Elektrotechnik II – Teil 1 - Beuth Hochschule für Technik Berlin

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Elektrotechnik II – Teil 1
Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
Stand SS 2015
Elektrotechnik II
BME
Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
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Inhaltsverzeichnis
1
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4
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7
Literatur
Maßeinheiten
2.1
SI-Einheiten
Kenngrößen und Mittelwerte periodischer Signale
3.1
Kenngrößen
3.2
Linearer Mittelwert (Arithmetischer Mittelwert)
3.3
Gleichrichtwert (Gleichrichtmittelwert)
3.4
Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)
3.5
Scheitelfaktor
3.6
Formfaktor
Wechselstromtechnik
4.1
Komplexe Rechnung
4.2
Zeigerdarstellung harmonischer Größen
4.3
Ortskurve
4.4
Bodediagramm
4.4.1
Übertragungsverhalten von Vierpolen
4.4.2
Komplexer Frequenzgang
4.4.3
Frequenzgänge von Vierpolen
4.4.4
Grundglieder
Leistungsmessung
5.1
Theoretische Grundlagen der Leistungsmessung
5.1.1
Zusammenfassung wichtiger Kenngrößen
5.1.2
Sinusförmige Verläufe von Spannung und Strom
5.1.3
Sinusförmiger Spannung- und nichtsinusförmige Stromverlauf
5.2
Messgeräte
5.2.1
Time Division Multiplikator (TDM)
Digitalmultimeter (DMM)
6.1
Auflösung
6.2
Fehlerangaben
6.3
Aufbau und Funktionsweise
6.4
Messschaltungen
Oszilloskop
7.1
Analogoszilloskop
7.2
Aufbau und Funktion des Oszilloskops
7.3
Tastkopf
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1
Literatur
Grundlagen der Elektrotechnik
Hagmann, Gert
AULA-Verlag Wiesbaden
Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik
Hagmann, Gert
AULA-Verlag Wiesbaden
Grundlagen der Elektrotechnik
Moeller, Fricke, Frohne, Vaske
B.G. Teubner Stuttgart
Beispiele zu Grundlagen der Elektrotechnik
Fricke, Moeller, Ptassek, Schuchardt, Vaske
B.G. Teubner Stuttgart
Elektrotechnik
Paul, R.
Band I: Elektrische Erscheinungen und Felder
Band II: Netzwerke
Springer-Verlag
Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
Theoretische Elektrotechnik und Elektronik
Küpfmüller, Kohn
Springer-Verlag
Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
Halbleiter-Schaltungstechnik
Tietze, Schenk
Springer Verlag Berlin
Analoge Schaltungen
Seifert
Verlag Technik GmbH
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Maßeinheiten
Damit man messen kann, sind vorher Einheiten zu definieren. Zunächst haben sich die Einheiten
an den Menschen (z.B. Fuß, Elle) bzw. an seiner Umgebung (Erdumfang, mittlerer Sonnentag)
orientiert.
Dabei gab es jedoch Schwierigkeiten mit der Anwendung dieser Einheiten. Schon Maxwell (18311879) hat empfohlen, auf Quantenmaße überzugehen, die überall und jederzeit durch Experimente nachvollziehbar sind.
2.1
SI-Einheiten
1960 wurde von der Generalkonferenz für Maß und Gewicht das “Systeme International
d’Unites” empfohlen, das inzwischen weltweit eingeführt und in der Bundesrepublik
Deutschland gesetzlich vorgeschrieben ist.
Diese Basiseinheiten sind nach DIN 1301 oder ISO 1000:
Gebiet
Mechanik
Elektrotechnik
Thermodynamik
Optik
Chemie
Elektrotechnik II
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Formelzeichen
l
m
t
I
T
IL
n
BME
Basiseinheiten Einheitenzeichen
Meter
m
Kilogramm
kg
Sekunde
s
Ampere
A
Kelvin
K
Candela
cd
Mol
mol
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1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während des Intervalls von
(1/299 792 458) Sekunden durchläuft (1983).
1 Kilogramm ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps (1889).
1 Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den
beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung (1967).
1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes, der durch zwei im
Vakuum parallel im Abstand l m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter
von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je
1m Leiterlänge elektrodynamisch die Kraft 0,2 10-6 N hervorrufen würde (1948).
1 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des
Wassers (1967).
1 Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 ⋅ 1012 Herz aussendet und deren Strahlstärke in dieser
Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt.
1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen
Teilchen besteht, wie Atome in (12/1000) kg des Nuklids 12C enthalten sind. Bei Benutzung des
Mol müssen die Teilchen spezifiziert werden. Es können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen
usw. oder eine Gruppe solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein (1971).
Diese Einheiten bilden ein kohärentes System, d.h. aus diesen Grundeinheiten abgeleitete
Einheiten lassen sich mit dem Zahlenfaktor 1 umrechnen, z.B. [v] = [s/t] = 1 m/s
In der Elektrotechnik beschränkt man sich oft auf das aus m, kg, s, A bestehende Teilsystem
(MKSA). Nachstehend sind einige abgeleitete SI-Einheiten angegeben, die einen besonderen
Namen haben.
Physikalische
Größe
2.1.1.1
Frequenz
Kraft
Druck
Energie, Arbeit,
Wärmemenge
Leistung
el. Ladung
el. Spannung
el. Kapazität
el. Widerstand
el. Leitwert
Mag. Fluss
mag. Flussdichte,
Induktion
Induktivität
Hertz
Newton
Pascal
Joule
Hz
N
Pa
J
Watt
Coulomb
Volt
Farad
Ohm
Siemens
Weber
Tesla
W
C
V
F
Ω
S
Wb
T
W ⋅ A-1
C ⋅ V-1
V ⋅ A-1
A ⋅ V-1
V⋅s
Wb ⋅ m2
m2 ⋅ kg ⋅ s-3
A⋅s
m2 ⋅ kg ⋅ s-3 ⋅ A-1
m-2 ⋅ kg-1 ⋅ s 4 ⋅ A2
m2 ⋅ kg ⋅ s-3 ⋅ A-2
m-2 ⋅ kg-1 ⋅ s3 ⋅ A2
m2 ⋅ kg ⋅ s-2 ⋅ A-1
kg ⋅ s-2 ⋅ A-1
Henry
H
Wb ⋅ A-1
m2 ⋅ kg ⋅ s-2 ⋅ A-2
Elektrotechnik II
SI-Einheit Symbol für Einheit durch SIEinheiten
ausgedrückt
N ⋅ m-2
N⋅m
J ⋅ s-1
BME
durch SIBasiseinheit
ausgedrückt
s-1
m ⋅ kg ⋅ s-2
m-1 ⋅ kg ⋅ s-2
m2 ⋅ kg ⋅ s-2
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3
Kenngrößen und Mittelwerte periodischer Signale
3.1
Kenngrößen
Für elektrische Vorgänge unterscheidet man die in der Abb.3.1.1 dargestellten Stromarten
(gilt auch für Spannungen).
i
i
I
i
i
i
t
a)
i
i~
t
b)
I
t
c)
t
d)
Abb.3.1.1: Stromarten
a) Gleichstrom I
b) Sinusförmiger Wechselstrom i mit Scheitelwert î
c) Nicht sinusförmiger, periodischer Wechselstrom i
d) Mischstrom i = I + i~
Beim Wechselstrom i nach der Abb.3.1.2 ändern sich Größe und Richtung periodisch mit der
Zeit t, d.h. nach Ablauf der Periodendauer T wiederholt sich der Verlauf von i.
i
T
t1
t1+T
t
i(t1)
i(t1+T)
T
Abb.3.1.2: Zeitlicher Verlauf einer periodischen Wechselgröße i
Mit der ganzen Zahl n gilt für eine periodische Wechselgröße:
f(t) = f(t + nT)
Der lineare Mittelwert einer reinen Wechselgröße ist während einer Periode Null.
Wechselstrom lässt sich leicht transformieren, d.h. bei der Energieverteilung den jeweiligen
Erfordernissen, z.B. hohe Spannung bei der Übertragung und kleine Spannung bei der
Anwendung, anpassen. Da er in Mehrphasensystemen die Erregung von Drehfeldern und somit
den einfachsten Motor- und Generatorausbau bei größten Leistungen ermöglicht, werden über
90% der elektrischen Energie als Wechselstrom erzeugt und verteilt.
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Erzeugung einer Wechselspannung
In der Energietechnik werden Wechselspannungen in den Generatoren der Kraftwerke erzeugt.
Außerdem werden Wechselrichter verwendet, die Gleichstrom in Wechselstrom umformen. Die
Erzeugung von Wechselspannungen in den Generatoren wird grundsätzlich durch das
Induktionsgesetz beschrieben. Durch Bewegung elektrischer Leiter im Magnetfeld, i.a. Rotation,
wird mechanische Energie in elektrische umgeformt. Rotiert eine Leiterschleife oder eine Spule
mit N Windungen (ergibt eine höhere Spannung) mit der Winkelgeschwindigkeit ω (=dα/dt) im
magnetischen Feld B, so ändert sich der mit der Spule verkettete Fluss
r r
$ ⋅ sin ωt
Φ ( t ) = B ⋅ A = B ⋅ A ⋅ sin α ( t ) = B ⋅ A ⋅ sin ωt = Φ
zeitlich nach Betrag und Richtung.
Entsprechend ist auch die in der rotierenden Spule induzierte Quellenspannung
u0 = N ⋅
dΦ( t )
= ω ⋅ N ⋅ B ⋅ A ⋅ cos ωt = u$0 ⋅ cos ωt
dt
nicht konstant, sondern eine Wechselspannung. Für ihren Scheitelwert gilt:
$
u$0 = ω ⋅ N ⋅ B ⋅ A = ω ⋅ N ⋅ Φ
Bei Wechselstromgeneratoren wird die erzeugte Spannung unmittelbar entnommen. Auch bei
Gleichstrommaschinen wird bei der Drehung des Ankers in der Spule zunächst eine
Wechselspannung erzeugt; mit Hilfe des Kommutators (Stromwender) wird die Wechselspannung in eine "Gleichspannung" umgerichtet.
Die Verläufe für den Fluss Φ(t) und die Spannung u0 sind in der Abb.3.1.3 dargestellt. Bei
sinusförmigem Flussverlauf erhält man einen cosinusförmigen Spannungsverlauf.
Der Fluss Φ(t) und die Spannung u0 zeigen zu verschiedenen Zeiten t ihre Scheitelwerte und
Nulldurchgänge. Man sagt, diese beiden Größen haben eine unterschiedliche Phasenlage; sie
sind gegeneinander phasenverschoben. Für die Wechselspannung gilt:
u0 = u$0 ⋅ cos(ωt ) = u$0 ⋅ sin( ωt + π2 )
Allgemein wird eine sinusförmige Wechselgröße folgendermaßen angegeben:
x = x$ ⋅ sin( ωt + ϕ )
Φ(t)
u0
π/2
π
3π/2
2π
ωt
Abb.3.1.3: Erzeugung einer Wechselspannung
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Diese Funktion besitzt zum Zeitpunkt t = 0 den Wert x ( t = 0) = x$ ⋅ sin ϕ und geht um den
Nullphasenwinkel ϕ früher als die Sinusfunktion sin(ωt) durch Null. Es ist dabei auf das
Vorzeichen des Winkels zu achten. In der Abb.3.1.4 ist z.B. der Nullphasenwinkel der Spannung
ϕu = 60° und der des Flusses ϕΦ = -30°. Der Phasenwinkel ist eine gerichtete Größe, die positive
und negative Werte annehmen kann und daher mit einem Zählpfeil gekennzeichnet werden
muss. Er wird positiv angegeben, wenn seine Pfeilspitze in die positive Winkel-Zählrichtung
weist, d.h. man muss den Zählpfeil vom positiven Nulldurchgang aus zur Ordinatenachse
richten.
Φ(t)
T
u0
ωt
ϕu
ϕΦ
ϕuΦ =ϕu -ϕΦ
ϕΦu=ϕΦ -ϕu
Abb.3.1.4: Nullphasenwinkel und Phasenverschiebung
Die Phasenverschiebung zwischen zwei Sinusfunktionen f1(t) und f2(t) mit den Phasenwinkeln
ϕ1 und ϕ2 wird ebenfalls mit einem Zählpfeil gekennzeichnet. Dabei muss stets angegeben
werden, welche der beiden Größen als Bezugsgröße gelten soll.
In der Abbildung gilt: Die Spannung u0 eilt gegenüber dem Fluss Φ(t) um den Phasenwinkel
ϕuΦ = ϕu - ϕΦ = 60° - (-30°) = 90° = π/2 vor (Richtungspfeil ϕuΦ weist von u0 nach Φ(t)); u0 geht
um π/2 früher durch Null als Φ(t).
Eine Sinusschwingung wiederholt sich nach Ablauf des Winkels 2π = 360° = ωT.
Mit der Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) ω gilt für die Periodendauer: T = 2π / ω
Der Kehrwert der Periodendauer heißt Frequenz f: f = 1 / T
Einheit: [f] = 1 / s = Hz = Hertz
Wichtige Frequenzen bzw. Frequenzbereiche sind z.B. 50/3 Hz = 16 2/3 Hz für Fernbahnen,
50Hz für elektrische Energieversorgungsnetze (60Hz in USA), ferner 0,3kHz bis 3,4kHz pro
Sprachkanal in der Fernsprechtechnik, 16Hz bis 20kHz in der Elektroakustik, 100kHz bis
10GHz in der Nachrichtentechnik.
Die Kreisfrequenz ω = 2π f = 2π / T unterscheidet sich nur durch den Faktor 2π von der
Frequenz f und besitzt die Einheit [ω] = 1 / s (nicht Hz!).
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Beispiel:
ˆ ⋅ sin(ωt − π ) .
In einer Spule mit N = 30 ändert sich der Fluss nach der Funktion Φ(t ) = Φ
2
$
Es gilt: Φ = 0, 7Vs und f = 50 Hz.
Es sind die Periodendauer T und die Zeitfunktion u0 der induzierten Quellenspannung zu
bestimmen.
T = 1 / f = 1 / 50 Hz = 0,02 s = 20 ms
Mit der Kreisfrequenz ω = 2π f = 314 s −1 erhält man:
u0 = N ⋅
dΦ (t )
ˆ ⋅ ω ⋅ cos(ωt − π ) = 6,6kV ⋅ sin(314 s −1 ⋅ t )
= N ⋅Φ
2
dt
Beispiel:
Eine Spule (z.B. Rahmenantenne) hat die Fläche A = 900cm2 und die Windungszahl N=50. Sie
wird von einer elektromagnetischen Welle mit dem Scheitelwert der magnetischen Feldstärke
H$ = 0,1µA / cm und der Frequenz f = 5 MHz senkrecht und homogen durchsetzt.
Wie groß ist der Scheitelwert u$0 der in dieser Antenne induzierten Spannung?
Mit der Permeabilität der Luft µ 0 = 1, 256 ⋅ 10 −8 H / cm ergibt sich der Scheitelwert der Induktion:
B$ = µ 0 ⋅ H$ = 12, 56 ⋅ 10−12 T
Die Feldgrößen von elektromagnetischen Wellen sind verglichen mit den entsprechenden
Größen elektrischer Maschinen extrem klein!
Der Scheitelwert des Flusses ergibt sich nach:
$ = B$ ⋅ A = 1, 13 ⋅ 10 −12 Vs
Φ
Daher wird mit der Kreisfrequenz ω = 2 π ⋅ f = 31, 4 ⋅ 106 s −1 der Scheitelwert der induzierten
Spannung:
$ = 1, 77mV
u$0 = N ⋅ ω ⋅ Φ
Diese Spannung kann in Empfängern der Nachrichtentechnik nach entsprechender Verstärkung
ausgenutzt werden. Bei UKW-Antennen tritt nur eine Spannung von wenigen µV auf.
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Da eine Wechselgröße ihren Zeitwert fortlaufend zwischen Null und positivem bzw. negativem
Scheitelwert ändert, und die Angabe der Zeitfunktion i.a. kompliziert ist, möchte man die
Zeitfunktion durch einen einzigen kennzeichnenden Wert beschreiben.
Man könnte z.B. den Scheitelwert der Spannung benutzen, der die größte elektrische Feldstärke
und somit elektrische Beanspruchung bestimmt. Der Scheitelwert des Stromes bestimmt
ebenfalls die mechanische Beanspruchung, da die magnetischen Kräfte auf stromdurchflossene
Leiter linear (Leiter im Magnetfeld) oder quadratisch (Kraft zwischen zwei Leitern) vom Strom
abhängt.
Bei nichtsinusförmigen Verläufen sagt der Scheitelwert nichts über den Verlauf der Funktion
aus. Da der Verlauf aber allein maßgebend ist für die summarischen Wirkungen, z.B. der
Energie (Erwärmung), werden Kenngrößen definiert, die die mittleren Wirkungen unabhängig
von der Kurvenform wiedergeben.
Man unterscheidet allg. für zeitabhängige periodische (auch nichtsinusförmige) Wechselgrößen
folgende Kenngrößen (gelten entsprechend für Spannungen).
3.2
Linearer Mittelwert (Arithmetischer Mittelwert)
T
1
i = ⋅ ∫ i ⋅ dt
T 0
Bei einem reinen Wechselstrom, z.B. i = iˆ ⋅ sin(ωt ) , ergibt die Integration über eine Periode T
den Wert Null, da die Flächen der positiven und negativen Halbschwingung gleich groß sind.
Der lineare Mittelwert ist für Gleich- und Mischgrößen von Null verschieden.
Beispiel:
T
1 ˆ
iˆ
i = ⋅ ∫ i ⋅ sin(ωt ) ⋅ dt =
T 0
T
3.3
t =T
iˆ
 1

⋅ − ⋅ cos(ωt ) = −
⋅ [cos(ωT ) − cos(0)] = 0
T ⋅ω
 ω
 t =0
Gleichrichtwert (Gleichrichtmittelwert)
T
i =
1
⋅ i ⋅ dt
T ∫0
Einen einseitig gerichteten Ladungstransport erhält man, wenn der Wechselstrom z.B. mit
Dioden (Ventilen) gleichgerichtet wird. Weisen z.B. bei einem sinusförmigen Strom beide
Halbschwingungen dieselbe Stromrichtung auf (Zweiweg-Gleichrichtung), so wird der
Mittelwert über den Betrag des Stromes |i| Gleichrichtwert genannt.
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Beispiel: Gleichrichter-Brückenschaltung
In Gleichrichter-Schaltungen ist die Ladungsmenge Q vom Gleichrichtwert des Stromes
abhängig.
Aufgabe:
Bestimmen Sie für einen sinusförmigen Wechselstrom das Verhältnis von Gleichricht- zu
Scheitelwert.
i 2
Ergebnis:
= ≈ 0,637
iˆ π
Beispiel:
Ein Wechselstrom mit dem Scheitelwert î = 10A fließt durch die Gleichrichter-Brückenschaltung. Welche Ladungsmenge Q wird während der Zeit t = 2h befördert?
Es gilt:
i = 0,637 ⋅ iˆ = 6,37 A
Q = i ⋅ t = 6,37 A ⋅ 2h = 12,74 Ah
3.4
Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)
T
1
I=
⋅ ∫ i 2 ⋅ dt
T 0
Für die meisten Wirkungen des elektrischen Stroms ist die zu dem Verbraucher übertragene
elektrische Energie W = U·I·t und daher die Leistung P = U·I = I·R·I maßgebend. Somit ist die
Wärmewirkung dem Quadrat des Stroms proportional. Der Effektivwert eines Wechselstroms
verursacht die gleiche Wärmewirkung in einem ohmschen Verbraucher wie ein Gleichstrom
gleichen Betrags.
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Abb.3.4.1: Effektivwert
Aufgabe:
Berechnen Sie den Effektivwert eines sinusförmigen Stroms.
Ergebnis:
I=
iˆ
2
≈ 0,707 ⋅ iˆ
Das Ergebnis gilt allg. für sinusförmige Wechselgrößen.
3.5
Scheitelfaktor
FS =
iˆ
I
Als Scheitelfaktor bezeichnet man das Verhältnis von Scheitelwert zu Effektivwert.
Für sinusförmige Größen gilt:
FS = 2 ≈ 1,414
3.6
Formfaktor
FF =
I
i
Als Formfaktor bezeichnet man das Verhältnis von Effektivwert zu Gleichrichtwert. Er wird u.a.
zur Beurteilung der Kurvenform bei nichtsinusförmigen Wechselgrößen herangezogen.
Für sinusförmige Größen gilt:
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FF =
π
2⋅ 2
BME
≈ 1,11
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4
4.1
Wechselstromtechnik
Komplexe Rechnung
In der komplexen Ebene werde ein Zeiger r als komplexe Zahl in Komponentenform eingetragen:
r=a+jb
Dies entspricht der Angabe von rechtwinkligen (kartesischen) Koordinaten a und b. Die positive
reelle Achse wird nach rechts und die positive imaginäre Achse nach oben gezeichnet. In der
Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit mit dem Operator j = − 1 belegt. Die Komponentenform stellt die komplexe Summe von Realteil a = Re(r) und Imaginärteil b = Im(r) dar, wobei
die Komponenten a und b jeweils positive und negative Zahlenwerte annehmen können.
Komplexe Zahl
Die Differenz r* = a – j b wird als konjugiert komplex bezeichnet. Die Unterstreichung des
Formelzeichens wird zur Kennzeichnung einer komplexen Größe beibehalten.
Neben den Komponenten a und b ist eine komplexe Zahl durch ihren Betrag r = |r| und ihren
Winkel α bestimmt. Dies entspricht der Angabe von Polarkoordinaten.
Für die polare Form r = a + j b = r cosα + j r sinα = r (cosα + j sinα)
Betrag:
r = r = a2 + b2
Winkel:
α = arctan 
folgt:
b
a
Mit der Euler-Gleichung e jα = cos α + j ⋅ sin α folgt die Exponentialform:
r = r ⋅ e j⋅α = r∠α
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- 14/46 *
Der konjugiert komplexe Zeiger r = r ⋅ e j⋅α * = r∠α * hat auch den Betrag r, jedoch beim
Phasenwinkel α* = - α das entgegen gesetzte Vorzeichen.
Der Winkelfaktor ∠α für häufig vorkommende Winkel:
α =0
e j ⋅0 = 1
α = +π 2
e
α = −π 2
+ j ⋅ π2
π
e
α = ±π
e
= j
− j⋅ 2
=−j
± j ⋅π
= −1
Der Vorsatz + j bedeutet eine Drehung um + π/2 = + 90°, der Vorsatz – j die Drehung um
- π/2 = - 90° und das Minuszeichen eine Drehung um ± π = ± 180°.
Für die Addition und Subtraktion von Zeigern benutzt man die Komponentenform und bei den
übrigen Rechenoperationen vorzugsweise die Exponentialform.
Es gilt für:
r1 = a1 + j b1
und
r2 = a2 + j b2
Addition:
r1 + r2 = (a1 + j b1) + (a2 + j b2) = (a1 + a2) + j (b1 + b2)
Subtraktion:
r1 - r2 = (a1 + j b1) - (a2 + j b2) = (a1 - a2) + j (b1 - b2)
Es gilt für:
r 1 = r1 ⋅ e jα 1 = r1 ⋅ ∠α 1
Multiplikation:
r 1 ⋅ r 2 = r1 ⋅ e jα 1 ⋅ r2 e jα 2 = r1 ⋅ r2 ⋅ e j (α 1+α 2) = r1 ⋅ r2 ⋅ ∠(α 1 + α 2 )
Division:
r 1 r1 ⋅ e jα 1 r1 j (α 1−α 2) r1
=
= ⋅e
= ⋅ ∠(α 1 − α 2 )
r2
r2
r2
r2 e jα 2
und
r 2 = r2 ⋅ e jα 2 = r2 ⋅ ∠α 2
Da das Produkt einer komplexen Zahl r3 = (c + j d) mit ihrem konjugiert komplexen Wert
*
r3* = (c – j d) stets eine reelle Zahl ergibt: r 3 ⋅ r 3 = (c + jd ) ⋅ (c − jd ) = (c 2 + d 2 ) , kann man den
Nenner eines Bruches durch Erweitern mit dem konjugiert komplexen Wert zu einer reellen Zahl
ergänzen.
Anwendung bei der Division in Komponentenform:
r=
a + jb (a + jb ) ⋅ (c − jd ) (ac + bd ) + j (bc − ad )
=
=
= e+ j⋅ f
c + jd (c + jd ) ⋅ (c − jd )
c2 + d 2
mit
ac + bd
c2 + d 2
bc − ad
f = 2
c +d2
e=
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Es gilt für:
r = r ⋅ e jα = r ⋅ ∠α
n-te Potenz:
r = r ⋅ e jα
n-te Wurzel:
n
Beachte:
n
(
r = n r ⋅e
)
n
j αn
= r n ⋅ e jnα = r n ⋅ ∠n ⋅ α
= n r ⋅ ∠(αn )
Es gibt nur eine Potenz aber n verschiedene Wurzeln!
Es gilt für:
r = r ⋅ e jα = r ⋅ ∠α
Differentiation:
d r d r ⋅ e jα
=
= r ⋅ j ⋅ e jα = j ⋅ r = r ⋅ ∠(α + π2 )
dα
dα
Integration:
∫ r ⋅ dα = ∫ r ⋅ e
(
)
jα
⋅ dα = r ⋅ 1j ⋅ e jα = 1j ⋅ r = − j ⋅ r = r ⋅ ∠(α − π2 )
Beachte:
Differentiation entspricht einer Multiplikation des Zeigers mit j bzw. einer
Drehung um + π/2
Integration entspricht einer Multiplikation des Zeigers mit - j bzw. einer Drehung
um - π/2
Aufgabe:
r1 = 6 + j 8
und
r2 = 10 – j 15
Berechnen Sie: Reziprokwerte, Summe, Differenzen, Produkt, Quotienten, Quadratwurzel
jeweils in Komponenten- und Exponentialform
Ergebnisse:
Elektrotechnik II
1/r1 = 0,0602 – j 0,0799
1/r2 = 0,0307 + j 0,0461
r1 + r2 = 16 – j 7
r1 – r2 = - 4 + j 23
r2 – r1 = 4 – j 23
r1 ⋅ r2 = 180 – j 10,4
r1/r2 = - 0,183 + j 0,522
r2/r1 = - 0,597 – j 1,700
√r1 = ± 3,17 ∠26,5°
√r2 = ± 4,25 ∠-28,15°
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4.2
Zeigerdarstellung harmonischer Größen
Der Zeitverlauf einer harmonischen Größe kann durch die Gleichung (1) beschrieben werden.
u (t ) = uˆ ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ u )
(1)
Bei der Berechnung elektrischer Schaltungen führt diese trigonometrische Darstellung zu sehr
aufwendigen Rechnungen.
Eine einfache Methode der Berechnung elektrischer Schaltungen ergibt sich, wenn die
harmonischen Größen durch komplexe Zahlen dargestellt werden. Voraussetzung dafür ist, dass
die eingeprägten Spannungen und Ströme harmonische Größen einer Frequenz sind und dass das
Netzwerk nur aus ohmschen Widerständen, idealen Spulen und idealen Kondensatoren besteht
und sich im stationären Zustand befindet.
1
⋅ e jϕ + e − jϕ
2
1
sin ϕ =
⋅ e jϕ − e − jϕ
2j
(
cos ϕ =
Bekanntlich gilt:
)
(
(2)
)
Damit lässt sich die Zeitabhängigkeit in der Gleichung (1) auch schreiben:
u (t ) =
uˆ
⋅
2
[e
j (ωt +ϕ u )
] = U2 ⋅ [e
− j (ωt +ϕ u )
+e
j (ωt +ϕ u )
− j (ωt +ϕ u )
+e
]
(3)
Der Ausdruck U ⋅ e j (ωt +ϕ u ) enthält einen zeitabhängigen und einen zeitunabhängigen Teil. Für
den zeitunabhängigen Teil soll ein Zeiger eingeführt werden:
U = U ⋅ e jϕ u
(4)
*
Der Ausdruck U = U ⋅ e − jϕ u stellt den konjugiert komplexen Zeiger von U dar.
Damit lässt sich die harmonische Spannung der Gleichung (3) wie folgt darstellen:
u (t ) =
Die Größe
1
2
(
⋅ U ⋅e
jωt
*
− j ωt
+U ⋅e
) = 12 ⋅ (
2 ⋅U ⋅ e
j ωt
*
+ 2 ⋅U ⋅ e
− jωt
)
(5)
2 ⋅ U lässt sich durch einen ruhenden Zeiger in der komplexen Ebene darstellen:
Ruhender Zeiger
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Der Ausdruck 2 ⋅ U ⋅ e jωt stellt einen in der komplexen Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit
ω rotierenden Zeiger dar.
Die Beziehung (5) lässt sich in der komplexen Ebene für den Zeitpunkt t = 0 wie folgt
skizzieren:
Rotierende Zeiger
Für t ≠ 0 stellen die Summanden in Gleichung (5) gegensinnig rotierende Zeiger dar, deren
Summe immer ein reeller Wert – die physikalische Größe u(t) – ist.
Allgemein lässt sich die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen schreiben:
*
A + A = 2 ⋅ Re( A)
mit
(6)
Re(A): Realteil von A
Mit der Zusammenfassung von (6) kann Gleichung (5) geschrieben werden:
(
u (t ) = Re 2 ⋅ U ⋅ e jωt
)
(7)
Die Gleichung (7) stellt den Zusammenhang zwischen der physikalischen Größe u(t) und ihrer
Abbildung in der komplexen Ebene 2 ⋅ U ⋅ e jωt dar.
(
)
Bei vielen Problemen der Elektrotechnik (stationärer Zustand bei harmonischen Erregergrößen,
lineare Elemente) interessiert der zeitliche Augenblickswert nicht in erster Linie. Es genügt
meist, Aussagen über den Effektivwert der Größen und über die Winkelbeziehungen zwischen
ihnen zu machen. Diese Aussagen sind allein in den Zeigern enthalten. Zeigerdiagramme können
nur Vorgänge einer bestimmten Frequenz wiedergeben, bei denen die Phasenbeziehungen
zueinander erhalten bleiben. Sie stellen eine Momentaufnahme dar. Da bei sinusförmigen
Größen das Verhältnis vom Scheitelwert zum Effektivwert durch den konstanten Scheitelfaktor
bestimmt wird, und man in der Praxis i. Allg. mit Effektivwerten arbeitet, wird die Länge des
Zeigers häufig nach dem Effektivwert festgelegt. Sinusförmige Wechselgrößen werden addiert
oder subtrahiert, indem man ihre Zeiger nach Betrag und Phase geometrisch addiert oder
subtrahiert. Bei Phasengleichheit ist die geometrische Summe gleich der algebraischen.
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4.3
Ortskurve
Bei kontinuierlicher Änderung einzelner Wirk- bzw. Blindwiderstände oder der Frequenz
beschreiben die Spitzen der Zeiger der Impedanz Z und des komplexen Stroms I (bei fester
Spannung U) oder der komplexen Spannung U (bei festem Strom I) sog. Ortskurven.
Widerstands- und Spannungsortskurven bei Reihenschaltung
a) Konstanter Blindwiderstand X mit veränderbarem Wirkwiderstand a⋅R mit a = 0 ... ∞
Impedanz:
Z = a⋅R + j X
Ortskurve Z = f(a) verläuft parallel zur positiven reellen Achse
b) Konstanter Wirkwiderstand R und konstante Induktivität L mit veränderbarer Kreisfrequenz
ω
Impedanz:
Z = R + j ωL mit ω = 0 .. ∞
Ortskurve Z = f(ω) verläuft parallel zur positiven imaginären Achse
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c) R = konstant; C = konstant; ω = variabel
Impedanz:
Z = R + 1/j ωC
mit ω = 0 .. ∞
Ortskurve Z = f(ω) verläuft parallel zur negativen imaginären Achse
Aufgrund des „komplexen Ohmschen Gesetzes“ U = Z ⋅ I unterscheidet sich die SpannungsOrtskurve U = f(a) bzw. U = f(ω) nur um einen konstanten komplexen Faktor I von der
zugehörigen Impedanz-Ortskurve Z = f(a) bzw. Z = f(ω).
Strom-Ortskurven bei Reihenschaltung
a) X = konstant; ω = konstant; a⋅R = variabel
„Komplexes Ohmsches Gesetz“:
I = U / (a⋅R + j X)
Der Strom I verläuft für a = 0 ... ∞ auf einem Halbkreis durch den Koordinaten-Nullpunkt.
Die Strom-Ortskurve I = f(a) stellt eine Inversion der Impedanz-Ortskurve Z = f(a) bzw. der
Spannungs-Ortskurve U = f(a) dar.
Für Ortskurven gilt allgemein: Inversion einer Geraden parallel zu einer Halbachse ergibt einen
Halbkreis durch den Nullpunkt mit dem Mittelpunkt auf einer Achse.
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b) R = konstant; C = konstant; ω = variabel
U
I=
Es gilt:
R + jω1C
Aufgabe:
Eine Reihenschaltung von R = 20 Ω und L = 0,5 H liegt an einer sinusförmigen Spannung mit U
= 220 V. Es sollen die Ortskurven Z = f(ω) und I = f(ω) dargestellt werden.
Lösungen:
Z = f(ω)
I = f(ω)
Gerade parallel zur positiven imaginären Achse
Halbkreis im 4.Quadranten
Aufgabe:
R = 1 kΩ
C = 1 µF
Zeichnen Sie die Ortskurve Ua/Ue. Stellen Sie das Verhältnis Ua/Ue im Bereich ω = 0 ... 10.000
1/s dar.
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Ortskurven bei Parallelschaltung
a) Änderung der Belastung
Y = a⋅G + j B
I = U ⋅ Y = U⋅(a⋅G + j B)
Ortskurve I = f(a) ist eine Gerade parallel zur positiven reellen Achse.
b) Änderung der Kreisfrequenz
i) Parallelschaltung von G und C
Y = G + j ωC
I = Y ⋅ U = G ⋅ U + j ωC ⋅ U
Ortskurve I = f(ω) ist eine Gerade parallel zur positiven imaginären Achse.
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ii) Parallelschaltung von G und L
Y = G + 1/jωL
I = U ⋅ Y = U ⋅ G + U/jωL
Ortskurve I = f(ω) ist eine Gerade parallel zur positiven imaginären Achse.
Aufgabe:
Parallelschaltung von G = 0,1 S und L = 0,5 mH mit U = 20 V. Bestimmen Sie I = f(ω).
Lösung:
Ortskurve parallel zur negativen imaginären Achse
Aufgabe:
Parallelschaltung von G = 0,1 S und L = 0,5 mH mit I = 2 A. Bestimmen Sie U = f(ω).
Lösung:
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Ortskurve Halbkreis im 1.Quadranten
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4.4
•
•
•
•
Bodediagramm
Frequenzgangdarstellung mit Ortskurve bei Netzwerken u. U. aufwendig und ungenau
(nichtlineare Frequenzteilung)
Ortskurven stellen aber als Frequenzgang Betrag und Phase in einem Diagramm dar
Darstellung der Frequenzkennlinien getrennt für Betrag und Phase führt zum Bodediagramm
Ersetzen der häufigen Multiplikation durch einfache Addition nach Transformation
Beispiel:
Hochpass-Filter
Ua
R
jωCR
jωτ
=
=
=
1
U e R + jωC 1 + jωCR 1 + jωτ
ω ⋅τ
Betrag:
Ua
=
Ue
Phase:
ϕ = arctan
(1 + (ω ⋅ τ ) )
2
mit
τ = R⋅C : Zeitkonstante in s
mit
ω⋅τ : Normierte Kreisfrequenz
 1 

 ω ⋅τ 
ω⋅τ = 0 : Ua/Ue = 0
ω⋅τ → ∞ : Ua/Ue → 1
ωgr⋅τ = 1 : Ua/Ue = 1/√2 ≈ 0,707
ωgr⋅τ : Normierte Grenz-Kreisfrequenz
ω⋅τ = 0 : ϕ = 90°
ω⋅τ → ∞ : ϕ → 0°
ωgr⋅τ = 1 : ϕ = 45°
ωgr⋅τ : Normierte Grenz-Kreisfrequenz
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4.4.1
Übertragungsverhalten von Vierpolen
Messung 1:
U 12
P1 =
Rv
Messung 2:
P2 =
U 22
Rv
Das Verhältnis der Leistungen beschreibt das Übertragungsverhalten (Verstärkung, Dämpfung)
des Vierpols:
P2 U 22
=
P1 U 12
Man arbeitet meistens mit den Logarithmen der Quotienten und macht den Ansatz:
P
p = lg 2
 P1
 U 22

 = lg 2

 U1

U 
 = 2 ⋅ lg 2  Bel
 U1 

Übliche Einheit:
1 dB (dezi Bel) = 0,1 Bel
Daraus folgt:
P 
U 
p = 10 ⋅ lg 2 dB = 20 ⋅ lg 2 dB
 P1 
 U1 
Leistungsverhältnis
Spannungsverhältnis
20 dB
100
10
10 dB
10
≈ 3,16
(dimensionslos)
3 dB
2
√2 ≈ 1,41
0 dB
1
1
Beispiel:
Vierpolkette
p = 20⋅lg(Ua3/Ue1) dB = 20⋅lg(V1⋅V2⋅V3) dB = 20⋅lg(V1) dB + 20⋅lg(V2) dB + 20⋅lg(V3) dB
= (P1 + P2 + P3) dB
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4.4.2
Komplexer Frequenzgang
V=
•
Ua
Ue
Betragsfrequenzgang (Amplitudenfrequenzgang):
V=
Ua
Ue
U
V = 20 ⋅ lg a
Ue
•

dB

Phasenwinkelfrequenzgang (Phasenfrequenzgang):
 U a
 Im
 U
ϕ = arctan  e
 Re U a
 U
  e
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
 






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Beispiel:
Hochpass-Filter
Betragsfrequenzgang:

V = 20 ⋅ lg


ω ⋅τ
(1 + (ω ⋅ τ ) )
2

dB


ω⋅τ → 0 : V → - ∞ dB
ω⋅τ → ∞ : V → 0 dB
ωgr⋅τ = 1 : V = - 3 dB
ω⋅τ << 1: V = 20⋅lg(ω⋅τ) dB
→ Steigung = 20 dB/Dekade
ω⋅τ >> 1: V = 0 dB
Darstellung der Asymptoten
Phasenfrequenzgang:
 1 

 ω ⋅τ 
ϕ = arctan
ω⋅τ << 1 : ϕ = 90°
ω⋅τ >> 1 : ϕ = 0°
ωgr⋅τ = 1 : ϕ = 45°
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Beispiel:
Tiefpass-Filter
1
U
1
1
jω C
V= a =
=
=
1
Ue
1 + jωRC 1 + jωτ
R+
jω C
Betragsfrequenzgang:

V = 20 ⋅ lg


1
(1 + (ω ⋅ τ ) )
2

dB


ωgr⋅τ = 1 → ωgr = 1/τ → fgr = 1/(2π⋅τ)
fgr : Grenzfrequenz
f << fgr: V = 0 dB
f >> fgr: V = 20⋅lg(1/2πf⋅τ) dB
= - 20⋅lg(2πf⋅τ) dB
→ Steigung = - 20 dB/Dek.
f = fgr: V = - 3 dB
Darstellung der Asymptoten
Phasenfrequenzgang:
ϕ = ϕ Z − ϕ N = 0° − arctan(ω ⋅ τ ) = − arctan (2πf ⋅ τ )
f << fgr : ϕ = 0°
f >> fgr : ϕ = - 90°
f = fgr : ϕ = - 45°
Es werden anstelle von Grenzfrequenz
(fgr) auch die Begriffe Knickfrequenz
(fK) oder Eckfrequenz (fE) benutzt.
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4.4.3
Frequenzgänge von Vierpolen
V =k⋅
( jωτ D1 ) ⋅ ( jωτ D 2 ) ⋅ ... ⋅ (1 + jωτ Z 1 ) ⋅ (1 + jωτ Z 2 ) ⋅ ...
( jωτ I 1 ) ⋅ ( jωτ I 2 ) ⋅ ... ⋅ (1 + jωτ N 1 ) ⋅ (1 + jωτ N 2 ) ⋅ ...
Beträge:
K =k
VDi = ωτ Di
VZi = 1 + (ωτ Zi ) 2
VIi = ωτ Ii
V Ni = 1 + (ωτ Ni ) 2
Phasen:
ϕ k = 0°
ϕ Di = 90°
ϕ Zi = arctan(ωτ Zi )
ϕ Ii = 90°
ϕ Ni = arctan(ωτ Ni )
mit i = 1, 2, 3, ...
V =K⋅
VD1 ⋅ e jϕD1 ⋅ ... ⋅ VZ 1 ⋅ e jϕZ 1 ⋅ ...
V ⋅ ... ⋅ VZ 1 ⋅ ... j [(ϕD1+...+ϕZ 1+...)−(ϕI 1+...+ϕN 1...)]
= K ⋅ D1
⋅e
jϕI 1
jϕN 1
VI 1 ⋅ ... ⋅ V N 1 ⋅ ...
VI 1 ⋅ e ⋅ ... ⋅ V N 1 ⋅ e
⋅ ...
Daraus folgt für den Betragsfrequenzgang:
V = 20⋅lg (K) + (20⋅lg VD1 + ... + 20⋅lg VZ1 + ...) – (20⋅lg VI1 + ... + 20⋅lg VN1 + ...)
Daraus folgt für den Phasenfrequenzgang:
ϕ = (ϕD1 + ... + ϕZ1 + ...) – (ϕI1 + ... + ϕN1 + ...)
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4.4.4
Grundglieder
V=k
V = j ωτ
V = 1 / j ωτ
V = 1 + j ωτ
V = 1 / (1 + j ωτ)
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Die Vierpol-Frequenzgänge lassen sich aus den folgenden fünf Grundgliedern entwickeln. Aus
der Multiplikation wird durch die logarithmische Darstellung (Bodediagramm) eine Addition.
V = V⋅∠ϕ = V1⋅∠ϕ1 ⋅ V2⋅∠ϕ2 = (V1 ⋅ V2)⋅∠(ϕ1+ϕ2)
Es gilt:
Die komplexe Multiplikation erfordert eine Multiplikation der Beträge und eine Addition der
Phasenwinkel. Die Multiplikation wird auf eine niedrigere Rechenoperation (Addition)
zurückgeführt, indem man die Größen logarithmiert (allg. transformiert).
Die Beträge werden nach V = 20⋅lg(V) dB (für Spannungs-/Stromverhältnisse!) logarithmiert;
die Phasenwinkel werden addiert, so dass ein linearer Maßstab beizubehalten ist.
Um große Frequenzbereiche betrachten zu können, empfiehlt es sich, auch die Frequenz
logarithmisch darzustellen, z.B. auf Logarithmenpapier. Die Zehnerpotenzen (Dekaden) haben
dann einen konstanten Abstand.
Beispiel:
R1 = 9 kΩ
R2 = 1 kΩ
C = 17,684 nF
V=
Ua
R2
=
R1 ⋅ jω1C
Ue
R1 +
V =k⋅
k=
1
jωC
=
+ R2
(
R2 ⋅ R1 +
R1 ⋅
1
j ωC
(
1
jωC
)
+ R2 ⋅ R1 +
1
j ωC
)
=
R2 ⋅ (1 + jωCR1 )
R2
=
⋅
R1 + R2 + jωCR1 R2 R1 + R2
1 + jωCR1
R ⋅R
1 + jω C ⋅ 1 2
R1 + R2
1 + jωτ 1
1 + jωτ 2
R2
= 0,1 = −20dB
R1 + R2
τ 1 = CR1 = 159,156 ⋅ 10 −6 s
τ 2 = ωC ⋅
R1 ⋅ R2
= 15,9156 ⋅ 10 −6 s
R1 + R2
ωτ 1 = 1 → f E1 =
ωτ 2 = 1 → f E 2 =
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1
2πτ 1
= 10 3 Hz
1
2πτ 21
= 10 4 Hz
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Aufgabe:
R1 = 9 MΩ
C1 = 1 pF ... 3 pF
R2 = 1 MΩ
C2 = 18 pF
a)
b)
c)
d)
Berechnen Sie allg. den komplexen Frequenzgang V.
Zeichnen Sie den Betrags- und Phasenfrequenzgang für C1 = 1 pF und C1 = 3 pF.
Für welchen Wert von C1 sind Betrags- und Phasenfrequenzgang frequenzunabhängig?
Warum sollte man bei Messungen mit dem Oszilloskop einen Tastkopf verwenden?
Lösung:
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V=
Ua
R2
=
⋅
U e R1 + R2
1 + jωC1 R1
R ⋅R
1 + jω (C1 + C 2 ) 1 2
R1 + R2
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5
Leistungsmessung
Bezüglich der Definition der Leistungskenngrößen wird auf die DIN 40110 verwiesen.
Schwerpunktmäßig werden die Benennungen bei sinusförmiger Spannung und nichtsinusförmigem Strom behandelt.
5.1
5.1.1
Theoretische Grundlagen der Leistungsmessung
Zusammenfassung wichtiger Kenngrößen
Augenblicksleistung:
p(t) = u(t) ⋅ i(t)
Wirkleistung:
P=
1
⋅
T
t +T
∫ p(t ) ⋅ dt
t
Scheinleistung:
S=U⋅I
Blindleistung:
Q = S 2 − P2
Leistungsfaktor:
λ=
5.1.2
P
S
Sinusförmige Verläufe von Spannung und Strom
Es gelte:
u (t ) = uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t )
Wirkleistung:
P=
Mit
P=
und
T
T
1
uˆ ⋅ iˆ
⋅ ∫ u (t ) ⋅ i (t ) ⋅ dt =
⋅ ∫ sin(ω ⋅ t ) ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ ) ⋅ dt
T 0
T 0
sin(α)⋅sin(β) = 0,5⋅[cos(α-β) - cos(α+β)]
S=U⋅I
Blindleistung:
Q = S 2 − P2 =
Leistungsfaktor:
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λ=
ergibt sich:
T
uˆ ⋅ iˆ
uˆ ⋅ iˆ
⋅ ∫ cos(ϕ ) − cos(2 ⋅ ω ⋅ t + ϕ ) ⋅ dt =
⋅ cos(ϕ ) = U ⋅ I ⋅ cos(ϕ )
2 ⋅T 0
2
Scheinleistung:
Mit
i (t ) = iˆ ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ )
(U ⋅ I )2 − (U ⋅ I )2 ⋅ cos 2 (ϕ ) = U ⋅ I ⋅ sin(ϕ )
sin 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1
P
= cos(ϕ )
S
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5.1.3
Sinusförmiger Spannung- und nichtsinusförmige Stromverlauf
Es wird vorausgesetzt, dass der Strom periodisch (gleiche Periodendauer wie die Spannung) ist
und daher nach einer Fourier-Reihenentwicklung durch eine Summe von Sinusschwingungen
dargestellt werden kann. Dieser Fall ist für die Praxis wesentlich, da häufig von näherungsweise
sinusförmiger Netzspannung ausgegangen werden kann. Die Ströme sind üblicherweise nichtsinusförmig und periodisch.
u (t ) = uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t )
Es gelte:
∞
i (t ) = I 0 + ∑ iˆn ⋅ sin(n ⋅ ω ⋅ t + ϕ n )
und
n =1
Um die Leistungen ausrechnen zu können, muss zunächst die Orthogonalitätsbeziehung behandelt werden.
Es gilt für m, n ∈ N:

= 0 für m ≠ n
sin(
m
⋅
⋅
t
)
⋅
sin(
n
⋅
⋅
t
+
)
⋅
dt
ω
ω
ϕ

n
∫0
≠ 0 für m = n

T
Unter Beachtung der Orthogonalitätsbeziehung ergibt sich nach der Definitionsgleichung für die
Wirkleistung:
T
[
]
1
P = ⋅ ∫ u ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ I 0 + iˆ1 ⋅ sin(1 ⋅ ω ⋅ t + ϕ1 ) + iˆ2 ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t + ϕ 2 ) + ... ⋅ dt = U ⋅ I 1 ⋅ cos(ϕ1 )
T 0
Die Scheinleistung ergibt sich zu:
∞
S = U ⋅ I = U ⋅ I 02 + ∑ I n2
n =1
Die Blindleistung Q = S 2 − P 2 ist eine reine Rechengröße. Sie wird üblicherweise von digitalen Leistungsmessgeräten errechnet. Analog arbeitende Leistungsmesser zeigen aufgrund ihrer
Bauart nur die Grundschwingungsblindleistung Q1 an:
Q1 = U ⋅ I1 ⋅ sin(ϕ1)
Zwischen Blindleistung und Grundschwingungsblindleistung besteht folgender Zusammenhang:
(
)
Q = S 2 − P 2 = U 2 ⋅ I 02 + I 12 + I 22 + I 32 + ... − U 2 ⋅ I 12 ⋅ cos 2 (ϕ1 )
(
)
(
)
Q = U 2 ⋅ I 12 1 − cos 2 (ϕ1 ) + U 2 ⋅ I 02 + I 22 + I 32 + ... = Q12 + D 2
D wird als Verzerrungs(blind)leistung bezeichnet und durch die Oberschwingungen (und evtl.
dem Gleichanteil) des Stromes erzeugt. Sie ist nicht von den Phasenlagen der Stromoberschwingungen abhängig.
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Für den Leistungsfaktor ergibt sich:
λ=
P U ⋅ I 1 ⋅ cos(ϕ1 ) I 1
=
= ⋅ cos(ϕ1 )
S
U ⋅I
I
Aufgabe:
Der Widerstand R der Schaltung beträgt 20Ω und die sinusförmige Spannung u(t) hat einen
Effektivwert von 100V.
a) Bestimmen Sie den Strom i(t) durch den Widerstand R sowie sämtliche Leistungen bei
geschlossenem Schalter S.
b) Bestimmen Sie den Strom I durch den Widerstand R sowie die Leistungen (P, S, Q, D)
des Transformators bei geöffnetem Schalter S (ideale Dioden).
Aufgabe:
Eine Glühlampe (Nennleistung P=100W) wird über einen Dimmer betrieben. Die Netzspannung
UN(t) (U=230V) kann als sinusförmig vorausgesetzt werden. Der Dimmer ist als verlustfreier
Schalter zu betrachten, mit dem die Spannung UG(t) an der Glühlampe über den Anschnittwinkel
ϑ gesteuert werden kann.
a) Berechnen Sie den Effektivwert Iϑ des Stromes i(t) als Funktion des Anschnittwinkels ϑ
b) Für den Fall ϑ = 90° (=π/2) ist der Effektivwert I90 des Stromes zu berechnen
c) Ermitteln Sie Schein-, Wirk- und Blindleistung der Quelle (Netz) für ϑ = 90°
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass bei sinusförmiger Spannung und bei nichtsinusförmigem Strom (ohne
Gleichanteil) die Blindleistung mit folgender Gleichung ausgedrückt werden kann:
Q=
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(U ⋅ I1 ⋅ sin(ϕ1 ) )2 + U 2 ⋅ (I12 + I 22 + I 32 + ...) = (U ⋅ I1 ⋅ sin(ϕ1 ) )2 + D 2
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5.2
5.2.1
Messgeräte
Time Division Multiplikator (TDM)
TDM ist ein elektronisches Leistungsmessverfahren.
Blockschaltbild TDM
Rv = Verbraucherwiderstand
Komp. = Komparator
Inv. = Inverter
Ri = Strommesswiderstand
Gs = Sägezahngenerator
TP = Mittelwertbildner
Die Funktionsweise lässt sich anhand des folgenden Bildes veranschaulichen. Es werden eine
Gleichspannung U, ein Gleichstrom I und ein ohmscher Verbraucher Rv angenommen.
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Die Sägezahnspannung Us mit der Periodendauer T wird mit der zum Strom I proportionalen
Spannung Ui verglichen. Daraus ergeben sich die Zeiten T1 bzw. T2 = (T – T1). Der Mittelwert
der Spannung UM ist dann der Wirkleistung proportional.
Es gilt:
Ui
T1 − T2
=
T
U S max
Der Mittelwertbildner ergibt:
UM
t1
t2
 1
1 
= ⋅  ∫ U V ⋅ dt + ∫ − U V ⋅ dt  = ⋅ [U V ⋅ T1 − U V ⋅ T2 ]
T t 0
t1
 T
UM =
Ui
Ri
T1 − T2
⋅UV =
⋅UV =
⋅ PV = K ⋅ PV
T
U S max
U S max
Bei Wechselgrößen u(t) und i(t) muss die Frequenz f = 1/T wesentlich größer sein als die
höchsten Frequenzanteile der Eingangssignale, die richtig erfasst werden sollen, damit die
Änderung der Änderung der Eingangssignale während einer Periode T vernachlässigbar klein
bleibt. Zur Messung der Leistung bei der Netzfrequenz fN = 50 Hz wird beispielsweise mit f =
1/T = 5kHz ... 10kHz gearbeitet.
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6
6.1
Digitalmultimeter (DMM)
Auflösung
Digitalmultimeter (DMM) werden heute für Spannungs-, Strom- und Widerstandsmessungen mit
Auflösungen bis zu 8 ½ Stellen angeboten. Hierbei werden folgende Begriffe verwendet:
Auflösung = Messbereich /Anzeigeumfang
Hätte beispielsweise ein DMM einen Spannungsbereich von ±10V und 2000 unterscheidbare
Stufen (Anzeigeumfang = 2000), so wäre die Auflösung (d.h. die Bedeutung der letzten Stelle)
20V / 2000 = 10mV.
Jede Stelle, die nicht von 0 bis 9 variieren kann, wird üblicherweise als "halbe" Stelle bezeichnet.
Beispiele für DMMs
Anzeigeumfang
1 999
6 000
240 000
190 000 000
6.2
Stellenzahl
3½
3½
5½
8½
Fehlerangaben
Verschiedene Angaben sind gebräuchlich:
Fehlergrenze = ± (Y% vom Endwert + N·Digits)
Fehlergrenze = ± (X% vom Messwert + N·Digits)
Fehlergrenze = ± (X% vom Messwert + Y% vom Endwert + N·Digits)
Beispiel:
Ein DMM hat eine Fehlergrenze im Spannungsmessbereich von ± (0,1% vom Messwert +
6·Digits). Der Anzeigeumfang ist 5000. Es wird die Spannung 4V im 5V-Bereich und im 50VBereich gemessen. Bestimmen Sie die jeweiligen Messfehler.
Lösung:
Die Auflösung beträgt im 5V-Bereich 5V/5000 = 1mV (= 1·Digit = Bedeutung der kleinsten
Stelle) und im 50V-Bereich 50V/5000 = 10mV.
Damit ergeben sich die Fehlergrenzen zu
FG = ±(0,1 ⋅ 4V / 100 + 6 ⋅ 1 mV) = ±10 mV
FG = ±(0,1 ⋅ 4V / 100 + 6 ⋅ 10 mV) = ±64 mV
Man erkennt, dass die Angabe der Digits ihre Entsprechung bei der Klassenangabe bei analog
anzeigenden Messgeräten hat. Auch bei DMMs muss der Bereich möglichst gut ausgenutzt
werden, damit die Messunsicherheit möglichst klein bleibt.
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6.3
Aufbau und Funktionsweise
Blockschaltbild
Verstärker/Teiler
Meistens haben die DMMs im Spannungsmessbereich einen konstanten Eingangswiderstand von
10MΩ. Die Abbildung zeigt den Eingangsspannungsteiler eines DMMs. Der Eingangsstrom in
den Verstärker kann vernachlässigt werden.
Effektivwertformer
Die Bildung des Effektivwertes erfolgt entsprechend der Definitionsgleichung für den
Effektivwert
T
U=
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1
⋅ ∫ u 2 (t ) ⋅ dt
T 0
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Beispiel:
Gegeben sei die nachfolgende Schaltung zur Bestimmung des Effektivwertes. Leiten Sie den
Zusammenhang zwischen Ua und ue(t) her.
6.4
Messschaltungen
DMMs enthalten zur Widerstandsmessung eine Konstantstromquelle. Es wird bei bekanntem
Strom der Spannungsabfall über dem Prüfobjekt ermittelt und daraus der Widerstandswert
ermittelt.
Zweidrahtmessung
RL seien die unvermeidlichen Zuleitungswiderstände. Der Konstantstrom IG fließt sowohl durch
das Prüfobjekt Rx als auch durch die Zuleitungswiderstände RL. Die Messspannung UM wird um
den Spannungsabfall an den Zuleitungswiderständen zu groß gemessen.
Es gilt
UM = IG (Rx + 2 RL)
Der Widerstand wird um 2 RL zu groß gemessen.
Sind relativ kleine Widerstände (mΩ-Bereich) zu messen, so ist die Vierdrahtmethode vorzuziehen. Nicht alle DMMs verfügen über diese Möglichkeit.
Vierdrahtmessung
Der Konstantstrom IG fließt weiterhin durch Rx und 2 RL. Es ist UM = URx, da die „äußeren“
Spannungsanschlussleitungen stromlos sind und daher an ihnen keine Spannungen abfallen
können. Es gilt
UM = IG Rx
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7
Oszilloskop
7.1
Analogoszilloskop
Das Oszilloskop ist ein universelles „Spannungsmessgerät“ zur Analyse dynamischer Signale.
Alle Oszilloskope sind in Aufbau und Bedienung vergleichbar.
Einsatzmöglichkeiten des Oszilloskops:
•
•
•
•
7.2
Gleichspannungsmessung
Wechselspannungsmessung, Zeit-, Phasenmessung,
Darstellung von Einzelsignalen
X-Y Darstellungen (Lissajous)
Aufbau und Funktion des Oszilloskops
Das Oszilloskop ist ein „Spannungsmessgerät“. Mit seiner Hilfe können Gleichspannungen und
zeitabhängige Spannungssignale graphisch dargestellt und ausgewertet werden. Im Einzelnen
bietet das Oszilloskop folgende Möglichkeiten:
•
•
•
•
•
bildliche Darstellung von Signalformen
Spannungsmessung
Zeitmessung
Frequenzmessung
Phasenmessung
Die Darstellung und Auswertung der zu messenden Signale erfolgt auf einem Bildschirm von
10x8 Skalenteilen. Üblich ist die Darstellung des zeitlichen Spannungsverlaufes u(t), d. h. die
Spannung u(t) wird vertikal (y - Achse) und die Zeit t horizontal (x - Achse) dargestellt.
Das Standardoszilloskop kann zwei Signale u1(t) und u2(t) gleichzeitig abbilden. Dies erlaubt den
direkten Vergleich zweier Signale bezüglich ihrer Signalform, Amplitude und Phasenlage.
Selten kommt die Möglichkeit zum Einsatz, zwei Signale voneinander abhängig darzustellen. In
diesem Fall, dem sog. XY-Betrieb ist u1 = f(u2).
Die zu messende Signalform wird bildlich dargestellt. Störungsursachen, wie z.B. Überlagerungen von Störfrequenzen oder anderen Unregelmäßigkeiten des Signals, sind auf dem Bildschirm
für das Auge des Betrachters unmittelbar erkennbar.
Der Bildschirm des Analogoszilloskops besteht aus einer Mattscheibe, deren beschichtete
Rückseite durch einen Elektronenstrahl zum Leuchten angeregt wird. Der Elektronenstrahl wird
in der Braunschen Röhre erzeugt und durch zwei Paare von Ablenkplatten in X- und YRichtung ausgelenkt.
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16
17
S
A
Y
X
W
10
Eingang
34
23
Eingang
4
Verstärker 2
27
30
Verstärker 1
24
Vereinfachtes Prinzipschema
des Analogoszilloskops
An eine Kathode, dem sog. Wehnelt-Zylinder (W), wird eine Gleichspannung von ca. 2000 V
angelegt. Die Anode (A) und die Beschichtung des Leuchtschirmes (S) liegen auf Erdpotential.
Es kommt zur Elektronenemission vom Wehnelt-Zylinder über die gelochte Anode zum Schirm.
Beim Auftreffen des Elektronenstrahles auf die Beschichtung des Schirmes setzt sich die
kinetische Energie der Elektronen in Licht und Wärme um, auf dem Schirm erscheint ein
Lichtfleck. Die Intensität des Strahls und damit des Leuchtflecks ist von der Spannung am
Wehnelt-Zylinder abhängig. Sie kann vom Bediener variiert werden [16]. Zur besseren
Fokussierung des Strahles und damit zur Erzeugung eines möglichst scharfen Leuchtfleckes
dient die elektrostatische Linse. Auch deren Spannung kann vom Bediener variiert werden, um
eine scharfe Abbildung zu erhalten [17].
Vertikale Ablenkung (Y-Achse) des Elektronenstrahls
Das zu messende Signal wird an eine Eingangsbuchse [23 oder 34] angeschlossen und über den
zugehörigen Verstärker [24 oder 30] an die Y-Ablenkplatten angelegt. Im Bereich der Platten
entsteht dadurch ein elektrostatisches Feld, das den Strahl vertikal auslenkt. Ohne weitere
Maßnahmen würde eine darzustellende Wechselspannung als Punkt sichtbar, der sich auf und ab
bewegt. Bei einer Frequenz über 30 Hz würde man eine senkrechte Linie sehen.
Um den zeitlichen Verlauf der Spannung sehen zu können, muss der Elektronenstrahl zusätzlich
(zeitabhängig) in x-Richtung bewegt werden. Dazu wird eine geeignete im Gerät erzeugte
Sägezahnspannung [10] an die X-Ablenkplatten gelegt, die den Elektronenstrahl periodisch vom
linken zum rechten Bildrand führt.
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Horizontale Ablenkung (X-Achse) des Elektronenstrahls
Sägezahngenerator
Üblicherweise soll eine Spannung als Funktion der Zeit dargestellt werden, d.h. der Leuchtfleck
wird gleichförmig in x- Richtung abgelenkt. Diese Anforderung wird erfüllt, indem eine sägezahnförmige Spannung an die X-Ablenkplatten angelegt wird.
Bei der Spannung -ÛS zu Beginn der Rampe befindet sich der Leuchtfleck am linken Rand des
Bildschirms. Mit steigender Spannung bewegt er sich zum rechten Bildschirmrand, den er
erreicht, wenn die Spannung des Sägezahnes gleich +ÛS ist. Mit dem folgenden sehr schnellen
Spannungsabfall erreicht der Leuchtfleck wieder den Ausgangsort. Damit der zurückschnellende
Lichtfleck die Darstellung nicht stört, wird der Elektronenstrahl während der Rücklaufzeit
deaktiviert.
Der Sägezahn allein liefert aber noch keine befriedigende Abbildung: Wenn die Frequenz der
Sägezahnspannung nicht auf die Frequenz des Eingangssignals abgestimmt ist, wird bei jedem
Durchlauf der Rampe ein anderer Abschnitt der Funktion dargestellt.
Darstellung einer periodischen Funktion
bei Betrieb des Sägezahngenerators
ohne Triggerung
Es ist also zu fordern, dass die Sägezahn-Funktion stets in demselben Punkt der darzustellenden
Funktion beginnt. Nur dann werden die gleichen Abschnitte aufeinander abgebildet und es
entsteht ein stehendes Bild des Eingangssignals. Um dies zu erreichen, wird der Sägezahngenerator durch den sog. Trigger gestartet.
Triggerung
Der Trigger hat die Aufgabe, den Durchlauf des Sägezahngenerators in dem Augenblick zu
starten, in dem das Messsignal einen definierten Wert hat. Die erforderlichen Kriterien werden
vom Benutzer eingestellt:
1. ein bestimmter Wert der Spannung des Messsignals (Triggerlevel)
2. die steigende oder fallenden Flanke des Messsignals
Erfüllt die Spannung am Eingang des Oszilloskops beide Kriterien, dann startet der Trigger den
Sägezahngenerator. Dies geschieht für den Bediener unsichtbar mittels eines Rechteckimpulses.
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UE
Messsignal: Das darzustellende Signal wird über
die Eingangsbuchse [23 oder 34] angeschlossen.
Der gewünschte Triggerlevel UTr und die gewünschte Flanke (hier: steigende Flanke) werden
eingestellt. Der hinterlegte Bereich der Kurve soll
dargestellt werden.
UTr
UT
Triggerausgang: Der Trigger erkennt die Werte
des Eingangssignals, die die eingestellten Kriterien
(hier: Triggerlevel Utr und Flanke steigend) erfüllen
und gibt jeweils einen Rechteckimpuls an den
Sägezahngenerator weiter.
Sägezahngenerator: Der Sägezahn wird durch den
Rechteckimpuls des Triggers ausgelöst. Er startet
am Fußpunkt der Rampe, d. h. die Darstellung beginnt am linken Bildschirmrand.
US
Sägezahnspannung: hohe Ablenkgeschwindigkeit (steile Rampe)
US
Sägezahnspannung: geringe Ablenkgeschwindigkeit (flache Rampe)
Darstellung eines Signals bei verschiedenen
Ablenkgeschwindigkeiten.
Liegt kein Signal am Oszilloskop an oder findet der Trigger nicht die gesuchten Parameter zum
Start des Sägezahngenerators, dann bleibt der Bildschirm dunkel. (Beispiel: Es wird eine Gleichspannung von 1 V angelegt. Der eingestellte Triggerlevel ist 1,5 V. Da das Eingangssignal niemals den Triggerlevel erreicht, wird der Sägezahngenerator nicht gestartet.)
Um dennoch eine Darstellung zu erhalten, gibt es eine Automatikfunktion des Triggers: In der
Betriebsart „Auto“ wird der Triggerlevel automatisch eingestellt und der Sägezahngenerator
gestartet, wenn der Trigger kein verwertbares Signal erkennt.
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Ankopplung des Messsignals
Spannungen bestehen oft aus Gleich- und Wechselkomponenten. Das Oszilloskop bietet die
Möglichkeit, einen evtl. störenden Gleichanteil aus der Darstellung herauszufiltern. Die
Ankopplungsarten (Signal, Signal ohne Gleichanteil, kein Signal) kann durch Einstellung eines
Schalters gewählt werden.
Kopplungsschalter
AC
Messsignal
DC
Eingangsbuchse
GND
DC
GND
AC
Ein Messsignal wird an den Eingang des Oszilloskops angelegt. Je nach Stellung des Ankopplungsschalters auf Position GND, DC, AC erhält man die entsprechende Abbildung auf dem
Schirm.
Die Betriebsart GND legt den Eingang des Oszilloskop auf Masse. Das Eingangssignal ist vom
Gerät abgekoppelt. Auf diese Weise kann die Position der Nulllinie festgestellt werden.
In der Betriebsart DC wird das Signal direkt an den Y-Verstärker angelegt. Es werden Gleichund Wechselspannungsanteile der Eingangsspannung auf dem Bildschirm dargestellt.
In der Betriebsart AC wird das Signal mit einem Hochpass gefiltert. Es werden nur die Wechselspannungsanteile der Eingangsspannung sichtbar. Gleichspannungsanteile werden unterdrückt.
Dies kann notwendig sein, wenn einer hohen Gleichspannung ein geringer Wechselanteil überlagert ist. Soll nur der Wechselanteil untersucht werden, würde bereits eine geringe Verstärkung
dazu führen, dass das Signal nicht mehr auf den Bildschirm passt. Durch die Betriebsart AC wird
der (uninteressante) Gleichspannungsanteil unterdrückt und es bleiben die Wechselanteile übrig.
Diese oszillieren jetzt um die Nulllinie und können entsprechend verstärkt werden.
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7.3
Tastkopf
Beim Anschluss von Messsignalen an Oszilloskope werden meist passive Tastköpfe benutzt. Die
Eingangskapazität des Oszilloskops hat eine, für hohe Signalfrequenzen nicht zu vernachlässigende, Eingangskapazität, die die Eingangsimpedanz verringert. Tastköpfe, mit denen auch
der Eingangsspannungsbereich erweitert wird, werden als frequenzkompensierter Spannungsteiler realisiert, um eine frequenzunabhängige Spannungsteilung zu gewährleisten.
Oszilloskop mit Tastkopf (10:1 Teiler)
Für das Übertragungsverhältnis der komplexen Eingangsspannung U1 und der am Oszilloskop
anliegenden Spannung U2 ergibt sich folgender Ausdruck
1 + jω R S C S
U1
RP
= 1+
⋅
1 + jωRP C comp
U2
RS
Hierbei soll in CS sowohl die Eingangskapazität des Oszilloskops als auch die Kapazität der
Zuleitung enthalten sein. Für den Fall der Gleichheit der beiden Zeitkonstanten
RS·CS = RP·Ccomp
ist der Spannungsteiler frequenzunabhängig und es gilt
U1
R
= 1+ P
U2
RS
Nachstehendes Bild zeigt einen 10:1 Tastkopf, bei dem die Einstellung des Kondensators Ccomp
durch Drehung erfolgen kann.
Tastkopf
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Die Einstellung (Abgleich) erfolgt mit Hilfe eines im Oszilloskop eingebauten Rechteckgenerators. Der Tastkopf wird verstellt, bis ein optimales Übertragungsverhalten für das
Rechtecksignal erreicht wird. Da das periodische Rechtecksignal aus sehr vielen Sinusschwingungen besteht, ist bei einem „guten“ Rechteckübertragungsverhalten von Frequenzunabhängigkeit der Spannungsteilung auszugehen.
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