Besondere Ereignisse
• S = {e1 , ..., en }
• A = {e1 } Elementarereignis
• A = {} Unmögliches Ereignis
• A = S sicheres Ereignis
• A = S \ A Gegenereignis
Es gilt:
• A ∩ A = {}
• A∪A=S
5.3.4
Beispiele
1. Zu einer Party werden 2 Mädchen und 2 Jungen erwartet, die 5 Gäste
treffen nacheinander ein.
Merkmal: Reihenfolge
S = {M M JJJ; JJJM M ; M JJJM ; JM JM J; ...}; |S| = 10
Ereignisse:
• A: der 1. Gast ist ein Mädchen, |A| = 4
• B: unter den ersten 3 Gästen sind 2 Mädchen, |B| = 3
• C: der letzte Gast ist kein Junge, |C| = 3
2. Für die Lieferung von 4 Motoren werden folgende Ereignisse betrachtet:
• A: mindestens 1 Motor ist defekt
• B: höchstens 1 Motor ist defekt
⇒
• A: kein Motor ist defekt
• B: mindestens 2 Motoren sind defekt
74
5.3.5
Vierfelder Tafel
1 entspricht Motor defekt, 0 entspricht Motor nicht defekt
A
A
0001, 0010
0100, 1000
0000
B
0011, 0101, 0110, 0111
1001, 1010, 1011, 1100
1101, 1110, 1111
B
S
• A ∩ B: genau 1 Motor ist defekt
• A ∪ B: es können 0, 1, 2, 3 oder 4 Motoren defekt sein
• A ∩ B = {}
• A ∩ B: es können 0, 2, 3 oder 4 Motoren defekt sein
5.3.6
Beschreibung von Ereignissen
1. Durch Aufzählung aller Ergebnisse die zu dem Ereignis gehören
2. In Worten
3. Durch eine Zufallsgröße
75
5.4
5.4.1
Zufallsgrößen
Definition
Eine Zufallsgröße ist eine Funktion X, die jedem Ergebnis aus S eine reelle
Zahl zuordnet:
X : S 7→ R
ei 7→ X(ei ) = k
5.4.2
Veranschaulichung
A = {ei ∈ S|X(ei ) = k} ⊆ S
Kurzschreibweise: Ereignis X=k
Verallgemeinerung: X < k; X > k; X ≤ k; X ≥ k
5.4.3
Beispiele
1. Ein Zufallsexperiment hat als Ergebnisse die natürlichen Zahlen von
20 bis 39. X sei Zufallsgröße für die Quersumme. Welche Ereignisse
werden durch X = 7, X = 11 und X < 5 beschrieben?
X = 7 → A = {25; 34}
X = 11 → A = {29; 38}
X < 5 → A = {20; 21; 22; 30; 31}
2. Ein Zufallsexperiment hat als Ergebnisse die natürlichen Zahlen von 1
bis 16. X beschreibt die Anzahl der Teiler. Welche Ereignisse werden
durch X = 2, X = 4, 1 < X ≤ 4 beschrieben?
X = 2 → A = {2; 3; 5; 7; 11; 13}
X = 4 → A = {6; 8; 10; 14; 15}
1 < X ≤ 4 → A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15}
5.5
5.5.1
Wahrscheinlichkeit
eines Ergebnisses
Definition 1
S = {e1 , e2 , ..., ei , ..., en }
P : S 7→ R, ei 7→ P (ei )
heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion wenn
76
1. 0 ≤ P (ei ) ≤ 1 für alle 1 ≤ i ≤ n und
n
P
2.
P (ei ) = 1 gelten
i=1
Bezeichnung
Der Funktionswert P (ei ) heißt Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses ei .
5.5.2
eines Ereignisses
Definition 2
S = {e1 , e2 , ..., ei , ..., en }, A ⊆ S
X
P (A) =
P (ei )
ei ∈A
Es gilt:
1. P ({ei }) = P (ei )
2. P ({}) = 0 (unmögliches Ereignis)
3. P (S) = 1 (sicheres Ereignis)
4. P (A) = 1 − P (A)
5.6
5.6.1
Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen (Ergebnissen)
Über theoretische Annahmen
Annahme
Bei einem Zufallsexperiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich
m
Das Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment
Satz 1
Laplace-Experiment mit S = {e1 , ..., ei , ..., en } und |S| = n
⇒ P (ei ) =
Beweis:
77
1
n
1. P (e1 ) = P (e2 ) = ... = P (ei ) = P (en )
2. P (e1 ) + P (e2 ) + ... + P (ei ) + ... + P (en ) = 1
Aus 1 und 2 ⇒ n ∗ P (ei ) = 1
⇒ P (ei ) =
1
n
Satz 2
Laplace-Experiment mit S = {e1 , ..., ei , ..., en } und |S| = n und A ⊆ S mit
|A| = k
⇒ P (A) =
|A|
k
=
|S|
n
Beweis:
P (A) =
X
P (ei ) =
ei ∈A
=k
1
1
1
+ ... + +
n
n
n
|
{z
}
k Summanden
1
n
Beispiele
1. 1 Würfel, 1 Wurf, Merkmal: Augenzahl S = {1, ..., 6}; |S| = 6
⇒ P (1) = P (2) = ... = P (6) =
1
6
Stabdiagramm:
P
1/6
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeitsverteilung ( = Gleichverteilung)
2. 2 Würfel, 1 Wurf, Merkmal: Augensumme S = {2, ..., 12}; |S| = 11
ABER! Kein Laplace-Experiment, da P (2) 6= P (3) 6= ...
78
⇓
Verfeinerung der Ergebnismenge
⇑
Änderung des Merkmals
S={
(1; 1), (1; 2), ..., (1; 6),
...
(6; 1), (6; 2), ..., (6; 6)
}; |S| = 36
P ((a1 ; a2 )) =
1
36 ,
Zufallsgröße X = k, mit k = Augensumme
P (X = 2) =
1
36
2
1
=
36
18
1
3
=
P (X = 4) =
36
12
P (X = 3) =
...
2
1
=
36
18
1
P (X = 12) =
36
P (X = 11) =
Stabdiagramm:
P(X=k)
1/36
1
2
3
4
5
6
Symetrische Verteilung
79
7
8
9
10
11
12
k
5.6.2
Über die relative Häufigkeit bei einer hinreichend großen
Anzahl von Durchführungen eines Zufallsexperiments
n-Durchführungen eines Zufallsexperiments, k-maliges Eintreten des Ereignisses A.
→ k ist die absolute Häufigkeit,
k
ist die relative Häufigkeit des Ereignisses
n
Computersimulation: Doppelwürfelexperiment mit n Versuchen. n =
10, 100, 1000, 1000000.
→
Erkenntnis: für sehr große n gilt: H(A) ≈ P (A), wobei H(A) relative
Häufigkeit und P (A) Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist.
5.7
5.7.1
Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten
Beispiel 1
Urne: 1R, 3W Kugeln, 2x Ziehen mit Zurücklegen, Merkmal: Farbfolge
S = {W1 W2 ; W1 W3 ; ...}; |S| = 16
9
16
3
AW R = {W1 R; ...} ⇒ P (X = W R) =
16
3
ARW = {RW1 ; ...} ⇒ P (X = RW ) =
16
1
ARR = {RR} ⇒ P (X = RR) =
16
Baumdiagramm:
AW W = {W1 W2 ; ...} ⇒ P (X = W W ) =
80
1/4
R
P(RR)=(1/4) * (1/4) = 1/16
W
P(RW)=3/16
R
P(WR)=3/16
W
P(WW)=9/16
R
1/4
3/4
1/4
3/4
W
3/4
5.7.2
1. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten an den “Ästen” des zugehörigen Pfades.
Beachte! Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen die von
einem Verzweigungspunkt ausgehen ist stets 1.
5.7.3
Beispiel 2
Urne: 1R, 3W Kugeln, 2x Ziehen ohne Zurücklegen
S = {W1 W2 ; W2 W1 ; ...}; |S| = 12
1
2
1
P (X = RW ) =
4
1
P (X = W R) =
4
P (X = RR) = 0
P (X = W W ) =
Baumdiagramm:
81
R
P(RR)=0
W
P(RW)=1/4
R
P(WR)=1/4
W
P(WW)=1/2
R
1/4
1
1/3
3/4
W
2/3
5.7.4
Beispiel 3
Urne: 3R, 2W Kugeln; 3x Ziehen ohne Zurücklegen
Baumdiagramm:
82
1/3
R
P(RRR)=1/10
W
P(RRW)=1/5
R
P(RWR)=3/15
W
P(RWW)=1/10
R
P(WRR)=1/5
W
P(WRW)=1/10
R
P(WWR)=1/10
R
1/2
2/3
R
3/5
2/3
1/2
W
1/3
R
2/3
3/4
2/5
1/3
W
1/4
1
W
X = k1 mit k1 = Anzahl der weißen Kugeln, Y = k2 mit k2 = Anzahl
der roten Kugeln.
Gesucht: P (X = 1), P (X = 2), P (Y ≤ 2), P (Y = 0).
P (X = 1) =
1
3
1
3
+
+ =
5 15 5
5
83
1
1
1
3
+
+
=
10 10 10
10
9
P (Y ≤ 2) =
10
P (Y = 0) = 0
P (X = 2) =
5.7.5
2. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die dieses Ereignis bilden.
5.8
5.8.1
Exkurs: Kombinatorik
Ziehen mit Wiederholung, mit Beachtung der Reihenfolge
|M| = n
S = {(x1 , x2 , ..., xk )|xi ∈ M mit WH}; k ≤ n
⇒ |S| = nk
5.8.2
Ziehen ohne Wiederholung, mit Beachtung der Reihenfolge
|M| = n
S = {(x1 , x2 , ..., xk )|xi ∈ M ohne WH}; k ≤ n
⇒ |S| =
5.8.3
n!
(n − k)!
Ziehen ohne Wiederholung, ohne Beachtung der Reihenfolge
|M| = n
S = {{x1 , x2 , ..., xk }|xi ∈ M ohne WH}; k ≤ n
n!
n
⇒ |S| =
=
(n − k)!k!
k
5.8.4
Definition: Binomialkoeffizient
n
n!
=
k
(n − k)!n!
“Eulersches Symbol” oder “Binomialkoeffizient”
84
5.9
5.9.1
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Einleitung
Bei vielen Untersuchungen (Stichproben) spielen Zufallsexperimente mit nur
zwei Ergebnissen eine Rolle: z.B. Münzwurf (Kopf, Zahl), Würfel (6, nicht
6), Qualitätskontrolle (defekt, nicht defekt).
⇓
Treffer (T) und Niete (N)
5.9.2
Definitionen
1. Ein Zufallsexperiment mit S = {T, N }, also |S| = 2, ist ein BernoulliExperiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
2. Eine Bernoulli-Kette der Länge n ist ein Zufallsexperiment, das aus
n unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit der selben Trefferwahrscheinlichkeit p besteht.
5.9.3
Beispiele
Urne:
N Kugeln → S schwarze Kugeln → (N-S) weiße Kugeln
n-mal Ziehen mit Zurücklegen
Ereignis:
X=k mit k=Anzahl der Treffer (= schwarze Kugel)
P (X = k) Wahrscheinlichkeit für k Treffer.
S
Trefferwahrscheinlichkeit p = N
, Wahrscheinlichkeit für Niete
85
N −S
N
=1−p
Baumdiagramm für n = 3
P(X=2)=3*p²*(1-p)
T
T
N
T
p
1-p
p
T
N
N
T
T
N
N
T
N
N
⇒
5.9.4
Verallgemeinerung
n ∈ N; 0 ≤ k ≤ n
86
n k
P (X = k) =
p ∗ (1 − p)n−k
k
“Formel von Bernoulli”
Erläuterungen:
• pk ∗ (1 − p)n−k Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit k Treffern
• nk Anzahl der Pfade mit k Treffern
• nk pk ∗ (1 − p)n−k Wahrscheinlichkeit aller Pfade mit k Treffern
5.9.5
Definition Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P (X = k) mit k ∈ {0; 1; 2; ...; n} einer
Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferzahl k und der Trefferwahrscheinlichkeit p ist eine Binomialverteilung Bn;p (k) mit den Parametern
n, p und k.
Kurz:
P (X = k) = Bn;p (k) =
5.9.6
n
k
pk ∗ (1 − p)n−k
Definition Summierte Binomialverteilung
Fn;p (k) = P (X ≤ k) = Bn;p (0) + Bn;p (1) + ... + Bn;p (k) heißt summierte
Binomialverteilung mit den Parametern n und p.
Anmerkung:
Bn;p und Fn;p werden in Mathebüchern oft als Tabellen vorgegeben!
Wichtig:
Die summierte Wahrscheinlichkeit eigent sich besonders dann, wenn die kWerte in einem zusammenhängenden Bereich liegen:
0 ≤ k ≤ n:
P (X ≤ k) = Fn;p (k)
0 ≤ i ≤ k ≤ n:
P (X ≥ k) = 1 − P (X ≤ (k − 1)) = 1 − Fn;p (k − 1)
P (X > k) = 1 − Fn;p (k)
87
0 ≤ k1 < k2 ≤ n:
P (k1 ≤ X ≤ k2 ) = P (X ≤ k2 ) − P (X < k1 ) = Fn;p (k2 ) − Fn;p (k1 − 1)
P (k1 < X ≤ k2 ) = P (X ≤ k2 ) − P (X ≤ k1 ) = Fn;p (k2 ) − Fn;p (k1 )
5.10
Erwartungswert einer Zufallsgrößen
5.10.1
Beispiel: Glücksspiel
Spielregeln
1 Spieler zahlt EUR 1 Einsatz und wirft einen Laplace-Würfel 3 mal. Erscheint dabei eine 6 ein-, zwei- oder dreimal, so erhält er seinen Einsatz
zurück und außerdem einen Gewinn von EUR 1, EUR 2 bzw. EUR 3. Erscheint keine 6 ist der Einsatz verloren. Ist das Spiel “fair”?
1. Zufallsexperiment
(100 mal spielen)
Ereignis 0x6 1x6 2x6 3x6
Anzahl 54 36 9 1
Gewinn -1 1 2 3
Ereignis X = xi mit xi = Gewinn, xi ∈ {−1; 1; 2; 3}
54
30
9
1
(arithmetischer Mittelwert von x: x = 100
∗(−1)+ 100
∗1+ 100
∗2+ 100
∗3 =
0, 03 (EUR))
Wichtig: Der Mittelwert bezieht sich auf die Vergangenheit, denn
er verwendet die Informationen, die in einer Stichprobe (Zufallsexperiment)
tatsächlich aufgetreten sind.
2. Berechnung des Erwartungswertes
X = xi mit xi = Gewinn, xi ∈ {−1; 1; 2; 3}
Definition: X ist eine Zufallsgröße mit X = xi und xi ∈ {x1 , ..., xn }
E(X) =
n
X
(xi ∗ P (X = xi )) = x1 ∗ P (X = x1 ) + ... + xn ∗ P (X = xn )
i=1
ist der Erwartungswert von X, kurz: E(X) = µ
Wichtig: Der Erwartungswert bezieht sich auf die Zukunft, denn er
gibt an, welcher Mittelwert von x bei einem sehr großen Stichprobenumfang oder aufgrund theoretischer Betrachtungen zu erwarten ist.
88
Zurück zum Glücksspiel:
Ereignis X = xi -1 1
125 25
P (X = xi )
216 72
⇒ E(X) =
2
3
5
72
1
216
4
X
(xi ∗ P (X = xi )) ≈ −0, 0789
i=1
⇒ E(X) < 0 ⇒ Das Spiel ist nicht fair, d.h. es lohnt sich für den Spieler
auf lange Sicht nicht!
5.10.2
Wann ist ein Spiel fair
Wenn gilt E(X) = 0
5.10.3
Satz zum Erwartungswert
X ist eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p
⇒ E(X) = np
5.11
Standardabweichung
5.11.1
Wiederholung: Erwartungswert
Zufallsgröße x = xi mit xi ∈ {xi , ..., xn }
⇓
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X:
xi
P (X = xi )
x1
...
x2
...
...
...
⇒
xn
...
n
X
P (X = xi ) = 1
i=1
⇓
Erwartungswert E(X) (zu erwartender Mittelwert bei einem sehr großen
Stichprobenumfang)
E(X) = xi ∗ P (X = xi ) + ... + xn ∗ P (X = xn )
89
5.11.2
Maß für “mittlere Abweichung”
Gesucht: Maß für die “mittlere Abweichung” oder die “Streuung” der Werte
von X vom Erwartungswert E(X).
5.11.3
Definition Varianz und Standardabweichung
Zufallsgröße X = xi mit xi ∈ {xi , ..., xn } und E(X) = µ
1. V (X) = (x1 − µ)2 ∗ P (X = x1 ) + ... + (xn − µ)2 ∗ P (X = xn ) heißt
Varianz von X
p
2. σ(X) = V (X) heißt Standardabweichung von X
Beachte: V (X) = σ(X)2 = σ 2
5.11.4
Satz zur Standardabweichung
Eine binomial verteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p
⇒ σ(X) =
p
np ∗ (1 − p)
(ohne Beweis)
5.12
Bedeutung der Standardabweichung für binomialverteilte Zufallsgrößen
5.12.1
rσ - Intervalle
r ∈ R+
µ = np
p
σ = np ∗ (1 − p)
Problem: Was ist P (µ − rσ ≤ X ≤ µ + rσ) oder P (|X − µ)| ≤ rσ)?
5.12.2
σ - Regeln (für σ > 3)
• r = 1 ⇒ P (|X − µ| ≤ σ) ≈ 0, 680
• r = 2 ⇒ P (|X − µ| ≤ 2σ) ≈ 0, 955
• r = 3 ⇒ P (|X − µ| ≤ 3σ) ≈ 0, 997
• r = 1, 96 ⇒ P (|X − µ| ≤ 1, 96σ) ≈ 0, 95
• r = 2, 58 ⇒ P (|X − µ| ≤ 2, 58σ) ≈ 0, 99
90
5.13
Beurteilende Statistik
5.13.1
Problem
1 Würfel, 1 Wurf
Merkmal: Augenzahl
P (6) =?
↓ Zufallsexperiment → Stichprobe der Länge n
P (6) ≈ h(6)
(relative Häufigkeit für sehr große n)
⇓
5.13.2
Zweiseitiger Signifikanztest
X = k mit k =Trefferzahl; X ist binomialverteilt mit der Trefferwahrscheinlichkeit p
Nullhypothese: H0 : p = p0
Gegenhypothese: H1 : p 6= p0 → p > p0 ∧ p < p0 } zweiseitiger Test
↓
Stichprobe der Länge n = Bernoulli-Kette der Länge n, unter der Annahme, dass H0 richtig ist.
K: Annahmebereich von H0
K: Ablehnungsbereich von H0
Bei Ablehnung von H0 spricht man von einem signifikanten Unterschied zwischen dem Stichprobenergebnis und H0 (→ Signifikanztest).
Die (maximale) Wahrscheinlichkeit, dass H0 abgelehnt wird, obwohl H0
richtig ist heißt
• Signifikanzniveau α
• Irrtumswahrscheinlichkeit α
• Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art
Festlegung des Signifikanzniveaus
m
Festlegung des Annahme- und Ablehnungsbereichs.
Methode 1 (ohne Tabelle): Festlegung von K mithilfe eines rσ-Intervalls
z.B. K = [µ − 1, 96σ; µ + 1, 96σ] ⇔ α = 0.05
oder K = [µ − 2, 58σ; µ + 2, 58σ] ⇔ α = 0.01
91
5.14
Diverse Beispiele
5.14.1
Einleitung
Hier werden einige (teils populäre) wichtige Beispiele aus der Stochastik
vorgestellt.
5.14.2
Lotterie “6 aus 49”
M = {1, 2, ..., 49}
S = {{x1 , ..., xk }|xi ∈ M ohne WH }
⇒ |S| =
49
6
=
49!
= 13983816
43! ∗ 6!
⇒ P (“6 Richtige”) =
92
1
≈ 7, 15 ∗ 10−8
|S|
Kapitel 6
“Essentials”
6.1
Was ist das?
Die “Essentials” hab ich während Mathe immer griffbereit, dabei handelt
es sich um eine kleine Sammlung wichtiger mathematischer Regeln die man
mehr oder weniger gerne mit der Zeit vergisst ;)
6.2
Mittelstufenalgebra
1
y −x = ( )x
y
√
x
1
y = yx
ap ∗ aq = ap+q
ap
= ap−q
aq
(ap )q = ap∗q
xn |lg() ⇒ n ∗ lg(x)
p
x3 = a; a < 0; ⇒ x = − 3 |a|
93
6.3
Grenzwerte einfacher Folgen
6.4
Wichtige Ableitungen
f (x) = c ⇒ f 0 (x0 ) = 0
f (x) = m ∗ x ⇒ f 0 (x0 ) = m
f (x) = x2 ⇒ f 0 (x0 ) = 2x0
f (x) = x3 ⇒ f 0 (x0 ) = 3x20
f (x) = x4 ⇒ f 0 (x0 ) = 4x30
f (x) =
f (x) =
1
1
= x−1 ⇒ f 0 (x0 ) = − 2
x
x0
√
1
1
x = x 2 ⇒ f 0 (x0 ) = √
2 x0
94